九年级数学-锐角三角函数全章教案

1、九年级数学教案第二十八章锐角三角函数教材分析：本章包括锐角三角函数的概念（主要是正弦、余弦和正切的概念），以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。本章内容与已学"相似三角形""勾股定理"等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。学情分析：锐角三角函数的概念既是本章的难点

2、，也是学习本章的关键。难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。28 1锐角三角函数（1）第一课时教学目标：知识与技能：1 、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。2、能根据正弦概念正确进行计算3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这

3、一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯重难点：1重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实2难点与关键：难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实教学过程：一、复习旧知、引入新课【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片）

4、小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米.然后他很快就算出旗杆的高度了。你想知道小明怎样算出的吗?3410下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦二、探索新知、分类应用【活动一】问题的引入【问题一】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30o，为使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管？分析：问题转化为，在RtABC中，/C=90o,/A=30o,BC=35m求ABq根据“再直角三角形中，30o角所对的边等于斜边的一半&qu

5、ot;，即乙4的对边_BC_1斜边AB2可得AB=2BC=70m!需要准备70m长的水管结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么不管三角形的大小如何，这，人，一一1个角的对边与斜边的比值都等于-2【问题二】如图，任意画一个RtAABC；使/C=90o,/A=45。，计算/A的对边与斜边BC的比BC,能得到什么结论？（学生思考）.AB结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45。，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于。【问题三】一般地，当/A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是个固定值？如图：RtAABC与RtA'B'C

6、',/C=/C'=90。，/A=/分析：由于/C=ZC'=90。，/A=/A'=a,所以RtAABCRtAA'B'C',BCABAB结论：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，ZA的对边与斜边的比也是一个固定值。【活动二】认识正弦如图，在RtABC中，/A、/日/C所对的边分别记为a、b、c。师：在RtABC中，/C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做/A的正弦。记作sinA。A的对初a板书：sinA=a（举例说明：若a=1,c=3,A的斜边c则sinA=）与A的乘积，而是一个整体;3【注意】：1、s

7、inA不是sin2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin/DEF3、sinA是线段之间的一个比值；sinA没有单位。提问：/B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边?【活动三】正弦简单应用例1如课本图28.1-5,在RtAABC中，/C=90°,求sinA和sinB的值.教师对题目进行分析：求sinA就是要确定/A的对边与斜边的比；求sinB?就是要确定/B的对边与斜边的比.我们已经知道了/A对边的值，所以解题时应先求斜边的高.三、总结消化、整理笔记在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，/A的对边与斜边的比

8、都是一个固定值.在RtABC中，/C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做/A的正弦，记作sinA。四、书写作业、巩固提高练习：做课本第77页练习.五、教学后记28.1锐角三角函数（2）第二课时教学目标:知识与技能：1、了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA、cosA、tanA?表示直角三角形中两边的比.2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.重

9、难点：1 .理解余弦、正切的概念.2 .难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算.教学过程：一、复习旧知、引入新课【复习】1、口述正弦的定义CDL AB于点 D。已知 AC=/5 ,D B2、(1)如图，已知AB是。的直径，点C、D在。0上，且AB=5,BC=3.则sin/BAC=;sinZADC=.(2)(2006成都)如图，在RtABC中，/ACB=90°,D. _52BC=2,那么sin/ACD-()A._JB,2C.25:、探索新知、分类应用【活动一】余弦、正切的定义般地，当/A取其他一定度数的锐角时,它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值?11如图：RtAABC与RtAA

10、'B'C',/C=/C'=90o,/B=/B'=a,BC那么他与/卫有什么关系？分析：由于/ C=/ C'=90 °, / B=/ B'= a ,所以 RtAABCRtAA'B'C' ,BCABLl 一 IBCABAb,结论：在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，/B的邻边与斜边的比也是一个固定值。如图，在RtABC中，/C=90°,把锐角B的邻边与斜边的比叫做/B的余弦，记作cosB即上戚邻边斜出把/A的对边与邻边的比叫做/A的正切.记作tanA,即锐角A的正弦，余弦，正

