第2节　证明不等式的基本方法

1、第第2 2节证明不等式的基本方法节证明不等式的基本方法考纲展示考纲展示通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法: :比较法、综合法、比较法、综合法、分析法分析法. .知识梳理自测知识梳理自测考点专项突破考点专项突破解题规范夯实解题规范夯实 知识梳理自测知识梳理自测 把散落的知识连起来把散落的知识连起来1.1.比较法比较法知识梳理知识梳理 方法方法原理原理作差法作差法a-b0a-b0abab作商法作商法_ab(a0,b0)ab(a0,b0)1ab2.2.综合法与分析法综合法与分析法(1)(1)综合法综合法: :从从 出发出发, ,利用定义、公理、定理、性质

2、等利用定义、公理、定理、性质等, ,经过一经过一系列的系列的 、论证而得出命题成立、论证而得出命题成立. .(2)(2)分析法分析法: :从从 出发出发, ,逐步寻求使它成立的逐步寻求使它成立的 条件条件, ,直至所需直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实条件为已知条件或一个明显成立的事实( (定义、公理或已证明的定理、性质定义、公理或已证明的定理、性质等等),),从而得出要证的命题成立从而得出要证的命题成立. .3.3.反证法与放缩法反证法与放缩法(1)(1)反证法反证法证明命题时先假设要证的命题证明命题时先假设要证的命题 , ,以此为出发点以此为出发点, ,结合结合 , ,应应用公理、

3、定义、定理、性质等用公理、定义、定理、性质等, ,进行正确的推理进行正确的推理, ,得到和命题的条件得到和命题的条件( (或已证或已证明的定理、性质、明显成立的事实等明的定理、性质、明显成立的事实等) ) 的结论的结论, ,以说明假设不正确以说明假设不正确, ,从从而得出原命题成立而得出原命题成立, ,我们把这种证明方法称为反证法我们把这种证明方法称为反证法. .已知条件已知条件推理推理要证的结论要证的结论不成立不成立已知条件已知条件矛盾矛盾充分充分(2)(2)放缩法放缩法证明不等式时证明不等式时, ,通过把不等式中的某些部分的值通过把不等式中的某些部分的值 或或 , ,简化简化不等式不等式,

4、 ,从而达到证明的目的从而达到证明的目的, ,我们把这种方法称为放缩法我们把这种方法称为放缩法. .放大放大缩小缩小a=b=ca=b=c不小于不小于不小于不小于a a1 1=a=a2 2=a=an n双基自测双基自测 (A)(A)综合法综合法 (B)(B)分析法分析法 (C)(C)反证法反证法 (D)(D)归纳法归纳法B B 解析解析: :根据条件和分析法的定义可知选项根据条件和分析法的定义可知选项B B最合理最合理. .故选故选B.B.2.2.已知已知a+b+c0,ab+bc+ac0,abc0,a+b+c0,ab+bc+ac0,abc0,用反证法求证用反证法求证a0,b0,c0a0,b0,c

5、0时的反设为时的反设为( ( ) )(A)a0,b0,c0(A)a0,b0,c0,c0 (B)a0,b0,c0(C)a,b,c(C)a,b,c不全是正数不全是正数 (D)abc0(D)abc0,b0,c0”,a0,b0,c0”,应为应为a,b,ca,b,c不全是正不全是正数数, ,故选故选C.C.答案答案: :9 9 考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 比较法证明不等式比较法证明不等式反思归纳反思归纳 比较法证明不等式的方法与步骤比较法证明不等式的方法与步骤(1)(1)作差比较法作差比较法: :作差、变形、判号、下结论作差、变形、判号、下结论. .(2)(2

6、)作商比较法作商比较法: :作商、变形、判断、下结论作商、变形、判断、下结论. .提醒提醒: :(1)(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时, ,一般使用作差一般使用作差比较法比较法. .(2)(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时, ,一般使用作商比一般使用作商比较法较法. .考点二考点二 用综合法、分析法证明不等式用综合法、分析法证明不等式反思归纳反思归纳(2)(2)用分析法证明不等式时用分析法证明不等式时, ,不要把不要把“逆求逆求”错误地作为错误地作为“逆推逆推”, ,分析的过分

7、析的过程是寻求结论成立的充分条件程是寻求结论成立的充分条件, ,而不一定是充要条件而不一定是充要条件, ,同时要正确使用同时要正确使用“要要证证”“”“只需证只需证”这样的连接这样的连接“关键词关键词”. .(3)(3)分析法与综合法常常结合起来使用分析法与综合法常常结合起来使用, ,称为分析综合法称为分析综合法, ,其实质是既充分利其实质是既充分利用已知条件用已知条件, ,又时刻瞄准解题目标又时刻瞄准解题目标, ,即不仅要搞清已知什么即不仅要搞清已知什么, ,还要明确干什么还要明确干什么, ,通常用分析法找到解题思路通常用分析法找到解题思路, ,用综合法书写证题过程用综合法书写证题过程. .

8、考点三考点三 用反证法证明不等式用反证法证明不等式【例例3 3】 (2019(2019银川月考银川月考) )已知已知a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4100,100,求证求证:a:a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,a4 4中至少有一中至少有一个数大于个数大于25.25.证明证明: :假设假设a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,a4 4均不大于均不大于25,25,即即a a1 125,a25,a2 225,a25,a3 325,a25,a4 425.25.则则a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4100,100,这与已知这与已知a a1 1+

9、a+a3 3+a+a3 3+a+a4 4100100矛盾矛盾. .故假设错误故假设错误. .所以所以a a1 1,a,a2 2,a,a3 3,a,a4 4中至少有一个数大于中至少有一个数大于25.25.反思归纳反思归纳 对于某些问题中所证结论若是对于某些问题中所证结论若是“都是都是”“”“都不是都不是”“”“至至多多”“”“至少至少”等问题等问题, ,一般用反证法一般用反证法. .其一般步骤是反设其一般步骤是反设推理推理得出矛盾得出矛盾肯定原结论肯定原结论. .考点四考点四 放缩法证明不等式放缩法证明不等式反思归纳反思归纳 放缩法的关键是控制放缩的幅度放缩法的关键是控制放缩的幅度, ,幅度过大

10、或过小都会与所证不幅度过大或过小都会与所证不等式有差异等式有差异. .备选例题备选例题 解题规范夯实解题规范夯实 把典型问题的解决程序化把典型问题的解决程序化【典例典例】 (10 (10分分) )(2019(2019全国全国卷卷) )已知已知a0,b0,aa0,b0,a3 3+b+b3 3=2,=2,证明证明:(1)(a+b)(a:(1)(a+b)(a5 5+b+b3 3)4;)4;利用综合法证明不等式利用综合法证明不等式满分展示满分展示: :(1)(a+b)(a(1)(a+b)(a5 5+b+b5 5)=a)=a6 6+ab+ab5 5+a+a5 5b+bb+b6 61 1分分=(a=(a3 3+b+b3 3) )2 2-2a-2a3 3b b3 3+ab(a+ab(a4 4+b+b4 4) ) 3 3分分=4+ab(a=4+ab(a2 2-b-b2 2) )2 24 4分分所以所以(a+b)(a(a+b)(a5 5+b+b5 5)4. )4. 5 5分分(2)a+b2.(2)a+b2.答题模板答题模板: :第一步第一步: :展开不等式的左边并适当整理展开不等式的左边并适当整理; ;第二步第二步: