(22-16)高中数学学生说题的尝试与研究(高中数学讲座16)

1、高中数学学生说题的尝试与研究（高中数学讲座16）主讲人：钟炜（四川省自贡市荣县教研室书记） 时间：2014年10月12日(编号：zhongwei196207blog2216)编者按:本人对(钟炜的博客)“（第22类）高中数学讲座”分为若干个专题,每个专题分为几个版块。本文高中数学学生说题的尝试与研究（第22类高中数学讲座之专题16分为两讲每讲几节. 致谢各位原作者和诸位读者。钟炜博客第22类(高中数学讲座)-“高中数学说题”编写（阅读）导引：（1）高中数学说题材料选编(讲座12)；（2）高中数学教师说题材料选编(讲座13)；（3）高中数学教师说题比赛材料选编(讲座14)；（4）高中数学说题教学

2、的实践与研究(讲座15)；（5）高中数学中学生说题的尝试与研究(讲座16)。讲座内容第一讲 高中数学教学学生说题的尝试实践第1.1节 高中数学习题课学生“说题”教学模式初探第1.2节 高中数学教学中学生说题的尝试与反思第1.3节 “学生说题”教学方法的初探提高高三复习习题讲评课的有效性第二讲 高中数学学生说题的探索研究第2.1节 高中数学学习中学生说题的现状及模式研究第2.2节 高中学生数学说题活动研究第2.3节 高中数学(学生)“说题”初探第2.4节 让（高中）学生在数学解题后学会说题第一讲 高中数学教学学生说题的尝试实践第1.1节 高中数学习题课学生“说题”教学模式初探第1.2节 高中数学

3、教学中学生说题的尝试与反思第1.3节 “学生说题”教学方法的初探提高高三复习习题讲评课的有效性第1.1节 高中数学习题课学生“说题”教学模式初探作者：陆栋（浙江绍兴市鲁迅中学城南校区）来源：数学教学通讯（教师版）2012年第12期 转载：知网空间（注：原稿为PDF，钟炜将其转编为word,原PDF稿另行转发）摘要：习题课作为高中数学课堂教学的一种重要课型，能有效地巩固学生双基，渗透先进数学教学方法，培养学生的运算能力、逻辑思维能力和抽象概括能力等因此，本文在新课程理念的指导下，从课前师生准备说题、课中学生说教师评、课后整合说题内容三环节，探究在教师引导下，以学生说题为主的新型课堂教学模式的可行

4、性和前瞻性关键词：高中；习题课；说题教学一、问题的缘起1 数学习题讲评课的地位高中数学习题课是高中数学课堂教学中的一种重要且常见的课型，它是数学教学过程的重要环节，是活跃学生思维、巩固学生所学知识和反馈学习信息的常用手段通过习题的测试及时反馈学生存在问题、困惑以利于教师及时调整教学进度、方法，进而培养学生的技能、形成良好的思维2 教师在习题讲评课中的错误倾向（1）认识不足。教师没有充分认识到习题讲评课的重要性，缺乏对习题课的研究分析，往往认为习题课就是简单地对答案，流水式地传授解题过程，很少对学生的学习情况和接受能力进行关注所以，在他们那里习题课逐渐就演化为可有可无的一种课型（2）学生自主学习

5、的时间和空间不足。上习题讲评课时，教师往往表现得主观意识很强， 过度发挥了主导作用，课堂上不是沿着学生的思路去分析问题、解决问题，而是把学生引入自己的思路中， 阻碍了学生的思维发展 很多教师往往在习题课上一讲到底，忽视学生的反应，这样往往达不到教学效果二、模式初探习题讲评课是师生双方互动的一个“反馈矫正”的过程传统的习题讲评课是以教师讲评为主，教师讲知识点，讲答题思路、解题策略和数学思想等，而学生只是作为一群静听和判断自身解题是否正确的哑巴听众本文旨在新课程理念的指导下，对习题讲评课进行变革，以“学生说课、教师评课”的新型教学模式，来改善习题课的教学效率1. 课前：师生准备（1）教师全面分析：

6、备课。把习题课堂还给学生并不等于教师可以放任自流，不需要备课教师在上课前应对批改过的作业进行分析，包括评价题目的难易程度、各知识点的分布情况和统计典型的得分率，对各种典型性的错误点应进行分类统计，揣测学生的解题思路和方法， 找出其致错的原因，而对那些解法独特，有创新意义的方法以及进步显著的学生也应做好登记在此基础上认真编写学案，确定出大致的说题范围与重难点，落实好说题人员，预设好大致的教学流程，以及准备好一些相关的题型和知识点 所以，教师不仅要熟悉习题中的每个题目，而且要对学生的做题情况做总体的分析，预设学生的课堂表现，以采取行之有效的预防和对症措施（2）全体学生自我反思：纠错。首先，对于作业

7、中做错的题目，学生要努力分析其原因所在，争取独立找出解题答案；如果学生在自己独立思考的基础上，仍然得不到答案，这时就需要积极地向别人求助，找到错误的症结所在，以纠正错误错题改正是个非常重要的学习任务，这个过程可以让学生充分了解自身的不足，进行补缺补漏，是学生再学习、再认识、再提高的深化过程，同时也是学生进行反思性学习的重要手段（3）说题学生收集资料：热身。在课堂上要参与说题的学生，教师应事先组织并提前通知，学生可以通过小组讨论，收集整理资料，对错题难题的再次挖掘等方法，做好说题准备说题学生也可以以团队的模式参与到说题中来2课中：学生说题教师点评（1）说题前分析。教师在上课前先以书面或口头的形式

