数学方法运用与数学拓展课课例的实践研究

1、上海市教科研规划项目南汇区第一中学在初中拓展型课程中培养智优学生运用数学方法的实践研究关注教师知识储备辅导学习材料（2）数学方法运用与数学拓展课课例的实践研究关键词：运用数学方法 关注过程性变式 数学课例撰写 实践研究的反思 教科研成果的引成数学思想方法是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是人脑思维加工的产物，是人们对现实世界空间形式和数量关系的本质的认识，是数学概念、法则、公式、公理、定理等知识的提升。数学思想方法反映了这些知识的共同本质，具有更高的概括性和抽象性，因而更深刻、更本质。而数学思想方法的应用对数学教学具有更高的实践意义和价值。上海市中小学数学课程标准中明确指出“不

2、仅要关注学生对数学知识、技能、思想方法的掌握，关注其数学能力的发展，而且要有助于学生体验数学的思维方式和方法，形成良好的数学思维品质，促使学生的数学素质得到全面提高”。对数学思想方法也有了明确的要求，知道数学思想方法在进行数学思考和解决问题中的作用，逐步体会字母表示数的思想、化归思想、方程思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、分解与组合思想等基本数学思想。基于上述标准，可见中学阶段对学生在数学基本知识、基本技能基础上，对学生进行数学思想方法教育的重要地位。而“渗透”、“介绍”、“运用”数学思想方法必须要靠教师有意识的去“挖掘”、“体现”、“拓展”和“提升”。一、 数学方法的要点：关注过程

3、性变式与数学课例的研究著名数学家奥苏贝尔指出，“合理的联系”就是要寻找可以关联新旧知识的“知识固着点”，就是要找到合适的铺垫。而关注过程性变式正是让学生学会运用数学思想方法的关键。“合理的联系”实践可表示为：第1讲 分类讨论方法的应用当一个数学问题涉及多种情况，有时可按某一标准把这个问题分成若干种不同的情况，然后对每一种情况分别进行讨论，这种分析、分类、讨论、归纳的解题方法就是分类讨论的方法。分类讨论要根据引发讨论的原因，确定讨论的对象及分类的方法，分类讨论时要做到不遗漏、不重复。同时，分类讨论还要善于观察分析，善于根据事物的特征和规律，把握分类的标准，做到正确分类。其中的关键是确定分类的标准

4、。例1、化简 （为实数）。分析：对于应分三种情况讨论： 解：原式例2、化简 （为实数）。解：分类：令，则,原式例3、化简：。分析：先求界点。 由，得； 由，得。 借助数轴分类：解：原式例4、解关于的方程。分析：由得， 显然为界点。解：（1）当时，原方程的解为的一切实数； （2）当时，原方程化为， 由得，矛盾，舍去； 由得， 综上可见：时，原方程的解为的一切实数； 时，原方程的解为。 反思：分类讨论方法是一种重要的数学方法，也是一种重要的解题策略，许多数学问题很难从整体上去解决，但只要将其划分为所包含的各个局部问题，就可以逐个解决，分类讨论的思想实质上就是各个击破的策略。其思维过程是：

5、分析题意 确定分类 逐个解决 归纳总结练习：1、为实数，化简。 2、为实数，化简。3、解关于的方程（为实数）。答案：1、 原式2、 界点：，。当时，原式；当时，原式；当时，原式。3、 由得， 显然为界点。当时，原方程的解为的一切实数；当时，原方程转化为， 由得，矛盾，舍去；由得。归纳可见：时，原方程的解为的一切实数； 时，原方程的解为。 作者：复旦康桥学校 王敏 指导老师：王庆英 考察第一次讲授时分类讨论方法导入时简单例子较多，第二次讲授时作了提炼。 第一次讲授时例4为：化简，评课时大家认为初一学生在探究例4时要求太高，为此引用了解的方程让学生在化简时学会运用分类方法，也学会运用分类

6、方法去解方程中涉及到的问题，课例分析使第71讲形成了动态的、内在的、层次性递进的过程，让学生亲身感受这一过程的变式是发展、提升运用数学方法的关键。第71讲最后的反思再一次明确分类讨论方法思维的过程，可谓画龙点睛，实现了从具体简单到变式复杂，从抽象理论到实践运用，从具体实践到抽象理论之间的铺排。二、 运用数学方法的实践：以拓展课为载体的运用数学方法的实践教学常规的数学教学是通过教师“告诉”定理、公式，给出证明，然后通过练习做机械训练，使智优学生常常感到枯燥无味，如同嚼蜡。而运用数学方法的过程性变式训练实践常能成为提高智优学生数学素质的练兵场。第44讲 函数思想应用运动变化、相互联系、对应制约，是

7、客观世界的普遍规律。函数思想就是这一规律在数学中的反应。在解决问题中，常要建立一定的等式，寻求某种对应制约的关系，这就是函数，函数思想是解决许多数学问题的基本思想。例1、某水果批发市场规定：批发苹果不少于100千克时批发价每千克2.5元。小李携带现金3000元到这市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为x千克，小李付款后的剩余现金为y元，试写出y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。解：。例2、有一批货，如果月初售出，可获利1000元，并可将本利和再去投资，到月末获利1.5%，如果月末售出这批货，可获利1200元，但要付50元保管费，这批货在月初售出还是月末售出好？解：设这批货

