高中数学 教学教研(名师研讨 教学设计 数学解题 反思 总结) 蜜蜂周报 第10期

1、蜜蜂周报第 10 期 1 / 51蜜 蜂 周 报第 10 期（2020 年 5 月 18 日-5 月 24 日）蜜蜂周报第 10 期 2 / 51关于数学解题学习的几个关键词l 联系我所解决的每一个问题都将成为一个范例,用来于解决其他问题。笛卡尔l 反思没有任何一道题可以解决得十全十美，总剩下些工作要做，经过充分的探讨总结，总会有点滴的发现，总能改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。波利亚l 分类恰当地对题目、对解法进行分类，能让你的解题经验更加有序，更有结构化地在大脑里记忆，便于你解题时进行检索，确定解题方法。沃兹基硕德蜜蜂周报第 10 期 5 / 51202

2、0 年第 10 期目录1.示意图画的不对就做不出来？ .12.五个条件各有用途以阿基米德折弦定理为背景的一道题.53.三个就要比一个难一点指数不等式的整数解问题.84.取点的问题2018 高考二卷文科 21 题.115.三次函数切线平行的两点有何关系 .176.临界状态命题柯西不等式取等条件 .197.正四面体、球、圆都齐了 .198.不要随便放缩条件有点特殊的解三角形.209.含参的不等式组问题.2210.转化有点特别的椭圆定值问题 .2311.四边形是由三角形构成的 .2312.这不是高中的题等边三角形折叠问题.2613.你可以叫它翅膀模型三棱锥外接球.2714.二面角型的外接球问题 .3

3、115.一个不太一样的抽象函数导数问题 .3416.单位向量有什么特殊？对，它就是特殊！ .3717.三角化简求值及无字证明 .4118.姑且把这种解法叫“类穿根法”.44蜜蜂周报1-9 合订本下载.46附录.46蜜蜂周报第 10 期 1 / 511.示意图画的不对就做不出来？这个题，我一开始是这样画示意图的，搞半天没出来。蜜蜂周报 第 10 期 1 / 51蜜蜂周报第 10 期 2 / 51后来看到其他老师的解法，哦，他们画的图竟然和我的不一样！蜜蜂周报 第 10 期 2 / 51蜜蜂周报第 10 期 3 / 51最简单的方法可能是下面这种：蜜蜂周报 第 10 期 3 / 51蜜蜂周报第 1

4、0 期 4 / 51坐标法也可以。一个老师对确定 E 点位置的解释。但是我没有明白的是，对解题来说，画示意图只是开始解题的初始步骤，是在初步理解问题，我们是不可能画很多功夫去判断示意图应该怎么画的，那已经进入到解题的步骤中了，况且这个题去解释 E 的位置也不是那么显然的？那怎么办呢？只好靠运气了，我那种画法，解不出来，是不是就换一种画法。刘彦永老师指出此题与下面的公式有关。这个公式可以由斯特瓦尔特定理推导出来。蜜蜂周报 第 10 期 4 / 51蜜蜂周报第 10 期 5 / 512.五个条件各有用途以阿基米德折弦定理为背景的一道题这个题条件很多，很奇怪，一看就来者不善，其中那个条件：AB+BE

5、=CE，让我一下就想到前一阵遇到的那个平几味道很浓的题（在第六期，第七期都连续收录），文章名字叫一个平几味道很浓的解三角形问题，这个题：蜜蜂周报 第 10 期 5 / 51蜜蜂周报第 10 期 6 / 51但是这两个问题，只是那一处条件比较像，其他地方好像都用不上。这怎么和圆发生联系呢？最后，有老师指出，这个题的背景是“阿基米德折弦定理”，这是一个我不知道的定理。这样就明白了，那几个看似很奇怪的条件，都是干什么用的，都是为了保证满足这个定理的适用条件。后来还是洪老师给出了完整解答。前半部分相当于证明了这个定理的逆定理。蜜蜂周报 第 10 期 6 / 51蜜蜂周报第 10 期 7 / 51刘登成

6、老师给出了另一个解法 。对四点共圆方法不一样。适用的方法就和第七期那个平几味道很浓的题的解法有关系了，都是延长 CB，做出一个等腰三角形来，只不过这次是为了证明共圆。我得承认，这个题用到了很多平面几何的知识、思维方式，而我是不擅长平几的，所以这样的题做起来就吃力，甚至可以说是“自讨苦吃”。我现在做题，基本上过滤的比较少，除非我看不懂条件的，都会思考一两下。不过好在身边有一些比较厉害的老师能解答出来，在这个过程中自己还是能学到一些东西的。蜜蜂周报 第 10 期 7 / 51蜜蜂周报第 10 期 8 / 513.三个就要比一个难一点指数不等式的整数解问题本题的标答如下。（图中减号应为等号）这个答案

