直线、平面、简单的多面体

1、一、复习策略一、复习策略v高考立体几何试题一般有3题左右，主要考查空间中的平行与垂直关系、空间中的角与距离、多面体与球等知识对于空间中的角主要有：异面直线所成的角、线面角、二面角；空间中的距离主要有：点与点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、异面直线间的距离、线面距、面面距等，一般是以棱柱或棱锥为载体来考查对于这些问题的解决方法主要如下：v1、异面直线夹角：(1)平移法：将两条异面直线平移成两条相交直线(2)向量法：求两异面直线方向向量的夹角v2、斜线与平面夹角：(1)定义法：作出斜线在平面上的射影，转化为斜线与射影的夹角，放在一个三角形中求解(2)向量法：转化为求解斜线方向向量与平面法

2、向量夹角问题v3、二面角：(1)定义法：由图形特殊的性质或条件，依定义作出二面角的平面角，再计算(2)三垂线法：利用三垂线定理及逆定理作平面角(3)射影面积法：(为二面角的大小)(4)向量法：转化为两半平面内垂直于棱的向量的夹角转化成两个半平面法向量的夹角v使用向量法可以简化几何关系证明，但应注意向量夹角等于二面角或其补角v4、求距离的一般方法：作出距离直接求，或转化为点到面的距离来求，还可以借助向量来求借助向量求距离的方法：v(1)点面距离的向量公式平面的法向量为n n，点P是平面外一点，点M为平面内任意一点，则点P到平面的距离d就是 在向量n n方向射影的绝对值，即 v(2)线面、面面距离

3、的向量公式平面直线l，平面的法向量为n n，点M、Pl，平面与直线l间的距离d就是 在向量n n方向射影的绝对值，即d= 平面，平面的法向量为n n，点M、P，平面与平面的距离d就是 在向量n n方向射影的绝对值，即d= v(3)异面直线的距离的向量公式设向量n n与两异面直线a、b都垂直，Ma、Pb，则两异面直线a、b间的距离d就是 在向量n n方向射影的绝对值，即d= 二、典例剖析二、典例剖析v例例1 1、若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则（）A过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D过点P有且仅有一条直线与l

4、，m都异面题型一：平行与垂直v例例2 2、在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种已知，是两个相交平面，空间两条直线l1，l2在上的射影是直线s1，s2，l1，l2在上的射影是直线t1，t2用s1与s2，t1与t2的位置关系，写出一个总能确定l1与l2是异面直线的充分条件：_v解：作图易得“能成为l1，l2是异面直线的充分条件”的是“ ，并且t1与t2相交”或“ ，并且s1与s2相交”v例例3 3、如图所示，在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C底面ABC（1）若D是BC的中点，求证ADCC1；（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱

5、于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1侧面BB1C1C（3）AM=MA1是截面MBC1侧面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由题型二：空间的角v例4、四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD已知ABC45，AB2，BC= ，SASB ()证明：SABC；()求直线SD与平面SAB所成角的大小；223v例例5 5、如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中ADBC，ABC=90，PA平面ABC，PA=4，AD=2， ，BC=6()求证：BD平面PAC；()求二面角APCD的大小；题型三：空间距离v例例6 6、如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC= ，AB=

6、 AD=a，ADC=arccos ，PA面ABCD且PA=a.(1)求异面直线AD与PC间的距离；(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为 题型四：多面体与球v例例7 7、 棱长为1的正方体 的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱 ， 的中点，则直线EF被球O截得的线段长为（ ）A B1 C Dv解：正方体对角线为球直径，所以 ，在过点E、F、O的球的大圆中，由已知得d= ， ，所以EF=2r= 选DDv例8、设棱长为2R的立方体容器中装满水，先把半径为的球放入水中，然后再放入一球，使它淹没在水中，且使溢出的水最多，问这个球的半径应是多少？并计算放入二球后溢出的水量与容器容量之比v解：作出正方体的对角面，则O在对角线AC1的中点处，要使第二球放入后溢出水最多，则O也在AC1上，设小球半径为r，则所以放入二球后溢出的水量与容器容量之比为： 题型五：几何体的展开与折叠v例例9 9、正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长均为2，M为AA1中点，N为BC中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是多少？并求之题型六：立体几何与解析几何的综合v例例1010、如图，PAB所在的平面和四边形ABCD所在的平面垂直，且AD，BC，AD=4，BC=8，AB=6,APD=CPB，则点P在平面内的轨迹是（