8、给出最近一段时间的作业或者刚进行的测试中学生出现的主要错误类型，错题的知识分布，以及具体的各题错误率，错误发生的主要原因公布给每位学生（2）学生说题吃透题意，说出要点。在这个过程中，参与说题的学生应当在课堂上说出自己对题目的认识和理解，并能说出解题的大体思路和过程，以及问题的拓展、延伸和感想等听讲说题的其他学生则可以随时参与到说题中来，指出某位同学说题的不当或者自己的想法和见解教师作为说题教学的组织者，不可过多干涉，也不可过于放任，应该适度引导，适时点评和赞扬说解题之成功。在说题过程中，学生把好的解题思路和方法介绍给其他同学，不仅能锻炼自身的表达能力，增强自信心，而且能够拓展其他同学的解题思维

9、，加强彼此间的交流，享受共同解题的乐趣，激发学生的求知欲【案例1】设O为坐标原点， 给定一个定点A（4，3），而点B（x，0）在x正半轴上移动，l（x）表示AB 的长，则ABC中两边长的比值x/l（x）的最大值为（ ）A 4/3 B 5/3 C 5/4 D 4/5错解：y= x/l（x）= x/根号（4x）2+9，当x=4时，ymax= 4/3正解：y = x/l（x）= x/根号（4x）2+9 =x/根号x28x+25= 1/根号（18/x）+（5/ x）2= 1/根号（5/ x）-4/52+9/25，所以x= 25/4时，ymax=5/3图1（见PDF稿）本题有效地考查了学生的综合运用能力

10、考后发现很多学生找不到解题的突破口，有的答案正确，但思路不明确，靠直觉思维得到结果，而更多的学生选了A，均是由错解而得 由于x/根号x28x+25到1/根号（18/x）+（5/ x）2，再配方得到1/根号（5/ x）-4/52+9/25是一个难点。如果仅仅由教师分析，学生能听懂，但无法理解为什么要这样做事实上，本题有更好的解法，实践中，说题的学生提出了各种优美的解法，如：学生甲：我用的是数形结合法，利用正弦定理，在AOB中， OB/sinOAB=AB/sinAOB，y = x/l（x）= sinOAB/sinAOB=sinOAB/（3/5），所以当sinOAB=1时，ymax=5/3。他一说完

11、，大家“哇”声一片，自然流露出一种敬佩和喜悦的神情，共同享受着数学解题的乐趣说解题之失败。学生说题最重要的是能说好“错因”，其次才是说“妙解”，因为认识错误和认清错误比答案更重要，何况没有认清错误也就不会有真正的妙解因此，对于试卷中学生错得比较典型的题目，教师应当让学生加深印象，提高警示，例如请一个学生大声说出这道题以及其错误所在这样，学生才能在深刻认识到错误的基础上进行思考和研究，找出正确的解题思路和方法【案例2】已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn， 且An/Bn=（7n+45）/（n+3）， 则使得an/bn为整数的正整数n的个数是（ ）A2 B3 C4 D5本题主要考查

12、的是等差数列的前n项和与第n项之间的联系， 正确的选项为D考后说题时，发现部分学生在做题时是歪打正着做对的，同样也选了D他们的思路是：An/bn= An/Bn= （7n+45）/（n+3）=7+ 24/（n+3）， 当n=1，3，5，9，21时， an/bn为整数，故选D很显然，这种解法是错误的，如果教师不及时发现，错误做法将永远埋在心里，造成后患无穷的后果 因此， 教师要及时借机引导学生说出正确的做法： an/bn= A2n-1/B2n-1=（14n+38）/（2n+2）=7+ 12/（n+1）， 当n=1，2，3，5，11时，an/bn为整数，故正确选项为D所以，只有让学生大胆表达自己的独

13、特想法，教师才能发现他们的错误根源所在， 才能保证教学的有的放矢而说题学生的典型错法不仅警示了其他学生，更使得自己对问题的本质有了更深一层的理解说瞬间之灵感。在说题教学中，师生在双向互动交流过程中，这种愉悦的合作方式，流畅的思维碰撞，情感的相互融洽，往往能让师生， 尤其是学生产生瞬间的灵感这种瞬间的灵感如果能够及时地表达出来，不仅能够使其身心享受到成功的喜悦，而且能够激发学习兴趣，促进师生间的进一步交流和沟通，进而打开数学思维的创新之门，提高学生的数学能力【案例3】若AB=2，AC= 根号2 BC，则SABC的最大值为多少？学生1：从S= （1/2）absinC入手，以BC=x为变量构造函数，

14、用余弦定理求得cosB=（4-x2）/4x ， 再用同角关系求得sinB =根号（x4+24x216 ）/4x， 利用面积公式S= 1/2·absinC 求出S 和x 之间的关系S =根号（x4+24x16 ）/4根据三角形三边关系求出定义域为x2 根号2 2<x<2 根号2 +2，利用二次函数求出最大值，当x2=12即x=2 根号3 时，S取到最大值2根号 2 学生2：我有不同的解法 因为AB=2（定长），可以AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则A（1，0），B（1，0），设C（x，y），由AC= 根号2 BC可得根号（x+1）2+y2 = 根号2根号

