线性代数B n行列式的性质

1、 使用使用n n阶行列式的定义阶行列式的定义计算计算n n阶行列式阶行列式非常繁琐。为了非常繁琐。为了简化简化n n阶行列式的计算，可以阶行列式的计算，可以利用行列式的行或列的变换利用行列式的行或列的变换。例如，例如，如果能将行列式都能等价地转化为三角形行列式就如果能将行列式都能等价地转化为三角形行列式就好计算了。好计算了。 为了解决行列式的计算问题，应先对为了解决行列式的计算问题，应先对行列式的性质行列式的性质进进行研究，本节将学习行列式的性质。行研究，本节将学习行列式的性质。课本课本1 .3 行列式的性质行列式的性质一、行列式的性质二、行列式的计算v性质性质1 行列式行列式D与它的与它的转

2、置行列式转置行列式DT相等相等 v行列式的转置行列式的转置 将行列式将行列式D的的行行变为变为相同序号的列相同序号的列后得到的行列式后得到的行列式,称为称为D的转置行列式的转置行列式 记为记为DT 或者或者 D a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann D= = a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann 则则 DT= =即即一、一、行列式的性质行列式的性质1 .3 行列式的性质行列式的性质证明证明 detijDa= =记记的的转转置置行行列列式式,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD= = ,1,2,ijjibai jn=即即按定义按定

3、义 1212121nnt p ppTppnpDbbb= 又因行列式又因行列式DD可表示为可表示为 1212121.nnt p ppppp nDaaa= 故故.TDD = =证毕证毕v性质性质1 行列式行列式D与它的与它的转置行列式转置行列式DT相等相等 1212121.nnt p ppppp naaa= 由此性质可知由此性质可知 行列式中行列式中的的行与列行与列具有同等的地位具有同等的地位 行行列式的性质凡是列式的性质凡是对行成立的对行成立的对对列也同样成立列也同样成立 反之亦然反之亦然 v性质性质2 交换交换行列式的行列式的两行两行(列列) 行列式行列式改变符号改变符号 这是因为这是因为 把

4、这两行把这两行(列列)互换互换 有有D=D 故故D= =0 推论推论1 如果行列式有如果行列式有两行两行(列列)完全相同完全相同 则此行列式则此行列式等于等于零零 v性质性质3 用用数数k乘乘行列式的行列式的某一行某一行(列列)中中所有的元素所有的元素,等于用等于用数数k乘此行列式乘此行列式 即即证明证明 因为行列式因为行列式 的一般项为的一般项为 证毕。证毕。v性质性质3 用用数数k乘乘行列式的行列式的某一行某一行(列列)中中所有的元素所有的元素,等于用等于用数数k乘此行列式。乘此行列式。1 .3 行列式的性质行列式的性质 推论推论2 行列式中某一行行列式中某一行(列列)的所有元素的的所有元

5、素的公因子公因子可可以以提提到行列到行列式符号的外面式符号的外面 例如：例如：12121144 28(2 1)84161412=1 .3 行列式的性质行列式的性质注：第注：第i行（列）乘以数行（列）乘以数k记为记为 .l推论推论3 行列式中有行列式中有两行两行(列列)元素成比例元素成比例 证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211= =. 0= =则行列式等于则行列式等于零。零。1 .3 行列式的性质行列式的性质v性质性质4 若行列式的若行列式的某一行某一行(列列)的元素的元素

6、都是两个数之和都是两个数之和 则行列式等于两个行列式之和则行列式等于两个行列式之和 例如例如v性质引申性质引申:若行列式的若行列式的某一行某一行(列列)的元素的元素都是都是n个数之和个数之和 则行列式等于则行列式等于n个行列式之和个行列式之和 注：上述结果可推广到注：上述结果可推广到有限个有限个数和数和的情形的情形. .njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111v性质性质5 把行列式的某一把行列式的某一行行(列列)的所有元素的所有元素乘以乘以数数k，然后然后加加到另一行到另一行 (列列)对应位置的元素上去对应位置的元素上去 行列式的值行列式的值不变不变 11111

7、12122221()()()ijjnijjjnninjnjnjaakaaaaakaaaaakaaa = = k例如例如证明思路：证明思路：由性质由性质4 4，右，右式可表达为两个行列式式可表达为两个行列式的和，其中一个行列式的和，其中一个行列式与原行列式相同，与原行列式相同，另一另一个行列式的两列成比例个行列式的两列成比例，根据性质，根据性质4 4的推论的推论3 3，故结论得证故结论得证. .& 行列式行列式D与它的与它的转置行列式转置行列式DT相等相等 & 某一行某一行(列列) 的的公因子公因子可提可提到行列式符号的外面到行列式符号的外面 交换交换行列式的行列式的两行两行(列

8、列) 行列式行列式变号变号 l 行列式中有行列式中有两行两行(列列)完全相同完全相同 则此行列式则此行列式等于等于零零 &数数k乘乘 行列式行列式 等于等于数数k乘乘此行列式的此行列式的某一行某一行(列列) l 行列式中有行列式中有两行两行(列列)元素成比例元素成比例 则行列式则行列式等于等于零零.& 若行列式的若行列式的某一行某一行(列列)的元素的元素都是两个数之和都是两个数之和 则行列式等于两个行列式之和则行列式等于两个行列式之和 & 把行列式的某一行把行列式的某一行(列列)的的倍数倍数，加加到另一行到另一行 (列列)对对应的元素上去应的元素上去 行列式行列式不变不