7、，我研究半天，又画图的，也搞不明白那个 h(-6),h(-5)是怎么保证 3 个整数解的。下面的解法由刘登成老师提供：蜜蜂周报 第 10 期 8 / 51蜜蜂周报第 10 期 9 / 51后来看了刘登成老师的解答才明白。我忽略了一个至关重要的位置，就是切线。所以才有-5，-6 那个不等式组。那个切点是个非常重要的位置，一下就确定了三个整数解是-3，-4，-5.类似题（也可以说是本题的源头）2015 年 1 卷理科 12 题蜜蜂周报 第 10 期 9 / 51蜜蜂周报第 10 期 10 / 51蜜蜂周报 第 10 期 10 / 51蜜蜂周报第 10 期 11 / 514.取点的问题2018 高考

8、二卷文科 21 题这个题刚一看到的时候，我并不知道是 2018 年高考题。这几年也很少做题主要。后来搜索文献才知道是高考真题。是那年的二卷文科。但从难度上看，我觉得不亚于那些用指对数编制的理科试题，因为它也用到了“取点”这个技术。首先，叶超杰老师给出了他的解答，并且写了一个文笔很赞的对取点进行阐述的文章。蜜蜂周报 第 10 期 11 / 51蜜蜂周报第 10 期 12 / 51蜜蜂周报 第 10 期 12 / 51蜜蜂周报第 10 期 13 / 51蜜蜂周报 第 10 期 13 / 51蜜蜂周报第 10 期 14 / 51蜜蜂周报 第 10 期 14 / 51蜜蜂周报第 10 期 15 / 5

9、1接着，苗勇老师给出了一个很不一样的解法，看样子很多人也是第一次看到。蜜蜂周报 第 10 期 15 / 51蜜蜂周报第 10 期 16 / 51这个方法的思路仅限于三次函数，是把函数式进行了拆分，构造了两个不等式，而这两个不等式方向相同，不等式组是有解的，一切看起来都很完美。证明了点的存在性。当然也可以确定。其他解法如下：蜜蜂周报 第 10 期 16 / 51蜜蜂周报第 10 期 17 / 51相关文献：崔荣军老师对这个题的视频讲解导数之：找点091c71ff20ab7a01e754e590b005&chksm=fdca7cf6cabdf5e0d83f82f7177502a9f621d

10、48524e0f54faadd3e9eba517468757894c48cdf&mpshare=1&scene=23&srcid=0519f4O85CXDzKX2dbm5xClB&sharer_sharetime=1589845567569&sharer_shareid=6ff02c21ce968fcb00b16b9b779e0887#rd5.三次函数切线平行的两点有何关系题目和洪老师的解答：蜜蜂周报 第 10 期 17 / 51蜜蜂周报第 10 期 18 / 51卢军老师的解答：这个题的解答思路倒也很自然，结构都在暗示问题的解决和导数那个式子有关系。我

11、觉得这个题后面还有一些东西应该，比如，它的条件很明显是表示两个切线平行的点，那么它们是否有更一般的关系式？那个不等式，(x - x )2 af '(x ) f '(x ) 1 2= < ，为什么是1 22这个样子的？编题的人怎么想到编这个不等式的？这个不等式应该有什么意义（比如几何意义 。蜜蜂周报 第 10 期 18 / 51蜜蜂周报第 10 期 19 / 516.临界状态命题柯西不等式取等条件嗯，这个题明显就是运用柯西不等式取等条件命制的了。7.正四面体、球、圆都齐了蜜蜂周报 第 10 期 19 / 51蜜蜂周报第 10 期 20 / 518.不要随便放缩条件有点特殊的

12、解三角形这个题我做的时候，一开始就几乎是下意识地把第一个条件用基本不等式放错，得到这样两个条件：这样两个条件放在一起的时候，我根据以前的解题经验，判断这个题是根据“临界状态”命制的题目，应该是构造了某种不等式或者方程，在临界未知取得等号，就求出了 C 的值，结果，顺着这个思路往下，卡住了。以下解法均有卢军老师提供：蜜蜂周报 第 10 期 20 / 51蜜蜂周报第 10 期 21 / 51应该说上面两个解法都比较难想到吧。我也有同感，本题的条件似乎不够，所以卢老师的解法里增加了一些条件，比如设边，设角。下面的解法由叶超杰老师提供，简洁，漂亮！条件完美地结合。蜜蜂周报 第 10 期 21 / 51

13、蜜蜂周报第 10 期 22 / 519.含参的不等式组问题蜜蜂周报 第 10 期 22 / 51蜜蜂周报第 10 期 23 / 5110.转化有点特别的椭圆定值问题我收录的圆锥曲线问题比较少，这个题方法有点特别就收录了。11.四边形是由三角形构成的标题很奇怪，但是，是事实。解三角形的问题中，有一类是发生在四边形中的。蜜蜂周报 第 10 期 23 / 51蜜蜂周报第 10 期 24 / 51蜜蜂周报 第 10 期 24 / 51蜜蜂周报第 10 期 25 / 51下面的方法来自刘登成老师。我觉得算是通性通法。体现了解三角形问题的应该有的思维模式，就是“在三角形中利用正余弦定理”，这个看似废话，但

