集合问题解法摭谈(数学)

1、集 合 问 题 解 法 摭 谈清远市第一中学 李国强集合概念及基本理论是高中数学的主要基础知识，也是现代数学的重要基础，它贯穿高中数学的各知识点，渗透到高等数学的许多分支中，是高考每年必考内容之一。集合问题一般分为两种类型，一是涉及集合本身的问题，二是集合与其他数学知识的综合问题。现对集合问题的一般性解法探讨如下，仅供参考。一、利用集合概念例1、设集合，则必有（ ）A、A=BB、C、D、分析：易错选A。错因是对集合概念不清楚。事实上，集合A 是由点集成的单元集合；而集合B是由和集成的二元数集。故，选B。例2、已知集合，则集合A与B的关系是（ ）A、B、C、D、分析：易误认为集合A与集合B的关系

2、只能是包含或被包含的关系，错选C或D。其实， 故选A。评述：因集成集合的元素可以是一些数，一些点，图形，整式，物体，甚至是集合等；因此，在判断集合与集合的关系时，先确认集成集合的元素的意义和属性。例3、设集合，试判断集合 M与N的关系解法一： 观察可得，解法二： 当时，即当时， 即综合，知，评述：例3中解法一用了集合列举法，使集合问题直观化，以便分析和解决集合问题。类似问题有：问题1：设，则必有（ ）A、A=BB、C、D、问题2：集合，则等于（ ）A、B、C、D、问题3：已知全集，集合 ，则（ ）A、B、C、D、二、利用集合性质例4、已知，且，求；实数a，b值解法一：由集合元素的互异性观察：知

3、。当时，由得 此时， ，。当时，此时，矛盾。时无解综合，知，。解法二：由得下列方程组，即由集合元素的互异性，有。解方程组得，。例5、设集合，集合M是集合A的任一非空子集，M中所有元素的和记为S（M），求和S（M）的总和。解：由集合元素的无序性知，在总和中，A中每个元素出现次数均等，即个数相同，且为 评述：利用集合性质，是解决此类总问题的关键。类似问题有：问题4：若集合，其中，M与N是相同集合，求q的值.问题5：求实数集中元素x所有满足的条件。问题6：对集合的每一个非空子集A，我们将A中的每一元素都乘以，然后求和，求所有这些和的总和。三、等价转换例6、已知，且，求实数p的取值范围。解：转换为：方

4、程无正实根，即只有非正根或无解。注意到，方程两根之和为1，故若方程有两根，则必同号且无零根。当方程只有负根时，则，解得；当方程无根时，则，。例7、已知三个集合：，,，且满足，求t的范围。解：将转化为.。 令且则，其对称轴，故y在上为减函数。的取值范围为：。例8、设是否存在正整数k,b使？解：条件且，由 ，消去y得：。为正整数，。，即： 。又由消去得： ，即： 。 由知，故或。当，由。当时，由：。 k为正整数， k=1且k=1且b=2时，式为0<4,显然成立。存在正整数k=1,b=2,使.评述：集合问题一般都是用数学符号表述，具有一定的抽象性，故须对集合问题施行有效的等价转换，把用符号语言

5、表述的集合问题准确地翻译成熟悉的其他数学问题，有利于集合问题得到解决。类似问题有：问题7：设且求a，b的值。问题8：集合问a取何值时，。问题9：设集合若（AB）C=，。四、分类讨论例9、已知若求m的范围。解：。 根据图41，当，有m+12m-1-25x图4-1 ，此不等式组无解。 根据图42，当-25m+12m-1x图4-2解得：m>4。 当。由。例10、设A，B是两个不同的集合，则最多有多少对A和B满足：解：分类讨论：若；若A=； 若A=b,则B=a或B=a,b；若A=a,b,则B=a或B=b或B=。 综上所述，满足题设条件的A和B共有8对。评述： 由题设条件（例9）和集合概念及性质（例10）引出的讨论，应视其限制条件进行分类，做到无遗漏又无重复。例11、设C,求实数a的取值范围。-2204Cxy图4-3解： 。（1）当。解得，。（2）当时，4。解得，。综合（1）（2）得。评述：含参数的集合问题要对参数的允许值进行全面讨论，做到合理分类，统一标准，全域讨论，同样做到无遗漏无重复。如果集合的元素具有明显的几何意义时，则可用图形帮助分类，如解例11时，可用图4-3作参考