第9章能量方法

1、第第9 9章章 能量方法能量方法9- -1 基本概念基本概念9- -2 卡氏定理及其应用卡氏定理及其应用9- -3 莫尔定理及其应用莫尔定理及其应用9- -5 用能量法求解超静定问题用能量法求解超静定问题9- -4 图乘法及其应用图乘法及其应用19 9-1 -1 基本概念基本概念2一、引言一、引言ACBFPFP求节点求节点B的垂直位移。的垂直位移。3求节点求节点A的垂直位移。的垂直位移。FABC几何法确定结构位移的复杂性 9- -1 基本概念基本概念4二、弹性体的功能原理二、弹性体的功能原理 物体在外力作用下发生变形，物体的应变能在数值上等物体在外力作用下发生变形，物体的应变能在数值上等于外力

2、在加载过程中在相应位移上所做的功，即于外力在加载过程中在相应位移上所做的功，即WV 在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为内积蓄的能量，称为应变能应变能。9- -1 基本概念基本概念5三、变力功与常力功三、变力功与常力功 作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆件作用在弹性杆件上的力，其加力点的位移，随着杆件受力和变形的增加而增加，在这种情形下，力所作的功为受力和变形的增加而增加，在这种情形下，力所作的功为变力功变力功。 弹性体在平衡力系的作用下，在一定的变形状态保持弹性体在平衡力系的作用下，在一定的变形状态保持平衡，

3、这时，如果某种外界因素使这一变形状态发生改变，平衡，这时，如果某种外界因素使这一变形状态发生改变，作用在弹性体上的力，由于加力点的位移，也作功，但不作用在弹性体上的力，由于加力点的位移，也作功，但不是变力功，而是是变力功，而是常力功常力功。 9- -1 基本概念基本概念6四、杆件应变能的计算四、杆件应变能的计算1 1、轴向拉压、轴向拉压dx+ dxdxFNFNN1dd2VFxEAdxFFNN 21EAdxFN22 lNEAdxxFV22 等直杆，轴力为常量时：等直杆，轴力为常量时：EAlFVN22 9- -1 基本概念基本概念7d TT2 2、圆轴扭转、圆轴扭转PGITdxT 21PGIdxT

4、22 lPGIdxxTV22 等直杆，扭矩为常量时：等直杆，扭矩为常量时：PGIlTV22 TddV21 9- -1 基本概念基本概念83 3、弯曲、弯曲dxMMd lEIdxxMV22 MddV21 （忽略剪力的影响）（忽略剪力的影响）dxdxdddxd22 ，得：，得：由由 dxEIxMdEIxMdxd ，得：，得：再由再由229- -1 基本概念基本概念94 4、组合变形、组合变形 截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相截面上存在几种内力，各个内力及相应的各个位移相互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位互独立，力独立作用原理成立，各个内力只对其相应的位移做功。移做功。

5、 lllNEIdxxMGIdxxTEAdxxFV2)(2)(2)(222 上述应变能表达式必须在小变形条件下，并且在弹上述应变能表达式必须在小变形条件下，并且在弹性范围内加载时才适用。性范围内加载时才适用。9- -1 基本概念基本概念10线弹性，位移可以叠加线弹性，位移可以叠加l1F1F1+F2lF2l2FlOFlOFlO l2l1l=l1+ l2(1)(1)叠加法的应用限制叠加法的应用限制9- -1 基本概念基本概念5 5、讨论、讨论11l1F1F1+F2lF2l2FlOFlOFlO l2l1V1V2VV1V2线弹性线弹性, ,位移可以叠加位移可以叠加, ,但应变能不能叠加但应变能不能叠加2

6、1 VVV 9- -1 基本概念基本概念？129- -1 基本概念基本概念ALFEILAFMLAM1 V2 V V21 VVV 139- -1 基本概念基本概念Cl/2AFBl/2Cl/2ABl/2MCl/2AFBl/2M1 V2 V V21 VVV 149- -1 基本概念基本概念FFTTFFTT1 V2 V V21 VVV 15 不同的内力分量引起的应变能，在什么条件下才能叠加？ 一种载荷在另一种载荷引起的位移上不做功一种载荷在另一种载荷引起的位移上不做功 一种载荷不在另一种载荷方向上引起相应位移一种载荷不在另一种载荷方向上引起相应位移9- -1 基本概念基本概念16F1+F2lFlO l

7、2l1VF2F1+F2lFlO l1l1VF1(2)(2)应变能的数值与加载次序无关。应变能的数值与加载次序无关。V2V1V1V22112lFlF9- -1 基本概念基本概念17A AD DF F1 12 211211 1A AD DF F2 22 212221 1ij i 代表位置，代表位置，j 代表载荷代表载荷 同一弹性体的两种受力状态同一弹性体的两种受力状态11121 FW 22221 FW 9- -1 基本概念基本概念五、互等定理五、互等定理18121212 FF 功的互等定理功的互等定理若若F1=F21221 位移互等定理位移互等定理先加先加 F1，后加，后加 F2：A AD DF

8、F2 22 22211F1 1121 1先加先加 F2，后加，后加 F1：1212221112121 FFFW 2121112222121 FFFW A AD DF2 22 22221F1 1111 1考察考察F1,F2 对弹性体的做功对弹性体的做功9- -1 基本概念基本概念 功的互等定理功的互等定理：一个：一个力系的力在另一个力系引力系的力在另一个力系引起的相应的位移上所作之起的相应的位移上所作之功等于另一个力系的力在功等于另一个力系的力在这一个力系引起的相应的这一个力系引起的相应的位移上所作之功。位移上所作之功。 位移互等定理位移互等定理：若一若一个力与另一个力数值相等，个力与另一个力数

9、值相等，则一个力在另一个力作用则一个力在另一个力作用处引起的位移，数值上等处引起的位移，数值上等于另一个力在这一个力作于另一个力在这一个力作用处引起的位移。用处引起的位移。力是广义的，位移也是广义的。力是广义的，位移也是广义的。19关于功的互等定理的说明：关于功的互等定理的说明： 成立的成立的前提是对于前提是对于线弹性体线弹性体； 两组外力两组外力之间，功的互等定理也成立；之间，功的互等定理也成立；A AD DFMA AD DFA AD DFFM 关键在于搞清楚两个（组）广义外力在对方作用点关键在于搞清楚两个（组）广义外力在对方作用点处引起的广义位移。处引起的广义位移。9- -1 基本概念基本

10、概念209- -1 基本概念基本概念 习题集P92：10、11； P93：12、13P95：2、3、4、5219- -1 基本概念基本概念例例9-1-19-1-1 用能量法求用能量法求C点的挠度。梁的弯曲刚度为点的挠度。梁的弯曲刚度为EI。CFWV 21 由功能原理由功能原理 LxEIxMVd2)( 2 )20( ; 2)(lxxFxM 应用对称性，得应用对称性，得：EIlFxxFEIVl96d)2(21232202 EIFlC483 得得：Cl/2AFBl/2x解：解： AC段：段：9 9- -2 2 卡氏定理及其应用卡氏定理及其应用22线弹性梁线弹性梁受多个广义力受多个广义力F的作的作用，

11、求各广义力的用，求各广义力的相应位移相应位移i。方法一：方法一： 叠加法叠加法方法二：方法二： 能量法能量法A AB B1Fn2F1 1F2 2Fiin),(21nFFFWW ),(21nFFFVViiiFVFW WV 一、卡氏第二定理一、卡氏第二定理构件或结构的应变能对于某构件或结构的应变能对于某一个载荷的一阶偏导教，等于这一个载荷的一阶偏导教，等于这一载荷的作用点处、沿着这一载一载荷的作用点处、沿着这一载荷作用方向上的位移。荷作用方向上的位移。23卡氏第二定理的证明：卡氏第二定理的证明：多个多个F的作用下：的作用下：先加上先加上dFi ，再加上，再加上FiiiiiiiiiiidFWddFd

12、FFddFW 0121 2121),(21nFFFWW 若给若给Fi一个增量一个增量dFiiiiFVFW （略去高阶小量）（略去高阶小量）d dFiA AB B1Fn2F1 1F2 2Fiin),(21niiFFFiiFW 210iidFFWdW 9 9- -2 2 卡氏定理及其应用卡氏定理及其应用24Fi 为广义力，为广义力， i 为相应的位移。为相应的位移。一个力一个力一个力偶一个力偶一对力一对力一对力偶一对力偶一个一个线位移线位移一个一个角位移角位移相对线位移相对线位移相对角位移相对角位移9 9- -2 2 卡氏定理及其应用卡氏定理及其应用25 怎样应用卡氏定理确定任意点、沿任意怎样应用