15、（x-1）2+y2 ，化简得（x3）2+y2=8，即C在以（3，0） 为圆心，2 根号2 为半径的圆上运动 又SABC= 12·AB yc = yc 2 根号2 （大家鼓掌！）教师：很好！ 同学们的解法自然巧妙，引人入胜 还有其他解法吗？学生3： 可以先用海伦公式求出S=根号（x4+24x16 ）/4，再根据三角形三边关系求出定义域，利用二次函数求出最大值学生4： 我还有更简单的取AC中点E，则SABC=2SABE，利用相似三角形求出BE=根号 2 ，SABE=1/2×2× 根号2 sinABE根号2 ，所以SABC的最大值为2根号2 3. 课后：整合说题内容（1

16、）教师总结经验，尝试推广。教师在课后可以对本节课的内容进行整理，形成学案供全体学生使用教师还可以尝试构建一个学生交流平台，建立一种行之有效的沟通交流制度，以此促进班级资源的共享（2）学生合理利用学科笔记本。教师可以建议学生准备一本学科笔记本，一方面作为课堂记录本，将课题上精彩的“说题”内容记录下来，自我总结和反思 另一方面也作为纠错本，要求学生对错题进行认真反思出错原因，培养及时改错的良好习惯三、成效与反思1、促进了师生互动，平等交流学生说题，教师倾听；教师讲评，学生提问，通过师生角色的转换，将传统讲评课的单边活动转向师生互动，学生有了自己的发挥舞台，而教师扮演的则是一种引导者和促进者的角色，

17、以此建立良好的师生关系2、促进学生养成良好的反思习惯，从而激发学生学习热情，提高学习效率首先，学生通过对自身的错题不断反思和总结， 相当于对自己的学习过程、内容、方法、思路和步骤等进行反思；其次，学生说课有利于学生对自身的学习水平和外显行为进行自我认识和自我判断；再次，说课反思的过程其实是学生对学习过程中的心理和情感活动过程等进行反思；最后，学生以此为依据，调整和矫正自己，经常订正，做错习题，分析造成错误的原因，以便从失败的经验中吸取教训3、激发学生潜能，享受学习快乐教师把课堂真正还给了学生，课堂成了学生展现自我的舞台， 学生的参与意识，参与的主动性和积极性明显提高，改变了教师讲学生听的状况，

18、课堂有了期盼，观察能力、实践动手能力及分析、处理问题的能力有较明显的提高，学生在课堂中充分感受到了学习的愉悦第1.2节 高中数学教学中学生说题的尝试与反思作者：郑寒御（浙江省衢州市高级中学）来源：基础教育论坛2014年第5期 转载：知网空间（注：原稿为PDF，钟炜将其转编为word,原PDF稿另行转发）一、学生数学学习中存在的问题“上课听得懂，自己做题不会做”；“上课听懂了，可是下课就忘了怎么做”；“虽然我记住了那些公式和定理，可是在解题时我就是用不进去”，这是很多学生在学习数学过程中的感受.以上这些现象在为数不少的学生中存在，那么怎样能提高学生学习数学的兴趣、增强学生学习数学的信心呢？有些学

19、生乍看上去学习很努力，可总是收效甚微，通过观察，我发现学生习惯于听老师讲，自己不主动去思考，不主动去动笔，上课就听老师讲这是一道什么题，怎么分析已知条件，分析解题思路，一下课呢就如过眼云烟，什么都没有了. 所以如何提高学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的信心，让学生自己学会学习数学，学会分析问题、思考问题，提高学生数学学习能力是我们数学教学的首要任务. 我觉得让学生说题对于提高学生的读题能力、提高数学学习能力将是一个很好的途径，由此在课堂教学中作了一些尝试.二、学生参与数学“说题”的策略（一） 上课例题教学、习题教学中的说题训练在上课例题教学和习题的教学中，我一改以前由我为学生读题、由我给学

20、生分析题目中的已知条件、由我给学生讲解解题思路的方式，变成由师生共同分析题目背景，由学生来说题的形式. 要求学生说题主要要说清以下几个方面：1 剖析字句，说题目条件要求学生说题，首先要求学生阅读理解题意，说清已知条件，找出题中蕴含的所有信息.例如：已知3sin2 + 2sin2 = 2sin ,则sin2 + sin2 的取值范围是（ ）.（A）（-3 / 2，1 / 2） （B）（0，4/ 9） （C）（0，1/ 2） （D）（0，1/ 4）很明显的，直接已知条件就是sin 与sin 之间的依赖等式，如果学生不去分析间接已知条件，那么很容易得到自以为很有把握的错误结论：Sin2+sin2 =

21、sin2 +1/2（2sin-3sin2）=-1 / 2sin2 + sin = -1 / 2 (sin - 1) 2 + 1 / 2 由sin （-1，1）及sin2 + sin 0，得sin2 + sin （0，1 / 2），因为忽略了间接条件sin2 = 2sin - 3sin2 0，而造成了错误，因此说题训练中，不但要让学生能找出直接条件，更要让学生学会找出间接条件，根据题目要求，对解题方向作出准确的判断.2 分析综合，说思考过程教学中，教师要充分展示自己的思维轨迹，暴露自己的思维过程，同时，让学生说一个问题的思考过程，以便了解学生真实的思维过程，只有这样，教师才可以了解学生思维的障碍

