第五章弯曲应力1

1、第五章第五章 弯曲应力弯曲应力凌 丹电子科技大学本章内容本章内容e 引言引言e 对称弯曲正应力对称弯曲正应力e 对称弯曲切应力对称弯曲切应力e 梁的强度条件与合理强度设计梁的强度条件与合理强度设计e 双对称截面梁的非对称弯曲双对称截面梁的非对称弯曲e 弯拉压组合弯拉压组合现象现象1：工程中在安放矩形截面木梁时，一般总是将工程中在安放矩形截面木梁时，一般总是将梁竖放，使其高度梁竖放，使其高度h大于宽度大于宽度b。bhbh承载能力大承载能力大承载能力小承载能力小工程现象工程现象 现象现象2 2：在钢结构中，经常采用型钢梁如工字形在钢结构中，经常采用型钢梁如工字形梁，盒形梁等，而不使用方形梁。梁，盒

2、形梁等，而不使用方形梁。 结论结论: :梁的承载能力梁的承载能力, ,不但取决于横截面面积不但取决于横截面面积, ,还还取决于截面的形状和如何放置等因素。研究弯曲变形取决于截面的形状和如何放置等因素。研究弯曲变形梁横截面上的应力分布规律对于合理设计梁的结构非梁横截面上的应力分布规律对于合理设计梁的结构非常重要。常重要。No 在横向载荷作用下，梁内横截面上通常同时存在剪在横向载荷作用下，梁内横截面上通常同时存在剪力和弯矩。力和弯矩。5.1 引言弯曲正应力弯曲正应力弯曲切应力弯曲切应力切向微内力构成剪力切向微内力构成剪力法向微内力构成弯矩法向微内力构成弯矩在梁的横截面上，将同时存在切应力和正应力。

3、在梁的横截面上，将同时存在切应力和正应力。 在机械与工程结构中，最常见梁的每个横截面至少在机械与工程结构中，最常见梁的每个横截面至少有一根对称轴，这些对称轴构成对称面，称为纵向对称有一根对称轴，这些对称轴构成对称面，称为纵向对称面。面。当所有外力都作用于梁的对称面内时，弯曲变形后当所有外力都作用于梁的对称面内时，弯曲变形后梁的轴线仍位于此对称面内，这种弯曲形式称为对称弯梁的轴线仍位于此对称面内，这种弯曲形式称为对称弯曲，也称为平面弯曲。曲，也称为平面弯曲。对称弯曲的概念对称弯曲的概念轴线轴线纵向对称面纵向对称面FqM梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念LaaFFFFF图SF(+)(-)

4、-FFa(+)M-图图纯弯曲纯弯曲横力横力弯曲弯曲横力横力弯曲弯曲梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念 横向弯曲横向弯曲梁在垂直梁轴线的横向力作用下，梁在垂直梁轴线的横向力作用下，其横截面上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的其横截面上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面上不仅有正应力，还有剪应力。这种弯曲横截面上不仅有正应力，还有剪应力。这种弯曲称为横向弯曲，称为横向弯曲， (transverse bending)。 纯弯曲：纯弯曲： 如果梁的横截面上只有弯矩一个内力如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量，这种平面弯曲称为纯弯曲分量，这种平面弯曲称为纯弯曲(pure bending)。在

5、。在纯弯曲情形下，由于梁的横截面上只有弯矩，因而纯弯曲情形下，由于梁的横截面上只有弯矩，因而便只有垂直于横截面的正应力。便只有垂直于横截面的正应力。梁弯曲的若干定义与概念梁弯曲的若干定义与概念5-2 5-2 对称弯曲正应力对称弯曲正应力1 1、试验对象：、试验对象：等直细长矩形截面梁等直细长矩形截面梁2 2、前提、前提: :(a)(a)小变形小变形在弹性变形范围内，在弹性变形范围内，(b)(b)满足平面弯曲条件，满足平面弯曲条件， （c c）纯弯曲。）纯弯曲。3 3、实验观察、实验观察: :MM梁侧表面绘制纵横线梁侧表面绘制纵横线梁侧表面纵横线的变形梁侧表面纵横线的变形梁纵向纤维的变形梁纵向纤

6、维的变形一、纯弯曲实验一、纯弯曲实验 实验观察结果：实验观察结果： （1 1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交（无切应）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交（无切应变），只是横线间作相对转动；变），只是横线间作相对转动； （2 2）纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线缩短，靠）纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线缩短，靠近梁底面的纵线伸长；近梁底面的纵线伸长； （3 3）在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵线缩短区，）在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵线缩短区，梁的宽度则增加，情况与轴向拉压的变形相似。梁的宽度则增加，情况与轴向拉压的变形相似。m1n1m2n2a1a2o1o2MMb1b2 ddxn1

7、m1m2n2o1a1a2b1b2o24 4、基本假设、基本假设弯曲平面假设：弯曲平面假设：变形后，横截面仍保持为平面，仍然垂直于变形后，横截面仍保持为平面，仍然垂直于变形以后的轴线；横截面绕中性轴旋转了一定角度。变形以后的轴线；横截面绕中性轴旋转了一定角度。单向受力假设：单向受力假设：梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。各纵向纤维之间无相互挤压。力。各纵向纤维之间无相互挤压。5 5、推理、推理 根据平面假设，根据平面假设，横截面上各点处均无切应力横截面上各点处均无切应力； 根据平面假设，梁弯曲时部分根据平面假设，梁弯曲时部分“纤维纤维”伸长，部分伸长，部

8、分“纤维纤维”缩短，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度缩短，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为不变的过渡层，称为中性层中性层。中性轴中性轴中性层中性层中性轴中性轴 中性层与横截面的交线，称为中性层与横截面的交线，称为中性轴中性轴。在对称在对称弯曲问题中，中性轴垂直于横截面的纵向对称轴。弯曲问题中，中性轴垂直于横截面的纵向对称轴。中性层与中性轴中性层与中性轴中性层上无正应变发生，弯曲正应力为零。中性层上无正应变发生，弯曲正应力为零。每一横截面中性轴弯曲正应力为零。每一横截面中性轴弯曲正应力为零。 纯弯曲时梁的所有横截面仍保持为平面，并纯弯曲时梁的所有横截面仍保持为平面，并绕中性

9、轴作相对转动，而所有纵向绕中性轴作相对转动，而所有纵向“纤维纤维”均处均处于单向受力状态。于单向受力状态。二、弯曲正应力的一般公式二、弯曲正应力的一般公式1.1.变形几何关系变形几何关系yz中性轴中性轴（位置待定）（位置待定）Ommnndx1o2oabyxmabmnn1o2ody纯弯曲纯弯曲纵线纵线ab的正应变为：的正应变为：dddy)(dxdxbay中性层的中性层的曲率半径曲率半径截面截面mm、nn的相对转角。的相对转角。距中性层距中性层y处任一纤维的正应变处任一纤维的正应变y =变形几何关系：变形几何关系： 分析：分析： （1 1）纯弯曲时梁横截面上各点的正应变沿截面高）纯弯曲时梁横截面上

10、各点的正应变沿截面高度线性分布；度线性分布；中性轴处正应变等于零；中性轴处正应变等于零； （3）中性轴两侧分别为拉应变和压应变；）中性轴两侧分别为拉应变和压应变； （4）距中性轴最远处，正应变的绝对值最大。）距中性轴最远处，正应变的绝对值最大。2 2、物理关系、物理关系在线弹性范围内，应用胡克定律在线弹性范围内，应用胡克定律EyE应力为零的点的连线。应力为零的点的连线。M（1 1）纯弯曲时横截面上的正应力沿截面高度线性分布；）纯弯曲时横截面上的正应力沿截面高度线性分布；（2 2）中性轴处正应力为零；）中性轴处正应力为零；（3 3）在距中性轴最远的横截面边缘，分别受有最大拉应力和最）在距中性轴最

11、远的横截面边缘，分别受有最大拉应力和最大压应力；大压应力；（4 4）横截面上同一高度的各点正应力相等。）横截面上同一高度的各点正应力相等。xzydAdA M3 3、静力学关系：、静力学关系：AN =dA = 0zyAM=dA = 0yzAM=dA = M平衡方程：平衡方程：0 dAEy A AdANzESy = Ez 轴必须通过横截面的形心，为横截面的形心轴必须通过横截面的形心，为横截面的形心 轴。轴。0 dAEyz A2dAEyA 1 zEIM yM dAA z dAA yzM zEIEIz 梁的梁的抗弯刚度抗弯刚度，反映梁抵抗弯曲变形的能力。反映梁抵抗弯曲变形的能力。yzEIxzydAdA

12、 My 轴为横截面的对称轴，该式自然满足。轴为横截面的对称轴，该式自然满足。zzEIM1yEzzIyMv 正应力公式适用条件：正应力公式适用条件：（1 1）所有外载荷作用在纵向对称面上（对称弯曲）。）所有外载荷作用在纵向对称面上（对称弯曲）。（2 2）纯弯曲或）纯弯曲或 的横力弯曲，其中的横力弯曲，其中h为梁的高度，为梁的高度，l为跨度（支座间距离或外伸部分长度）；为跨度（支座间距离或外伸部分长度）；（3 3）应力小于比例极限。）应力小于比例极限。/5l h xzydAdA 三、最大弯曲正应力三、最大弯曲正应力zzIyMmaxmax位于中性层最远处，正应力最大。位于中性层最远处，正应力最大。m

13、axyIWzzzzWMmaxmaxyIWzz截面的截面的抗弯截面模量，抗弯截面模量，反映了截面反映了截面的几何形状、尺寸对强度的影响。的几何形状、尺寸对强度的影响。 注意：注意：弯曲正应力弯曲正应力的正负号规定：拉应力为正，的正负号规定：拉应力为正，压应力为负。其正负号由弯矩压应力为负。其正负号由弯矩 M 及点的坐标及点的坐标y 的正负的正负确定。实际计算时更多用直观判断方法确定。确定。实际计算时更多用直观判断方法确定。矩形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：矩形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：z竖放：竖放：,1213bhIz261bhWzbhz ,1213hbIz261hbWz平放：平放

14、：hb若若hb, 则则 。zzWW 竖放与横放相比，承载能力更强。竖放与横放相比，承载能力更强。yzD464zDI3/232zzIDWD圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：圆形截面对中性轴的惯性矩及抗弯截面模量：注意注意：（1 1）在计算正应力前，）在计算正应力前，必须弄清楚所要求的是哪必须弄清楚所要求的是哪个截面上的正应力个截面上的正应力，从而从而确定该截面上的弯矩及该确定该截面上的弯矩及该截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩；以及；以及所求的是该截面上哪所求的是该截面上哪一点的正应力一点的正应力，并，并确定该点到中性轴的距离确定该点到中性轴的距离。（2 2）要特别注意）要特别注意正

15、应力在横截面上沿高度呈线性分正应力在横截面上沿高度呈线性分布的规律布的规律，在中性轴上为零，而，在中性轴上为零，而在梁的上下边缘处正在梁的上下边缘处正应力最大应力最大。（4 4）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的）必须熟记矩形截面、圆形截面对中性轴的惯性矩的计算式。惯性矩的计算式。（3 3）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，）梁在中性轴的两侧分别受拉或受压，正应正应力的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的力的正负号（拉或压）可根据弯矩的正负及梁的变形状态来确定变形状态来确定。在横向弯曲情况下：在横向弯曲情况下： 横截面上既有正应力，又有切应力；横截面上既有正应力，又有切应力； 横截面将发生翘

16、曲，不再保持为平面。横截面将发生翘曲，不再保持为平面。横向弯曲时的正应力计算公式横向弯曲时的正应力计算公式 z = My/I 尽管横力弯曲和纯弯曲存在差异，但通过分析表尽管横力弯曲和纯弯曲存在差异，但通过分析表明，用公式明，用公式 计算横力弯曲时的正应力，并不计算横力弯曲时的正应力，并不会引起很大的误差（在横力弯曲的情况下，对于跨长会引起很大的误差（在横力弯曲的情况下，对于跨长与截面高之比大于与截面高之比大于5的梁仍使用，且误差很小。），能的梁仍使用，且误差很小。），能满足工程问题所需精度。满足工程问题所需精度。例题例题图示悬臂梁，自由端承受集中载荷图示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作

17、用，计算作用，计算截面截面B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。已知的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。已知l=0.400m，b=0.120m，d d=0.020m。B-B解：解：1. 弯曲应力分析弯曲应力分析zBIyM最大弯曲拉应力发生在截面上边缘。最大弯曲拉应力发生在截面上边缘。最大弯曲压应力发生在截面下边缘。最大弯曲压应力发生在截面下边缘。zymNFlMB60001y2yzBtIyM1max,zBcIyM2max,(1) 求组合图形形心：求组合图形形心：2. 横截面几何性质计算横截面几何性质计算dd211bSz)21(2ddbbSzzy1y2y121221)21(ybbbbycdddddmm

18、yby95452012012dmmyyc4512131)2(121dddybbIz21zzzIII(2) 求组合图形对求组合图形对z轴的惯性矩轴的惯性矩zy1y2y12461084. 8mm(3) 计算最大拉、压正应力计算最大拉、压正应力MPaIyMzBt5 .301084. 845106000631max,MPaIyMzBc5 .641084. 895106000632max,2232)2(121bybbIzddBAl = 3mq=60kN/mxC1m30zy180120K已知简支梁的尺寸及载荷如图所示，弹性模量已知简支梁的尺寸及载荷如图所示，弹性模量E200GPa。 求：求：（1）C 截面

19、上截面上K点正应力；点正应力；（2）C 截面上的最大正应力；截面上的最大正应力；（3）全梁上的最大正应力；）全梁上的最大正应力；（4）C 截面的曲率半径截面的曲率半径。例题例题BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kNmkN605 . 0160190CM求支座反力，并绘制内力图。求支座反力，并绘制内力图。kN90AyFkN90ByF4533Zm10832. 51218. 012. 012bhIMPa7 .61Pa107 .6110832. 510)302180(10606533ZKCKIyM（压应力）（压应力）解：解：(

20、1) 求求C截面上截面上K点正应力点正应力BAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN（2）C 截面最大正应力截面最大正应力C 截面弯矩截面弯矩mkN60CMC 截面惯性矩截面惯性矩45Zm10832. 5IMPa55.92Pa1055.9210832. 510218010606533ZmaxmaxIyMCCBAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN（3） 全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩mkN5 .67maxM截面惯性矩截面惯性矩45m

21、10832. 5zIMPa17.104Pa1017.10410832. 5102180105 .676533ZmaxmaxmaxIyMBAl = 3mq=60kN/mxC1mMxm67.5kN8/2ql 30zy180120K FSx90kN90kN（4） C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩mkN60CMC 截面惯性矩截面惯性矩45Zm10832. 5Im4 .194106010832. 510200359CZCMEI1zMEI5-3 5-3 对称弯曲切应力对称弯曲切应力Pbhy1 1、基本假设：、基本假设： （1 1）横截面上各点的切应力的方向都平行于剪力）横截面上各点的切应力

22、的方向都平行于剪力F FS S； （2 2）切应力沿截面宽度均匀分布。）切应力沿截面宽度均匀分布。一、矩形截面梁的弯曲切应力（弯曲剪应力）一、矩形截面梁的弯曲切应力（弯曲剪应力） 实验证明：在截面高度大于宽度的情况下，根据此假定得到实验证明：在截面高度大于宽度的情况下，根据此假定得到的解与精确解相比具有足够的准确度。的解与精确解相比具有足够的准确度。LABF(+)(-)bh分析方法（截面法）：分析方法（截面法）：1 1、沿、沿 mm,nn 截面截开，截面截开， 取微段取微段dxdx。mmnndxmmnnMM+dMmmnn12kl图M(+)图sFsFsFmmnn12kl2、沿、沿 kl 截面截开

23、，根据剪应力的互等定理：截面截开，根据剪应力的互等定理：dx很小，在很小，在 kl 面上可认为均布。面上可认为均布。bdx12mnkl3、列平衡方程，由、列平衡方程，由 ：0 xF021FbdxF0)(2121AAdAbdxdAwbdx12mnklyzy*,*1zIMy,*)(2zIydMM w横截面上任一点处弯曲正应横截面上任一点处弯曲正应力计算公式：力计算公式：sF12()0AAdAbdxdAww代入得：代入得：*0AAzzMMdMy dAbdxy dAIIww*AzdMbdxy dAIwzzbISdxdM)(w)(wzSzzsbISF)(w截面截面w对对z轴的静矩轴的静矩,*1zIMy,

24、*)(2zIydMM 又称为部分静矩又称为部分静矩zzsbISF)(w式中符号意义：式中符号意义： ：截面上距中性轴：截面上距中性轴y处的剪应力处的剪应力 ：y以外面积对中性轴的静矩以外面积对中性轴的静矩 ：整个截面对中性轴的惯性矩：整个截面对中性轴的惯性矩zIb：y处的横截面宽度处的横截面宽度)(wzSbdxm nk lyzy*wy()()zcSAywww根据平面图形对任一轴静矩的定义：根据平面图形对任一轴静矩的定义：bhzywcycbhzywcyc22)2(yhyyhb)4(222yhbwwczywAS)()(部分静矩的计算部分静矩的计算3121bhIz而而 因此矩形截面梁横截面因此矩形截

25、面梁横截面上的剪应力的大小沿着梁的上的剪应力的大小沿着梁的高度高度抛物线抛物线规律分布。规律分布。)41 (2322hybhFs并且并且;0,2hyAFbhFyss2323, 0maxzzsbISF)(w 横截面中性轴上横截面中性轴上的切应力最大，边缘的切应力最大，边缘处切应力为零。处切应力为零。二、工字形截面梁的切应力二、工字形截面梁的切应力 主要考虑工字形截面梁腹板上的切应力计算。主要考虑工字形截面梁腹板上的切应力计算。 可按照矩形截面梁的切应力公式计算：可按照矩形截面梁的切应力公式计算： ()szzF SI dw w 式中式中：d 腹板宽度腹板宽度 S( S(w w)图中阴影部分图中阴影

26、部分面积对中性轴之静矩。面积对中性轴之静矩。 静矩计算如下：静矩计算如下： 11111222211222( )()()()()222222()()24424zhhhyhhhhSbdyyhhb hdyw w代入切应力公式得：代入切应力公式得： 222211()()24424szFhhb hdyI d 工字形截面梁腹板上的工字形截面梁腹板上的弯曲切应力沿腹板高度按弯曲切应力沿腹板高度按抛物线规律分布抛物线规律分布。 当当 时，时， 最小；最小；12hy 当当 时，时， 最大。最大。0y 22211max221min()888()88szszFbhdhbhI dFbhbhI d 222211()()

