固体物理复习

1、第一章第一章 晶体结构晶体结构一、几种典型的晶体结构一、几种典型的晶体结构(配位数）配位数）简单立方结构（简单立方结构（scsc）体心立方结构（体心立方结构（bccbcc）：如：）：如：Li, Na, K, Ba Li, Na, K, Ba 密排六方结构（密排六方结构（hcphcp）: : ABABAB ABABAB 如：如：Mg, Zn, Cd Mg, Zn, Cd 面心立方结构（面心立方结构（fccfcc）: : ABCABC ABCABC 如：如：CaCa，Cu, Al Cu, Al 金刚石结构：如：金刚石，金刚石结构：如：金刚石，Si, Ge Si, Ge NaClNaCl结构：如：结

2、构：如：NaCl, LiF, KBr NaCl, LiF, KBr CsClCsCl结构：如：结构：如：CsCl, CsBr, CsI CsCl, CsBr, CsI 闪锌矿结构：如：闪锌矿结构：如：ZnSZnS二、晶格的周期性二、晶格的周期性晶格晶格 等同点系等同点系 空间点阵空间点阵 数学抽象数学抽象任取一点任取一点格点（或阵点）格点（或阵点）基元：一个格点所代表的物理实体基元：一个格点所代表的物理实体格矢：格矢：Rll1a1+l2a2+l3a3基矢：基矢：a1， a2， a3（简单立方，体心立方，面心立方）（简单立方，体心立方，面心立方）原胞：原胞：空间点阵原胞：空间点阵中最小的重复单元

3、，只含空间点阵原胞：空间点阵中最小的重复单元，只含有一个格点，对于同一空间点阵，原胞的体积相等。有一个格点，对于同一空间点阵，原胞的体积相等。123av a aa2. 晶胞：晶胞：晶体学通常选取较大的晶体学通常选取较大的周期周期单元来研究晶格结单元来研究晶格结构，以反映晶格的构，以反映晶格的对称性对称性。3. WignerSeitz原胞：由原胞：由各格矢的垂直平分面各格矢的垂直平分面所围成的所围成的 包含原点在内的包含原点在内的最小最小封闭体积封闭体积晶格的分类：晶格的分类：简单晶格：每个晶格原胞中只含有简单晶格：每个晶格原胞中只含有一个原子一个原子，即晶格中，即晶格中 所有原子在所有原子在化

4、学、物理和几何环境完全等同化学、物理和几何环境完全等同 （如：（如：Na、Cu、Al等晶格）等晶格） 。 复式晶格：每个晶格原胞中含有两个或两个以上的原子，复式晶格：每个晶格原胞中含有两个或两个以上的原子， 即晶格中有两种或两种以上的等同原子（或即晶格中有两种或两种以上的等同原子（或 离子）。如：离子）。如：Zn、Mg、金刚石、金刚石、NaCl等晶格。等晶格。以以原胞原胞基矢基矢 为坐标轴来表示的晶面指数称为坐标轴来表示的晶面指数称为为晶面指数晶面指数，用，用( (h h1 1 h h2 2 h h3 3 ) )表示表示。321,aaa以布拉维原胞以布拉维原胞（晶胞）（晶胞）基矢基矢 为坐标轴

5、来表为坐标轴来表示的晶面指数称为示的晶面指数称为密勒指数密勒指数，用，用( (h k l) )表示表示。cba,例例1：如图所示如图所示 ，I和和H分别为分别为BC，EF之中点，之中点，试求试求晶面晶面AEG，ABCD，DIHG的密勒指数。的密勒指数。cba AEG ABCD DIHG111 121 rst晶面在三个坐标轴上的截距晶面在三个坐标轴上的截距abcOABCDEFGHI(111)11:1:1 (001) 1:11:21(120)11:11:11tsrlkh1:1:1:密勒指数密勒指数倒格矢：倒格矢：Gnn1b1+n2b2n3b3 , n1, n2, n3整数整数倒格子原胞体积：倒格子

