八年级数学上册培优系统讲义

1、八年级数学上册培优系统讲义认识三角形经典考题赏析【例1】若的三边分别为4, x, 9,则x的取值范围是,周长l的取值范围是;当周长为奇数时,x=【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5<x<13, 18vlv26;周长为19时，x =6,周长为21时，x =8,周长为23时，x =10,周长 为 25 时，x = 12,【变式题组】01.若 ABC的三边分别为4, x, 9,且9为最长边，则x的取值范围是 周长l的取值范围是.02.设 ABC三边为 a, b, c的长度均为正整数，且 avbvc, a+b+c= 13,则以a, b,为边的三角形，共有个

2、.03.用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是（A. 1B. 2).C. 3D.【例2】已知等腰三角形的一边长为18cm,周长为58cm,试求三角形三边的长.当18cm为腰时，底58-18;2。则三边 201.已知等腰三角形两边长分别为A. 24cmB. 30cm02.已知三角形的两边长分别是是（）A. 13cmB. 6cm6cm, 12cm,则这个三角形的周长是 （C. 24cm 或 30 cmD. 18cm4cm和9cm,则下列长度的四条线段中能作为第三条边的C. 5cmD. 4cm【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予

3、讨论 边为58 18X2= 22,则三边为18, 18, 22.当18cm为底边时，腰为为20, 20, 18.此两种情况都符合两边之和大于第三边解：18cm, 18cm, 22cm 或 18cm, 20, 20cm.【变式题组】S*A ABC=12和10两部分，则此等腰三角03.等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成形的腰长为.【例3】如图AD是4ABC的中线，DE是4ADC的中线，EF是 DEC的中线，FG是 EFC2 一 .的中线，右SA gfc= 1cm ,则【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG为4EFC的中线，知SAefc= 2Sgfc=2.又由EF为ADEC中线

4、，SADEC= 2Saefc= 4.同理 Saadc= 8 , Sa abc= 16.【变式题组】01.如图，已知点D、E、F分别是 BG AD、BE的中点，Saabc= 4,则Sef>（第2题图）02.如图，点D是等腰 ABC底边BC上任意一点，DE，AB于E, DU AC于F,若一腰上的 高为 4cm,贝U DE+DF=.03.如图，已知四边形 ABCD是矩形（AD>AB）,点E在BC上，且 AE= AD, DF±AE于F, 则DF与AB的数量关系是 .【例4】已知，如图，则/ A+ZB+ZC+ZD+ZE =.【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本方法为构造三角形

5、或四边形内角和，结合八字形角的关系即,/ A+Z B = Z C+Z D.故连结 BC有/A+/D =/DBC+/ACB,A+Z B+Z C+Z D+Z E =180°【变式题组01.如图，则/A+Z B+Z C+Z D+Z E =02.如图，则/A+Z B+Z C+Z D+Z E +/ F=A+Z B+Z C+Z D+Z E +/ F =03.如图，则/（第2题图）（第3题图）【例5】 如图，已 知/A = 70°, BO、CO分别平 分/ABC、Z ACB,则/ BOC =1一，【解法指导】这是本章另一个基本图形，其结论为/BOC= 1 / A+90。.证法如下2=18

6、0° / OBC- / OCB= 180° 1 / ABC 1 Z ACB= 180° - (180 / A)=222:/ BOC901)+ 一2ZA,所以/ BOC= 125°.【变式题组】01 .如图，/ A=70°, / B= 40°, / C= 20°,则/ BOC=。，点P、O分别是/AP（第3题图）ABC / ACB的三等分线的交点,则/OPC=03.如图，/ O=140【例6】如图，°, / P= 100 °, BP、CP分另1J平分/ 已知/ B= 35° , / C=47

7、76; ,ABO、/ ACO,则 / A=.AD)± BC, AE 平分/ BAC,则 / EAD =190 Z B(180 Z B 2，。，。1 ，ZC)= 90 /B 90 + - Z B+21 一 1一/C= (ZC- B B)，故/ EAD= 6 .22【变式题组】01.（改）如图，已知/ B= 39°,/ C= 61 °, BD±AC, AE平分/ BAG,贝U/ BFE=（第1题图）（说明：原题题、图不符.由已知得/ A= 98°, BD,AC,则点D在CA的延长线上.）A02.如图，在 ABC中，Z ACB= 40°,

8、AD平分/ BAG, / ACB的外角平分线交 AD的延长线 于点P,点F是BC上一动点（F、D不重合），过点F作EF± BC交于点 E,下列结 论:/ P+/DEF为定值，/ P / DEF为定值中，有且只有一个答案正确，请你作出 判断，并说明理由.例7 如图，在平面内将 ABC绕点A逆时针旋转至 ABC',使CC/ AB,若/ BAC = 70。，贝U旋转角 a=.【解法指导】利用平移、旋转不改变图形的形状这条性质来解题.CC'/ AB, / CCA=Z CAB =70°,又 AC= AC',. / CAC= 180 -2X70=40°

9、【变式题组】01如图，用等腰直角三角形板画/AOB= 45。，并将三角板沿 OB方向平移到如图所示的虚0MB2,BAc（第3题图）-A0（第2题图）（第1题图）02.如图，在平面内将 AOB绕点0顺时针旋转 则旋转角 “=.（ / AOB= 90°,03.如图， ABE和 ACD是 ABC沿着 AB边， 贝 U / a=.”角度得到 OA'B',若点A在AB上时，/ B=30 ）AC边翻折180 °形成的，若/ BAC= 130°,线后绕点M逆时针方向旋转22°,则三角板的斜边与射线 OA的直角.演练巩固反馈提高01.如图，图中三角形的个

10、数为 （A. 5个B. 6个 C. 7个D. 8个02 .如果三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么 这个三角形是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不确定A03.有4条线段，长度分别是 4cm, 8cm, 成三角形的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个04.下列语句中，正确的是 （）A.三角形的一个外角大于任何一个内角10cm, 12cm,选其中三条组成三角形，可以组D. 4个B.三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和C.三角形的外角中，至少有两个钝角D.三角形的外角中，至少有一个钝角05.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（）A.直角三

11、角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定06.若一个三角形的一个外角大于与它相邻的内角，则这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法确定07 .如果等腰三角形的一边长是5cm ,另一边长是9cm ,则这个三角形 的周长是08.三角形三条边长是三个连续的自然数，且三角形的周长不大于18,则这个三角形的三条边长分别是.09.如图，在 4ABC中，/ A=42 °, / B与/ C的三等分线，分别交于点 D> E,则/ BDC的 度数是.10 .如图，光线1照射到平面镜上，然后在平面镜I、n之间来回反射，已知/ “= 55, / 丫 = 75。，/ 3=.

12、11 .如图，点 D、E、F分别是BC AD、BE的中点，且 Saefc 1,则Sxabc=.12 .如图，已知：/1 = /2, /3=/4, Z BAC= 63 °,则/ DAO13 .如图，已知点 D、E是BC上的点，且 BE= AB, CD= CA,1 ,/ DAE= / BAC,求 / BAC 的度数3第2讲认识多边形经典考题赏析【例1】如图所示是一个六边形.(1)从顶点A出发画这个多边形的所有对角线，这样的对角线有几条？它们将六边形分 成几个三角形？(2)画出此六边形的所有对角线，数一数共有几条？【解法指导】本题主要考查多边形对角线的定义，对于n边形，从n边形的一个顶点出

13、发，可引(n3)条对角线，它们将这n边形分成(n2)个三角形，n边形一共有 迹二3)条对2角线，解：(1)从顶点A出发，共可画三条对角线，如图所示，它们分别是AC AD、AE将六边形分成四个三角形：ABC ACD AADE、 AEF;(2)六边形共有9条对角线.【变式题组】卜列图形中，凸多边形有 ()02 .过m边形的一个顶点有 7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，则 m = =, n = , k =.03.已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，则此多边形的边数是.【例2】(1)八边形的内角和是多少度？(2)几边形的内角和是八边形内角和的 2倍

14、？【解法指导】(1)多边形的内角和公式的推导：从 n边形一个顶点作对角线，可以作 (n 3)条对角线，并且将 n边形分成(n-2)个三角形，这(n 2)个三角形内角和恰好是多边形 内角和，等于(n2)180°(2)内角和定理的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内角和，求 其边数.解：八边形的内角和为(82)X180= 10800;(2)设n边形的内角和是八边形内角和的2倍，则有(n2)X180)= 10800x2,解得n=14.故十四边形的内角和是八边形内角和的2倍.【变式题组】01.已知n边形的内角和为 21600,求n边形的边数.02.如果一个正多边的一个内角是108

15、°,则这个多边形是()A.正方形 B.正五边形C. 正六边形D.正七边形03,已知一个多边形的内角和为10800,则这个多边形的边数是(A. 8B. 7C. 6D. 504.如图，/ 1、/ 2、/ 3、Z 4 是五边形 ABCDE的外角，且/ 1 = /2 、一=/ 3=/ 4= 700,则/ AED 的度数为()M A. 1100B. 1080C. 1050 D. 100005.当多边形的边数增加1时，它的内角和与外角和()/A.都不变B.内角和增加180°,外角和不变, C.内角和增加1800,外角和减少1800D,都增加1800【例3】一只蚂蚁从点 A出发，每爬行5

16、cm便左转600,则这只蚂蚁需要爬行多少路程 才能回到点A?解：蚂蚁爬行的路程构成一个正多边形，其路程就是这个正多边形的周长，根据已知可得这个正多边形的每个外角均为600,则这个多边形的边数为3600600=6.所以这只蚂蚁需要爬行5X6= 30(cm)才能回到点A.【解法指导】多边形的外角和为 3600.(1)多边形的外角和恒等于 3600,它与边数的多少无关.(2)多边形的外角和的推导方法：由于多边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，所以n边形内角和加外角和等于1800 n,外角和等于n 1800(n2) 1800= 3600.(3)多边的外角和为什么等于3600,还可以这样理解：从多边形

17、的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A,然后转向出发点时的方向，在行程中所转的各个角所以多边形的已知多边的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，外角和等于3600.(4)多边形的外角和为3600的作用：已知各相等外角度数求多边形边数; 形边数，求各相等外角的度数.【变式题组】01 .02.(无锡)(永州)八边形的内角和为 如图所示，已知.度.ABC中，/A=400,剪去/ A后成四边形，则/(第4题图)03.(资阳)n(n为整数，且n>3fe形的内角和比(n+1)边形的内角和少 度.04.(株洲)如图所示，小明在操场上从点A出发，沿直线前进10

18、米后向左转400,再沿直线前进10米后，又向左转 400, ，照这样下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米.例4 已知两个多边形的内角和为18000,且两多边形的边数之比为2:5,求这两个多边形的边数.【解法指导】因为两个多边形的边数之比为2:5,可设两个多边形的边数为2x和5x,利用多边形的内角可列出方程.解：设这两个多边形的边数分别是2x和5x,则由多边形内角和定理可得：(2x-2) 1800+(5x-2) 1800= 18000,解得 x= 2, . 2x=4, 5x= 10,故这两个多边形的边数分别为4和10.【变式题组】01. 一个多边形除去一个角后，其余各内角的和为22100

19、,这个多边形是 202.若一个多边形的外角和是其内角和的一，则此多边形的边数为 5203.每一个内角都相等的多边形，它的一个外角等于一个内角的一，则这个多边形是（）3A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形04.内角和与其外角和相等的多边形是 【例5】某人到瓷砖商店去购买一种多边形瓷砖，用来铺设无缝地面， 他购买的瓷砖不可以是（）A.正三角形B.长方形C.正八边形D,正六边形【解法指导】根据平面镶嵌的定义可知：在一个顶点处各多边形的内角和为360°,由于正三角形、长方形、正六边形的内角都是 3600的约数，因此它们可以用来完成平面镶嵌， 而正八边形的每个内角为 1350,不是3600

20、的约数，所以正八边形不能把平面镶嵌.解：选C.【变式题组】01.用一种如下形状的地砖，不能把地面铺成既无缝隙，又不重叠的是（）A.正三角形B.正方形C.长方形D,正五边形02 .小明家装修房屋，用同样的正多边形瓷砖铺地，顶点连着顶点，要铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有（）A.正三角形、正方形、正六边形B.正三角形、正方形、正五边形C.正方形、正五边形D.正三角形、正方形、正五边形、正六边形03.只用下列正多边形？能作平面镶嵌的是（）A.正五边形B.正六边形C.正八边形D,正十边形04.（晋江市）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后将其中的一个正方形再