27、24424szFhhb hdyI d （1 1）腹板上的）腹板上的max 远远大于翼缘上的远远大于翼缘上的max；（2 2）切应力在工字形截面的腹板上大致均匀分布；）切应力在工字形截面的腹板上大致均匀分布；（3 3）横截面上的剪力横截面上的剪力Fs 的绝大部分由腹板所承担。的绝大部分由腹板所承担。sF腹板maxA 当腹板厚度当腹板厚度d远小于翼缘远小于翼缘宽度宽度b时，最大与最小切应力时，最大与最小切应力相差甚小，因此，腹板上的相差甚小，因此，腹板上的切应力可近似看成时均匀分切应力可近似看成时均匀分布的。即布的。即三、圆形截面梁三、圆形截面梁S243FRS43FAmmaxax( ),szzF

28、SI bw23*42,233zRRRS44zRI 圆形截面边缘上各点的切应力不是平行于截面圆形截面边缘上各点的切应力不是平行于截面剪力而是与圆周相切。在平行于中性轴的同一轴线剪力而是与圆周相切。在平行于中性轴的同一轴线上，各点处的切应力方向也不相同。最大切应力发上，各点处的切应力方向也不相同。最大切应力发生在中性轴上，可近似认为中性轴上各点处切应力生在中性轴上，可近似认为中性轴上各点处切应力平行于剪力。平行于剪力。四、四、 弯曲正应力与弯曲切应力的比较弯曲正应力与弯曲切应力的比较qlyzC宽宽 b 高高h最大弯矩最大弯矩22maxmax62|bhqlWMz2|2maxqlMqlFSmax,最大

29、剪力最大剪力bhqlAFS2323max,max)(232322maxmaxhlqlbhbhqlA)(232322maxmaxhlqlbhbhql 当梁的长度远大于截面高度时，梁的最大弯当梁的长度远大于截面高度时，梁的最大弯曲正应力远大于最大弯曲切应力。曲正应力远大于最大弯曲切应力。 在一般细长的非薄壁截面梁中，主要应力在一般细长的非薄壁截面梁中，主要应力是弯曲正应力。是弯曲正应力。例：简支梁的受力和横截面如图所示。试求：（例：简支梁的受力和横截面如图所示。试求：（1 1）1-11-1截面上截面上a 、b两点的正应力和切应力，并画出沿截面高度两点的正应力和切应力，并画出沿截面高度正应力和切应力

30、的分布图；（正应力和切应力的分布图；（2 2）危险面上的最大正应力）危险面上的最大正应力和最大切应力。和最大切应力。解：（解：（1 1）绘制内力图）绘制内力图（2 2）求）求1-11-1截面的内力截面的内力1s1M = 36.4kN mF= 36.4kN截面系数截面系数374z1I =bh = 2.11 10 (mm )12（3 3）求）求1-11-1截面上的正截面上的正应力和切应力应力和切应力a, b 两点的正应力和切应力两点的正应力和切应力1aazM y = -60.4(MPa) ()I压应力拉应力1bbzM y = 129(MPa) ()I( )ws1zazbF S = 3.8MPaI

31、b = 01-1截面的最大切应力截面的最大切应力1s1M = 36.4KN mF= 36.4KNMPaAFS85. 4150752104 .3632331max3( ),ammw5zS=7540(75 -40/2)= 1.6510( ),bwzS= 0（4 4）求危险截面上的最大正应力和最大切应力）求危险截面上的最大正应力和最大切应力()截面max| M |= 43.6KN mC()右侧截面s max|F |= 43.6KNC抗弯截面系数抗弯截面系数253z1W =bh = 2.81 10 mm6正应力正应力 和切应和切应力分布情况力分布情况 最大正应力最大正应力maxmaxz| M |= 1

32、55MPaW最大切应力最大切应力s maxmax|F |3= 5.81MPa2A+ + 例：简支梁受力如图所示。已知例：简支梁受力如图所示。已知P40kN，l = 10m。试计算下列两种截面形式梁中的最大正应力和最大切应力。试计算下列两种截面形式梁中的最大正应力和最大切应力。（1）横截面为）横截面为b = 100mm，h = 200mm的矩形；（的矩形；（2）采）采用型号为用型号为I32a的工字钢。的工字钢。 为了求解最大正应力和最大切应力，首先需要为了求解最大正应力和最大切应力，首先需要确定最大弯矩和最大剪力作用面及其大小，也就是确定最大弯矩和最大剪力作用面及其大小，也就是确定危险截面确定危