8、成本元，月初售出到月末可获利润：（元），月末出售可获利润 =1200-50=1150（元），当时月初售出好； 当时月初月末售出结果相同； 当时月末售出好。例3、A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥送到C、D两农时，A城运往C、D两地的运费分别是20元/吨与25元/吨，B城运往C、D两地的运费分别是15元/吨与22克/吨，若已知C地需220吨，D地需要280吨，请算一下，如何调运化费最省钱？解：思路一：设从A城运往C村吨，则运往D村吨，从B城运往C村 吨，运往D村吨。设需要总费用为元，则 ，当时，,故只要从A运往D 200吨，从B运往C 220吨，运往D 80吨时运费最小，为100

9、60元。思路二：例4、某工厂现在甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品要用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元。（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数有哪几种方案，请你设计出来；（2）设生产A、B两种产品获总利润为y元，其中一种产品的生产件数设为x，试用含有x的代数式表示y，并说明（1）中哪种生产方案获总利润最大？最大总利润是多少？解：（1）设安排生产A种产品x件（，则生产B种产品50-x件由题意知：得 ，而，31，32， 对应的20，19，

10、18，有三种设计方案，分别为：生产A 30件，B 20件；生产A 31件，B 19件；生产A 32件，B 18件。（2），当时，（元），当生产A种产品30件，B种产品20件时利润最大，为45000元。 反思：在某些特定的条件下，等式可以转化为函数；而求函数的零点，就是解方程，因此许多有关方程的问题可用函数思想来解决，反之许多函数的问题也可用方程思想来解决。方程与函数存在着密切的联系，一个函数若能用一个解析式来表示，则这个表达式就可看作是一个方程；如果一个二元方程的两个未知数之间存在着一一对应关系，则这个方程也可看作是一个函数。因此，方程、函数的许多问题可以通过相互转化来解决。所以方程、函数思想

11、是解决许多数学问题的基本思想。其思维流程是： 练习：1、在边长为2 的正方形 的一边 上有一点 ，从 点运动到 点，设， 的面积，写出 与 的函数关系式，并求出自变量的取值范围。解：由题意可知，则，（）。2、某糖厂向B 市销售糖块，如果从铁路托运，每千克需运费0.5 元，若厂家派人从公路送，需出差补助费240元，然后每千克需0.26元， （1）设该厂向B 市销售糖块为千克，铁路运费为 元，公路运送的费用为元，分别计算两种运送方案所需费用（建立表达式）。 （2 ）当向B 市销售糖块多少千克时，两种运送的费用一样？ （3 ）就销售的糖块的重量为x 千克，讨论哪种运送方案更合算 。 解： （1）；

12、。（2）建立方程：，解得 ，即当销售糖块1000千克的时候运费一样多。（3） 显然，当时，铁路托运合算； 当时，一样费用； 当时，公路运送合算。 从例1、例2的“知识固着点”到逐层递进的例3、例4递进到练习1、练习2，通过反思和思维的流程让学生体验过程性变式、分层递进的解题策略和过程，从中让学生感受过程性变式的变化和意义。三、 运用数学方法的研究：关注学生思维方法综合能力的培养和兴趣培养 第106讲 数学思维与诗情画意数学是人类思维的体操，将数学与诗情画意有机融合是不少专家、学者追求的一种意境。华东师大著名数学家张奠宙教授近日撰文中又一次提到王国维用辛弃疾诗词描述的意境：众里寻它千百度，蓦然回

13、首，那人却在灯火阑珊处，并指出一个学生如果没有经历过这样的意境，数学大概是学不好的了。这使我们想起，乾隆皇帝在游园时所作的娱乐诗：一片二片三四片，五片六片七八片；九片十片无数片，飞入草丛都不见。诗句抒发了乾隆对花瓣飞入草丛时产生的的一种心理意境，当然此诗与郑板桥的咏雪诗也很类同。这样一种意境如能在数学课中展示、衔接，是提高学生综合素质的一种催化剂。特别是诗词的比喻如此恰切，而诗词的意境又把表面枯燥的数学语句形象化、氛围化，进而使数学解题过程进入到一个五彩缤纷、引人入胜的境界。一、感受数学解题过程中的诗情画意在讲到数学建模思想的运用时有这样一道试题。例1.1、已知3个非负数a、b、c满足条件3a

14、+2b+c=5，2a+b-3c=1。设3a+b-7c的最大值为S，最小值为t，求s-t的值。解：常规学生可使用建立同一个字母的数学模型的方法不妨建立c的数学模型： 而3a+b-7c=3c-2 ， 。其中将a,b化归为同一字母c可以比做为加减消元、异名化同名的“似曾相识”的意境。而2007年初三数学竞赛中一个试题又使学生再一次亲临“似曾相识”的境界。例1.2、已知a,b,c为整数，且a+b=2007，c-a=2006，若a<b，求a+b+c的最大值。解：不妨建立a的数学模型：而a<b， a的最大值为1003 ， 学生从 “似曾相识”中体会到“燕归来”的诗情画意,这对学生学好数学是一种

15、帮助。二、体会数学解题中的妙不可言有时我们还可以引导学生进入一种意境。例2.1、现有正方形纸片一张，假设正方形纸片面积为1，要求折出角度为300的纸角。（不可以使用圆规、量角器，只可使用三角尺作图）分析：此题似乎很难下手，不妨先作简单草图从简单草图中蓦然发现AP是AB与AB的对称轴，从而想到AB与AB是关于AP成轴对称的两条线段，而B点位置应该在AB、DC中点连接线段上，因而作图如下：（1） 取AB、CD的中点E、F，连接EF；（2） 将AB翻折到AB，使B在EF上，且BA=BA，得折线AB、AP，则AP、AB为三等分直角DAB的二条线。证明：连接易证为等边三角形。显然这里先作草图，然后使学生

16、能感受到：蓦然回首，思路就在前面的意境。例2.2、已知，求的值。解：由公式且，不妨设， 。可见复杂的数学问题，只有学会化归的方法，才能轻松化解，其解题思维过程可谓妙不可言。三、破解诗歌中的数学思维方法民间流传着许多有趣的数学诗词，常把数学问题编成有趣的、琅琅上口的诗词表达出来，很受欢迎。例3.1、李白天天不离酒，三餐依次增一斗， 三餐斗数两两乘，乘积相加一四六。 要知酒仙量如何，请问每餐饮几斗？ 解：设中餐饮x斗，依题意得， 整理得 ， 解得不合题意，舍去） 所以 故早餐饮6斗，中餐饮7斗，晚餐饮8斗。例3.2、老翁横杆归室，怎奈门窄四尺。 随即竖杆进室，杆长二尺难进。 对角斜进恰好，门高宽各

17、几尺？ 解：设门高尺，则门宽尺，门的对角线为尺。 由勾股定理得。 整理得， 解得（不合题意，舍去）。 所以。 故门高8尺，门宽6尺。例3.3、隔江相望东西岸，同时对开两只船。 甲离东岸三百尺，两船江中来相见。 开到对岸急返回，中途船二又会面。回头再看西岸柳，甲船开出百尺远。江水平平像明镜，小船悠悠有快慢。问你漓江宽几多，问你漓江几多宽？这是壮族民间传说中的歌仙刘三姐的歌词，歌词中指明了甲、乙两船分别从漓江东、西两岸相向匀速出发而行，在离东岸300尺处相遇后又继续前进；甲到西岸，乙到东岸后都立即返回，又在离西岸100尺处相遇，问漓江的宽度是多少尺？将诗词意境图形化：解：设漓江宽S尺，甲船速度为a

18、，乙船速度为b。则 设，则 整理得 ， 故漓江宽800尺。 当然让数学和诗情画意的美好意境、有趣氛围有机融合还是一个值得探索的课题，还需我们共同努力，共创“资源共享，师生双赢”的目标。但是让数学的学习充满乐趣，让学生感受中国传统文化的色彩斑斓、迷人意境是我们的一种追求。而探索这样一种诗情画意的意境正是克服题海战术和枯燥乏味的复制过程的一种有效手段，更是培养学生综合素质的创新之路。四、 运用数学方法的团队精神的形成与多方共赢应该说数学方法160讲在2006年前还只是我个人在数学拓展课上指导学生运用数学方法的一些简单课例研究，虽然已有100多篇短文已正式发表在省市一级报刊杂志，但由于我个人的能力、

19、水平限制还只是个人的研究成果，经过2007年项目核心学校的众多老师的教科研实践研究，2007年将正式成为上海市教科研规划项目的研究成果，2007年8月将进行第三次修订发行。修订本将在通法、通则、通式方面作努力，特别是参加子课题实践的一批老师通过课例实践的研究，在实践知识理论化、理论知识实践化方面不断探索和实践，对看似“没有问题”的问题进行探究，对看似“可以快速应对”的问题进行方法剖析，对看似“简单”的问题进行过程性变式，对看似“复杂”的问题找出规律作简单化处理。正如顾泠沅教授对行动教育的理论模型中的要求：新设计阶段关注新理念的 课例设计新行为阶段关注学生获得的行为调整更新理念反思1：寻找自身与他人的差距改善行为反思2：寻找设计与现实的差距课例为载体/教师与研究者的合作平台：理念学习、情境设计、行为反省、自我提升原行为阶段关注个人已有经验的教学行为我们正在进行第二阶段新设计阶段的实践研究，也就是在更新观念，寻找自身与他人的差距方面进行探索。当然数学拓展课课例的研究、撰写以及子课题的形成是教科研实践研究的一种成果表示方式，更是校本研究的一种实践研究形式，虽然有人认为这种表达方式缺乏高深的研究价值，但我们认为课堂教学是我们中学教师从事教学活动的主要场所，课堂教学是我们的主要研究对象，有必要把这种课例研究视为一种有实践意义的研究载体，使课例的实践研究成