第一章离散时间信号与系统

1、数字信号处理课件第一章朱韵茹第第一一章章 离散的时间信号与系统离散的时间信号与系统1-1 离散时间信号1-2 离散时间系统1-3 线性时不变系统的差分方程描述1-4 连续时间信号的数字处理 1.1.1 离散时间信号及其时域表示 1-1 离散时间信号离散时间信号离散时间信号 在物理上是指定义在离散时间上的信号样品的集合，在数学上可用时间序列x(n)来表示。 样品集合可以是本来就存在的，也可以是由模拟信号通过采样得来的或者是用计算机产生的 x(n)代表序列的第n个样点的数字，n代表时间的序号。离散时间信号的离散时间信号的时域表示时域表示 * 表示离散时间信号的方法可采用表示离散时间信号的方法可采用

2、枚举的方式枚举的方式。例例如如x(n)=，-1.5，-8.7，2.53，0.0，6，7.2，箭头表示时间的零点位置箭头表示时间的零点位置*离散信号也可用离散信号也可用公式公式表示表示例例如如1, 01, 0)(sin)(bnbananxnnnxnn*离散信号还可用图形的方式表示 图中横坐标n表示离散的时间坐标，且仅在n为整数时才有意义；纵坐标代表信号样点的值。 许多时候为了方便，直接用x(n)来代表序列全体x(n)。本书中，离散时间信号与序列将不予区分。0, 00, 1)(nnnmnmnmn, 0, 1)(1-2 -1012 nn-201mn1-1mn 1.1.2 一些常用序列)(n1. 单位

3、脉冲序列2.单位阶跃序列 u(n)0)2() 1()()()() 1()()()(mnnnmnnunununun 与 u(n) 的关系)(n0, 00, 1)(nnnu.0 123nu(n)13.矩形序列)(nRN)()()(NnununRN 与 u(n) 的关系)(nRNnNnnRN其他0101)(0 123n)(nRN14.复指数序列njenx)(0)(式中0为数字频率njenenxnn00sincos)(将复指数表示成实部与虚部其示意图如下：5.正弦序列( )sin()x nAn正弦与余弦序列示意图如下：nnxE2)( 1.1.3 序列的分类1、能量信号与功率信号序列能量E定义： * 平

4、均功率定义：EKnxKPkKKnk121lim)(121lim2 能量为有限值，平均功率等于0的信号称为能量信号。 能量为无限值，平均功率为有限值的信号称为功率信号。例 1-1-3 设离散信号x(n)的表达式为 x(n)=6(-1)nu(n)判断信号是能量信号还是功率信号。解：信号的能量为0236)(nnnxE1812) 1(36lim) 136(121lim0KKKPkKnk可见信号的能量为无限的，但其功率为 若序列x(n) 满足 ：x(n)=x(n+N) ，且N是使其成立的最小正整数，则称序列x(n)为以N为周期的周期序列。 2、周期信号与非周期信号下图为周期序列示意图n设 x(n)=As

5、in(0n+)，那么 x(n+N)=Asin(0(n+N)+) =Asin(0n+0N)如果 x(n)=x(n+N)则要求N= (2 / 0)k ，式中k,N均取整数，且k的取值保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列才是以N为周期的周期序列。即：正弦序列不一定是周期序列。正弦序列有以下三种情况：1.当20为整数时，k=1,正弦序列是以20周期的序列。2.当20不是整数时，是一个有理数时，设20=P/Q，式中P、Q是互为素数的整数，取k=Q,那么N=P，则正弦序列是以P为周期的周期序列。3.20不是有理数时，任何整数k都不能使N为正整数 ，因此，此时正弦序列不是周期序列。例 1-1-2 求

6、x(n)=sin(4n/3)的周期N。解：因为0n= 4/3， 所以 N= 2k / 0= 6k/4， 取k=2，得到N的最小正周期数即x(n)的周期为N=3。 3、对称信号与非对称信号对称信号：( )()eex nxn非对称信号：( )()oox nxn 1( )( )( )2eox nx nx n1( )( ( )()2ox nx nxn1( )( ( )()2ex nx nxn 1.1.4 序列的基本运算1. 序列的加减 序列的加减指将两序列序号相同的数值相加减，即)()()(21nxnxny示例见下例：求z(n)=x(n)+y(n)解： z(2)=x(2)+y(2) z(1)=x(1)