6、原胞体积： b= b1b2 b338abv和和2lnhR Gh整数整数面心立方的倒格子是体心立方；面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。体心立方的倒格子是面心立方。三、倒格子三、倒格子倒格子基矢的定义倒格子基矢的定义：aibj2ij ，i, j=1, 2, 3)(321213132321222aaavvaabvaabvaab 倒格矢倒格矢 与正格中晶面族与正格中晶面族( (h1h2h3) )正交，且其长度为正交，且其长度为 。332211hbhbhbhK 3212hhhdaaaaiaa 1jaa 2jaaiaa 21 ijjiba 2)ji ( 2)(0ji 例例1 1：下图

7、是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。：下图是一个二维晶体结构图，试画出其倒格点的排列。1 1，2 2，3 3，4 4，6 6 度旋转对称操作。度旋转对称操作。 1 1，2 2，3 3，4 4，6 6度旋转反演对称操作。度旋转反演对称操作。(3)(3)中心反映：中心反映：i。(4)(4)镜象反映：镜象反映：m。 C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符号表示）用熊夫利符号表示）S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）用熊夫利符号表示）点对称操作：点对称操作：(2)(2)旋转反演对称操作：旋转反演对称操作：(1)(1)旋转对称操作：旋转对称操作： 独立的对称操作有独立的对称操作有

8、8 8种种, ,即即1 1，2 2，3 3，4 4，6 6，i i，m m， 。 或或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。 4四、晶体的宏观对称性，点群四、晶体的宏观对称性，点群 32个点群，微观对称性，个点群，微观对称性，230个空间群个空间群五、晶系和五、晶系和Bravais格子格子晶胞：既能反映晶格的周期性又能体现晶体宏观对称晶胞：既能反映晶格的周期性又能体现晶体宏观对称 性特征的最小重复单元性特征的最小重复单元。(注意与原胞的区别注意与原胞的区别)晶胞的坐标系：晶胞的坐标系：a，b，c晶胞的基矢坐标系中的晶胞的基矢坐标系中的七个晶系：根据晶体的对称性特征分类七个晶系：根据

9、晶体的对称性特征分类晶向指数晶向指数321lll1 23()hh h密勒指数密勒指数14种种Bravais格子格子（了解）（了解）立方晶系的基矢：立方晶系的基矢：fcc：123222aaaajkakiaijbcc：123+222aaaaijkaijkaijk =a =a =a1a2a3aijksc本章要求：本章要求：v 几种简单的晶体结构；几种简单的晶体结构；v 掌握关于晶体的基本概念（晶格、空间点阵、基矢、掌握关于晶体的基本概念（晶格、空间点阵、基矢、 原胞、格点、基元、简单晶格和复式晶格等）；原胞、格点、基元、简单晶格和复式晶格等）；v 倒易空间的概念，倒格子基矢的定义，倒格子与正格倒易空

10、间的概念，倒格子基矢的定义，倒格子与正格 子的关系，要求给定一组正格子基矢，会求出相应的子的关系，要求给定一组正格子基矢，会求出相应的 倒格子基矢；倒格子基矢；v 晶胞的概念，晶胞的基矢坐标系，晶胞参量；晶胞的概念，晶胞的基矢坐标系，晶胞参量；v 晶系和晶系和BravaisBravais格子；格子；v 格常数为格常数为a a的面心立方的倒格子是格常数为的面心立方的倒格子是格常数为4 4 /a/a的体心的体心 立方，反之亦然。立方，反之亦然。v 立方晶系的基矢。立方晶系的基矢。v课后习题：课后习题：1 1，2 2，5 5，7 7，8 8，1010第二章第二章 晶体的结合晶体的结合一、晶体结合的基