11、切都叫做/A的锐角三角函数【活动二】余弦、正切简单应用教师解释课本第78页例2题意：如课本图28.1-7,在RtAABC中，ZC=90°,BC=6,sinA=3,求cosA、tanB的值.5教师对解题方法进行分析：我们已经知道了直角三角形中一条边的值，要求余弦，正切值，就要求斜边与另一个直角边的值.我们可以通过已知角的正弦值与对边值及勾股定理来求.教师分析完后要求学生自己解题.学生解后教师总结并板书.三、总结消化、整理笔记在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，/A的邻边与斜边的比叫做/A的余弦,记作cosA,把/A的对边与斜边的比叫做/A的正切，记作tanA.四、书写作业、巩固提高学

12、生做课本第78页练习1、2、3题.分层作业五、教学后记28. 1锐角三角函数（3）第三课时教学目标：知识与技能：1 、使学生了解一个锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系.2、使学生了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系3、使学生了解正切与正弦、余弦的关系4、使学生了解三角函数值随锐角的变化而变化的情况过程与方法：2 .通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.3 .锐角正弦、余弦和正切与正弦、余弦之间的关系，了解锐角三角函数的内涵。情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精

13、神和良好的学习习惯，让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会旋转的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣.重难点、关键：1 .重点：三个锐角三角函数间几个简单关系.2 .难点：能独立根据三角函数的定义推导出三个锐角三角函数间几个简单关系教学过程：一、复习旧知、引入新课【复习】叫学生结合直角三角形说出正弦、余弦、正切的定义二、探索新知、分类应用【活动一】锐角三角函数间几个简单关系讨论：1、从定义可以看出sinA与cosB有什么关系？sinB与cosA呢?满足这种关系的A与B又是什么关系呢？2、利用定义及勾股定理你还能发现sinA与cosA的关系吗？3、再试试看tanA与sinA和co

14、sA存在特殊关系吗？经过教师引导学生探索之后总结出如下几种关系：结论：（1）若AB90o那么sinA=cosB或sinB=cosA22（2）sinAcosA1sin A(3) tan AcosA4、在正弦中它的值随锐角的增大而增大还是随锐角的增大而减少？为什么？余弦呢？正切呢？通过一番讨论后得出：结论：（1）锐角的正弦值随角度的增加（或减小）而增加（或减小）；（2）锐角的余弦值随角度的增加（或减小）而减小（或增加）；（3）锐角的正切值随角度的增加（或减小）而增加（或减小）。【活动二】题型分析判断题：i对于任意锐角a0都有0VsinaV1和0VcosaV1（）ii对于任意锐角a1,a2,如果a1

15、Voe2,那么cosa1<cosa2（）iii如果sina1vsina2,那么锐角a1锐角a2I（）iv如果cosa1Vcosa2,那么锐角a1>锐角a2（）（2）在RtABC中，下列式子中不一定成立的是A.sinA=sinBB.cosA=sinBC.sinA=cosBD.sin(A+B)=sinC3(3)VABC中，C90o,sinA.求cosA,sinB和tanA的值5(4) sin272°+sin218°的值是().A.1B.0C.D.221、一个锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系:三、总结消化、整理笔记sinA=cosB或sinB=

16、cosA2、使学生了解同一个锐角正弦与余弦之间的关系:2A2A/sinAcosA13、使学生了解正切与正弦、余弦的关系tan Asin AcosA4、使学生了解三角函数值随锐角的变化而变化的情况四、书写作业、巩固提高分层作业五、教学后记28. 1锐角三角函数（4）第四课时教学目标：知识与技能：1 .能推导并熟记30。、45。、60。角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数.2.能熟练计算含有30。、45。、60。角的三角函数的运算式.过程与方法：知道30。，45。，60。角的三角函数值，并且进行运算.情感态度与价值观：让学生经历观察、操作等过程，知道特殊三角函数值，从事锐角三角函数基本

17、性质的探索活动，进一步发展空间观察，增强审美意识.重难点、关键：1 .重点：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60角的三角函数的运算式.2.难点：30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程.教学过程：一、复习旧知、引入新课【引入】还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗？即sin300-,sin45022你还能推导出sin600的值及30。、45。、60°角的其它三角函数值吗？二、探索新知、分类应用【活动一】30。、45。、60°角的三角函数值【探索】1.

