谈谈数学分析课程的教学

1、谈谈数学分析课程的教学刘 浏 摘要数学分析是数学教育、数学与应用数学等专业的专业基础课之一，它教学时间跨度长，它是解决许多理论和实际问题的有效工具，也为大量后续课程提供了必要的方法和基础，对于数学分析的教学，历来是数学教育工作者的热门话题。本文主要对数学分析的教学实践中的若干问题结合前人的工作谈谈自己的一些见解，认为要在教学中渗透哲学思想，抓住课程的主要结构，要渗入现代数学的思想、观点和方法、要使用现代信息技术、加强数学形象化教学、要讲到数学分析与其他数学分支和学科的渗透和联系、要强化数学模型思想，培养解决实际应用的能力等。 关键词 课程教学 哲学思想 主要结构 形象化数学分析是数学教育、数学

2、与应用数学等专业的专业基础课之一，是以微积分为基础内容，深度和广度比高等数学和一般的微积分教程更深更广的一门课程。它的教学时间跨度长，至少持续三个学期。数学分析不仅是解决许多理论和实际问题的有效工具，而且它为解决以“变”为研究对象的大量问题提供了一种深刻的思想方法，它还为大量后续课程提供了必要的方法和基础，如常微分方程、复变函数、数学建模、概率论与数理统计、实变函数、泛函分析、偏微分方程等，可以说在人类科学发展史上，没有任何学科比微积分的影响更深更广。数学分析学的好坏也常作为衡量学生基础是否扎实的一个重要标志。正是因为如此，数学分析的教学及课程建设在许多学校都受到高度重视，我校也在几年前就已将

3、数学分析作为省级重点课程进行了建设，现作为我校的精品课程正在逐步改善。对于数学分析这门理论深厚、思想深刻、持续时间长、影响深远的课程的教学，历来是仁者见仁，智者见智，下面就数学分析教学中的若干问题结合前人的工作谈谈自己的一些见解和做法，不当之处，敬请赐教。一、要在数学分析教学中渗透哲学思想极限和微积分是数学分析中的基本内容，极限思想和微积分不仅是一种使用广泛，影响深远十分有效的数学工具，而且它蕴涵着深刻丰富的哲学思想。历史上，马克思、恩格斯、列宁都对微积分有专门深入的研究，马克思在数学上的研究，绝大部分的内容是论述微积分的，恩格斯曾在反杜林论中谈到微积分时变数的数学中最重要的一部分，其本质是辩

4、证法在数学上的应用1。极限思想可以说它是整个数学分析的基石和坚强后盾。极限定义在目前也是一种十分完善的定义，它的逻辑性相当严密。极限思想能把马克思主义哲学上某些原理解释的非常深刻，同时能使人们更好地透彻理解哲学原理。比如：极限思想科学地揭示了马克思主义认识论中关于认识的辨证过程；极限思想的产生和概念的形成反映了人们认识客观世界的辨证过程；极限思想特别是数列极限生动地阐释了马克思主义关于事物的量变和质变这一科学原理：在数列的极限中数列的数值并不是完全地逼近某个常数，而是达到一定的界限即哲学上所谓的“度”。当数列的下标达到或超过N时，数列的数值才会表现出这一强烈的集中趋势，即是数列的数值发生了质变

5、。在数列的数值下标没有达到N时，数列的数值也许会表现出离散的趋势，而不向某个常数集中，当数列的下标逐渐增大时，数列数值在发生内在的量变，这时数列数值的大小出现剧烈的摆动都是十分正常的。当数列项数即下标增大到N时候，数列的数值就会表现的非常统一了，都紧密集中在某个常数的周围，数列的数值就发生了质变，这个常数就是数列的极限。从这里我们可以看到极限思想生动而又直观地阐述了辨证唯物主义有关事物量变和质变原理。另外极限思想蕴含着丰富的辨证法思想。从极限思想中我们可以从有限认识无限，从近似认识精确，从已知认识未知，从量变认识质变等。辨证法认为，矛盾是对立的统一，矛盾双方在一定条件下可以相互转化。极限思想处

6、处体现着这种矛盾的对立与转化。以定积分为例，求曲边梯形面积是定积分的一个背景问题。传统的数学方法在这里首先遇到的是“曲”与“直”的矛盾，不能完全解决这一问题，这时思想在这里就显得格外重要：将这个曲边梯形分成若干个小的曲边梯形，每个小的曲边梯形又用小矩形来近似代替，用这些小矩形面积之和代替这个曲边梯形面积，这样就从对开始对问题的束手无策到获得了问题的一个近似值，这时虽然又遇到了“近似与精确”、“离散与连续”这些矛盾，但形势已发生了质的变化：若用更多个小矩形面积之和代替这个曲边梯形面积使近似值与所求值的误差将会变得更小，通过极限手段又可以将离散化为连续，从而获得曲边梯形面积的精确值。在这一过程中，