21、剪成四个小正方形，共得7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到 10个小正方形，称为第 三次操作；，根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是（）A. 669B. 670C. 671 D. 6721的正方形无重【例6】有一个十一边形，它由若干个边长为1的等边三角形和边长为 叠、无间隙地拼成，求此十一边形各内角的大小，并画出图形 【解法指导】正三角形的每个内角为600,正方形的每个内角为900,它们无重叠、无间隙可拼成600、900、1200、1500四种角度，根据十一边形内角和即可判断每种角的个数解：因为正三角形和正方形的内角分别为600、

22、900,由此可拼成600、900、1200、1500 四种角度，H一边形内角和为 （n 2）X 180）= （11 2）X 180= 16200.因为1200X 1116200<1500x 11所以这个十一边形的内角只有1200和1500两种.设1200的角有m个，1500的角有n个，则有1200m+1500n= 16200,即4m+5n =54为010203010203040506此方程有唯一正整数解 1m = 1n =10,所以这个H一边形内角中有1个角为120°, 10个角1500,此十一边形如图所示.【变式题组】.如图是某广场地面的一部分，地面的中央是一块正六边形的地砖

23、，周围用正三角形和正方形的大理石砖镶嵌，从里向外共铺了 12层（不包括中央的正六边形地砖），每一层的外边界都围成一个正多边形，若中央正六边形的地砖边长为0.5m,则第12层的外边界所围成的多边形的周长是 .（黄冈）小明的书房地面为最适宜选用的地砖规格为（A. 30cm x 30m的正方形,C. 60cmx 60m的正方形,210cm x 30Cm的长方形，若仅从方便平面镶嵌的角度出发, ）B. 50cmx 50m的正方形，D. 120cm x 120m 的正方形， 0111 .正m边形、正n边形及正p边形各取一个内角，其和为 360 ,求一+十一的值.m n p演练巩固反馈提高.在一个顶点处，

24、若正n边形的几个内角的和为 ,则此正n边形可铺满地面，没有 空隙.块时，黑色瓷砖为 块.（嘉峪关）用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律拼成如下若干地板图案: 则第n个图案中白色的地板砖有 块.如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围的第一层有六个白色正六边形，则第 n层有 个白色正六边形.如果只用一种正多边形作平面镶嵌，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的边数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6下列不能镶嵌的正多边组合是（）（宜昌市）如图，用同样规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想 填空：当黑色瓷砖为 20块时，白色瓷砖为

25、 块，当白色瓷砖为 n2 （n为正整数）A.正三角形与正六边形C.正三角形与正方形B.正方形与正六边形D.正五边形与正十边形07.用两种以上的正多边形镶嵌必须具备的条件是（）A.边长相同B.在每一点的交接处各多边形的内角和为1800C.边长之间互为整数倍D.在每一点的交接处各多边形的内角和为360°,且边长相等08.（荆门市）用三块正多边形的木板铺地，拼在一起且相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是 8,则第三块木板的边数是（）A. 4B. 5C. 6D. 809.自贡（课改）张珊的父母打算购买形状和大小都相同的正多边形瓷砖来铺卫生间的地面，张珊特意提醒父母，为了保证铺地面

26、时既没缝隙、又不重叠，所购瓷砖形状不能是（）A.正三角形B.正方形C.正六边形D,正八边形10.我们常常见到如图所示那样图案的地板，它们分别是由正方形、 等边三角形的材料铺成的，（1）为什么用这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地板？（2）你想一想能否用一些全等的任意四边形或不等边三角形镶嵌成地板，请画出图形.11 .某单位的地板由三种各角相等、各边也相等的多边形铺成，假设它们的边数为x、y、z,你能找出x、v、z之间有何种数量关系吗？请说明理由.12 .黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的

