高中数学 教学教研(名师研讨 教学设计 数学解题 反思 总结) 蜜蜂周报 第16期

1、蜜蜂周报第 16 期 1 / 47蜜 蜂 周 报第 16 期（2020 年 6 月 29 日-7 月 5 日）蜜蜂周报第 16 期 2 / 47关于数学解题学习的几个关键词l 联系我所解决的每一个问题都将成为一个范例,用来于解决其他问题。笛卡尔l 反思没有任何一道题可以解决得十全十美，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。波利亚l 分类恰当地对题目、对解法进行分类，能让你的解题经验更加有序，更有结构化地在大脑里存储，便于你解题时进行检索，确定解题思路。蜜蜂周报第 16 期 5 / 472020 年第 1

2、6 期目录第 1 题 6 月 29 日 一个建模/逻辑问题.1第 2 题 6 月 29 日 大球套小球，四面体在里头.2第 3 题 6 月 29 日 正方体空间轨迹问题.5第 4 题 6 月 29 日 三棱锥中的异面直线成角.6第 5 题 6 月 29 日 又是单位向量在捣鬼.8第 6 题 6 月 30 日 精彩纷呈圆上两个向量数量积最值.10第 7 题 6 月 30 日 奇怪的数列问题 .19第 8 题 6 月 30 日 正方体的截面面积问题.20第 9 题 7 月 1 日 除了柯西之外的方法.23第 10 题 7 月 2 日 双曲线离心率问题.23第 11 题 7 月 2 日 又见辅助角公

3、式的高级应用.24第 12 题 7 月 2 日 抛物线外接圆问题.26第 13 题 7 月 3 日 解题不要废招由一道简单的初中题想到的.28第 14 题 7 月 3 日 电视剧里的数学题.34第 15 题 7 月 3 日 两个函数一台戏正余弦构成的最值.38第 16 题 7 月 3 日 导数出现在两个函数图像的交点.40蜜蜂周报1-15 合订本下载.42蜜蜂周报第 16 期 1 / 47第 1 题 6 月 29 日 一个建模/逻辑问题一、题目二、解法分析先把表格里大于 15 分钟的情况删除，然后看怎样的规划是最省的。所谓“最省”应该这样考虑：如果能建一个站就能实现要求（照顾 6 个区）那最好

4、；如果 1个不够就 2 个，2 个不够就 3 个。按这个思路开始考虑，可以发现：在 2 区，4 区这两个地方各建一个消防站，就可以满足题目要求。具体来说，2 区建一个可以照顾 1,2,6 区，4 区建一个可以照顾 3,4,5 区。建一个站是不够的。（题目里那句“假定各区的消防站要建的话。，我觉得没什么解题上的意义”）蜜蜂周报 第 16 期 1 / 47蜜蜂周报第 16 期 2 / 47第 2 题 6 月 29 日 大球套小球，四面体在里头一、题目二、解析这个解法用到一个四面体的体积公式：蜜蜂周报 第 16 期 2 / 47蜜蜂周报第 16 期 3 / 47因为 AB 与 CD 是相对独立的，所

5、以他们的可变范围是比较大的，我们可以让他们随意运动，都可以独立取到长度的最大值，角度也可以取到最大，即二者垂直；并且让他们两个之间的距离取到小球的直径。计算的时候，写成AB=23 d 1 d- 2 + - 2，这样比较容易看出 AB 是随着 d 的增大而增大的；CD 同理；下面是洪一平老师的解法：蜜蜂周报 第 16 期 3 / 47蜜蜂周报第 16 期 4 / 47可以看出洪老师的解法特点是：关注每一个量，而且每个量的最值探讨中都非常注意取等条件的明确，步步为营，非常严谨！最后采取补形的方法，让这个三棱锥不再是“悬空”状态便于明确角度，不过那个图我看起来不太习惯，我还是习惯补形为长方体，如下：