13、卡氏定理确定任意点、沿任意方向的位移？方向的位移？ 附加力法附加力法：当应用卡氏定理确定没有外力作用的点之：当应用卡氏定理确定没有外力作用的点之位移（或所求的位移与加力方向不一致）时，可在所求位位移（或所求的位移与加力方向不一致）时，可在所求位移的点、沿着所求位移的方向假设一个力（广义力），写移的点、沿着所求位移的方向假设一个力（广义力），写出所有力（包括载荷和假设力）作用下的应变能的表达式，出所有力（包括载荷和假设力）作用下的应变能的表达式，并将其对假设力求偏导数，然后再令其中的假设力等于零，并将其对假设力求偏导数，然后再令其中的假设力等于零，便得到所要求的位移。便得到所要求的位移。 9 9

14、- -2 2 卡氏定理及其应用卡氏定理及其应用26二、卡氏第二定理的应用二、卡氏第二定理的应用拉压：拉压： liNNlNiiidxFxFEAxFdxEAxFFFV22 扭转：扭转： liPlPiiidxFxTGIxTdxGIxTFFV22 弯曲：弯曲： liliiidxFxMEIxMdxEIxMFFV22 9 9- -2 2 卡氏定理及其应用卡氏定理及其应用27组合变形：组合变形： llliiPiNNlllPNiiidxFxMEIxMdxFxTGIxTdxFxFEAxFdxEIxMdxGIxTdxEAxFFFV222222 9 9- -2 2 卡氏定理及其应用卡氏定理及其应用三、典型例题三、典

15、型例题289 9- -2 2 卡氏定理及其应用卡氏定理及其应用例题例题9 9- -2 2-1-1 用卡氏定理求图示悬臂梁用卡氏定理求图示悬臂梁A点的挠度与转角。点的挠度与转角。FAlx解：解： 求求A xFxMFxxM , lAdxFxMEIxMFV 根据卡氏第二定理根据卡氏第二定理 EIFldxxEIFxl330 求求AM(附加力偶M） 1,- MxMMFxxM29 1, MxMMFxxM lAdxMxMEIxMMV dxEIMFxl10 令令 M = 0，得，得EIFlA22 只有在计算弯矩的大小与求弯矩的偏导时需要只有在计算弯矩的大小与求弯矩的偏导时需要附加力，积分时可先令其为零再运算。

16、附加力，积分时可先令其为零再运算。9 9- -2 2 卡氏定理及其应用卡氏定理及其应用30例题例题9 9- -2 2- -2 2 用卡氏定理求用卡氏定理求A点挠度，点挠度，EI为弯曲刚度为弯曲刚度。ABC2FFllxAFBFll解：解： 令FFFFBA ,2 lxxFxMxFxMABAA 0，段：段： lxlxFxMlxFxFxMBCABA2 ，段：段：9 9- -2 2 卡氏定理及其应用卡氏定理及其应用31根据卡氏第二定理根据卡氏第二定理 lAAAdxFxMEIxMFV EIFldxxEIlxFxFdxxEIxFllBAlA637320 若结构上有几个外力的字符相同时，在利若结构上有几个外力

17、的字符相同时，在利用卡氏第二定理求其中某一力的作用点沿该力方向的位移用卡氏第二定理求其中某一力的作用点沿该力方向的位移时，应将该力与其它力区分开。时，应将该力与其它力区分开。9 9- -2 2 卡氏定理及其应用卡氏定理及其应用32等于等于A点挠度的两倍与点挠度的两倍与B点挠度之和。点挠度之和。讨论：讨论： 的几何意义的几何意义? ?VF 2ABABABVVVFFFFFFFVVFF ABC2FFllxAFBFll9 9- -2 2 卡氏定理及其应用卡氏定理及其应用33FV 的意义？的意义？FFABBAFV 代表代表ABAB两点的相对位移两点的相对位移若两个若两个F共线反向，共线反向， 为两载荷对