7、+y(1)z(0)=x(0)+y(0)2. 序列的乘积 序列的乘积是指同序号的序列值对应相乘。即)()()(nynxnz示例见下 z(1)=x(1)y(1)解： z(2)=x(2)y(2)z(0)=x(0)y(0)例：求z(n)=x(n)y(n) y(n)=x(n-n0) n0 0右移如图：当 n0 =3时3. 序列的延时 序列的延时是将序列全体在时间轴上移动。4. 序列乘常数 序列乘以常数指将序列的每一个值都乘以常数，即 y(n)=ax(n) 序列的反褶指将序列以n=0为对称轴进行对褶。5. 序列的反褶 y(n)=x(-n)如下图所示：问题：已知x(n):画出x(n-2), x(2-n)的图

8、形。6.序列的差分运算 序列的差分运算指同一序列相邻的两个样点之差，分为前向差分和后向差分。 )() 1()(nxnxnx前向差分：) 1()()(nxnxnx后向差分：比较上面两式，显然有) 1()(nxnx当对序列进行多次差分时，就变成高次差分。如二次差分)2()1(2)()1()()()(2nxnxnxnnxnxnx7.序列的抽取与插值y(-1)= x(-13)y(0)= x(03)y(1)= x(13)解： * 序列的抽取：指将原来的序列每隔M个样点保留 一个样点，去掉其中的M-1个样点 形成的新序列。 y(n)=x(nM)如图所示，取M=3,则y(n)= ？其分解过程见下例* 序列的

9、插值：指在原来序列的每两个样点之间等 间隔的插入L个新的样点，从而变成 一个具有更多样点的新序列。分解过程如下：其他02,0)/()(LLnLnxny例 1-1-1 )()()(3) 5()(2)()() 1 (, 5, 5,0002)(,0003)(1211312212121nyanxanynxnynxnyaannnxnnnxnn）（）（求：0233505)()()(312113nnnyanxanynn）（0002)()(121nnnxnyn）（解：5053)5()()2()5(12nnnxnyn 任意序列x(n)都可用单位脉冲序列表示成加权和的形式，即 1.1.5 用单位脉冲序列表示任意序

10、列mmnmxnx)()()()(n其他01010)(nanxn如:)()(1010mnanxmm可表示为例：( )2,4,0,4,3 x n ( )2 (1)4 ( )4 (2)3 (3)x nnnnn思考：P25,习题1 离散时间系统，是指将输入序列变换成输出序列的一种运算。 用T 表示变换关系，示意图如下。 y(n)=Tx(n) 1-2 离散时间系统离散时间系统 1.2.1 线性时不变系统则有若系统满足叠加原理 )()()()()()()(,)()(,)()(2211221122112211nyanyanxTanxTanxanxaTnynxTnynxTny*线性时不变系统的性质1. 线性性

11、那么该系统就是线性系统。 若系统变换关系不随时间变化，亦即系统的输出随输入的移位而相应移位但形状不变，称作时不变系统。 2. 时不变特性 （或移不变特性 ） 设 y(n) = Tx(n) 则有 Tx(n-n0)=y(n-n0)， n0为常数用公式表示例1-2-1 证明以下系统为线性时不 变系统.nmmxnxTny)()()(证明： 线性性线性性 设有序列x1(n)和x2(n)及常数a1和a2则有 1 12 21 12 2112211221 12 2( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )nmnnmmT ax na x nax ma x max m ax maT x na

12、T x nay na y n故知该系统为线性系统。时不变特性时不变特性：由于nmkmxknxT)()(在上式中令i=m-k，则上式右边变为)()()(knymxixknmkni可见系统为时不变系统。讨论0( ) ( )( )nmy nT x nx m的线性是不变性？ 1.2.2 线性时不变系统的基本元件线性时不变系统的由以下3个元件组成1) 加法器，用于实现序列的加法运算，其 图形表示如图a所示。2) 系数乘法器，用于实现序列的乘以常数的运算，其图形表示如图b所示。3) 延时器，用于实现序列的延时操作，其 图形表示如图c所示。 *如下图就是利用这些元件实现的一个简单的线性时不变系统的框图其数学

13、表达式为y(n)=x(n)+ay(n-1) 若给线性移不变系统输入单位脉冲(n)，则其输出y(n)称为单位抽样响应，常用h(n)表示，即 1.2.3 单位脉冲响应与线性时不变系统 的卷积表示)()(nTnh 若已知系统的h(n)，对于任意的输入x(n)，对于线性是不变系统而言，如何求其输出y(n)？)()()()()()( )()()()(nhnxmnhmxmnTmxmnmxTnxTnymmm 上式为x(n)与h(n)的线性卷积，它说明线性时不变系统的响应等于输入序列与单位脉冲响应序列的卷积。一般用h(n)代表系统，示意图如下( )( )* ( )y nx nh n*可交换性)()()()()