27、空隙用黑色的正三角形嵌满，按第 1,2,3个图案如图（1）、（2）、（3）规律依次下去，则第 n个图案中 黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（）A. n2+n+2, 2n+1B. 2n+2, 2n+1C. 4n, n2 n+3D. 4n, 2n+1第3讲 全等三角形的性质与判定1 .能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2 .全等三角形性质：全等三角形对应边相等，对应角相等；全等三角形对应高、角平分线、中线相等；全等三角形对应周长相等，面积相等；3 .全等三角形判定方法有： SAS ASA AAS, SSS对于两个直角三角形全等的判定方法， 除上述方法外，还

28、有 HL法；4 .证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具 体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法， 确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5.证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典考题赏析【例1】如图，AB/EF/ DQ/ABC= 90°,AB=CD,那么图中有全等三角形（）ABA. 5对B. 4对C. 3对D. 2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比

29、较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出 第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：. AB/ EF/ DQ /ABC= 90. . . / DCB= 90.在 ABC和 DCB中AB = DC«/ABC =/ DCB.AB8, DCB (SAS) ，乙 A=Z DBC =CB在 ABEA DCE中j /A=/D«/AED=/DECABE.'. DCEBE= CEAB = DC在RtEFB和RtEFC中BE =CEEF =EF RtAEFB RtA EFC （HL）故选 C【变式题组】01.（天津）下列判断中错误的是（）A.有

30、两角和一边对应相等的两个三角形全等B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.有一边对应相等的两个等边三角形全等02.（丽水）已知命题：如图，点 A、D、B、E在同一条直线上，且 AD=BE, /A=/FDE, 则AB8 DEE判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如F03.（上海）已知线段 AC与BD相交于点 O,连接AB、DC, E为OB的中点，F为OC的中点, 连接EF （如图所示）.添加条件/ A= / D, / OEF= / OFE 求证：AB= DC;分另将“/ A=Z D”记为，"/ OEF= /

31、OFE'记为，"AB= DC”记为，添加、 ，以为结论构成命题 1;添加条件、，以为结 论构成命题2.命题1是 命题，命题2是 命题（选择“真”或“假”填入空格）【例 2 】已知 AB=DC, AE= DF, CF= FB 求证：AF= DE【解法指导】想证AF= DE,首先要找出 AF和DE所在的三角形.AF在4AFB和AAEF 中，而 DE在4CDE和4DEF中，因而只需证明 ABB DCE或 AE图 DFE即可.然后再 根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明： FB= CEFB+ EF= CE+ EF,即 BE= CFAB =DC在 ABEA DCF中，/AE = D

32、F、BE =CF ABE DCF (SSSZ B=Z CAB = DC在 ABF 和 ADCE 中，J/B = /C .AB图 DCE，AF= DEBF =CE【变式题组】01.如图，AD、BE是锐角 ABC的高，相交于点O,若BO=AC,BC=7,CD= 2,则AO的长为（）A. 2B. 3C. 4D. 502.如图，在 ABC 中，AB=AC, Z BAC= 90°, AE 是过 A 点的一条直线， AE± CE 于 E, BD ±AET D, DE= 4cm, CE= 2cm,贝U BD=.03.(北京)已知：如图，在 ABC中，/ ACB= 90°

33、;, CD± AB于点D,点E在AC上，CE= BC,过点E作AC的垂线，交 CD的延长线于点 F.求证：AB= FC.例3 如图， AB8 DEF7,将4ABC和4DEF的顶点B和顶点E重合，把 DEF 绕点B顺时针方向旋转，这时 AC与DF相交于点O.当 DEF旋转至如图位置，点 B (E)、C、D在同一直线上时，/ AFD与/DCA的数 量关系是；当 DEF继续旋转至如图位置时，中的结论成立吗？请说明理由 .【解法指导】/ AFD= / DCA/AFD= /DCA 理由如下：由 ABe DEF, . AB= DE, BC= EF, Z ABC= /DEF, / BAC= / E

34、DF/ ABC- / FBC= / DEF- / CBF，/ ABF= / DECAB = DE在人85和4 DEC中， / ABF = / DEC、 BF = EC AB三 DEC / BAF= / DEC/ BAC- / BAF= / EDF- / EDC / FAC= / CDF / AOD= / FAC+ / AFD= / CD斗 / DCA ./ AFD= / DCA【变式题组】01.（绍兴）如图，D、E分别为 ABC的AC BC边的中点，将此三角形沿 DE折叠，使点C落在AB边上的点 P处.若/CDE= 48°,则/APD等于（）A. 42°B, 48°