7、从量变到质变、从质变到新的量变、又从新的量变到新的质变这一“质量互变规律”体现得淋漓尽致。在数学分析中，类似的辩证思想处处皆是：无限的量可以通过有限的量得到，如级数求和、无穷积分、泰勒级数等等都是；连续的量可以离散化得到，同样，由海涅（Heine）定理可以把有些离散的问题用连续的方法得到，又如；局部与整体、数与形、特殊与一般等等。在教学中如果能向学生渗透这些哲学思想，引导学生用辩证法的观点来指导今后的学习和工作、解决生活中的困难，那将起到积极地作用。二、要在教学中抓住数学分析课程的主要结构数学分析尽管内容繁多，但结构从其内容上来看，它由微分学、积分学及指出二者是一对矛盾的微积分基本定理、以及以

8、此为基础的深化和应用几部分组成。从整个理论架构和教学的角度看，我们可将它归结为“一条线索”、“两个字”、“三大基本功”、“四大支柱”、“五大综合运用能力”2。 “一条线索”即以极限为线索，可以说极限思想贯穿于整个数学分析的始终，极限理论是整个数学分析的基础。导数是一类结构特殊函数的极限，定积分、重积分、曲线积分、曲面积分它们都是某类特殊和式的极限、级数又可以归结到数列的极限；“两个字”即“逼近”，很多数学方法都用到了“逼近”的思想，在近似计算中，用容易求的割线代替切线，用很短时间间隔的平均速度代替瞬时速度、用若干个小矩形面积之和代替所求曲边梯形面积，用折线段的长度代替所求曲线的长度，用多项式代

9、替连续函数等，这种逼近思想在理论和实际工作中大量运用；“三大基本功”即熟练深刻地掌握求极限、求导数、求积分的各种方法，而每一种方法中又都包含若干种基本方法。如求极限的方法至少有10多种，求导数的方法中尤其要十分熟练地掌握复合函数求导的方法。事实证明，这三大基本功练好了，学习数学分析以及后续课程如微分方程（含偏微分方程）就不会有太大的困难，而且也能做到得心应手；“四大支柱”即数学分析中最深刻、最基本、最能体现数学分析特色的四个定理，支撑起数学分析的大厦魏尔斯特拉斯逼近定理、泰勒定理、隐函数定理、马尔格兰预备定理，马尔格兰预备定理在通常的教材中没有出现，是因为其证明的难度超出了通常教材的范围；“五

10、大综合运用能力”即综合运用极限概念与方法的能力、综合运用导数与积分相结合的各种方法的能力、综合运用定积分思想方法解决问题的能力、综合运用一元和多元相结合方法的能力、综合运用各种方法解决实际问题的能力。“五大综合运用能力”是从教材内容和教学规律出发总结出来的，充分注重五大综合运用能力的教学，教师就能做到居高临下，把握全局，学生就能做到对整个数学分析的思想和方法有一个整体的理解，做到融会贯通，而不至对数学分析这个“庞然大物”盲人摸象，条块分割，不得要领。 三、要在教学中渗入现代数学的思想、观点和方法数学分析是数学及应用数学专业的基础课，一些传统的基本内容是必须保留的，但是并不是说我们不能仅仅局限于

11、以前的观点，有些内容可以用现代数学的思想、观点和方法来做一些处理，这样既可以使传统的教学内容更富有现代气息，也可以使学生感到耳目一新。另外，现代数学往往站得更高，看得更远，用来处理基础课的一些内容往往更简明、漂亮。当然要做的这一点，对老师和学生的要求是较高的。我想我们可以先将能够改写的部分内容用传统的方法讲解后，再在回顾总结或复习时用现代数学的观点将这些内容进行重述和改写，逐步引导学生用现代的数学观来处理一些数学问题，慢慢积累，使学生在潜移默化中接受现代数学思想，这样做不仅有利于学生学习后继课程，更有利于学生灵活掌握当前概念的本质，激发学生学习数学、探索未知的兴趣和内驱力。比如关于函数的概念，

12、用映射的观点来将它定义成是一个集合上到另一个数集的映射，它满足对每一原象点都只有唯一的一个象点和它对应。如果对每一象点，原象也是唯一的，则映射的逆映射也存在，这时的映射是1-1映射，于是我们又可以反过来定义另外一个函数，那就是反函数。可以看到函数的本质就是一种映射，对于函数的定义中用什么符号来表示自变量和因变量就不是实质的东西了。我想用这种观点来教学，学生理解函数与反函数的概念就容易得多。此外，若能在适当的时候给学生讲到映射在不同的情况下有不同的名称。如一般的数学空间A到实数空间R上的映射关系，通常都可称为函数。其中数学分析中一元函数是实数集中的一个子集到实数集的映射，多元函数是中的某个区域D

