数学命题中的失误例谈

1、数学命题中的失误例谈浙江省诸暨中学 邵跃才 311800编拟数学习题是每一位数学教师的基本功，它是一项艰苦而细致的工作。纵观近几年各地的高考模拟试卷和数学复习资料，尽管命题者在命题的科学性、合理性、严谨性等方面作出了很大的努力，但疏漏现象仍时有发生。一个不合理或错误的命题，不但浪费学生宝贵的时间和精力，而且可能把初学者引入歧途，给学生的逻辑思维能力的形成和发展带来损害。本文试以近年来各地的数学复习资料和高考模拟试卷中一些命题的失误现象为例加以剖析，以引起命题者和教学者的注意，避免或减少此类失误，做到防患于未然。1 忽视隐含条件例1 过点A（1，）作双曲线的弦，此弦被A点平分，求这弦所在的直线方

2、程。 （浙江教育出版社解析几何精编99版）解 设所求弦与双曲线交点为M（x1，y1）、N（x2，y2）则相减得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)=0x1x2=2, y1y2=1剖析 上述解法是正确的，但求得的直线是双曲线的一条渐近线，显然与双曲线无交点。错误原因是命题者设计题目时忽视了直线与双曲线相交的隐含条件“0”。修正方法是：调整A点的坐标。例2 若长方体的对角线长为8cm，它的长、宽、高之和为14cm，求长方体的表面积。解 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c厘米，则 即S表=132cm2剖析 命题者的意图是考查学生整体思考的数学思想方法和长方体有关的知识，但在设计题目时

3、忽视了隐含条件，即即对角线长大于8cm，所以上面题中的长方体是不存在的，修正方法是：调整长方体的对角线长。2 选择支编拟不当例3 ABC的三个内角是A、B、C，若cosA>sinB,则C是（ ）A锐角. B.直角. C.钝角. D.锐角、直角、钝角者有可能.解 由cosA>sinB可知A为锐角，又cosA>sinBcosA>cos(B)及余弦函数在（0，）上的单调性可得，故选C。剖析 命题者的意图是通过上面解法选C，但上述解法是错误的。因为B不一定是锐角，也可能是负角。当B为钝角时，C为锐角；当B为锐角时，C为钝角；C不可能是直角。修正方法是：改“C是”为“ABC的形状

4、是”,选择支的形式也相应修改。 3与条件相悖例4直线2xy1=0是ABC的一条内角一部分线，点A（1，2）、B（1，1）是两个顶点，求顶点C的坐标。 （任志鸿数学优化设计）解 点A（1，2）、B（1，1）不满足方程2xy1=0，所以直线2xy1=0是ACB的平分线，设A（1，2）关于直线2xy1=0的对称点是A/(a，b )，则A/在直线BC上 解得，即A/（）所以直线BC的方程为x2y+3=0解方程组得C点坐标为（）剖析 上述解法没有错误，但求得的直线BC的方程x2y+3=0刚好与ACB的平分线2xy1=0互相垂直，即此时A、B、C三点共线，这与题设“ABC”相矛盾。修正方法是：调整A点（或

5、B点）的坐标或改ACB的平分线的方程。4赋值不当例5 已知是定义在R上的偶函数，若是奇函数，且=则的值等于（ ） （天津市2001年高考模拟试题）（A）2000 （B）2001 （C）2000 （D）2001解 =又= =，=，故选B分析 从上述解法可看出，但另一方面，是定义在R上的奇函数，故。错误原因是命题者对赋值不当。修正方法是：改“”为及选择支。5条件不充分例6 国际上常用恩格尔系数（记作n）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为，各种类型家庭的n如下表所示：家庭类型贫 困温 饱小 康富 裕最富裕nn>60%50%<n60%40%<n50%30%<

6、n40%n30%根据某市城区家庭抽样调查统计，1996年至2001年间，每户家庭消费支出总额每年平均增加680元，其中食品消费支出总额每年平均增加100元。（1）若1996年该市城区家庭刚达到小康，且该年每户家庭消费支出总额为8600元，问2001年能否达到富裕？请说明理由。（2）若2001年比1996年的消费支出总额增加34%，而其中食品消费支出总额增加10%，问从哪一年起能达到富裕？请说明理由。(绍兴市2002年高三模拟试题)解（1）由题意，1996年该市城区家庭刚达到小康，故n=50%，又1996年每户家庭消费支出总额为8600元，所以1996年每户家庭食品消费支出总额为8600

7、5;50%=4300元。到2001年该市城区每户家庭的消费支出总额为8600+680×50%=12000元，每户家庭的食品消费支出总额为4300+5×100=4800元。2001年的恩格尔系数，刚好达到富裕。（2）设1996年每户家庭消费支出总额为a，食品消费支出总额为b，则设经过x年可达到富裕，则由题意得恩格尔系数x6，即从2002年起可达到富裕。分析 这是一道经济学范畴内的数学应用题，题（1）没有错误。但题（2）在命题者所提供的“1996年至2001年间，每户家庭消费支出总额每年平均增加680元，其中食品消费支出总额每年平均增加100元”的条件下，求得从2002年起能达到富裕，而从2001年起每户家庭的消费支出总额和食品消费支出总额是否仍按原方式增长？题中没有交待清楚，因此，题（2）的条件不充分。修正方法是：把“1996年至2001