双曲线的标准方程公开课

1、双曲线双曲线及其标准方程及其标准方程授课人：高美玲授课人：高美玲1. 椭圆的定义椭圆的定义和和等于常数等于常数(大于大于|F1F2|)的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的1F2F 0, c 0, cXYO yxM ,|MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0) 思 考：平面内与两平面内与两定点定点F1，F2的距离的的距离的差差为非零常数的点为非零常数的点的轨迹是什么？的轨迹是什么？数学实验：数学实验：11取一条拉链；取一条拉链；22如图把它固定在板如图把它固定在板上的两点上的两点F F1 1、F F2 2；3 3 拉动拉链（拉动拉链（M M）。）

2、。思考思考：拉链运动的轨迹：拉链运动的轨迹是什么？是什么？双曲线在生活中双曲线在生活中 .上海吴泾热电厂双曲线自然通风冷却塔上海吴泾热电厂双曲线自然通风冷却塔德国慕尼黑新宝马总部德国慕尼黑新宝马总部多角形双曲线设计多角形双曲线设计双曲线交通结构缓解道路拥挤宇宙中彗星的运行轨迹宇宙中彗星的运行轨迹平面平面内与两个定点内与两个定点F F1 1，F F2 2的距离的的距离的差差的的绝对值绝对值等于等于非零非零常数常数 （小于小于F F1 1F F2 2）的点的轨迹）的点的轨迹叫双曲线。叫双曲线。双曲线的定义双曲线的定义(1) (2) 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; F1F2=2

3、c 焦距焦距.oF2F1M（1）2a0 ；注意注意oF2F1M 我们知道，平面内与两个定我们知道，平面内与两个定点点F1，F2的距离的差的绝对值的距离的差的绝对值等于常数等于常数（小于（小于F1F2的正数的正数)的的点的轨迹叫做点的轨迹叫做双曲线双曲线. 试分别讨论当常数试分别讨论当常数等于等于F1F2和和大于大于F1F2时点的轨迹时点的轨迹.当当2 2 = 2c 2c时时, ,点点M M的轨迹是的轨迹是两条射线；两条射线；当当2 2 2c 2c时时, ,点点M M的轨迹的轨迹不存在不存在F1 F2M思考：若思考：若2a=0,则轨迹是什么？则轨迹是什么？F2 2F1 1MxOy求曲线方程的步骤

4、：求曲线方程的步骤：双曲线的标准方程双曲线的标准方程1. 1. 建系建系. .以以F1,F2所在的直线为所在的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系的中点为原点建立直角坐标系2.2.设点设点设设M（x , y）,则则F1(-c,0),F2(c,0)3.3.列式列式MF1 - MF2=2a4.4.化简化简aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222bac)0, 0(12222babyax此即为此即为焦点在焦点在x轴上的轴上的双曲线双曲线的标准的标准方

5、程方程12222byax12222bxayF2 2F1 1MxOyOMF2F1xy)00(ba，若建系时若建系时,焦点在焦点在y轴上呢轴上呢?222cab思考：思考：如何判断双曲线如何判断双曲线焦点的位置？焦点的位置？22221xyab22221yxab(0,0)ab222cabF2 2F1 1MxOyOMF2F1xy判断焦点的位置方法：判断焦点的位置方法：双曲线看正负，焦点跟着正的走双曲线看正负，焦点跟着正的走椭圆要看分母，焦点跟着大的走椭圆要看分母，焦点跟着大的走把双曲线方程化成标把双曲线方程化成标准形式后，准形式后， x2项的系数为正，项的系数为正，焦点在焦点在x轴上；轴上； y2项的系

6、数为正，项的系数为正，焦点在焦点在y轴上轴上. .1916)4(22xy1169)3(22yx1925) 1 (22yx1259)2(22yx 把椭圆方程化成标把椭圆方程化成标准形式后，准形式后，x2项的分母较大，项的分母较大，焦点在焦点在x轴上；轴上； y2项的分母较大，项的分母较大，焦点在焦点在y轴上轴上. .定义定义图象图象方程方程焦点焦点a.b.c的关系的关系1212202MFMFaaFF，22221xyab22221yxab ,0 ,0cc 0, 0,cc222cab谁正谁对应谁正谁对应 aa,b无无大大小小关关系系变式变式3： 已知双曲线的焦距为已知双曲线的焦距为10，双曲线上一点

7、，双曲线上一点P到两焦点到两焦点F1、F2的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于6，求双，求双曲线的标准方程曲线的标准方程.解解: :116922 yx或或116922xy 补充练习补充练习2：已知双曲线的焦点为：已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6，则，则 (1) a=_ , c =_ , b =_(2) 双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为_(3)双曲线上一点，双曲线上一点，若若 |PF1|=10,则则|PF2|=_若若|PF1|=3,则则|PF2|=_354116922 yx4或或169练

8、习练习3：2y2-x2=2的焦点为的焦点为 、焦距是、焦距是 .(0,3)2 322112yx221.121xymmm如果方程表示双曲线,求 的取值范围.变式一变式一: :22121xymm1m 或或2m 10220mmm 变式二变式二:22121xymm3.动圆经过动圆经过A(5,0),且与定圆且与定圆B(x+5)2+y2=49外切外切,求动圆的圆心轨迹求动圆的圆心轨迹.OxyB(-5,0)A(5,0)M(x,y)222bac | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1

9、|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxababF2 2F1 1MxOyOMF2F1xy椭圆看大小，焦点跟着大的跑椭圆看大小，焦点跟着大的跑双曲线看正负，焦点跟着正的去双曲线看正负，焦点跟着正的去M小结：小结：1.a=4,b=3,焦点在焦点在x轴上轴上;2.焦点为焦点为(0,-6),(0,6),过点过点(2,5)3.a=4,过点过点(1, )4103.12222才能确定双曲线的方程一般需两个独立的方程中有两个待定的字母，双曲线方程byax(1)(2)(3)().abcabc其基本

10、类型有：已知 、 、 中的两个的值；已知 、 、 中的一个的值和双曲线过一点；已知双曲线过两个与坐标轴 原点 不对称的点1. 方程方程mx2-my2=n中中mn 1,则关于则关于x、y的方程的方程(1- k )x2+y2= 1 - k2 所所表示的曲线是表示的曲线是 A、焦点在、焦点在x轴上的椭圆轴上的椭圆C、焦点在、焦点在y轴上的椭圆轴上的椭圆B、焦点在、焦点在y轴上的双曲线轴上的双曲线D、焦点在、焦点在x轴上的双曲线轴上的双曲线222111xykk2110,10kkk补充练习：补充练习：已知方程已知方程kx2+y2=4(kR),讨论讨论k取不同实数时方程所表示的曲线取不同实数时方程所表示的

11、曲线.(1) K=0时时,直线直线y=2.(2) k=1时时,是是x2+y2=4,圆圆.(3)0k1时时,是焦点在是焦点在y轴上的椭圆轴上的椭圆.(5)k0时时,焦点在焦点在y 轴上的双曲线轴上的双曲线.1. 双曲线双曲线 的焦点坐标是的焦点坐标是 .1422ykx),(k 40巩固练习：巩固练习： 2. 双曲线双曲线 的焦距是的焦距是6，则，则k= . kyx222 6 3. 若方程若方程 表示双曲线，求实数表示双曲线，求实数k的的 取值范围取值范围. 15222kykx|-2k5定定 义义 方方 程程 焦焦 点点a.b.c的关的关系系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大

12、于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab例例4、一炮弹在某处爆炸，在、一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在处听到爆炸声的时间比在B处晚处晚2 s . （1）爆炸点应在什么样的曲线上？）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知）已知A、B两地相距两地相距800 m，并且此时声速为，并且此时声速为340 m/s，求，求曲线的方程曲线的方程 .解：解：（1）由）由A

13、、B两处听到爆炸声的时间差为两处听到爆炸声的时间差为2 s ，可知，可知A、B两处与爆炸点的距离的差为两处与爆炸点的距离的差为2v（v为声速），因此爆炸点为声速），因此爆炸点应位于以应位于以A、B为焦点的双曲线上。为焦点的双曲线上。因为爆炸点离因为爆炸点离A处比离处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近处更远，所以爆炸点应在靠近B处处的一支上。的一支上。3.方程方程(2+ )x2+(1+ )y2=1表示双曲线的充要条件表示双曲线的充要条件 是是 . -2 -11. 过双曲线过双曲线 的焦点且垂直的焦点且垂直x轴的弦的长度轴的弦的长度 为为 .14322yx33815422xy1. 已知双曲线与椭圆已

14、知双曲线与椭圆 有共同的焦点，且与有共同的焦点，且与 椭圆相交，一个交点椭圆相交，一个交点A的纵坐标为的纵坐标为4，求双曲线的方程，求双曲线的方程. 1362722yx四、练习与习题：四、练习与习题：3、已知、已知F1、F2为为 双曲线双曲线 的焦点，弦的焦点，弦MN过过F1且且M、 N在同一支上，若在同一支上，若|MN|=7， 求求MF2N的周长的周长.191622yx2、已知椭圆、已知椭圆 与双曲线与双曲线 有相同的焦点有相同的焦点F1、F2，P为两条曲线的交点，求为两条曲线的交点，求 |PF1| |PF2|的值的值.0122nmnymx012222babyax,F1F2PMNF2F1 4、已知双曲线、已知双曲线16x2-9y2=144 求焦点的坐标；求焦点的坐标； 设设P为双曲线上一点，且为双曲线上一点，且|PF1| |PF2|=32，求，求 ； *设设P为双曲线上一点，且为双曲线上一点，且 F1PF2=120 ，求，求 . 21PFFS21PFFSPBA Cxyo看看 前的系数，哪一个为正，前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上则在哪一个轴上22, yx12222byax比较和12222bxay的异同之处。确定焦点位置：椭圆看分母确定焦点位置：椭圆看分母大小，双曲线看系数正负