空间直线方程

1、直线方程的三种表示法：一般式、点直线方程的三种表示法：一般式、点向式、参数式；向式、参数式； 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程pzznyymxx000 直线的点向式方程直线的点向式方程其中方向向量其中方向向量(,),sm np 已知点已知点000(,).xyz ptzzntyymtxx000直线的参数方程直线的参数方程t为为参参数数两直线的夹角公式两直线的夹角公式 ；直线与平面的夹角公式。直线与平面的夹角公式。121212cos(,)ssL Lss n sn s sincos( , )n s xyzo1 2 定义定义 空间直线可看成两平面的交

2、线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程Lxyzo方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量sL注：注：同一条直线的方向向量有无穷多个。同一条直线的方向向量有无穷多个。有单位向量，还有一般的向量。有单位向量，还有一般的向量。),(0000zyxM,LM ),(zyxMsMM0/(,),sm np 0000(,)M Mxxyyzz xyzosL0

3、M M 下面导出直线的点向式方程下面导出直线的点向式方程pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的方向余弦方向向量的方向余弦称为直线的称为直线的方向余弦方向余弦. .直线的参数方程直线的参数方程下面得出直线的参数方程下面得出直线的参数方程在求直线上一点的坐标或交点时，利用直线的在求直线上一点的坐标或交点时，利用直线的参数方程求解更加简便参数方程求解更加简便pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程0000 xxyymnyyzznp 直线的一般方程直线的一般方

4、程0000()()0()()0n xxm yyp yyn zz 下面从对称式方程得出直线的一般方程下面从对称式方程得出直线的一般方程111122220:0A xB yC zDLA xB yC zD 从空间直线的一般方程到对称式方程从空间直线的一般方程到对称式方程0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA1111(,)nA B C 2222(,)nA B C 12snn 先在直线上任取一点。再求直线的方向向量。先在直线上任取一点。再求直线的方向向量。注：直线方程的表示形式均不唯一。注：直线方程的表示形式均不唯一。例例1 1 用点向式方程表示直线用点向式方程表示直线2023100

5、.xyzxyz 举例说明如何将直线的一般方程转化为举例说明如何将直线的一般方程转化为点向式方程。点向式方程。方法一：用点向式表示直线方程方法一：用点向式表示直线方程方法二：用消元法求直线方程方法二：用消元法求直线方程解解 方法一：方法一：202100 xyxy 点向式点向式42xy 12,snsn下找所求直线的方向向量，由已知可知下找所求直线的方向向量，由已知可知12snn12(1,1,1),(2, 1,3)nn 于是点于是点(-4,2,0)是所求直线上的一点。是所求直线上的一点。先找直线上的一点，在直线方程中令先找直线上的一点，在直线方程中令z=02023100.xyzxyz 43ijk 1

6、2snn42413xyz111111132321ijk 111213ijk 用点向式写出直线方程用点向式写出直线方程方法二：方法二：20(1)23100(2)xyzxyz 消元法求直线方程消元法求直线方程44132113zxzy 34120 (3)360(4)xzyz 将方程将方程分别消去分别消去x，y得到得到312436xzzy pzznyymxx000 42413xyz 于是直线方程为于是直线方程为4241133xyz 化简整理得直线方程为化简整理得直线方程为练练 习习210( 1,2,1),210 xyzxyz 求求过过点点且且平平行行于于直直线线的的直直线线方方程程。解解12snn 1

7、2(1,1, 2),(1,2, 1)nn 由由题题意意有有：121211211112ijk 112121ijk 3ijk ( 1,2,1) 又又直直线线经经过过点点，于于是是，由由点点向向式式写写出出直直线线方方程程为为121311xyz 定义定义直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式121212121222222212111222|cos(,)ssm mn np pL Lssmnpmnp 两直线的位置关系：两直线的位置关系：12(1)

8、LL 1212121200,ssm mn np p 21)2(LL/11112222/,mnpssmnp直线直线:1L直线直线:2L1(1, 4, 0),s 2(0,0,1),s , 021 ss,21ss 例如，例如，.21LL 即即解解12(1, 4,1),(2, 2, 1)ss从题意可得：两直线的方向向量为从题意可得：两直线的方向向量为于是，代入两直线的夹角公式于是，代入两直线的夹角公式121212cos(,)ssL Lss 2.2 12281cos(,)1161 441L L .4 所以两直线的夹角为所以两直线的夹角为练练 习习5339032102223038180 xyzxyzxyz

9、xyz 求求直直线线与与直直线线位位置置关关系系。解解112,snn 234snn 1234(5, 3,3),(3, 2,1),(2,2, 1),(3,8,1)nnnn 由由题题意意有有：112snn 34ijk 533321ijk 335353213132ijk 234snn 10510ijk 221381ijk 212122813138ijk 121212cos(,)ssL Lss 0. 3020109161 10025100 综综上上，这这两两条条直直线线垂垂直直。直线方程的三种表示法：一般式、点直线方程的三种表示法：一般式、点向式、参数式；向式、参数式； 0022221111DzCyB

10、xADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程pzznyymxx000 直线的点向式方程直线的点向式方程其中方向向量其中方向向量(,),sm np 已知点已知点000(,).xyz ptzzntyymtxx000直线的参数方程直线的参数方程t为为参参数数两直线的夹角公式两直线的夹角公式 ；121212cos(,)ssL Lss 2222227.00zaxyxyaxx yxoz 求求上上半半球球与与圆圆柱柱体体的的公公共共部部分分在在面面和和面面上上的的投投影影。解解-2-1012-2-101200.511.5200.511.52xoy公公共共部部分分体体在在坐坐标标面面的的投投影影为为

11、圆圆面面2220 xyaxy 14xoz公公共共部部分分体体在在坐坐标标面面的的投投影影为为 圆圆2220 xzay 3737页页 习题习题8-48-4-2-1012-2-101200.511.5200.511.522222227.0zaxyxyaxxOyxOz 求求上上半半球球与与圆圆柱柱体体的的公公共共部部分分在在面面和和面面上上的的投投影影。解解-2-1012-2-101200.511.5200.511.52xoy交交线线在在面面的的投投影影为为：2220 xyaxzy 消消去去参参数数 ，xoz交交线线在在坐坐标标面面的的投投影影22,0zaaxyy 消消去去参参数数定义定义直线和它在

12、平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx(,),sm np ( ,),nA B C 0.2 222222|sinpnmCBACpBnAm 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式n sn s sincos( , )n s 直线与平面的位置关系：直线与平面的位置关系：(1)L .ABCmnp(2)/L sn/sn0.AmBnCp (,),sm np ( ,),nA B C 解解124231xyz 从题意可得：已知平面的法向量就是从题意可得：已知平面的法向量就是所求直线的方向向量。所求

13、直线的方向向量。于是，直线的方程为于是，直线的方程为解解(1, 1, 2),n (2, 1, 2),s |sinn sn s 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 为所求夹角为所求夹角练练 习习443251( 3,2,5)xzxyz 例例 求求与与两两平平面面和和的的交交线线平平行行且且过过点点的的直直线线的的方方程程。解解 设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为s 根据题意知根据题意知,1ns ,2ns 取取21nns 12(1,0, 4),(2, 1, 5)nn ( 4, 3, 1), 104215ijk 12snn041410152521ijk .153243

14、 zyx所求直线的方程所求直线的方程解解12(3,1, 2),(4, 3,0)MM(5,2, 1),s 12(1, 4,2)M M 12nsM M521142ijk 练练 习习215152421214ijk 8922ijk 于是所求平面方程为于是所求平面方程为8(3)9(1)22(2)0 xyz即即8922590.xyz解解234112260 xyzxyz 即求方程组即求方程组的解。的解。 利用直线的参数方程求解更简便利用直线的参数方程求解更简便1t 4234260ttt 1,2,2xyz234112xyzt2,3,42xt yt zt 设设 代入题中平面方程代入题中平面方程260 xyz 代

15、入参数方程中得：代入参数方程中得：(1,2,2).于是所求交点坐标为于是所求交点坐标为中得：中得：解解12121xyz 12121210 xyzxyz 于于是是，投投影影坐坐标标为为垂垂线线和和平平面面的的交交点点。即即方方程程组组的的解解。练练 习习( 1,2,0)210 xyz求求点点在在平平面面上上的的投投影影。( 1,2,0) 过过点点且且垂垂直直于于已已知知平平面面的的直直线线方方程程为为12121xyzt 设设1,22 ,xtyt zt 2522,3333txyz 代入平面方程代入平面方程5 2 2(, , ).3 3 3 综上，投影坐标为综上，投影坐标为210 xyz例例6方法一