33、险截面，然后正确判断产生最大正应力和最，然后正确判断产生最大正应力和最大切应力的点在危险截面上的位置，即大切应力的点在危险截面上的位置，即确定危险点确定危险点。最后按正应力和切应力计算公式求解。最后按正应力和切应力计算公式求解。 解：（解：（1）绘制简支梁的剪力图和弯矩图。）绘制简支梁的剪力图和弯矩图。 PABCFAFB202ABPFFkN 以简支梁为研究对象，受力分析如图所示。由以简支梁为研究对象，受力分析如图所示。由平衡方程可得：平衡方程可得： 分析：分析：剪力图剪力图弯矩图弯矩图剪力图和弯矩图如图所示。剪力图和弯矩图如图所示。 max202sPFkNmax1004PlMkN m 简支梁跨

34、中有最大弯矩，此截面为危险截面。最大正简支梁跨中有最大弯矩，此截面为危险截面。最大正应力发生在该横截面的上下边缘（危险点），其值为应力发生在该横截面的上下边缘（危险点），其值为（2）矩形截面梁）矩形截面梁36maxmax2100 10150 1015010.1 0.26zMMPaW 梁中的最大剪力梁中的最大剪力Fsmax=20kN.m，最大切应力发，最大切应力发生在截面的中性轴上（危险点）。其值为生在截面的中性轴上（危险点）。其值为 36maxmax3320 101.5 101.5220.1 0.2sFMPaAmaxmax1501001.5比较计算结果比较计算结果 可知，梁中的最大正应力比最大

35、切应力要大得多。可知，梁中的最大正应力比最大切应力要大得多。因此，在校核梁的强度时，可以忽略剪力的影响。因此，在校核梁的强度时，可以忽略剪力的影响。（3）I32a工字型钢截面梁工字型钢截面梁 3363692.2 10692.2 10zWmmm36maxmax6100 10144 10144692.2 10zMMPaW320,275,9.5,15zzIhmmmm dmm tmmS36maxmax320 107.66 107.660.275 9.5 10szzFSMPaI d由型钢表查得由型钢表查得 由型钢表查得由型钢表查得 则梁内最大正应力发生在跨中（危险截面）的工则梁内最大正应力发生在跨中（危

36、险截面）的工字形截面的上下边缘（危险点），其值为字形截面的上下边缘（危险点），其值为 梁内最大切应力发生在截面的中性轴上，其值为梁内最大切应力发生在截面的中性轴上，其值为 5-4 5-4 梁的强度条件与梁的强度条件与合理强度设计合理强度设计一、弯曲正应力强度条件一、弯曲正应力强度条件 说明：说明： （1）最大弯曲正应力可能发生在最大正弯矩或负弯矩）最大弯曲正应力可能发生在最大正弯矩或负弯矩截面上，即截面上，即危险截面危险截面。 （2）最大弯曲正应力可能发生在危险截面上离中性轴）最大弯曲正应力可能发生在危险截面上离中性轴最远的各点处，即最远的各点处，即危险点危险点。 （3）对于变截面梁而言，需要

37、综合考虑）对于变截面梁而言，需要综合考虑M和和Iz 。maxmaxmaxzIyMmaxmaxzWM （4 4）对于塑性材料而言对于塑性材料而言，由于材料的抗拉和抗压，由于材料的抗拉和抗压强度相同（如低碳钢），因此强度相同（如低碳钢），因此要求绝对值最大的弯曲要求绝对值最大的弯曲正应力不超过材料的许用弯曲正应力正应力不超过材料的许用弯曲正应力。对等截面直梁。对等截面直梁来说，危险截面仅有一个，即来说，危险截面仅有一个，即| |Mmax|所在截面，而截所在截面，而截面上的危险点，即面上的危险点，即ymax 所在之点。所在之点。maxmaxmaxzIyMmaxmaxzWM （5 5）对脆性材料而言对

38、脆性材料而言，由于材料的抗拉和抗压强度不，由于材料的抗拉和抗压强度不等，因此等，因此要求最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力都不超过要求最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力都不超过材料的许用弯曲拉应力和许用弯曲压应力材料的许用弯曲拉应力和许用弯曲压应力。就关于中性轴。就关于中性轴不对称等截面直梁来说，危险截面有两个：不对称等截面直梁来说，危险截面有两个：正弯矩最大的正弯矩最大的截面和负弯矩最大的截面。而每个危险截面有两个危险点截面和负弯矩最大的截面。而每个危险截面有两个危险点，即即ymax 和和ymin 所在之点。因此要满足全梁的强度，必须这所在之点。因此要满足全梁的强度，必须这些点的强度均满足。些点的强

39、度均满足。max,ttmax,cc max二、弯曲切应力强度条件二、弯曲切应力强度条件 梁的最大弯曲切应力通常发生在中性轴上的各点处，梁的最大弯曲切应力通常发生在中性轴上的各点处，而该处的弯曲正应力为零。因此中性轴上的各点处于纯而该处的弯曲正应力为零。因此中性轴上的各点处于纯剪切应力状态，相应的强度条件是剪切应力状态，相应的强度条件是 对于一般细长的非薄壁截面梁，通常只需按弯曲正对于一般细长的非薄壁截面梁，通常只需按弯曲正应力强度条件进行分析即可。只有在下述一些情况下，应力强度条件进行分析即可。只有在下述一些情况下，要进行梁的弯曲切应力强度校核要进行梁的弯曲切应力强度校核： （1 1） 梁的跨

40、度较短，或在支座附近作用较大的梁的跨度较短，或在支座附近作用较大的载荷，以致梁的弯矩较小，而剪力较大；载荷，以致梁的弯矩较小，而剪力较大； （2 2）经焊接、铆接或胶合而成的梁，对焊缝、经焊接、铆接或胶合而成的梁，对焊缝、铆钉或胶合面等，一般要进行切应力计算和校核。铆钉或胶合面等，一般要进行切应力计算和校核。 说明：说明： （1 1）最大弯曲切应力）最大弯曲切应力max的计算，应视截面为矩形、的计算，应视截面为矩形、工字形、圆形等不同情况，应用不同的计算式。当为等截工字形、圆形等不同情况，应用不同的计算式。当为等截面梁时，只需校核最大剪力面梁时，只需校核最大剪力Fmax所在截面的中性轴上点的所

41、在截面的中性轴上点的切应力是否满足强度条件；当为非等截面梁时，还需考虑切应力是否满足强度条件；当为非等截面梁时，还需考虑未出现未出现Fmax的截面。的截面。 （2 2）在校核梁的强度或进行截面设计时，必须同时在校核梁的强度或进行截面设计时，必须同时满足梁的正应力强度条件和切应力强度条件。满足梁的正应力强度条件和切应力强度条件。在工程中，在工程中，通常先按正应力强度条件设计出截面尺寸，然后进行切应通常先按正应力强度条件设计出截面尺寸，然后进行切应力强度校核。力强度校核。 例题例题 5-4 圆截面轴圆截面轴AD，BC段受均布载荷的作用，已知段受均布载荷的作用，已知载荷集度载荷集度q=1kN/m，许

42、用应力，许用应力 =140MPa，确定，确定轴径。轴径。ABCDqABCDqABCDq剪力图剪力图弯矩图弯矩图kNm455kNm210kNm210maxMWz323dWz圆截面轴：圆截面轴：ABCDqkNm455kNm210kNm210 应分别计算应分别计算BC段和段和AB段的段的直径。直径。 例：有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用例：有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用T 型截型截面，已知材料的许用拉应力为面，已知材料的许用拉应力为t t 40MPa，许用压应许用压应力力c c 100MPa。试校核梁的强度。试校核梁的强度。 单位：单位：mm解：（解：（1 1）绘制弯矩图）绘制弯矩图10.

43、cMKN m 最大负弯矩最大负弯矩 20.AMKN m 弯矩图弯矩图 最大正弯矩最大正弯矩 以外伸梁为研究对象，受以外伸梁为研究对象，受力图如图所示。由平衡方程得力图如图所示。由平衡方程得A、B处的约束力分别为处的约束力分别为ABF =30kN m ,F =10kN m 绘制弯矩图绘制弯矩图截面形心距底边截面形心距底边 30 170 8530 200 18530 17030 200139cymm （2 2）确定中性轴的位置）确定中性轴的位置 单位：单位：mm（3 3）截面对中性轴的惯性矩）截面对中性轴的惯性矩 3322642003030 1702003046303 1

44、0zIm 46103 .40mm拉应力强度校核拉应力强度校核 A截面为负弯矩，上部受拉截面为负弯矩，上部受拉 C截面为正弯矩，下部受拉截面为正弯矩，下部受拉 （4 4）校核梁的强度（绘出应力分布图）校核梁的强度（绘出应力分布图） A截面应截面应力分布力分布C截面应截面应力分布图力分布图zAtAIyM1max,zCtCIyM2max,由于由于 21CAM yM y ，最大拉应力发生在，最大拉应力发生在C截面下边缘。截面下边缘。 拉应力强度足够。拉应力强度足够。 zAtAIyM1max,zCtCIyM2max,5 .34103 .401391010466max,max,ttCtMPammmmNmm