22、点.例：化简sin2 sin2 + cos2 cos2 - 1 / 2cos2 cos 2 解法一：从“角”入手，想到“化复角为单角”原式= sin2sin2 + cos2 cos2 - 1 / 2（2cos2 - 1）（2cos2 -1）= sin2 sin2 + cos2 cos2 - 1 / 2 （4cos2 cos2 - 2cos2 -2cos2 + 1）= sin2 sin2 - cos2 cos2 + cos2 + cos2 - 1 / 2 =1 / 2思考过程是这样的：题中出现角、2、2，为达到化简的目的，因此想到将角统一起来，即想到了“化复角为单角”.解法二：从“形”入手，想到

23、配完全平方原式=（sin sin + cos cos ）2 - 2sin sin cos cos -1 / 2cos2 cos2 = cos2（ - ）- 1 / 2cos（2 - 2）= 1 / 2思考过程是这样的：题中出现了sin sin 与cos cos 的平方和形式，而sin sin 与cos cos 的和或差就是C ± 的逆用，因此想到了配完全平方，这重要是由“形”的需要所想到的，此法不仅书写简洁，而且记忆也方便.解法三：从“名”入手，想到了“化异名为同名”，原式=（sin2 sin2 +（1 - sin2 ）cos2 - 1 / 2cos2 cos2 = 1 / 2解法四

24、：从“幂”入手，想到了降幂公式，原式= 1 / 4 （1 - cos2 ）（1 - cos2 ）+ 1 / 4 （1 + cos2 ）（1 +cos2 ）- / 2cos2 cos2 = = 1 / 2让学生说解题的思考过程，就促使学生对题目仔细阅读，反复地分析与综合. 只有让学生说，才能促进学生的思，因此“说题”不仅提高了学生的阅读能力，更提高了学生的思维能力，“说题”能让学生从消极被动地接受，转化为积极主动地寻找、概括出各种解法，他们得意的讲解能激起其他同学的好胜心，促使他们更加积极地展开思维，大胆发言，从而提高了学习的自信心和主动性，有效地培养和训练学生的学习能力.3 归纳总结，说解题步

25、骤“思维有方，表达无术”这是当前中学生一个突出的缺陷.借助说解题步骤，可以使学生养成用严谨的数学语言表达数学问题的习惯. 训练了学生的思维能力、口头表达能力，而且养成了学生表述规范、准确，步步有据，不随心所欲，贸然作答的好习惯.4. 分享交流，说解题反思数学教育家波利亚曾谈到：在你找到第一个蘑菇时，继续观察，就能发现一堆蘑菇 这条“蘑菇格言”在数学教学中可以带给我们很大的启发 在问题解决之后，是否结论一定正确？是否有更快捷、更完善的解法？能否进行延伸和拓展？有何启示？这些全靠解题后的反思来解决这正是学生完成自我意识、自我评价、自我调整的过程教师可根据情况，进行适当的一题多解、一题多变、多题组合

26、，注意数学思想和方法的总结、提炼和升华，进一步拓展学生的思维平台，优化解题过程三、说题训练尝试后的反思（一）说题训练后的收获1 说题可以引导学生主动思考. 给学生提供自我表现的机会，也是学生自我表现、自我反思、自我发展的有效方式. 通过说，学生能够顺利地达到自我表现；通过师生交流、讨论，发现自己的不足，达到自我反思.2说题可以展示学生的思维水平，也让学生的思维更清晰. 充分调动全班学生学习的积极性和主动性，你说我说大家说，互相补充，达到合作、交流与探究的目的. 由一个学生向全班学生展示一道题的探究、发现、解决的解题思维过程和方法，能很自然地提供大家许多可说的话题，引发师生积极参与、思考、探究.

27、3说题提高学生的语言表达能力、严密的逻辑思维能力以及抽象和概括的能力.4说题可以提高学生的学习兴趣和学习能力.5说题可以促进学生之间的交流. 通过说题，学生之间的交流也多了，也提高了他们的合作能力.（二）说题训练的注意事项与不足1选题. 所选的题目要适中，不能太难，太难则不易打开思路，特别是刚开始的时候；当然也不能太易，太容易则没有挑战性.2时机. 说题活动的时间比较难安排，不可能每堂课如此，一般在一个星期中选一两节课来进行，并且事先要做好充分准备.3注意小部分学生. 我发现说题时，学习好的同学更乐于参与，积极性较高；成绩不好的同学易昏昏沉沉，效果不好. 所以我们要注意对这一部分学生积极性的调

28、动.第1.3节 “学生说题”教学方法的初探提高高三复习习题讲评课的有效性作者：沈敏华( 浙江省湖州市埭溪中学)来源：数学学习与研究2014年5月 转载：知网空间（注：原稿为PDF，钟炜将其转编为word,原PDF稿另行转发）摘要:在高三第二轮复习中，学生练习、老师讲评的讲练结合的复习模式成为主流，学生自主探究容易被淡化老师备课试图把所有问题归结为某些类型，然后让学生在解决问题的时候“对号入座”上课时习惯于挤牙膏式的“启发”，试想: 学生在高考考场里他的老师能站在他的一旁一点一滴地启发吗? 应该说我们缺的不是题目，缺的是思维为此，我在上习题课时，改变教育观念，以生为本，尝试放手让学生说题( 学生

