二次函数的图像和性质五

1、 一般地，抛物线一般地，抛物线y=a(x-h) +k与与 y = ax 的的 相同，相同， 不同不同22形状形状位置位置 y=ax2y=a(x-h) +k2上加下减上加下减左加右减左加右减抛物线抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点有如下特点:1.当当a0时，开口时，开口 ， 当当a0时，开口时，开口 ，向上向上向下向下 2.对称轴是对称轴是 ；3.顶点坐标是顶点坐标是 。直线直线X=h(h,k)二次函数二次函数开口方向开口方向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2y = 4(x-3)2 +7y = -5(2-x)2 - 6直线直线x=3直线直线x

2、=1直线x=2直线x=3向上向上向上向上向下向下向下向下（3，5）（1，2）（3，7 ）（2，6） 你能说出二次函数你能说出二次函数y=x 6x21图像的特征吗？图像的特征吗？212如何画出如何画出 的图象呢的图象呢? ?216212xxy我们知道我们知道,像像y=a(x-h)2+k这样的函数这样的函数,容易确定容易确定 相应抛相应抛物线的顶点为物线的顶点为(h,k), 二次函数二次函数 也能化成这样的形式吗也能化成这样的形式吗?216212xxy配方配方216212xxyy= (x6) +3212你知道是怎样配方的吗？你知道是怎样配方的吗？ (1)“提提”：提出二次项系数；：提出二次项系数；

3、( 2 )“配配”：括号内配成完全平方；：括号内配成完全平方；（3）“化化”：化成顶点式。：化成顶点式。归纳归纳二次函数二次函数 y= x 6x +21图象的画法图象的画法：(1)“化化” ：化成顶点式：化成顶点式 ；(2)“定定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标；：确定开口方向、对称轴、顶点坐标；(3)“画画”：列表、描点、连线。：列表、描点、连线。212510510Oxyx34567893) 6(212xy7.553.533.557.5求次函数求次函数y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标的对称轴和顶点坐标 函数y=ax+bx+c的顶点是w配方配方: :cbxaxy2ccxabxa2提取二次

4、项系数提取二次项系数acababxabxa22222配方配方:加上再减加上再减去一次项系数去一次项系数绝对值一半的绝对值一半的平方平方222442abacabxa整理整理:前三项化为平方形前三项化为平方形式式,后两项合并同类项后两项合并同类项.44222abacabxa化简化简:去掉中括号去掉中括号这个结果通这个结果通常称为求常称为求顶顶点坐标公式点坐标公式.44222abacabxay22:24:(,)24byaxbxcxabacbaa 的对称轴是顶点坐标是1432xxy322xxy1.1. 说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：.44222ab

5、acabxay函数y=ax+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？ 函数y=ax+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？ 22:24:(,)24byaxbxcxabacbaa 的对称轴是顶点坐标是抛线顶点标为.则2 22. 物2. 物y = 2x + bx+ c的y = 2x + bx+ c的坐坐(-1,2),b = _，(-1,2),b = _，c= _c= _例例1 1：指出抛物线：指出抛物线: :254yxx 的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与标、与y轴的交点坐标、与轴的交点坐标、与x轴的交点坐轴的交点坐标。并画出草图。标。并画出草图。 对于对于y=ax2

6、+bx+c我们可以确定它的开口方向，我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐轴的交点坐标、与标、与x轴的交点坐标（有交点时），这样就轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象可以画出它的大致图象。y=2x2-5x+3y=(x-3)(x+2)y= x2+4x-9求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴21请画出草图请画出草图:396抛物线位置与系数抛物线位置与系数a，b，c的关系：的关系：a决定抛物线的开口方向：决定抛物线的开口方向： a0 开口向上开口向上a0 开口向下开口向下 a，b决定抛物线

7、对称轴的位置决定抛物线对称轴的位置: (对称轴是直线对称轴是直线x = ) a，b同号同号 对称轴在对称轴在y轴左侧；轴左侧；2ab【左同右异】【左同右异】 b=0 对称轴是对称轴是y轴；轴； a，b异号异号 对称轴在对称轴在y轴右侧轴右侧 c决定抛物线与决定抛物线与y轴交点的位置：轴交点的位置： 顶点坐标是（顶点坐标是（ ， ）。 ab2abac442 （5）二次函数有最大或最小值由）二次函数有最大或最小值由a决定。决定。 当当x= 时时,y有最大有最大(最小最小)值值 y= b2a_4a4acb2 c0 图象与图象与y轴交点在轴交点在x轴上方；轴上方； c0 图象与图象与y轴交点在轴交点在

8、x轴下方。轴下方。 c=0 图象过原点；图象过原点；-1 例例2、已知函数、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所的图象如下图所示，示，x= 为该图象的对称轴，根据图象信息你为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？的一些什么结论？31 y 1.x131.1.抛物线抛物线y=2xy=2x2 2+8x-11+8x-11的顶点在的顶点在 （ ） A. A.第一象限第一象限 B. B.第二象限第二象限 C. C.第三象限第三象限 D. D.第四象限第四象限2.2.不论不论k k 取任何实数，抛物线取任何实数，抛物线y=a(x+k)y=a(x+k

9、)2 2+k(a0)+k(a0)的顶点都的顶点都在在 （ ） A. A.直线直线y = xy = x上上 B. B.直线直线y = - xy = - x上上 C.x C.x轴上轴上 D.y D.y轴上轴上3.3.若二次函数若二次函数y=axy=ax2 2 + 4x+a-1+ 4x+a-1的最小值是的最小值是2,2,则则a a的值是（的值是（ ） A 4 B. -1 C. 3 D.4A 4 B. -1 C. 3 D.4或或-1-1CBA4.4.若二次函数若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下的图象如下, ,与与x x轴的一个交轴的一个交点为点为(1,0),(1,0),则下列各式中

10、不成立的是则下列各式中不成立的是 （ ） A.A.b2-4ac0 B. 0 B. 0=0 D. 01xyo-15.5.若把抛物线若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移向右平移2 2个单位个单位, ,再向再向下平移下平移3 3个单位个单位, ,得抛物线得抛物线y=x2+bx+c, ,则（则（ ） A.b=2 A.b=2 c= 6 B.b=-6 , c=6 B.b=-6 , c=6 C.b=-8 C.b=-8 c= 6 D.b=-8 , c=18 D.b=-8 , c=18 B B-2ab4a4ac-b26.6.若一次函数若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四的图象经过第二、三、四

11、象限，则二次函数象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是的大致图象是 ( )( )7.7.在同一直角坐标系中在同一直角坐标系中, ,二次函数二次函数 y=ax2+bx+c 与与一次函数一次函数y=ax+c的大致图象可能是的大致图象可能是 （ ）xyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3xyoxyoxyoxyoABCDCC二次二次函数函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)的图象和性的图象和性质质.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=ax2+k(a0)y=a(x-h)2(a0)y=a(x-h)2 +k(a0)y= ax2 +bx+c(a0)w1.相同点相同点: w(1)形状相同形状相同(图像都是抛物线图像都是抛物线,开口方向相同开口方