9、变 行列式性质归纳行列式性质归纳 在计算行列式时在计算行列式时, 可以使用如下记号以便检查可以使用如下记号以便检查:v符号规定符号规定 第第i行行(或列或列)提出公因子提出公因子k 记作记作ri k(或或ci k) 交换交换i j两行两行,记作记作rirj ; 交换交换i j两列两列,记作记作 cicj 第第 j 行行(列列)的的 k 倍加到第倍加到第 i 行行(列列)上上 记作记作ri krj (ci kcj) 第第i行行(或列或列)乘以数乘以数k 记作记作rik(或或cik) 最后改变的是最后改变的是第第 i i 行行( (列列) )行行: : row 列列: : column1 .3 行

10、列式的性质行列式的性质计算行列式常用方法：计算行列式常用方法： 前面前面已经介绍过已经介绍过三角形行列式三角形行列式的计算方法，的计算方法，如果如果利用利用行列式的性质行列式的性质把把行列式行列式等价地转化为三角等价地转化为三角形行列式形行列式可以简化计算可以简化计算111212221122000nnnnnnaaaaaa aaa= = 二、行列式的计算二、行列式的计算1 .3 行列式的性质行列式的性质= = 2 1 4 3 1 1 3 3 1 3 2 1= 1 3 2 1 0 16 7 2= 0 1 2 3 1 2 1 1 0 0 10 8= 0 1 2 3 1 2 1 1 0 2 1 1 1

11、 1 0 5 =D 3 1 2 1 5 1 4 3 2 0 1 1 1 5 3 3 例例2 计算计算 解解 =D 3 1 2 1 5 1 4 3 2 0 1 1 1 5 3 3 3 5 2 1= c1c2 r2 r1r4 5r1 0 0 816 6 4 0 2 1 1 7 2 0 8 6 4= r2r3 0 0 10 8 0 015 10 r3 4r2r4 8r2 0 05/2 03445rr = =40 方法：方法：化三角形化三角形行列式行列式11121222000nnnnaaaaaa 例例3 计算计算 特点特点： 行和是定值行和是定值 或或 列和是定值列和是定值 解解 例例 计算计算 n

12、阶行列式阶行列式.abbbbabbDbbabbbba= =解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 = =D将第将第2,3, ,n 列都加到第列都加到第1 1列得列得仿照例仿照例3的特点的特点： 行和是定值行和是定值或或列和是定值列和是定值(1)000000000anbbbba ba ba b = = .)() 1(1 = =nbabna 1111anbbbbanbabbanbbabanbbba = = 第第2 2行至行至n n行每行行每行都减去第都减去第1 1行行abbbbabbbbabbbbaD= =方法总结：方法总结： 行和为定值行和为定值，各列加到第一列上；，各列

13、加到第一列上； 列和为定值列和为定值，各行加到第一行上，各行加到第一行上1 .3 行列式的性质行列式的性质 例例4 计算计算D= 1 .3 行列式的性质行列式的性质解：解：根据行列式的特点，可将第根据行列式的特点，可将第1 1列加至第列加至第2 2列，然后将第列，然后将第2 2列加列加至第至第3 3列，再将第列，再将第3 3列加至第列加至第4 4列，列，目的是使目的是使D D中的零元素增多中的零元素增多. .1 .3 行列式的性质行列式的性质 例例5 计算计算 dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD=3610363234232= Dr2 r1r3 r1r4 r1

14、a bcd0 aa ba b c0 2a3a 2b4a 3b 2c0 3a 6a 3b10a 6b 3ca bcd0 a a b a b c0 0a2a b0 03a7a 3b= r3 2r2r4 3r2a bcd0 a a b a b c0 0a2a b0 00 a= r4 3r3= =a4 = Dr4 r3r3 r2r2 r1a bcd0 aa ba b c0 a 2a b 3a 2b c0 a 3a b 6a 3b ca bcd0 a a b a b c0 0a2a b0 0a3a b= r4 r3r3 r2a bcd0 a a b a b c0 0a2a b0 00 a= r4 r3=

15、 =a4 解：解：法一法一法二法二1 .3 行列式的性质行列式的性质例例6 解方程解方程解：解： 从第二行开始每一行都减去第一行得从第二行开始每一行都减去第一行得由于由于所以解得方程的所以解得方程的n-1n-1个根为：个根为： 对对D1作运算作运算ri krj 把把D1化为化为下三角形行列式下三角形行列式 设为设为 证证 nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD =1111111111110000 kkkkaaaaD =11111nnnnbbbbD =11112 例例 证明证明D= =D1 D2 其中其中 对对D2作运算作运算ci kcj 把把D2化为化为下三角形行列式下三角形行列式 设为设为 kkkkkpppppD = = 0111111 nnnnnqqqqqD = = 0111112 于是于是 对对D的前的前k行作运算行作运算ri krj 再对后再对后n列作运算列作运算ci kcj 把把D化为下三角形行列式化为下三角形行列式 nnnnknkkkkqqqccccpppD =11111111110000 00 故故D= =p11 pkk q11 qnn= =D1 D2 行列式的性质行列式的性质共共8 8条条( (行列式中行列式中行与列具有同等的地位行与列具有同等的地位, ,行列式的性质行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立凡是对行