6、在这个长方体中，我们做出异面直线成的角时发现它是在一个等腰三角形中，还是顶角，所以出题人让求的是半角的正弦，这样做出一个高就可以了。（出题人的良心不错）蜜蜂周报 第 16 期 4 / 47蜜蜂周报第 16 期 5 / 47第 3 题 6 月 29 日 正方体空间轨迹问题一、题目二、解法这个题在思考的时候，考虑几个关键位置：（1）Q 固定在 A 点，P 在 D1C1 上运动，这时 M形成的是一条线段；然后还是固定 A，让 P 在 EF 上运动，M 形成的还是线段；（2）让 Q 固定在 D 点，让 P 分别在 D1C1,EF 上运动。把这几个特殊位置的性态搞清楚了，然后让 Q 从 A 开始运动，直

7、到 D，这个运动过程，M形成就是一个长方体，如下。下面这个图可能看的更清楚：蜜蜂周报 第 16 期 5 / 47蜜蜂周报第 16 期 6 / 47我一开始做这个题就是考虑的几何方法，这个对空间想象力要求比较高，洪一平老师用的空间坐标系，很简洁，也毋庸置疑地得到了几何体的性态特点。这让我想到，可能命题人的本意就是让学生用空间坐标系来解的！题外话：发题者的图片显示这个题是浙江的 2019 学考题，但是我搜了 2019 年 1 月，4 月，6 月，好像是这三次学考试卷都没找到这个题。这个题还是有一定难度的。第 4 题 6 月 29 日 三棱锥中的异面直线成角一、题目蜜蜂周报 第 16 期 6 / 4

8、7蜜蜂周报第 16 期 7 / 47二、解法上面这个算法，手算非常困难，不可取。这个题，最大值 90 度相对容易，不好做的是最小值 60 度。有人还提出了“三余弦”的做法，三余弦公式肯定是超纲的，也不是理想的做法。一开始我们可能把这个题想的过难了，是因为忽视了一个不太常用的定理最小值定理。具体解释可以按洪老师的说明：其实洪老师的解法就是在推导最小值定理。简单说就是：所求角直线 AP 与底面所成线面角直线 AB 与底面所成线面角=60。蜜蜂周报 第 16 期 7 / 47蜜蜂周报第 16 期 8 / 47第 5 题 6 月 29 日 又是单位向量在捣鬼一、题目二、解法蜜蜂周报 第 16 期 8

9、/ 47蜜蜂周报第 16 期 9 / 47两个解法的联系蜜蜂周报 第 16 期 9 / 47蜜蜂周报第 16 期 10 / 47第 6 题 6 月 30 日 精彩纷呈圆上两个向量数量积最值这个题在好几个群都出现了，参与解题的老师很多，解法也不少，有些解法可能大同小异：蜜蜂周报 第 16 期 10 / 47蜜蜂周报第 16 期 11 / 47蜜蜂周报 第 16 期 11 / 47蜜蜂周报第 16 期 12 / 47蜜蜂周报 第 16 期 12 / 47蜜蜂周报第 16 期 13 / 47蜜蜂周报 第 16 期 13 / 47蜜蜂周报第 16 期 14 / 47蜜蜂周报 第 16 期 14 / 4

10、7蜜蜂周报第 16 期 15 / 47蜜蜂周报 第 16 期 15 / 47蜜蜂周报第 16 期 16 / 47蜜蜂周报 第 16 期 16 / 47蜜蜂周报第 16 期 17 / 47蜜蜂周报 第 16 期 17 / 47蜜蜂周报第 16 期 18 / 47蜜蜂周报 第 16 期 18 / 47蜜蜂周报第 16 期 19 / 47第 7 题 6 月 30 日 奇怪的数列问题一、题目二、解法首先理解题意，由已知得1x+ = 或n 1xnxx ，也就是说在确定第 n+1 项的时候可以有两+1= nn2种递推关系可以选择。现在固定的限制条件是x0 =x11 ，反过来求x 最大值。可以初步判断的是，