14、(nxnhnhnxny)()()()()()()()()()()()(211221nhnxnhnhnxnhnhnxnhnhnxny*结合性 1. 卷积的性质 若有两个级联系统h1(n)和h2(n)，如图所示，则有)()()()()()()()(2121nhnxnhnxnhnhnxny*分配性 若有两个并联系统h1(n)和h2(n)，如图所示，则有以上两图中的系统分别等效 卷积的计算过程包括以下四个步骤： 反褶, 移位,相乘,求和2. 卷积的运算1) 反褶 ，先将x(n)和h(n)的变量n换成m，变成 x(m)和h(m)，再将h(m)以m=0为轴反褶成h(-m)。2) 移位，将h(-m)移位n，

15、变成 h(n-m)，n为正数，右移n位，n为负数，左移n位。3) 相乘，将 h(n-m)与x(m)在相同的对应点相乘。4) 求和，将所有对应点乘积累加起来，就得到n时刻的卷积值，对所有的n重复以上步骤，就可得到所有的卷积值y(n)。例 1-2-2 设 nnnhnnnnx其他其他0201)(0312)(31)()()()()(mmnhmxnhnxny求：下面举例说明x(m)01231/213/2m012m1h(m)解：先给出x(m)和h(m)的图形反褶 .以m=0为对称轴，折叠h(m) 得到h(0-m)x(m)0 1 2 31/213/2m012m1h(m)-1 0 1 2 3 4 5y(n)n

16、可见， 当n1时，x(m)与h(n-m)无交叠，相乘处 处为零，即y(n)=0，n5时，x(m)与h(n-m)无交叠，相乘处 处为零，即y(n)=0，n5x(m)0 1 2 31/213/2m01 2m1h(m)3 45 6n5右移综上可得y(n)如下23123) 5 (251012311021) 4 (312311121) 3 (2311121) 2 (2110121) 1 (yyyyy0 1234 5y(n)n1/23/235/23/2n5时y(n)=0若有限长序列x(n),y(n)长度分别为N1，N2，序列z(n)为x(n),y(n)的线性卷积序列，则z(n)的长度为N1N21若x(n)

17、序列区间为：N1N2若y(n)序列区间为：N3N4问：z(n)序列区间为：？思考：P26，7 因果性是指系统在n时刻的输出只取决于n时刻以及n时刻以前的输入，而与n时刻以后的输入无关。 1.2.5 系统的因果性与稳定性1. 系统的因果性 线性时不变因果系统的充要条件为 h(n)=h(n)u(n) 因果性说明了系统的可实现性。 如果系统的输出与将来的输入有关，该系统为非因果系统，是不可实现的。 证明： 充分性充分性 若nn0的x(m)无关。 因此，该系统为因果性系统。下面证明线性时不变因果系统的充要条件下面证明线性时不变因果系统的充要条件100000)()()()()(nmnmmnhmxmnhm

18、xny 必要性必要性 ：采用反证法。假定系统为因果性 系统，但在n0时h(n)0，按卷积公式，对于任何输入x(n)，n0时刻的其输出y(n0)为 这样，由于n n0的x (m) 有关，与系统是因果性系统的假设矛盾。因此必须有n0时h(n)=0。 证毕。2. 系统的稳定性 系统的稳定性是指系统对于任何有界输入，输出也应是有界的。通常称这种稳定性为有界输入有界输出(BIBO)稳定性。系统的稳定条件为nnh)(下面证明系统的稳定条件下面证明系统的稳定条件证明：充分性充分性 ( )( )( )( ) ()( )()()( )nmmmih nMx nKy nx m h nmx mh nmKh nmKh

19、iKM 设，若信号有界，则 可见，输入是有界时，输出亦有界，因此系统为因果系统。必要性必要性 采用反证法。采用反证法。 mmmnmhmhmhmxynhnhnxnh)()()()()0(0)(10)(1)()(则现在令有界输入为。且有假定系统为稳定系统， 即对有界的输入，输出为无界，与系统稳定性的假设矛盾。 因此必须要有条件式 。nnh)( 例 1-2-3 若系统的单位脉冲响应为 h(n)=-anu(-n-1) ， 讨论系统的因果性 与稳定性。解： 因果性因果性 因在n(35)max。 同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入采样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置低通滤波器（抗混叠滤波），阻止高于S/2频率分量进入。 归一化数字角频率 =T=/fs s=sT=22. A/D转换器的基本原理A/D转换器包括三个基本功能 抽样，抽样保持，量化与编码。其框图如下所示： 如果抽样信号 或 通过一理想低通滤波器 ，就可恢复原信号 或 。 txajXa)2(s txajXa1.4.2 抽样信号的恢复与D/A转换器1. 抽样信号的恢复1）低通滤波器 的冲激响应h(t) 由抽样信号恢复原来的连续时间信号的过