18、让学生画30°45°60°的直角三角形，分别求sia30°cos45°tan60'归纳结果30°45°60°siaAcosAtanA【活动二】巩固知识例求下列各式的值:1.师生共同完成课本第79页例3:求下列各式的值.(1)cos260+sin260(2)cos45sin 45-tan45教师以提问方式一步一步解上面两题.学生回答，教师板书.2.师生共同完成课本第80页例4:教师解答题意:(1)如课本图28.1-9(1),在RtAABC中，/C=90,AB=娓,BC=晶，求/A的度数.(2)如课本图28.1

19、-9(2),已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的J3倍，求a.教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数.A【活动三】提高知识1、tan45°-sin60°-4sin30°-cos45°+而tan302、已知sinA,sinB是方程4x2-2mx+m-1=0的两个实根，且/A,/B是直角三角形的两个锐角，求：(1)m的值；(2)/A与/B的度数.三、总结消化、整理笔记本节课应掌握：30。、45。、60。角的三角函数值，并且进行计算；四、书写作业、巩固提高

20、(一)巩固练习：课本80练习1、2(二)分层作业五、教学后记28. 1锐角三角函数（5）第五课时教学目标：知识与技能：1 .让学生熟识计算器一些功能键的使用.2.会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角过程与方法：自己熟悉计算器，在老师的知道下求一般锐角三角函数值.情感态度与价值观：让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会函数的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣.重难点、关键：1 .重点：运用计算器处理三角函数中的值或角的问题2.难点：正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理.教学过程：一、复习旧知、

21、引入新课【引入】通过上课的学习我们知道，当锐角A是等特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。二、探索新知、分类应用【活动一】用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值利用求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需巡回指导）sin37°24'sin37°23'cos21°28'cos38°12'tan52;tan3620'tan7517'【活动二】熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角例如：sin

22、A=0.9816./A=;cosA=0.8607,/A=;tanA=0.1890,/A=;tanA=56.78,/A=。【活动三】知识提高1 .求下列各式的值：（1） sin42°31'（2）cos33°18'24（3）tan55°10'2 .根据所给条件求锐角a.（1）已知sina=0.4771,求a.（精确到1）（2）已知COSa=0.8451,求a.（精确到1）（3）已知tana=1.4106,求a.（精确到1）3 .等腰三角形ABC中，顶角/ACB=108°,腰AC=10m,求底边AB的长及等腰三角形的面积.（边长精确到1

23、cm）三、总结消化、整理笔记本节课应掌握：已知角度求正弦值用Sin帽；已知正弦值求小于90°的锐角用2ndf的键，？对于余弦与正切也有相类似的求法.四、书写作业、巩固提高（一）巩固练习：课本81练习（二）提高、拓展练习：分层作业五、教学后记28.2教直角三角形（1）第一课时教学目标：知识与技能：1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯过程与方法：通过综

24、合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.情感态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯重难点、关键：1 .重点：直角三角形的解法.2 .难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用.教学过程：一、复习旧知、引入新课【引入】我们一起来解决关于比萨斜塔问题。见课本在RtAABC中，/C=90°,BC=5.2m,AB=54.5m.BC5.2sin=0.0954.AB54.5所以/A=5008'.、探索新知、分类应用【活动一】理解直角三角形的元素【提问】1.在三角形中共有几个元素？什么叫解直角三角12图

25、28. 2-1形？AB/ A的对边aC总结：一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，既3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的以知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。【活动二】直角三角形的边角关系直角三角形ABC中，/C=90,a、b、c、/A、/B这五个元素间有哪些等量关系呢？（1）边角之间关系a sin A ; cos Acb x 人 a 一;tan A ; cot A cb如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成的对边的邻边的对边的邻边sinr；cosTTT；r；tan八、上；cot“、上斜边的邻边的对边（2）三边之间关系a2+b2=c2（勾股定理）（3）