45、A截面下部受压截面下部受压 ： C截面上部受压截面上部受压 ： 压应力强度校核压应力强度校核 A截面应截面应力分布图力分布图C截面应截面应力分布图力分布图zAcAIyM2max,zCcCIyM1max,由于由于 ，最大压应力发生在，最大压应力发生在A A截面的下边缘截面的下边缘 21ACM yM y 压应力强度足够。压应力强度足够。 zAcAIyM2max,zCcCIyM1max,69103 .401391020466max,max,ccAcMPammmmNmm 要点讨论要点讨论 如果将此梁的截面倒放成如果将此梁的截面倒放成形，这时梁的最大拉应力形，这时梁的最大拉应力将发生在将发生在A截面的上

46、边缘，其值为：截面的上边缘，其值为： 这时梁的强度就不足。由此可见，这时梁的强度就不足。由此可见，对于抗拉、拉压强对于抗拉、拉压强度不相同，截面上下又不对称于中性轴的梁，须根据梁的度不相同，截面上下又不对称于中性轴的梁，须根据梁的受力情况来合理放置受力情况来合理放置。69103 .401391020466max,ttMPammmmNmm例题例题 5-6 图示简易起重机梁，用工字钢制成，若载荷图示简易起重机梁，用工字钢制成，若载荷F=20kN，并可沿，并可沿梁轴移动，选择工字钢的型号。已知梁的跨距梁轴移动，选择工字钢的型号。已知梁的跨距l=6m，许用应，许用应力力 100MPa， ，许用切应力，

47、许用切应力 60MPaFh hl型 钢解：解：（1）内力分析，确定危险截面）内力分析，确定危险截面当集中载荷位于梁的跨距中点时，弯矩最大当集中载荷位于梁的跨距中点时，弯矩最大FS图图 M图图4Fl2F2F4maxFlM2FFSA载荷无限靠近支座时，剪力最大。载荷无限靠近支座时，剪力最大。kNFs20max,2. 选择截面尺寸选择截面尺寸maxMWz3523103/1004)(60001020mmmmNNmmWz3min300cmWz查型钢表，选用查型钢表，选用22a工字钢工字钢3.校核梁的剪切强度校核梁的剪切强度zzsISFdw)(max,max,max查表查表22a工字钢工字钢cmSIzz9

48、 .18max,MPammmmN11.145 . 718910203max腹板宽度腹板宽度mm5 . 7d剪切强度满足要求。剪切强度满足要求。弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件：maxmaxzWM在在 一定时，提高弯曲强度的主要途径：一定时，提高弯曲强度的主要途径：max,MWz一、选择合理截面一、选择合理截面 矩形截面中性轴附近的材矩形截面中性轴附近的材料未充分利用，工字形截面更料未充分利用，工字形截面更合理。合理。1 1、根据应力分布的规律选择：、根据应力分布的规律选择：z提高弯曲强度的一些措施提高弯曲强度的一些措施2.2.为降低重量，可在中性轴附近开孔。为降低重量，可在中性轴附近开孔

49、。3. 3. 根据材料特性选择：根据材料特性选择：塑性材料塑性材料：,ct宜采用中性轴为对称轴的截面。宜采用中性轴为对称轴的截面。工字形截面梁、矩形截面梁、箱形截面梁工字形截面梁、矩形截面梁、箱形截面梁脆性材料脆性材料：抗拉强度低于抗压强度，采用中性轴偏：抗拉强度低于抗压强度，采用中性轴偏于受拉一侧的横截面。于受拉一侧的横截面。T形截面梁、槽形截面梁形截面梁、槽形截面梁,ct受拉受拉受拉受拉ycz1y2y例如例如T T字形截面：字形截面：zzIMyIMy21maxmax即：力求使最大拉、压应力同时达到许用应力值。即：力求使最大拉、压应力同时达到许用应力值。截面的合理设计截面的合理设计已知：简支

50、梁的最大弯矩已知：简支梁的最大弯矩Mmax=7.5kN m, =160MPa求：按正应力强度条件选择下求：按正应力强度条件选择下列截面的尺寸并比较其重量。列截面的尺寸并比较其重量。MkNm5 . 72 dD2 bh工字钢工字钢解：解：圆形圆形323DWZ62bhWZ矩形矩形圆环圆环)1(3243DWZ工字钢工字钢maxMWZ2mmkN15mmD2 .7816032105 . 736圆形圆形mmD9 .79)5 . 01 (16032105 . 7346圆环圆环mmb3 .4141606105 . 736矩形矩形工字钢工字钢39 .46 cmWZ1010349cmWZ2148cmA 226 .37 cmA 2334 cmA 2414cmA 1234:3.43:2.69:2.43:1AAAA 2 dD2 bh工字钢工字钢例：根据材料的特性选择截面形状。例：根据材料的特性选择截面形状。 试从强度方面考虑，哪种试从强度方面考虑，哪种截面形状最合适截面形状最合适 ？ 若为若