11、本类型及主要特征一、晶体结合的基本类型及主要特征二、晶体中粒子的相互作用二、晶体中粒子的相互作用双粒子模型：双粒子模型： mnabu rrr 晶体的互作用能：晶体的互作用能： mnABU rrr 由平衡条件由平衡条件00rdUdr求出求出r0和和U0结合能：结合能：W U0 0结合能的物理意义：结合能的物理意义：将自由的原子将自由的原子( (离子或分子离子或分子) )结合成晶结合成晶体时所释放的能量。体时所释放的能量。 假设相距无穷远的两个自由原子间的相互作用能为零，相假设相距无穷远的两个自由原子间的相互作用能为零，相互作用力为零。互作用力为零。)(ar)(rumr)(rf0rr)(b( (a

12、)a)互作用势能和原子间距的关系互作用势能和原子间距的关系( (b)b)互作用力和原子间距的关系互作用力和原子间距的关系,0rf,rr )(0斥力斥力,0rf,rr )(0min0)(0,)(rurf,rr 引力引力)(mmrf,rr 最大有效引力最大有效引力体积压缩模量体积压缩模量2020VdPd UKVVdVdV 体积压缩模量的物理意义：产生单位相对体积压缩所需体积压缩模量的物理意义：产生单位相对体积压缩所需 的外加压强。的外加压强。 三、离子晶体的互作用能三、离子晶体的互作用能 204nN qBU rrr Madelung const.的求法：中性组合法的求法：中性组合法2RqUN z

13、eR1(:)Nj iijP符号定义 同号为负异号为正16 例例2 2：计算正负离子相间排列，相邻离子间距为：计算正负离子相间排列，相邻离子间距为R的一维的一维无限长离子链的马德隆常数。无限长离子链的马德隆常数。选定某一正离子为参考离子，选定某一正离子为参考离子，对于负离子取正号，正离子取负号，对于负离子取正号，正离子取负号，马德隆常数马德隆常数2ln 21Njja, 1,11 aRrrA, 3,333 aRrrC, 2,222 aRrrBA iA+BRCB C 1112(1)234 432)1ln(432xxxxx2ln2 解解:四、分子晶体的互作用能四、分子晶体的互作用能 1264u rrr

14、 LennardJones势势 1261262U rNAArr晶体互作用能晶体互作用能A12和和A6只与晶体结构有关只与晶体结构有关v 掌握各种晶体结合类型的基本特征；掌握各种晶体结合类型的基本特征；v 给定晶体相互作用能的形式，根据平衡条件、体积压缩给定晶体相互作用能的形式，根据平衡条件、体积压缩 模量的定义以及体积因子求出平衡时晶体中最近邻粒子模量的定义以及体积因子求出平衡时晶体中最近邻粒子 间的距离间的距离r0、相互作用能、相互作用能U0（或结合能（或结合能W）和体积压）和体积压 缩模量缩模量K的表达式。的表达式。v 离子晶体和分子晶体的互作用能，离子晶体和分子晶体的互作用能，Lenna

15、rd-Jones 势，势， Madelung常数的求法。常数的求法。v课后习题课后习题2 2，3 3，本章要求：本章要求：第三章第三章 晶格振动和晶体的热学性质晶格振动和晶体的热学性质一、晶格振动的运动方程，格波方程和色散关系，格波一、晶格振动的运动方程，格波方程和色散关系，格波 的概念；简谐近似的概念；简谐近似二、光学波和声学波的物理图象二、光学波和声学波的物理图象光学波的物理图象：原胞内不同原子间基本上作相对振光学波的物理图象：原胞内不同原子间基本上作相对振 动，当动，当q0时，原胞内不同原子完时，原胞内不同原子完 全作反位相振动。全作反位相振动。声学波的物理图象：原胞基本上作为一个整体振

16、动，当声学波的物理图象：原胞基本上作为一个整体振动，当 q0时，原胞内各原子的振动（包时，原胞内各原子的振动（包 括振幅和位相）完全相同。括振幅和位相）完全相同。 振动很微弱时，势能展式中只保留到振动很微弱时，势能展式中只保留到( ( r) )2 2项项, ,3次方以上的次方以上的高次项均忽略掉的近似为高次项均忽略掉的近似为简谐近似简谐近似( (忽略掉作用力中非线性项忽略掉作用力中非线性项的近似的近似) )。nknknkrnkxxruf 022dd022ddrnkru 格波格波：晶体中的原子都在它的平衡位置附近不断地作微：晶体中的原子都在它的平衡位置附近不断地作微振动，由于原子间的相互关联，以