11、在这些次运算中，0“取到数”这个动作肯定出现了至少一次。具体解法看下面：蜜蜂周报 第 16 期 19 / 47蜜蜂周报第 16 期 20 / 47第 8 题 6 月 30 日 正方体的截面面积问题一、题目二、直接解法做出完整截面，用减法求出下面几何体的体积蜜蜂周报 第 16 期 20 / 47蜜蜂周报第 16 期 21 / 47（图中有笔误最后结果是 47 比 25）这个题本身直接法也不难算。有意思的是，我看到有老师说这个题可以估算，比值应该大于二分之一。因为选项中只有一个选项大于二分之一，所以我觉得估算这个方法也是很有价值的。本身对数据的估算其实也是高考数学的一个能力要求。但这个老师画的图，

12、我看不懂。我就放到群里大家讨论。讨论后也没有得到一个很好的解释。蜜蜂周报 第 16 期 21 / 47蜜蜂周报第 16 期 22 / 47后来我想出个一个办法，过 B 可以做一个与红色平面平行的蓝色截面，红蓝是关于正方体中心对称的，可以看出来正方体的中心在红色截面上方，所以我觉得这个蓝色截面和红色截面正好把中心夹在中间。因为是对称的，所以蓝色也能截出和红色下面 25 份一样的几何体，所以上面的大，但是上面剩下的部分（两个截面之间夹的部分）是一个扁的东西，没有 25 大（目测，缺乏强根据），所以大比小的比值大于二分之一。蜜蜂周报 第 16 期 22 / 47蜜蜂周报第 16 期 23 / 47第

13、 9 题 7 月 1 日 除了柯西之外的方法一、题目二、解法在一个群里看到的。用柯西的话本身不难，但他要柯西之外的方法。我觉得作为一个老师，还是要有所追求，追求“最简”，追求“其他”，追求“价值”。我想了想，实在是想不出别的方法，比较笨的方法，就是万能设 k 大法，要求两次判别式：第 10 题 7 月 2 日 双曲线离心率问题一、题目二、解法蜜蜂周报 第 16 期 23 / 47蜜蜂周报第 16 期 24 / 47用余弦是比较简单的我用的正弦，愚蠢了。最后的三次方程手工不好解。第 11 题 7 月 2 日 又见辅助角公式的高级应用一、题目蜜蜂周报 第 16 期 24 / 47蜜蜂周报第 16

14、期 25 / 47二、解法蜜蜂周报 第 16 期 25 / 47蜜蜂周报第 16 期 26 / 47在蜜蜂周报的第二期，第五期，都有辅助角高级应用的题目。这个题用辅助角公式的高级应用，得到一种放缩，然后求导得到最值。这也是一种套路，放缩一次，不能直接得到最值，而是得到一个函数，问题转化为求这个函数的最值，最后一定要检验最值能否取到。第 12 题 7 月 2 日 抛物线外接圆问题一、问题二、解法分析这个题，我还是很喜欢的，毕竟，它包括的元素很少，没有借助俗套的直线什么的。而且方法也很多。蜜蜂周报 第 16 期 26 / 47蜜蜂周报第 16 期 27 / 47毕竟起来，极坐标更简单一些：蜜蜂周报

15、 第 16 期 27 / 47蜜蜂周报第 16 期 28 / 47第 13 题 7 月 3 日 解题不要废招由一道简单的初中题想到的因为我一直教普通高中，所以我的平面几何不是很好，所以一般见到平几的题，我都是略过，不要拿自己的业余挑战别人的专业嘛。7 月 2 日晚上，有人发了下面这个题，开始我没在意。后来有老师发了下面的解法：蜜蜂周报 第 16 期 28 / 47蜜蜂周报第 16 期 29 / 47然后我仔细看了看这个题，发现它并不难，就是普通的初中平几，不是什么竞赛难度的，就思考了一下。因为最近我在辅导儿子（初一数学），里面平移部分会有这样的题，第 9 题，它的结构特点是两个三角形的公共部分