18、应的相对线位移为两载荷对应的相对线位移FV MV 的意义？的意义？A AB BMMBAMV 若两个若两个M反向，反向， 为两载荷对应的相对角位移为两载荷对应的相对角位移MV 9 9- -2 2 卡氏定理及其应用卡氏定理及其应用34由由A、B 两节点平衡两节点平衡例题例题9 9- -2 2- -3 3 已知已知EA，求，求A点水平位移及点水平位移及AB转角。转角。FAl12B3Cl （1）计算）计算A点水平位移点水平位移 由整体平衡由整体平衡ByFCyFCxF解：解：9 9- -2 2 卡氏定理及其应用卡氏定理及其应用FFFFCxcyBy 021321 FFFFFFNNN，iNiNiAxlFFE

19、AFFV lFFlEA2221 02321 NNNFFFFF， EAFl22135问题问题 若由卡氏定理计算若由卡氏定理计算 ，附加载荷怎么办？，附加载荷怎么办？AB FAl12B3Cl在在A、B 两点加附加力两点加附加力eMleMleMl9 9- -2 2 卡氏定理及其应用卡氏定理及其应用lMFlMFlMFeNeNeN121321 ，lMFlMFFlMFFeNeNeN 3212，0 eMieNiNieABlMFEAFMV llFllFEA22211 EAF221 36作业作业：P973； P986思考思考：P971； P985 ； P9879 9- -2 2 卡氏定理及其应用卡氏定理及其应用

20、9 9-3 -3 莫尔定理及其应用莫尔定理及其应用一、虚功原理（虚位移原理）一、虚功原理（虚位移原理）371 1、回顾刚体虚功原理、回顾刚体虚功原理 处于平衡状态的任意刚体，作用于其上的力系在任处于平衡状态的任意刚体，作用于其上的力系在任意虚位移或可能位移上所作之总虚功等于零。意虚位移或可能位移上所作之总虚功等于零。虚位移：虚位移： 满足约束条件的微小位移满足约束条件的微小位移 虚位移是虚构的，与刚体上的作用力无关虚位移是虚构的，与刚体上的作用力无关虚功原理同样适用于变形体虚功原理同样适用于变形体382、可变形固体、可变形固体 满足约束条件和变形连续条件的假想的任满足约束条件和变形连续条件的假

21、想的任意微小位移意微小位移。 外力作用下，物体产生变形的同时产生内力外力作用下，物体产生变形的同时产生内力虚位移虚位移 虚位移原理虚位移原理 外力和内力对于虚位移所作的总虚功外力和内力对于虚位移所作的总虚功等于零，即等于零，即We （外力虚功）（外力虚功） Wi（内力虚功）（内力虚功）0 09 9- -3 3 莫尔定理及其应用莫尔定理及其应用实际位移也是一种虚位移。实际位移也是一种虚位移。39变形体的外力虚功与内力虚功变形体的外力虚功与内力虚功：q(x)lA Axdx外力虚功：外力虚功：内力虚功：内力虚功：外力在虚位移上所作的功外力在虚位移上所作的功eW可能内力在微段虚变形上所作的功之和可能内

22、力在微段虚变形上所作的功之和iWdxxwqWle )(*iNSdWFdM dT dFddxd *dxd *dxd *dxd *注意：注意：1、外力在虚变形、外力在虚变形上不做功上不做功2、内力和外力虚功都没、内力和外力虚功都没有系数有系数1/2iidWW虚位移虚位移)(*xw9 9- -3 3 莫尔定理及其应用莫尔定理及其应用40可能内力：可能内力：满足平衡方程与静力边界条件的内力满足平衡方程与静力边界条件的内力 对于静定系统，可能内力即为真实内力对于静定系统，可能内力即为真实内力 静不定系统的可能内力不唯一，只有满足位移边界静不定系统的可能内力不唯一，只有满足位移边界及连续条件的可能内力才是

23、真实内力及连续条件的可能内力才是真实内力变形体的可能内力变形体的可能内力：q(x)A A9 9- -3 3 莫尔定理及其应用莫尔定理及其应用41关于虚功原理：关于虚功原理： 内力与外力平衡；内力与外力平衡；外力在虚位移作功外力在虚位移作功= =内力在虚变形作功内力在虚变形作功 虚位移是任一满足位移边界与变形连续条件的微小位虚位移是任一满足位移边界与变形连续条件的微小位移，移，与外力可以彼此独立；与外力可以彼此独立； 虚变形是与虚位移相对应的变形虚变形是与虚位移相对应的变形 适用于线弹与非弹性材料，各向同性与各向异性材料。适用于线弹与非弹性材料，各向同性与各向异性材料。9 9- -3 3 莫尔定