17、及晶体的周期性，这种原子振动，由于原子间的相互关联，以及晶体的周期性，这种原子振动在晶体中形成格波。振动在晶体中形成格波。一维晶格振动一维晶格振动 在简谐近似下，格波可以分解成许多简谐平面波的线性叠加。在简谐近似下，格波可以分解成许多简谐平面波的线性叠加。模型模型运动方程运动方程 试探解试探解色散关系色散关系波矢波矢q范围范围一维无限长原子链，一维无限长原子链，m，a， 晶格振动波矢的数晶格振动波矢的数目目=晶体的原胞数晶体的原胞数B-K条件条件波矢波矢q取值取值 11. nnnnxxxxnmx naqtinAx e2sin2aqm aqa Nnnxx n- -2nn+ +1n+ +2n- -

18、1ammoa a m 2一维双原子链振动一维双原子链振动2n- -22n2n+ +12n+ +22n- -1Mma aqntinAx1212e nxM2. nnnxxx212122 12. nxm 122222 nnnxxx naqtinBx22e 2cos2)(222aqmMMmMmmM ,)(22Nnnxx aqa22 o qa2 a2O A 长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同长声学波，相邻原子的位移相同，原胞内的不同原子以相同的振幅和位相作整体运动。因此，可原子以相同的振幅和位相作整体运动。因此，可以说，长声学波代表了原胞质心的运动。以说，长声学波代表了原胞质心的运动。长光学波，

19、原胞的质心保持不动。所以定性地说，长光学波，原胞的质心保持不动。所以定性地说，长光学波代表原胞中两个原子的相对振动。长光学波代表原胞中两个原子的相对振动。3nN种声子种声子3N种声学声子种声学声子， ( (3n- -3) )N种光学声子种光学声子。3nN个振动模式个振动模式晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目 = =晶体的原胞数晶体的原胞数N，格波振动频率数目格波振动频率数目= =晶体的自由度数晶体的自由度数mNn，独立的振动模式数独立的振动模式数= =晶体的自由度数晶体的自由度数mNn。N是晶体的原胞个数，是晶体的原胞个数，n是原胞内原子个数，是原胞内原子个数，m是维数是维数。声子声子：晶格

20、振动的能量量子。能量为：晶格振动的能量量子。能量为, 准动量为准动量为 。q三维晶格振动、声子三维晶格振动、声子25 例例2：金刚石结构有几支格波：金刚石结构有几支格波?几支声学波几支声学波?几支光学波几支光学波?设晶设晶体有体有N个原胞，个原胞，晶格振动模式数为多少晶格振动模式数为多少?答答:金刚石结构为复式格子金刚石结构为复式格子,每个原胞有每个原胞有2个原子。个原子。, 2, 3 nm有有6支格波，支格波，3支声学波，支声学波，3支光学波。支光学波。振动模式数为振动模式数为6N。晶格振动的波矢数目晶格振动的波矢数目 = =晶体的原胞数晶体的原胞数N，格波振动频率数目格波振动频率数目= =

21、晶体的自由度数晶体的自由度数mNn，晶体中格波的支数晶体中格波的支数= =原胞内原子的自由度数原胞内原子的自由度数mn。2.2.频率分布函数频率分布函数定义：定义： nlim0)( nsqcqsV313d2 计算：计算：晶晶 体体 比比 热热3.3.晶体比热的爱因斯坦模型和德拜模型晶体比热的爱因斯坦模型和德拜模型1.1.固体比热的实验规律固体比热的实验规律(1)(1)在高温时，晶体的比热为在高温时，晶体的比热为3 3NkB； (2) (2)在低温时，绝缘体的比热按在低温时，绝缘体的比热按T3 3趋于零。趋于零。(1)(1)晶体中原子的振动是相互晶体中原子的振动是相互独立的；独立的；(2)(2)