29、给自己上课) ，将学生的主体作用发挥到极致，使自己成为让学生潜能得到充分发挥的老师关键词:高三复习; 学生说题; 习题课高三二轮复习突出专题归类，注重知识联系，提升分析问题、解决问题的能力，因此对试卷和练习的整合讲评成为二轮复习中的一个重要环节 许多教师仍习惯于传统的“习题评讲习题”的复习模式，对“标准”提出的探究要求不予重视，老师讲得多，无形中剥夺了学生的思考时间，最终导致取得的结果和投入的时间不成正比 具体体现于: “这个问题不是在课堂上讲过了嘛，怎么还是不会呀!”老师难过，学生痛苦 说明学生练习的有效性不高，针对如何提高学生练习和评讲的有效性，笔者结合高三教学的实践，介绍一下让“学生说题

30、”的复习模式，敬请各位同行指正一、兵马未动，粮草先行由老师指定说题的对象，说题的具体过程及要求，学生课外事先准备好实施说题的要求及步骤:1. 学生课外练习( 或课堂测试) 2. 要求学生对每个题目做好解题心得:( 1) 说出你是怎么入手的( 怎么想) ( 2) 说出具体解答过程( 怎么做) ( 3) 整合问题所涉及的知识点( 形成知识“树”) ( 4) 寻找或自编一个类似的变式( 举一反三) 案例1 ( 2010 学年第一学期期末考试高三理科第15题) 在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的顶点A( 4，0) 和C( 4，0) ，顶点B 在椭圆x2/25 + y2/9 = 1 上，则(si

31、nA + sinC)/sinB=- 学生吴某说题: 图1(见PDF稿)1. 入手( 1) 解读椭圆方程: 焦点坐标( 4，0) ，( 4，0) ，参数a = 5，b = 3( 2) 根据题意作图( 黑板演示: 如图1) 2. 解答过程由正弦定理可知: （sinA + sinC）/sinB = （BC + AB）/AC 由椭圆定义: BC + AB = 2a = 10，AC = 2c = 83. 知识点( 1) 椭圆的方程及定义( 2) 解三角形中正弦定理的应用4. 变式1( 自编)在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的顶点A( 4，0) 和C( 4，0) ，顶点B 在双曲线x2/12 y2

32、/4 = 1 的右支上，则（sinA sinC）/sinB =-变式2( 摘抄)在ABC 中，A，B，C 所对边分别为a，b，c，其中A( 4，0 ) ，C ( 4，0 ) ，点B 在以A，C 焦点的椭圆上，（sinA + sinC）/sinB = 5/2，则椭圆的方程为-案例2 ( 2010 年浙江高考) 已知向量，( 0，) 满足| | = 1，且 与 的夹角为120°，则| | 的取值范围是-学生张某说题: 图2(见PDF稿)1. 入手因为该问题涉及了 及向量的夹角，所以我先画个图看看( 黑板演示:如图2) 2. 解答过程通过直观形象，发现该问题可以用“解斜三角形”的知识解决，

33、不过对应“三要素”的要求还少一个，故需设一个角( 如图2) ，此时由正弦定理得: /sin 60°= /sin，| | = （2根号3/3 ）sin ( 0° 120°) ，可得的取值范围3. 知识点( 1) 向量的几何运算，向量的基本概念( 2) 解斜三角形的相关定理( 3) 三角函数的性质( 4) 数学思想: 函数的思想、数形结合的思想4. 变式3( 摘抄)( 2011 年湖州高三数学模拟考试) 已知非零向量a，b 的夹角为60°且满足| a 2b | = 2，则a·b 的最大值为-二、学生现炒现卖，教师回炉重炒适合于课堂练习，给出问题，让

34、学生直接说出问题的解答过程，教师给予适当的引导或提示或修正，真正实现师生合作案例3 设a = ( 1， cos) ，b = ( sin + cos， 2) ，若( 0，2) ，a·b = 15，( 1) 试求sin2 及sin， cos 的值( 2) 设f ( x) = 5cos ( 2x ) + cos2x，试求f ( x) 的最大值学生陈某说题:1. 入手( 1) 条件转化: 由a·b = 1/5利用向量的坐标运算转化( 黑板演示) 得sin cos = 1/5。( 2) 针对结论，确定条件转化目标f( x) = Asin( x+ ) + B2. 解答过程( 1) 利用

35、( sin ± cos) 2 = 1 ± sin2 得sin2由sin cos = 1/5，sin2 + cos2 = 1得sin 和cos 的值( 2) f( x) = 5cos( 2x ) + cos2x = =（ 4根号2）sin( 2x + /4) 3. 知识点( 1) 向量的坐标运算( 2) 三角函数相关公式的应用( 3) 三角函数的性质( 4) 已知三角函数的值求角4. 教师回炉由( sin cos) 2 = 1 sin2 得sin2 后，再由( sin + cos) 2 = 1 + sin2 得出sin + cos = 7/5，由sin cos = 1/5，s

36、in + cos = 7/5得出sin 和cos 是否更简单呢?( 强化公式( sin ± cos) 2 = 1 ± sin2 的应用)5. 教师重炒( 让学生回去做好，下次说题)变式4 若a = (根号3cosx， sinx)，b = ( sinx，0) ，其中 0，记函数f( x) = ( a + b) ·a + k，若f( x) 的最小正周期为，且当x/6 ，/6时，f( x) 的最大值是1/2，求f( x) 的解析式，并说明如何由y = sinx 的图像变换得到y = f( x) 的图像三、做做“马后炮”将学生按不同的程度进行分组讨论，让学生自己“说说”在