24、理及其应用莫尔定理及其应用42二、莫尔定理（单位载荷法）二、莫尔定理（单位载荷法）求任意点求任意点A的位移的位移F1F2AA 通过建立单位力系统，以真实的位移（欲求）作为单通过建立单位力系统，以真实的位移（欲求）作为单位力系统的位力系统的虚位移虚位移。应用虚位移原理，可以得到杆件在弹。应用虚位移原理，可以得到杆件在弹性变形内性变形内任意点沿任意方向任意点沿任意方向的位移。的位移。9 9- -3 3 莫尔定理及其应用莫尔定理及其应用43 取同样的梁，只在取同样的梁，只在A点点沿所求位移方向作用沿所求位移方向作用单单位力位力 考虑考虑(b)梁，将单位力看梁，将单位力看作作真实载荷真实载荷，将，将(

25、a)中位中位移作为移作为虚位移虚位移，则：，则：建立单位力系统 xMFlAd（a）F1F2AA A（b）1F11vFdM真实力虚位移 真实内力 虚变形单位力 真实位移单位力内力 真实变形这里Fs略去，FN和T不存在9 9- -3 3 莫尔定理及其应用莫尔定理及其应用44 xEIxMdd xEIxMxMlAd（a）F1F2AA A（b）1F在线弹性范围内 xMFlAd单位力 真实位移单位力内力 真实变形1F式中所以莫尔积分莫尔积分9 9- -3 3 莫尔定理及其应用莫尔定理及其应用45pNNGIdxTTEIdxMMEAdxFF一般地，如果杆件内力有多个，则pNNGIlTTEIdxMMEAlFF轴

26、力和扭矩一般是常量，则单位载荷法单位载荷法 莫尔积分莫尔积分TMFN,原有载荷作用下杆件内力TMFN,单位载荷作用下杆件内力三、莫尔定理的应用三、莫尔定理的应用9 9- -3 3 莫尔定理及其应用莫尔定理及其应用46ipiiiiiiNiNiGIdxTTEIdxMMEAdxFF)()()(如果有多个杆件，则或ipiiiiiiiiNiNiGIlTTEIdxMMEAlFF)()()(使用莫尔定理的注意事项使用莫尔定理的注意事项 所加广义单位力必须与所求广义位移对应；所加广义单位力必须与所求广义位移对应； 莫尔积分必须遍及整个结构。莫尔积分必须遍及整个结构。9 9- -3 3 莫尔定理及其应用莫尔定理

27、及其应用47四、典型例题四、典型例题例题例题9 9- -3 3- -1 1 由三杆组成的刚架，由三杆组成的刚架，B、C为刚性节点，三杆的为刚性节点，三杆的抗弯刚度都是抗弯刚度都是EI，试用单位载荷法求，试用单位载荷法求A1、A2两点的相对位移。两点的相对位移。A1A2BCllFF9 9- -3 3 莫尔定理及其应用莫尔定理及其应用48建立单位力系统，在建立单位力系统，在A1，A2 处加一对水平单位力处加一对水平单位力 FFxxxA1A2BCll11A1A2BC解：解：真实载荷与单位载真实载荷与单位载荷下杆件的弯距必荷下杆件的弯距必须统一标准。须统一标准。9 9- -3 3 莫尔定理及其应用莫尔

28、定理及其应用 xxMFxxMBA ：1 lxMFlxMBC ： xxMFxxMCA ：249单位载荷法单位载荷法9 9- -3 3 莫尔定理及其应用莫尔定理及其应用 xxMFxxMBA ：1 lxMFlxMBC ： xxMFxxMCA ：2 ldxFlxdxxFEIll0021 靠近靠近EIFl353 ldxxMxMEI150根据对称性，莫尔积分：根据对称性，莫尔积分：例题例题9 9- -3 3- -2 2 弯曲刚度弯曲刚度EI，求，求C点挠度和点挠度和A点转角。点转角。ADBCqa2a2a （1）求）求 C ，建立单位力系统，建立单位力系统ADBC11x2x8qa2qa1412解：解：AB段