35、;C. 52D. 58°03. 一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片， 再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.求证：AB± ED;若PB= BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明 D B F CD例4 （第21届江苏竞赛试题）已知，如图， BD、CE分别是 ABC的边A C和AB边 上的高，点 P在BD的延长线，BP= AC,点Q在CE上，CQ= AB.求证： AP= AQ;AP XAQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP= AQ,也就是证 APD和AQ 或4APB和4QAC全

36、等，由已知条件 BP= AC, CQ= AB, 应该证 APg AQAC,已具备两组边对应相等，于是再证夹角/ 1 = 7 2即可.证APXAQ, 即证/ PAQ= 90°, / PAD+ / QAC= 90°就可以.证明：: BD、CE分别是 ABC的两边上的高， ./ BDA= / CEA= 90°,，/1 + /BAD= 90°, /2 + /BAD= 90°,，/1 = /2.AB =QC在 APB 和 AQAC 中，/1=/2.AP® QAC,BP =CA，AP = AQ. APg AQAC, / P= / CAQ . .

37、/ P+ / PAD- 90° / CAQ+ / PAD- 90°, APXAQ【变式题组】01.如图，已知 AB= AE, / B= / E, BA= ED,点F是CD的中点，求证:02.（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂NB为bm,梯子倾斜角为45。，这间房子的宽度是上，此时梯子顶端距地面的垂直距离直距离MA为am,此时梯子的倾斜角为 75。，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙03.如图，已知五边形 ABCDE中，/ ABC= Z AED= 90°, AB= CD= AE= BC+ DE=2,则五边形ABCDE的面积为

38、演练巩固反馈提高01.（海南）已知图中的两个三角形全等，则/a度数是（）02.如图， ACg AA/CB/, / BCB=30°,则/ ACA 的度数是（）A. 20° B, 30° C. 35° D. 4003.（牡丹江）尺规作图作/ AOB的平分线方法如下：以。为圆心，任意长为半彳5画弧交 OA、OB于C、D,再分另以点 C D为圆心，以大于 1CD长为半径画弧，两弧交于点 P,2作射线OP,由作法得 OC国ODP的根据是（）A. SASB. ASA C. AAS D. SSS04.（江西）如图，已知 AB= AD,那么添加下列一个条件后，仍无法判定

39、AB8 ADC的是（）B. / BAC= / DACD.Z B=Z D=90°A. CB= CDC. / BCA= / DCA05.有两块不同大小的等腰直角三角板ABCA BDE,将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A> B D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（）A. AABE CBDB. / ABE= / CBDC. ZABC= Z EBD= 45°D. AC/ BE06.如图， ABC和共顶点 A, AB= AE, / 1 = / 2, / B= Z E. BC交 AD于 M, DE交 AC于N,小华说：“一定有 AB8AED

40、.”小明说：“ABM0AEN.”那么（）A.小华、小明都对B.小华、小明都不对C.小华对、小明不对D.小华不对、小明对07.如图，已知 AC= EC BC= CD, AB= ED,如果/ BCA= 119° , / ACD= 98 °，那么/ ECA的度 数是.08.如图，AB® ADE, BC 延长线交 DE 于 F, /B=25°，/ACB= 105° , Z DAC= 10° , 则/ DFB的度数为.09.如图，在 RtABC 中，/ C= 90°, DE± AB 于 D, BC= BD. AC= 3,那么

41、 AE+ DE=10.如图，BA± AC, CD/ AB. BC= DE,且 BC± DE,若 AB=2, CD= 6,贝U AE=第4讲角平分线的性质与判定经典考题赏析【例1】如图，已知OD平分/ AOB,在OA、OB边上截取 OA= OB, PMXBD, PNXAD.求证：PM=PN【解法指导】由于PMXBD, PNXAD.欲证PM =/3和/ 4所在白必。3口与 OAD全等即可.证明： OD 平分/ AOB1=/ 2fOB=OA在OBD 与4OAD 中，/1 =/2=PN只需/ 3=7 4,证/ 3=7 4,只需/M:yD. OBDA OADV1 NOA，/3=/4-