37、解题时犯下的错或感到骄傲的事，同学相互之间发发感叹( 当时我咋就没想到呢! 以后我要) ，使学生成为知识点的真正主人，而且很多“奇思妙想”及“民间秘方”就在这里出现了图3（见PDF稿）案例4 如图3，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，DC 的中点，求证: D1F面ADE学生张某谈了基本思路: D1 F面ADE 的法向量学生沈某说: 按这种方式需求面的法向量，这太烦了若由D1 F·AD =-D1FAD，D1F·AE =-D1F AE-D1F面ADE，不是更简单? 他还有趣地说这叫“中( 传统的推理论证) 西( 向量法) 结合”试想: 在如此轻松和谐的

38、环境中探讨问题、交流心得，怎能不会收获意外之“才”呢?总之，让学生说题的形式是多样的、开放的、松弛的，它集想、做、反思于一体，让课堂真正活起来，用集体智慧、睿智的反思相荡而成涟漪，相激而发灵光 学生可以真实地感受到通过自身努力获取解题的技能，享受成功的喜悦 有效性练习就是要学生通过练习，让知识点( 种子) 在学生头脑里生根、发芽，直至成长为一棵知识大树 而这过程需要阳光、养分，更需要防病、防虫 让学生说题正好适合“知识树”的成长 学生说题能让学生的思维充分展现在你的面前，发现其中的漏洞和错误，并及时给予纠正，确保“知识树”无病无虫害，我想这样的教师才是真正意义上的“园丁”第二讲 高中数学学生说

39、题的探索研究第2.1节 高中数学学习中学生说题的现状及模式研究第2.2节 高中学生数学说题活动研究第2.3节 高中数学(学生)“说题”初探第2.1节 高中数学学习中学生说题的现状及模式研究作者：包静怡（江苏省常州市北郊高级中学）来源：数理化学习2013年第11期 转载：知网空间（注：原稿为PDF，钟炜将其转编为word,原PDF稿另行转发）数学中的说题，简单来说，就是运用数学语言，口述探寻数学问题解决的思维过程以及所采用的数学思想方法和解题策略说题是学生数学学习过程中不可或缺的重要手段，而目前高中数学学习中学生说题的现状却不容乐观。一、目前数学教学和学生学习现状还有几个问题被忽视1尽管关注学生

40、的学习成为重要的教学理念，见诸于政策文件和教师的日常话语中，不过，实践中的教还没有真正转向以学生的学为出发点，学生还不是严格意义上学习的主人，数学学习中学生被动听讲、教师灌输知识的现象仍然大量存在 2只关注书写，而忽视了口头表达尤其高中阶段，大多数学生反而不如小学生、初中生那么爱表达、善于表达了，有时即使会做，也不愿意当众说，长此以往，很多学生在应该要说的场合也说不出个所以然来 加上数学学科的特点，本来就是比较抽象的符号化的语言，使得一些学生在数学课堂上表达不清，或者不会用数学的语言进行表达 3对学生的评价只有一个冰冷的分数而已，没有过程性的评价，对于学生在数学学习中体现出来的积极思考、理性分

41、析、合作交流等优秀品质不能得到及时有效的评价和鼓励。二、对高中阶段的学生说题的训练和研究基于以上的现状，笔者对高中阶段的学生进行了说题的训练和研究，发现数学作为一门符号语言，学生学数学其实和学英语是一样的，需要既能做，又能说，说数学其实能更好的促进做数学，两方面是互相补充，相得益彰的首先说题的主体是学生，说题的内容是让学生说出自己对数学题目的认识与理解; 说出题目的条件、结论和涉及的知识点( 包括概念、定理、定义等) ; 说出题目的条件与结论如何进行转化; 在这之中自己是如何进行恰当的联想的，说出与学过的哪一类问题相似; 说出可能用到的数学思想方法; 说出自己的想法和猜测; 说出解题方法是如何

42、想到的; 说出为什么这样想的等其次，在说题模式上笔者采取的是小组合作模式，学生自由组合，两人一组说题分三个环节，第一个环节是准备阶段，两位学生一起找题目，分析题意，解题，共同给出标准解读第二个环节是交流展示阶段 组内两人一人负责板书，一人负责讲解，相互配合，将题目讲解给全班学生听第三个阶段是答疑反馈阶段，讲完后学生如有不清楚的地方，可以提问，两位学生要负责答疑，如果说题的小组表现优秀，全班学生要以自己的掌声表达鼓励这种小组说题的操作模式，实践下来有几个优点比较明显: 一是人数少，两人一组，组内人人有事做，分工明确，避免了小组中由于人数多导致分工不明、互相推诿的弊端比如，交流展示阶段，两人分工很

43、明确，一人板书一人讲解，需要相互配合完成，讲到哪里写到哪里，为了展示的流畅度，两名学生经常会角色互换，看看谁写谁讲发挥的更好，于是两人均能得到全面的锻炼二是促进了学生的自主学习在准备环节，学生要自己找适合自己讲解的题，为了找一道能讲好的题目，两人可能要看至少10 道题，主动进行探究，这样激发了学生的学习热情和主动性三是学生的数学口头表达能力得到了锻炼 交流展示阶段给学生创造了很好的一个平台，每个学生都有机会上台讲题，有的学生第一次可能讲的不好，很紧张，有了经验之后，第二次就比较老练了，甚至笔者发现有些学生还会模仿教师的语态神情，讲题风格，有时讲的不比教师差! 四是说题小组的特点，使得学生合作、