29、段:BC段段: xxMqaxxM418111 xxMqxxM2121121 xdxqxxdxqaxEIaa2121418122200 EIqa384114 C 9 9- -3 3 莫尔定理及其应用莫尔定理及其应用51根据对称性，莫尔积分：根据对称性，莫尔积分：ADBCqa2a2a （2）求）求 A ，建立单位力系统，建立单位力系统ADBC1x2x8qa2qaAB段段:BC段段:11a1 18111 axxMqaxxM 021121 xMqxxMdxaxqaxEIa 18110EIqa483 A 9 9- -3 3 莫尔定理及其应用莫尔定理及其应用9 9-4 -4 图乘法及其应用图乘法及其应用一

30、、图乘法一、图乘法52 lxEIxMxMd)()( xEAxFxFld)()(NN xGIxTxTlpd)()( xxMxMl)d()(53满足三个条件1、 、 中至少有一个是x的线性函数。2、要积分的杆段是直线。3、所要积分的杆段的EI是常数。)(xM)(xM可以用图乘法计算上述积分xxMxMl)d()(9 9- -4 4 图乘法及其应用图乘法及其应用54BxAxM )(xxMxBxxMAxxMBxAxxMxMllll)d()d()d()(d )()(000 xxMl 0)d(其中M图的面积ClxxxxM0)d(xdxM(x)xx)(xMlxcC形心9 9- -4 4 图乘法及其应用图乘法及

31、其应用55)()d()d(d )()(00CClllxBAxBAxxMxBxxMAxxMxMCxBA BxAxM)(M(x)xlx)(xMxcC形心CMCM9 9- -4 4 图乘法及其应用图乘法及其应用56Cd )()(d )()(1MxxMxMxxMxMEIll EIMC M(x)xlx)(xMxcCCM9 9- -4 4 图乘法及其应用图乘法及其应用57Clh顶点二次抛物线85l83llh 32lh顶点c二次抛物线3hl 9 9- -4 4 图乘法及其应用图乘法及其应用58折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，有时有时M(x)

32、图为连续光滑曲线，而图为连续光滑曲线，而为折线，则应以为折线，则应以M(x)然后求和。然后求和。EIMC EIMiiC 9 9- -4 4 图乘法及其应用图乘法及其应用59例题例题9 9- -4 4- -1 1 图示刚架，两杆的图示刚架，两杆的 EI 相同，试求相同，试求C点的水平位点的水平位移和移和C截面转角（只考虑弯矩）。截面转角（只考虑弯矩）。9 9- -4 4 图乘法及其应用图乘法及其应用CFabAB60在在 C点加一水平单位力，分别做出在原有载荷和点加一水平单位力，分别做出在原有载荷和单位力作用下的弯矩图。单位力作用下的弯矩图。1abBACFabABCFaFaaa)3(1)322(1

33、322FabFaEIaFaaFabEIC 解：解： （1）求）求 C9 9- -4 4 图乘法及其应用图乘法及其应用61 在在 C截面加一单位力偶，分别做出在原有载荷和单截面加一单位力偶，分别做出在原有载荷和单位力作用下的弯矩图。位力作用下的弯矩图。FabABCFaFa)2(1)121(122FaFabEIFaFabEIC 1abBAC11（2）求）求 C9 9- -4 4 图乘法及其应用图乘法及其应用作业作业：P9910； P10116思考思考：P9911； P10012 ； P10015629 9-5 -5 用能量法求解超静定问题用能量法求解超静定问题63第一类：仅在结构外部存在多余约束，

34、即支反力是超 静定的，称为外力超静定外力超静定系统。第二类：仅在结构内部存在多余约束，即内力是超静 定的，称为内力超静定内力超静定系统。第三类：在结构外部和内部均存在多余约束，即支反 力和内力是超静定的，称为混合超静定混合超静定系统。1、超超静静定定问问题题分分类类一、超静定问题一、超静定问题64第一类第二类第三类9 9-5 -5 用能量法求解超静定问题用能量法求解超静定问题652、超静定次数的判断方法、超静定次数的判断方法超静定次数超静定次数= =未知量个数未知量个数- -独立平衡方程个数独立平衡方程个数例题例题9 9- -5 5- -1 1 判断结构的超静定次数。判断结构的超静定次数。9