42、 PM± BD, PN± AD所以 PM =【变式题组】01.如图，CR BP分别平分 ABC的外角/ BCM、/ CBN,求证：02.如图，BD平分/ ABC, AB= BC,点P是BD延长线上的一点，PM=PN=PN点P在/ BAC的平分线上.MPUAB NPMXAD, PN± CD.求证：OD =OD【例2】(天津竞赛题)如图，已知四边形 ABCD中,-_ 1且AE= -(AB+ AD),如果/ D=120 ,求/ B的度数2【解法指导】由已知/ 1 = / 2, CELAB,联想到可作* BCAC 平分/ BAD, CE± AB于点 E,CF&#

43、177;AD 于 F,得 CE= CF, AF= AE,又由 AE= (AB+AD)得 DF= EB,于是可证 CFD CEB,则/ B=Z 2AE上截取AM = AD从而构造全等三角形.解：过点 C作CF± AD于点F. AC平分/ BAD, CEL AB,点C是上一点，jCDF= 60 ,或者在KAC，CCFAE B一 一- , CF =CE _在 RtCFA和 Rt CEA中，1/.RtAACF RtA ACE . . AF= AEJ AC = AC一1一一 一 一 一 一一 一一X / AE= (AE+ BE+ AF- DF), 2AE= AE+ AF+ BE- DF, .

44、BE= DF2CF± AD, CEL AB, . . / F= Z CEB= 90°CE =CFI.一.一在4CEB和4CFD中，/F=/CEB,.CE® CFDDF =BE，/B=/CDF 又. /ADC= 120° , . . / CDF= 60° ,即/ B= 60°01.如图，在 ABC中,CD平分/ ACB, AC= 5, BC= 3.求S ACDS.cbd02.（河北竞赛）在四边形ABCD中，已知 AB=a, AD= b.且 BC= DC,对角线 AC平分/ BAD,问a与b的大小符合什么条件时，有/B+Z D=180&#

45、176; ,请画图并证明你的结论例 3 如图，在 ABC中，/ BAC= 90° , AB= AC, BE平分/ ABC, CE1 BE.求证：CE1 =-BD 2【解法指导】由于BE平分/ ABC,因而可以考虑过点 D作BC的垂线或延长 CE从而构 造全等三角形.证明：延长 CE交BA的延长线于 F, 一/ 1 = /2, BE= BE, / BEF= Z BEC . BE阵 BEC ASA)Z 1 = / 3在 ABDA ACF 中，BD= CFCE= CE= EF,CE= 1 CF 1 + Z F= Z 3+Z F= 90°2K1 = . 3AB =AC|,BAD -

46、CAF.AB4 ACF【变式题组】1一BD201.如图，已知 AC/ BD, EA EB分别平分/ CAR / DBA, CD过点 E,求证：AB= AC+ BD.B【变式题组】02.如图，在 ABC中，/ B=60° , AD、CE分别是/ BAG / BCA的平分线，AD、CE相交 于点F.请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由;求证：AE+CD= AC演练巩固反馈提高01.如图，在 RtABC中，/ C= 90° , BD平分/ ABC交 AC于 D,若 CD= n, AB=m,则 ABD的面积是（）A. - mnB. mnC. mnD. 2 mn3202.如图

47、，已知AB=AC, BE= CE,下面四个结论： BP= CP;AD, BC;AE平分/ BAC; / PBC= / PCB其中正确的结论个数有（）个A. 1B. 2C. 3D. 403.如图，在 ABC中，P、Q分别是BC AC上的点，作 PR±AB, PS,AC,垂足分别是 R、 S若 AQ=PQ, PR= PG下列结论： AS= AR;PQ/ AR; BR国 CS映中正确 的是（）B.C.D.DFXE、F,则下列四个Z论中： AD上任意一点到 B、C的距离04.如图，AC,垂足分别是A.相等；AD上任意一点到 AB、AC的距离相等；AD, BC且BD= CD;/ BDE= /C