26、锐角之间关系/A+/B=90°.以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用.【活动三】解直角三角形例1：在4ABC中，/C为直角，/A、/B、ZC所对的边分别为a、b、c,且b=J2,a=x/6,解这个三角形.解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用.因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想.其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演.例2:在RtAABC中，/B=35,b=20,解这个三角形（结果保留小数点后一位.引导学生思考分析完成后，让学生独立完成。在学生独立完成之

27、后，选出最好方法，教师板书。总结：完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形?三、总结消化、整理笔记本节课应掌握:1 .理解直角三角形的边角之间的关系、边之间的关系、角的关系;2 .解决有关问题；四、书写作业、巩固提高（一）巩固练习：课本87练习（二）提高、拓展练习：分层作业五、教学后记28.2教直角三角形（2）第二课时28.2教直角三角形（2）第二课时教学目标：知识与技能：1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决.2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。过程与方法：1、

28、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.2、注意加强知识间的纵向联系.情感态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯.重难点、关键：重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决.难点：实际问题转化成数学模型教学过程：一、复习旧知、引入新课【复习引入】1 .直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答.2、在中RtABC中已知a=12,c=13求角B应该用哪个关系？请计算出来。二、探索新知、分类应用【活动一】例1:要想使人安全地攀上

29、斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角色一般要满足5。"工盘工乃（如图）.现有一个长6m的梯子，问：（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）（2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角1al等于多少（精确到1o）这时人是否能够安全使用这个梯子引导学生先把实际问题转化成数学模型然后分析提出的问题是数学模型中的什么量在这个数学模型中可用学到的什么知识来求未知量？几分钟后，让一个完成较好的同学示范。【活动二】课本例3:2003年10月15日神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行如图，当飞船运行到地球表面

30、上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置企样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km,结果精确到0.1km）分析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点如图，。表示地球，点F是飞船的位置，FQ是。的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点.弧PQ勺长就是地面上P,Q两点间的距离.为计算弧PQ勺长需先求出。三、总结消化、整理笔记本节课应掌握：1、把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决.2 、归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决.四、书写作业、巩固提高（一）巩固练习：课本89练习1（

31、二）提高、拓展练习：分层作业五、教学后记28. 2教直角三角形（3）第三课时教学目标：知识与技能：1、使学生了解什么是仰角和俯角2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法.3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题.过程与方法：1、锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力2、注意数形结合，注意体现数与形之间的联系.情感态度与价值观：分析问题，提高分析问题的能力，体会成功的喜悦教学重点、难点重点：用三角函数有关知识解决观测问题难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型教学过程：一、复习旧知、引入新课【复习】平时我们观察物体时，我们

32、的视线相对于水平线来说可有几种情况？（三种，重叠、向上和向下）结合示意图给出仰角和俯角的概念二、探索新知、分类应用【活动一】课本例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30。，看这栋离楼底部的俯角为60o,热气球与高楼的水平距离为120m.这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）?iErl-同EErrwILJHB!nE:0度 9ER式话胃皂 I 一日",s-s 日 L 一甲更Lrrlimrpr储 I RIEUpEsE-mnEslc 3-3 3 目 E-ps匠 EEEnMn苣lz20老师分析：1、可以先把上面实际问题转化成数学模型，画出直角三角形。2、在比中，。=30口，卅3

33、二120.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD进而求出BC.【活动二】提高练习上午10时，我军驻某海岛上的观察所A发现海上有一艘敌军舰艇正从C处向海岛驶来，当时的俯角3空71口，经过5分钟后，舰艇到达D处，测得俯角尸=7-59已知观察所A距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。三、总结消化、整理笔记小结：谈谈本节课你的收获是什么？四、书写作业、巩固提高（一）巩固练习：课本89练习2（二）提高、拓展练习：分层作业五、教学后记28.2教直角三角形（4）第四课时教学目标：知识与技能：1、使学生了解方位角的命名特点

34、，能准确把握所指的方位角是指哪一个角2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法.3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题.过程与方法：学会这样分析问题.情感态度与价值观：体会用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题，提高学生的兴趣。教学重点、难点重点：用三角函数有关知识解决方位角问题难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型教学过程：一、复习旧知、引入新课【复习】1、叫同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线二、探索新知、分类应用【活动一】例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航