16、，我对这个图形结构还是比较敏感的，就有了下面的思路：蜜蜂周报 第 16 期 29 / 47蜜蜂周报第 16 期 30 / 47写完发到群里，当时已经比较晚了就睡觉了。3 日早上起来，还在床上的时候，醒过来不知道怎么的，脑子里又出现这个题，我恍然发现咦，现在 ab 有了，a 平方b 平方也有了，这样的话，（a+b）的平方=a 平方b平方+2ab 就可以求了，于是 a+b 可求，根本不用单独去求 a 和 b 了，这不就是整体思想吗？就是说，上面的解法还是存在“废招”的。你看，即使是一个简单题，它的解答也有改进的空间。废招，第一次见到这个词，大概是在罗增儒教授的文章里（我的解题研究受罗教授影响太大了

17、）。所谓废招，就是多余的步骤，不够简洁的步骤。上面这个题的解法算是比较典型了。下面再举几个经典的废招例子，来自各种文献。下面这个例子出现在罗增儒教授的这本书里，算是一个经典案例了。蜜蜂周报 第 16 期 30 / 47蜜蜂周报第 16 期 31 / 47蜜蜂周报 第 16 期 31 / 47蜜蜂周报第 16 期 32 / 47蜜蜂周报 第 16 期 32 / 47蜜蜂周报第 16 期 33 / 47蜜蜂周报 第 16 期 33 / 47蜜蜂周报第 16 期 34 / 47第 14 题 7 月 3 日 电视剧里的数学题题目来自公众号“数学望远镜”。这个电视剧最近挺火，没想到里面竟然有一道完整的高

18、中立体几何题目。我没刷剧所以也不清楚是在一个什么桥段出现的。蜜蜂周报 第 16 期 34 / 47蜜蜂周报第 16 期 35 / 47单墫老师的解法，不适合高中生。那么高中解法是什么呢？我把这个题放到群里，大家进行了讨论-【解题专家】广东揭阳杨辉 2020/7/2 23:27:43这种题目把顶点平移一下就好【解题专家】广东揭阳杨辉 2020/7/2 23:29:43把 O 移动到 BC 的四等分点把 O 移动到 BC 的四等分点蜜蜂周报 第 16 期 35 / 47蜜蜂周报第 16 期 36 / 47【大神】内蒙呼市张平 2020/7/2 23:54:14锥体体积的求解常用手段比例转化、平行线

19、转化【大神】内蒙呼市张平 2020/7/2 23:54:53最终转化的目的就是让某三个点落在几何体的一个侧面上就像上面两位老师说的，转化是解决这种不太好求的三棱锥体积问题的常见策略。所谓不太好求，体现在两处：底面积不太好求，高不太好求（废话了，体积就是和这两个量有关呵呵），但对这两个点的认识确实是我们思考问题的出发点！关于这个问题，我找到一点文献，如下：转化一：转化顶点法这里的转化顶点法又可以分为两种，第一是不改变锥体的顶点，通过转化顶点可以将一个不好求体积的锥体转化为规则的可求体积的锥体，例如三棱锥 P-ABC 可转化为 A-PBC,第二，转化顶点法也可以改变本来锥体的顶点，比如让求三棱锥 P-ABC 的体积，但是高并不好求，即便是转化顶点也不好求，那么我们可以把顶点 P 放到一个与底面平行的平面上，在这个平面上的任意一点到底面的距离都是高而且每条都相等，这样在从中选取一个容易求高的点即可，此时三棱锥 P-ABC 的体积可转化为 Q-ABC，例如下面的题目：在正方体 ABCD-ABCD中，点 F 和点 E 分别是 CD 和 BB的中点，求三棱锥 E-ADF的体积，在本题目中即可使使用转化顶点法也可以使用转化底面法，如果转化顶点