35、9-5 -5 用能量法求解超静定问题用能量法求解超静定问题1次次1次次3次次(a)(b)(c)去除约束法去除约束法(d)1次次(e)2次次66(f)jrmn2 超静定次数：超静定次数：杆件数杆件数支座链支座链杆数杆数节点数节点数4次次(g)(h)3次次9次次(i)4次次9 9-5 -5 用能量法求解超静定问题用能量法求解超静定问题67 解除静不定结构的某些约束后得到静定结构，解除静不定结构的某些约束后得到静定结构，称为原静不定结构的称为原静不定结构的基本静定系基本静定系（简称（简称静定基静定基）。）。 静定基加上外载荷以及多余约束力的系统称为静定基加上外载荷以及多余约束力的系统称为静不定结构的

36、静不定结构的相当系统相当系统。 2、基本静定系（静定基），相当系统、基本静定系（静定基），相当系统9 9-5 -5 用能量法求解超静定问题用能量法求解超静定问题68二、超静定问题的求解二、超静定问题的求解1、用卡氏第二定理求解、用卡氏第二定理求解例题例题9 9- -5 5- -2 2 刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求支反力。CABql l(a)9 9-5 -5 用能量法求解超静定问题用能量法求解超静定问题69解：解： 一次超静定问题。 以铰链C的铅垂支反力X 为多余未知力，基本静定系如图（b ）所示。FCxFAxFAy l(b)XCABql变形协调条件：

37、0 CyqlXFAx21 由 ，得0 BM9 9-5 -5 用能量法求解超静定问题用能量法求解超静定问题70 xXxM )(xXxM )()0(lx ，2221)21(21)(xqxlqXxqxFxMAx xXxM )()0(lx 02432d)2121(1d143032202 EIlqEIlXxxqxlqxXEIxXxEIll 由 ，得0 XVCy l(b)xFCxxXFAxFAyCABqlBC杆：杆：AB杆：杆：9 9-5 -5 用能量法求解超静定问题用能量法求解超静定问题71解得 （）和图示方向相反。qlX161 qlFAy161 （）qlFAx167 （）qlFCx169 （）由平衡条

38、件得 l(b)FCxXFAxFAyCABql9 9-5 -5 用能量法求解超静定问题用能量法求解超静定问题722、用力法求解、用力法求解例题例题9 9- -5 5- -3 3 如图所示，梁如图所示，梁EI为常数。求为常数。求B支座的反力。支座的反力。解：解： 一次超静定问题。 以可动铰支座为多余约束，基本静定系如图（b ）所示。变形协调条件：01111 XFC2lFAB2lX1(b)C2lFAB2l(a)用莫尔积分计算1：9 9-5 -5 用能量法求解超静定问题用能量法求解超静定问题73C2lFAB2l(c)xCABX1(d)xCAB(e)1x)(485 d)2(1321 EIFlxxlxFE

39、IllF得：得：，由由 lEIdxxMxM)()(_xMlxllxFMlxMFF 222009 9-5 -5 用能量法求解超静定问题用能量法求解超静定问题74)(3d1310111 EIlXxxxXEIlXC2lFAB2l(c)xCABX1(d)xCAB(e)1xxMxXMX 11得：得：，由由 lEIdxxMxM)()(_04853331 EIFlEIlXFX1651 9 9-5 -5 用能量法求解超静定问题用能量法求解超静定问题75 力法正则方程力法正则方程上例中以未知力为未知量的变形协调方程可改写成下式01111 FX X1多余未知量；11在基本静定系上， X1取单位值时引起的在X1作用

40、点沿 X1方向的位移；1F在基本静定系上， 由原载荷引起的在X1作用点沿 X1方向的位移。变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程力法正则方程。9 9-5 -5 用能量法求解超静定问题用能量法求解超静定问题76对于有无数多余约束反力的静不定系统的正则方程如下：0 0022112222212111212111 nFnnnnnFnnFnnXXXXXXXXX 由位移互等定理知：jiij ij：影响系数，表示在基本静定系上由Xj取单位值时引起的 在Xi作用点沿Xi方向的位移； iF：自由项，表示在基本静定系上， 由原载荷引起的在Xi 作用点沿Xi 方向的位移。9 9-5 -5 用能量法求解超静定问题用能量法求解超静定问题77例题例题9 9- -5 5- -4 4 试求图