44、交流、互助更多了 要深入理解题目必须相互交流，要成功完成板书和讲解，必须有默契的合作 采用自由组合，笔者发现学生通常会采用强强联手型或是取长补短型，强强联手型往往是两个数学成绩都很优秀的学生组合，他们会定位很高，希望能讲出比较精彩的内容 于是除了组内一起交流，还会寻求教师的帮助，主要目的是将题目讲的更加透彻，或是能加入一些变题使得说题更加有深度 而取长补短型就是一名优秀学生与一名学困生组合，优秀生带着学困生一起做研究，优秀生会在准备阶段承担更多的任务，而在展示阶段让学困生去说题，不仅帮助了学困生的数学学习，而且交流展示阶段的成功会给学困生以无比的成就感，带给他学习数学的动力! 五是答疑阶段让学

45、生更能理解教师了 答疑阶段往往是说题小组最紧张的时刻，也是真正的考验，因为讲解、板书的环节是可以事先准备的，但是答疑环节是动态生成的，学生会问什么问题事先不得而知，没有充分准备的学生可能会在这个环节败下阵来 这个环节不仅考验了学生的数学水平，也让学生了解到做教师的不易，从而师生关系更加融洽了三、通过说题活动，师生都能有收获学生发现会做题不一定会说题，但是如果能将一道题说清楚，讲透彻，这题一定会做!学生体验到了说题的乐趣和成就感，数学课堂的发言也变得积极主动了，讲数学变得不再枯燥无味! 学生之间的交流和沟通变得更加频繁了，而且更多的学生体会到了做教师的辛苦，三尺讲台没有一定的水平可是站不稳的啊!

46、 教师也能从说题中发现学生原生态的思维轨迹，从而更好的为教学服务 除了成绩，学生研究数学题时的百折不挠、坚持不懈，说题时的认真严谨、一丝不苟，答疑时的抓耳挠腮或是镇定自若都让教师看到了成绩背后不一样的学生如何改变教师为中心的教学垄断并替代学生数学学习的现状，深入研究学生是如何展开数学学习的过程，怎样的说题模式与途径才能让看似枯燥的数学学得更好、更快乐，让学生在说题中学会讲数学，学会表达和交流，为学生提供丰富而完整的数学学习生活，提高学生数学学习的能力，从而使得高中学生的数学学习呈现能讲会写，思路清晰，表达流畅的良好状态，值得我们进一步做研究。第2.2节 高中学生数学说题活动研究作者：杨柳惠（福

47、建师范大学教育硕士，申请硕士学位论文）论文提交日期：2014年4月10日 论文答辩日期：2014年5月25日 指导教师：陈清华（教授）转载：知网空间（注：原稿为CAJ，不便于转编为word,原CAJ稿另行转发）第2.3节 高中数学(学生)“说题”初探来源：范文网 日期：2015年9月16日 一、引言 为了较好地了解学生的数学知识建构过程和真实的数学思维情况，锻炼学生的数学语言运用能力，我们在高中数学课堂实践了“说数学”训练，重点让学生在课堂上“说数学”：学生回答提问不仅给出最后的解答结果，还要说出结果是如何得到的；在新授课上，老师注重引导学生自主总结当节课的主要内容、重点、难点和主要数学思想方

48、法；在学习课上，老师创设机会让学生介绍解题思路、解题时需注意的地方和解题体会；让学生大胆发表自己对数学问题的不同见解，有时还叫学生上讲台边板书边讲解自己对数学问题的不同看法等等。概括之，“说数学”包含“说知识”“说过程”“说异见”和“说体会”。 学生“说过程”，能让老师了解学生的分析、解决数学问题的能力水平，比较清楚地了解学生的数学语言障碍情况，能提高学生的元认知能力。实践中发现，不少学生对数学问题“能想明白，但很难表达出来”，也有学生反映：本来想好的解决办法，一上台就忘记了。如此情况主要是他们在数学语言识别、理解、转换、构造、操作、组织、表达等方面都存在不同程度的障碍，也和他们的心理素质比较

49、薄弱有关。教师要较好地消除学生的数学语言障碍，“说过程”是一种可行且有效的方法。 二、“说题”的意义 数学“说题”是学生运用数学语言，口述探寻数学问题解决的思维过程以及所采用的数学思想方法和解题策略。 通过“说题”训练使学生掌握了波利亚的四个解题步骤，提高了解题能力：弄清问题、制订计划、实行计划、回顾。在解题时养成反复阅读问题的习惯，不断反问自己“这个问题属于哪类题型？题目有什么主要的特点？条件能推出什么？要求（证）得结论只要求（证）什么？”使学生的知识缺陷充分暴露，对自己的学习及时检验、反思、总结，以减少错误，寻找问题的实质、关键和解决问题的通性、通法、规律，同时也培养了学生实事求是、一丝不

50、苟的学习态度。“说题”给学生搭建一个互相交流、互相探讨的机会，使学生在交流中进一步理清思路、弄懂问题，甚至产生新的思路、新的解法。“说题”活动是教育教学实践中提炼出来的一种新型双边教学模式。教师首先让学生讲清为什么要“说题”的道理，以达成共识，再通过出声思维的方法向学生展示如何说题，通过学生的说、做达到讲、议、练，再到高度升华。 三、“说题”的方法及活动过程 为了保证学生“说题”活动的有效性，提高学生的解题和说题能力，提高学生的数学思维能力，保证每个同学都能说，知道从何说起，我制定了如下的“说题提示卡”： 1.判断此题考什么知识点，该知识点涉及的公式公理及应注意什么？ 2.此题从何入手，根据题