13、到实数集的映射，一般实分析中的函数是中的某个子集E到的映射，一般现代分析中的函数是抽象空间的子集到的映射，而Banach空间到实数空间的映射一般又称为泛函，线性空间A到线性空间B的映射称为变换(几何空间中的映射也称变换)，Banach空间到Banach空间的映射称为算子。在教学中有意无意地渗透现代数学的一些名词，如泛函、空间、距离、模、度量和测度等概念，使学生在学习后继课程时不致于感到这些概念虚无缥缈，难以接受。四、要在教学中使用现代信息技术，加强数学形象化教学形象化教学是许多教师乐于采用的教学手段，也是学生乐于接受的形式。数学分析中的一些重要概念的形成，一些重要定理的建立，都是建立在形象直观

14、的基础上的，可以说这些概念、定理此人不建立，别人也会建立的，这是水到渠成的，如判断数列收敛的柯西收敛准则、中值定理、级数的概念等等。在教学中，教师应充分重视一些数学概念和数学命题的直观化和形象化，高度重视通过形象直观、猜想等非逻辑思想在解决问题中的作用，培养和训练学生对数学的直觉与悟性，历史上许多重要的数学结论的得来完全是靠数学家们的直觉。现阶段由于数学软件的介入，给数学分析形象化教学提供了有力工具，但形象化不仅反映在概念和定理的知识构架上，更应反映在分析的形象化上。媒体虽然有直观的形象、丰富的色彩、可变化的视角，这对于表现抽象的数学带来可能性，但应注意媒体表述的准确性，不准确的表述会带来学生

15、理解和认识上的误区。比如，关于数列极限的观念，如果我们只通过几个直观的例子的观察就将其表述为“可以发现，随着n的增大，数列的项与常数a的距离越来越小”，学生可能就会认为：从某一个n后数列所有的数与常数a的距离是不是都比前一个数更靠近极限？这时不妨在举例时也举出类似“”这样的例子来澄清认识。二是也要认识到媒体表现的局限性。因为数学分析的抽象常常是对一般问题进行抽象，使抽象化了的抽象化，而媒体所反映的常常是具体的个案，任何媒体都不能完整反映抽象化的概念。因此，在教学中，教师只能借助媒体的表象，加深和促进概念意象的形成和完成一些直观的分析，代替不了抽象化的概念定义和精确严密的逻辑化证明。五、要在教学

16、中注意讲道数学分析与其他数学分支的渗透和联系数学发展到今天，已经形成了一个庞大的数学大厦，各个数学分枝越来越向纵深发展，彼此虽相互独立，但各个分支之间并不是彼此互不往来，而是在概念、内容及方法上相互渗透、相互影响、相互启发，这种作用越来越显得重要，可以说这是当代数学的一个重要特征和发展趋势。数学的这个特征和趋势也应在数学分析的教学中有所反应和体现，数学分析的讲解应以讲解分析为主，兼顾到它与代数和几何及其它分枝的联系，这样做对学生将会更有启发。例如，函数的幂级数、傅立叶级数的展开与欧式空间的基、正交基及向量的表示；多元函数的极值的判断与正定、负定二次型的判断；函数与图像；微分与切线、切平面等；积

17、分与面积、体积等；条件极值与线性规划等。如果能在教学上涉及到这些联系，所花时间不多，但影响甚大。六、要在教学中强化数学模型思想，培养解决实际应用的能力作为数学分析的主要内容微积分的形成和发展直接得益于物理学、天文学、几何学等研究领域的进展和突破，数学分析与其他课程和学科有着天然的联系，在教学中适度地回溯了数学与其他学科相辅相成的发展历史和数学史上一些关键人物做出重大发现的思想轨迹，对提高学生学习数学的兴趣、引导学生逐步理解数学的本质及数学研究的一般途径和规律将会产生积极的效果。如速度与导数、变速直线运动的物体在力的作用下所做的功、Newton的万有引力定律的形成过程、宇宙速度和火箭运动方程的微

18、分导出等等。通过讲解这些历史上经典的建模案例，既传授了基础理论和基本技能，又训练了学生分析问题、建立数学模型、用数学工具解决生活中的问题等方面的能力。课后再配置以一些简单的物理学、生物学、社会学、经济学等方面的模型来强化训练学生运用数学知识建立和求解模型，使学生拓宽了知识面，初步具有数学来自实践、用于实践的认识和实际运作的本领。总之，数学分析课程提供了一个近现代数学的雏形或模型，它显示了近现代数学的基本特点。数学分析上所包含的知识、技巧和所做的训练，无论是在数学研究、数学应用还是数学教师的培养方面都是非常基本和必需的。因此数学分析的教学对未来从事数学研究、数学应用以及数学教育等方面的人才的培养都具有十分重大的影响，我们必须重视数学分析的教学研究，当前很多同志在这方面做了许多的工作，也取得了一些成就，但这仅仅是开始，需要我们每一个教学工作者在理论与实践的结合上进行不断地总结和创新，以期达到更好的效果。参考文献：1龚昇编著，微积分杂谈（