16、：方法一：点向式求直线方程。关键在于求点向式求直线方程。关键在于求出两条直线的交点。用过出两条直线的交点。用过A A的直线与垂直已的直线与垂直已知平面的交点来求。知平面的交点来求。方法二：方法二：点向式求直线方程。假设交点坐点向式求直线方程。假设交点坐标，解未知数的方法来求。标，解未知数的方法来求。方法三：方法三：利用所求直线是由两个平面的交利用所求直线是由两个平面的交线来求。这两个平面分别是：线来求。这两个平面分别是：1 1、过已知点过已知点和已知直线的平面；和已知直线的平面；2、过点过点A且垂直于已且垂直于已知直线的平面。知直线的平面。解解先作一过点先作一过点A且与已知直线垂直的平面且与已

17、知直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点B, ,例例6方法一：方法一：点向式求直线方程。关键在于求点向式求直线方程。关键在于求出两条直线的交点。用过出两条直线的交点。用过A A的直线与垂直已的直线与垂直已知平面的交点来求。知平面的交点来求。令令tzyx 121313121xtytzt 代入平面方程得代入平面方程得37t 解解得得：2 133(,)777B 于于是是交交点点坐坐标标为为取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为sAB 3(312)2(211)(3)0ttt sAB 2133(2,1,3)77712 624(,)777

18、 所求直线方程为所求直线方程为213.214xyz 解解先求出直线上任意一点先求出直线上任意一点B的坐标的坐标( 13 ,12 ,)ttt 例例6方法二：点向式求直线方程。假设交点坐方法二：点向式求直线方程。假设交点坐标，解未知数的方法来求。标，解未知数的方法来求。由分析得：由分析得：0AB s ( 33 ,2 , 3)ABttt (3,2, 1)s 37t 解解得得：2 133(,)777B 于于是是交交点点坐坐标标为为取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为sAB 3( 33 )2 2( 3)0ttt ( 33 ,2 , 3)ABttt (3,2, 1)s sAB 2133(2,1,3

19、)77712 624(,)777 所求直线方程为所求直线方程为213.214xyz 解解例例63(2)2(1)(3)0 xyzA，垂垂直直于于已已知知直直线线的的平平过过点点面面方方程程为为3250 xyz化化简简得得： 方法三：方法三：利用所求直线是由两个平面的交利用所求直线是由两个平面的交线来求。这两个平面分别是：线来求。这两个平面分别是：1 1、过已知点过已知点和已知直线的平面；和已知直线的平面；2、过点过点A且垂直于已且垂直于已知直线的平面。知直线的平面。下求过已知点和已知直线的平面。下求过已知点和已知直线的平面。(2,1,3),( 1,1,0),AB用用点点向向式式求求平平面面方方程

20、程，或或用用混混合合积积求求平平面面方方程程。( 3,0, 3)AB ( , , )M x y z设设为为平平面面上上任任意意一一点点。(1,1, ),BMxyz (3,2, 1)s ()0BMABs 113030321xyz 033330(1)(1)2131320 xyz 6(1)12(1)06xyz230 xyz整整理理得得： 综综上上，所所求求直直线线方方程程为为3250023zyyzxx 练练 习习( 4, 5,3)132321211235Axyzxyz 求求过过点点且且与与两两直直线线和和都都相相交交的的直直线线方方程程。练练 习习132( 4, 5,3)321211235xyzAx

21、yz 求求过过点点且且与与两两直直线线和和都都相相交交的的直直线线方方程程。方法一：方法一：用所求直线在用所求直线在A A与直线与直线1 1确定的平确定的平面上，同时也在面上，同时也在A A与直线与直线2 2确定的平面上来确定的平面上来求。即所求直线为两平面的交线。求。即所求直线为两平面的交线。方法二：方法二：点向式求直线方程。假设两个交点向式求直线方程。假设两个交点分别为点分别为B B、C C。利用交点与。利用交点与A A共线来求。共线来求。解解(3, 2, 1),s 已已知知第第一一条条直直线线的的方方向向向向量量为为( , , )M x y z设设是是平平面面上上任任意意一一点点。( 4

22、, 5,3),( 1, 3,2)AB 直直线线上上的的一一点点于于是是有有：(3, 2, 1),(3,2, 1)sAB (4,5,3)AMxyz ()0AMABs 4533210321xyz 213132(4)(5)(3)2131203xyz 4(4)1 (302)xz305xz整整理理得得： (2,3, 5),s 已已知知第第二二条条直直线线的的方方向向向向量量为为下下求求另另一一平平面面方方程程( 4, 5,3),(2, 1,1)AC 直直线线上上的的一一点点于于是是有有：(2,3, 5),(6,4, 2)sAC (4,5,3)AMxyz ()0AMACs 4536420235xyz 426264(4)(5)(3)3525230 xyz 14(4)26(5)010(3)xyz7135022xyz整整理理得得：