51、目的条件能推出什么？ 3.说出解题的具体解法和步骤，及其思维过程。 4.是否还有另解？ 以上步骤在帮助学生发现方法，理清思路，提高解题能力方面效果很好。 在具体实施说题时，要求学生先按此步骤考虑两分钟，然后根据题目的难度，请同学起来说出自己的想法，别的同学可按他所说的方法动笔演算，找到不足之处并及时提出补充。 在做此活动时应注意如下几点： 1.学生思维的发展是由低向高阶段性逐步发展和完善的，所以说题的选择也应坚持：难度上先易后难，程序上先课本后课外，知识上先点后面，数量上先单一后成批，广度上先封闭后开放。这样就使得教师对学生的“说题”可以做及时的激励性评价，以增强学生数学学习的自我效能感，从而

52、提高学生数学学习的兴趣。 2.强调说题的步骤方法，保证学生站起来以后有话可说，必要时老师先示范，学生通过模仿后，能够达到会正式说题。 3.学生群体间有优、中、差的差别，个体能力中又有强、弱项之分，教师组织教学不能只为追求气氛，只找好学生说题，应根据不同层次的问题，选择不同程度的学生全面参与进来，使每一个学生都能享受到成功的喜悦，共同提高。 4.在说题的过程中，教师暴露自己的思维活动和引导学生的时间要相对滞后，要让学生有充分的时间对问题展开深入的思考；教师要对学生说题中所暴露的思维或解决问题的方法的评价有所滞后，要让学生有自我评价、相互评价的机会。 四、案例 几位学生的解法略有不同，并和老师的解

53、法明显不同。学生的解法很灵活，更易被学生理解、接受。让学生“说异见”，老师能更好地了解学生的“原知识水平”、思考数学问题的方式以及自主思考、分析数学问题的能力，能发现学生更多的数学学习的“闪光点”。从表面上看，学生“说异见”耗费不少课堂时间，但我们认为很值得！ 五、结束语 数学说题活动是教师创设机会让学生品尝数学学习的成功感的良机，给学生创设一个互相交流、探讨的机会，使学生在“说”中进一步理清思路，优化解题认识链，养成反思的习惯。数学说题教学的主要实施方法：说解题的得意之举；说解题的失败之因；说瞬间的灵感之念；说试题的变式之想。从说题过程中可以看出思维定势的调节、思路的调整、方法的确立等动态过

54、程，能让学生学到“活的数学”。 数学说题为师生数学交流提供了平台，关键在于教师要努力营造一个民主、平等、和谐的教学氛围，让学生大胆地说，让他们自觉地尝试失败和体验成功，充分挖掘学生的潜能，增加师生的交流与对话，扩大解题教学的交互性，进一步给学生展示的空间和时间，充分体现“我的课堂，我做主”的新课改教学理念。 第2.4节 让（高中）学生在数学解题后学会说题作者：付强 余继光（浙江省绍兴市柯桥中学）来源：中国数学教育2013年第11期 转载：知网空间（注：原稿为PDF，钟炜将其转编为word,原PDF稿另行转发）摘要：通过数学解题后的说题，可以培养学生的数学表达与交流能力，并有利于发展学生独立获取

55、数学知识的能力 根据学生的数学学习现状，设计说题目、说解法、说变式、说体验的具体案例，说明学生在解题后说题的基本做法关键词：数学交流；数学变式；数学说题一、说题的意义1 提升数学语言表达能力数学学习不仅是数学解题，在解题过程中既可以训练逻辑思维能力，又可以培养数学语言表达能力. 然而仅仅是问题求解结果的数学语言表达方式不能完整地实现语言表达的全过程，对于问题求解的前期思考（问题信息挖掘过程等）、后期思考（问题求解的变式、反思、体验等） 等不能再现，尤其是数学语言表达的瞬间智慧（包括数学直觉等） 不能再现. 通过说题来补充这一环节，无疑是提升学生数学语言表达能力的极好形式.2. 创设数学语言交流

56、平台在数学教学中如何搭建学生数学学习的交流平台？除了数学研究性学习之外，让学生在解题后进行说题，也是一种尝试和实践形式. 在说题过程中，交流数学思维过程，暴露数学思维细节，师生将共同受益.3. 激发数学创新思维智慧数学说题反映学生数学解题中的思维过程，可能会激发其他学生的创新思维（课堂上一个学生的发言会引起更多学生的进一步思考，提出不同的想法等），这种在生生交流中产生的思维火花无疑是教师传授中不易产生的智慧学生从数学解题到数学说题，形成一个由“死”解题到“活”解题的过程，由被动学习到主动探究的过程，这是新课程改革理念之一，我们数学教育工作者可以积极地实践二、说题的基本内容学生说题说什么？根据学生的年龄特征与认知水平可设计不同的说题内容，一般包括下列四个方面.（1）说题目. 学生说题目，就是要能把问题中所给出的信息尽可能地挖掘出来，包括题目的类型，此类型的熟悉程度，已知条件有哪些（显性的和隐性的），所要探求的结论是什么，题目中的背景能否感悟出来.（2）说解法. 学生说解法，就是暴露自己的求解思路，如方法的选择、运算的障碍点、变形的