14、本题就是这样的。只不过对角的关系要极为敏感。ABD=-15°，用下面的方法比较快推出：这个题，我得到的一个结论是：想都是问题，做才是答案。动脑思考来确定思路是对的，但有些情况下，很多情况下，尤其对问题看的不太清楚的时候，我们需要动笔写一下，就是蜜蜂周报 第 10 期 25 / 51蜜蜂周报第 10 期 26 / 51探索一下，把各种可能的、不可能的（只是你认为不可能的）思路与可能性都写写，可能就会发现解决问题的途径。做题，光想是不行的！所以说，解题的时候，大胆地探索是非常重要的！原地不动才最可怕！12.这不是高中的题等边三角形折叠问题这题应该算初中题，作为高中老师来做，思路难免受阻，

15、因为不习惯啊！解答由刘登成老师提供。刘老师也教初中，附带赠送了几个初中折叠问题。蜜蜂周报 第 10 期 26 / 51蜜蜂周报第 10 期 27 / 5113.你可以叫它翅膀模型三棱锥外接球这个题，因其几何结构特征，有老师称为“翅膀模型”，很形象！这个题的简单理解：当两个边长为 r 的等边三角形互相垂直时候，体积最大，确定了这个位置，求半径就不难了。这样从直观上考虑，就变得很简单了。蜜蜂周报 第 10 期 27 / 51蜜蜂周报第 10 期 28 / 51（每个老师画图的习惯不同，这个图我看不懂，但也收了）蜜蜂周报 第 10 期 28 / 51蜜蜂周报第 10 期 29 / 51蜜蜂周报 第

16、10 期 29 / 51蜜蜂周报第 10 期 30 / 51蜜蜂周报 第 10 期 30 / 51蜜蜂周报第 10 期 31 / 5114.二面角型的外接球问题蜜蜂周报 第 10 期 31 / 51蜜蜂周报第 10 期 32 / 51蜜蜂周报 第 10 期 32 / 51蜜蜂周报第 10 期 33 / 51蜜蜂周报 第 10 期 33 / 51蜜蜂周报第 10 期 34 / 5115.一个不太一样的抽象函数导数问题蜜蜂周报 第 10 期 34 / 51蜜蜂周报第 10 期 35 / 51蜜蜂周报 第 10 期 35 / 51蜜蜂周报第 10 期 36 / 51比较一下，常见的抽象函数导数问题，

17、多是把条件直接拿来构造新函数。这个题确实比较难一些，条件被当成一个放缩的工具，对构造得到的新函数单调性的判断更复杂了一些。比如下面这个题：蜜蜂周报 第 10 期 36 / 51蜜蜂周报第 10 期 37 / 51我们仿照本题的命题手法可以改造成这样（其他条件我没进行调整，只是把构造这一步进行了模仿）：16.单位向量有什么特殊？对，它就是特殊！蜜蜂周报 第 10 期 37 / 51蜜蜂周报第 10 期 38 / 51上面这个解答的文本表达有点啰嗦，下面的简洁一点：不过应用这个解法，注意等号成立的条件：两个向量的模的和和的模，等号成立的条件是两个向量同向，即有正的倍数关系，则，蜜蜂周报 第 10

18、期 38 / 51蜜蜂周报第 10 期 39 / 51可以看出，解答充分利用了“单位向量”的特殊性，如果忽略了这个特殊性，解答也许就会误入歧途。变式题蜜蜂周报 第 10 期 39 / 51蜜蜂周报第 10 期 40 / 51蜜蜂周报 第 10 期 40 / 51蜜蜂周报第 10 期 41 / 51扣一下标题，单位向量有什么特殊的呢？模都为 1。就是因为这个，所以有：| ma ± nb |=| mb ± na | （我把它叫系数可换性，这算一个隐含条件吧）17.三角化简求值及无字证明题目：题目看起来还是比较友好，切化弦，和差角公式等等都用上，不难解决，算高考范围内：蜜蜂周报 第 10 期 41 / 51蜜蜂周报第 10 期 42 / 51比较引人入胜的是下面的图像证明，或者说无字证明：另外一个类似问题：先看代数证明；蜜蜂周报 第 10 期 42 / 51蜜蜂周报第 10 期 43 / 51再看无字证明：无字证明，这本身是一个很大的话题，有本书的名字就叫PROOF WITHOUT WORDS,这里再贴一个三角函数的无字证明：蜜蜂周报 第 10 期 43 / 51蜜蜂周报第 10 期 44 / 51此图证明的是：18.姑且把这种解法叫“类穿根法”最近遇到了几个这种题，形式上看比较