48、DF其中正确的是（）A.B.C.D.05.如图，在 RABC中，/ ACB= 90° , / CAB= 30° , / ACB的平分线与/ ABC的外角平分线交于E点，则/ AEB的度数为（）A. 50°B, 45°C. 40°D, 35°06.如图，P 是 ABC内一点，PD± AB 于 D, PE± BC于 E, PF± AC于 F,且 PD= PE= PF, 给出下列结论： AD=AF;AB+ EC= AC+ BE;BC+ CF= AB+ AF;点 P是 ABC 三条角平分线的交点.其中正确的序号是

49、（）B.C.D.07.如图，点P是 ABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（B.点P在/ABC的平分线上A.点P到 ABC三边的距离相等D. / P与/ B的关系,一一1 一C. /P与/B的关系是：/ P+ /B= 902A,KDAPEBBMCB3个ADCDREDBCAFAFA. 1，如图， 平分/B. 2个D. 4个卜列结论中如图，BD平分/ ABC, CD平分/ ACE BD与CD相交于D.给出下列结论：点D到AB、ABC中，/ C= 90° AD是4ABC的角平分线，DEL AB于E第7题图C F如图，在 ABC中，AD是/BAC的平分线，DEL AB于点E, D

50、F, AC于点F.求证：AD XEF.EA JA. 3个B. 2个C. 1个D. 4个如图，已知 BQ是/ ABC的内角平分线，CQ是/ACB的外角平分线，由 Q出发，作点 Q 至ij BC AC和AB的垂线QM、QN和QK,垂足分别为 M、N、K,则QM、QN、QK的关不 Ats 如图，AD是/BAC的平分线，DEL AB于E, DF± AC于F,且DB=DC求证：BE= CF/ NRB第10题图C08.09.10.11.12.BD C第5讲轴对称及轴对称变换经典考题赏析【例1】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（）oocQQCOQOO

51、口口00800【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴.故选D.【变式题组】01.将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）ABCD02.（荆州）如图，将矩形纸片 ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H 上；然后再沿虚线 GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径 在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）B/kC【例2】（襄樊）如图，在边长为 1的正方形网格中，将 ABC向右平移两个单位长度 得到 A B' C',则与点B'关于x轴对称的点的坐标是（）杜A. （0, 1） B. （1, 1） C. （

52、2, 1） D. （1,qT）二匚二【解法指导】在 ABC中，点B的坐标为（一1,1）, W ABC 上工向右平移两个单位长度得到 A B',Cfc点的坐标平移规律可得B'二N二日二二二'（1 + 2, 1）,即B' （1, 1）.由关于x轴对称的点的坐标的规律可得点B'关于x轴对称的点的坐标是（1, 1）,故应选D.Ill I”变式题组L01.若点P （2, 3）与点Q （a, b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（）A. 2, 3B. 2, 3C. -2,-3D. 2, -302.在直角坐标系中，已知点 P （ 3, 2）,点Q是点P关于x轴的对称点

53、，将点 Q向右平移4个单位得到点 R,则点R的坐标是.03.（荆州）已知点 P （a+1, 2a1）关于x轴的对称点在第一象 限，则a的取值范围为.【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC （/ ACB= 90° ）,沿线段CD折叠，使点B落在Bi处，若/ACB=70° ,则/ ACD=（）A. 30°B. 20°C. 15° D, 10°【解法指导】由折叠知/ BCD= / BiCD.设/ ACD= x,贝U/ BCD= Z BiCD= /ACB+/ACD= 70° +x.又/ ACD+ / BCD= / ACB,即 x+

54、 （70° + x） =90°，故 x=10° .故选 D.【变式题组】01.（东营）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D'、C'的位置.若/ EFB= 65° ,则/ AED 等于（）A. 70°B. 65°C. 50° D, 25°02.如图， ABC中，/ A= 30° ,以BE为边，将此三角形对折，其次，又以 BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时/ CDB= 82° ,则原三角形中/ B=.03.（江苏）观察与发现：小明将三角形纸片ABC （AB>AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为 AD,展平纸片（如图）；再次折叠该三角形纸片，使点 A 和点D重合，折痕为 EF,展平纸片后得到 AEF （如图）.小明认为 AEF是等腰三 角形，