22、所有原子都具有同一频率所有原子都具有同一频率 ；(3)(3)设晶体由设晶体由N个原子组成个原子组成, ,共共有有3N个频率为个频率为 的振动。的振动。(1)(1)晶体视为连续介质晶体视为连续介质, ,格波视格波视为弹性波；为弹性波；(2)(2)有一支纵波两支横波；有一支纵波两支横波；(3)(3)晶格振动频率在晶格振动频率在 之间之间( ( D为德拜频率为德拜频率) )。D0 DB0d211e )(ETk 211e3BTkNE爱因斯坦模型爱因斯坦模型德拜模型德拜模型 23D9 N 例例1.求由求由5个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原个原子组成的一维单原子晶格的振动频率。设原子质量为子质量

23、为m，恢复力常数为恢复力常数为 (只考虑近邻原子间的相互作用只考虑近邻原子间的相互作用)。由玻恩由玻恩-卡门周期性边界条件卡门周期性边界条件:Nxx 111e iNaqsNaq 2 naqtinAx e解解:设最近邻原子间的恢复力系数为设最近邻原子间的恢复力系数为 ，则，则:将试探解代入振动方程得色散关系将试探解代入振动方程得色散关系: 11. nnnnxxxxnmx 2sin2aqm S为整数为整数saq52 2525 saqa 2525 s2,1,0,1,2 sa,a,a,aq545205254 1524321105sin252sin2 ,m,m2sin2aqm )2sin(2aqm22a

24、Nhq hNaq2波矢波矢一维单原子一维单原子一维双原子一维双原子12222()41 1sin ()mMmMaqmMmM五、声子概念五、声子概念声子：晶格振动的能量量子声子：晶格振动的能量量子 ，动量，动量 是反映晶体是反映晶体中原子集体运动状态的激发单元。声子只是一种准粒子，中原子集体运动状态的激发单元。声子只是一种准粒子， 它不能脱离晶体而单独存在。声子与声子（或声它不能脱离晶体而单独存在。声子与声子（或声 子与其他粒子）的相互作用过程遵从能量守恒和子与其他粒子）的相互作用过程遵从能量守恒和 准动量守恒。准动量守恒。第第j种声子的能量本征值：种声子的能量本征值：jjj12En一个典型声子能

25、量：一个典型声子能量：210 eVq在一定温度下，第在一定温度下，第j种声子的统计平均能量为种声子的统计平均能量为jjjjjB11122exp/1Unk T 声子是一种玻色子，在一定温度下，平均声子数声子是一种玻色子，在一定温度下，平均声子数按能量的分布遵从按能量的分布遵从BoseEinstein分布：分布：jj1exp1Bnk Tv 会写出一维（简单晶格或复式晶格）晶体链晶格振动会写出一维（简单晶格或复式晶格）晶体链晶格振动 的动力学方程，格波方程，并导出色散关系；的动力学方程，格波方程，并导出色散关系；v 掌握光学波与声学波的物理图象；掌握光学波与声学波的物理图象；v 周期性边界条件，简约

26、区中波矢的总数和晶格振动格波周期性边界条件，简约区中波矢的总数和晶格振动格波 的总数；的总数；v 声子的概念；声子的概念；v课后题课后题2，9，12本章要求：本章要求： 1.1.自由电子气自由电子气( (自由电子费米气体自由电子费米气体) )：是指自由的、无相互：是指自由的、无相互作用的、遵从泡利原理的电子气。作用的、遵从泡利原理的电子气。自由电子气的能量状态自由电子气的能量状态mkE222 )(22222zyxkkkm 2.2.自由电子气的能量自由电子气的能量 ;Lnk;Lnk;Lnkzzyyxx2223.3.能态密度能态密度EZEZENEdd)(lim0 一、自由电子气的能量状态一、自由电子气的能量状态自由电子气的能态密