高等数学-第2章课件上课讲义

1、高等数学高等数学-第第2章课件章课件第一节 导数的概念一、一、 引例引例1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为设描述质点运动位置的函数为( )sf t则则 到到 的平均速度为的平均速度为0tt00( )( )f tf tvtt而在而在 时刻的瞬时速度为时刻的瞬时速度为0t000 ( )( )limttf tf tvtt0tso)(0tf)(tft2. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率 曲线曲线 在在 M 点处点处的切线即为割线的切线即为割线 MN 的极限位置的极限位置 MT (当当 时时).:( )C yf x割线割线 MN 的斜率的斜率xyo)(xfy CNT0 x

2、Mx00( )()tanf xf xxx切线切线 MT 的斜率的斜率tanlim tank000( )()limxxf xf xkxx设函数设函数 在点在点 的某邻域内有定义的某邻域内有定义 ,若存若存在在 ,则称函数则称函数 在点在点 处处可导可导,并称此极限为并称此极限为 在点在点 的的导数导数.记作记作: )(xfy 0 x)(xf)(xfy 0 x0 x定义定义2.1.1 0000dd ( )()ddx xyf xfxyxxxxxx，即即000000()()()limlimx xxxf xxf xyyfxxx 0000( )()limlimxxxf xf xyxxx 若上述极限不存在若

3、上述极限不存在 ,则称在处则称在处不可导不可导. 如果函数如果函数 在区间在区间(a,b)的内每一点都可导，则的内每一点都可导，则称函数称函数 在在区间区间 (a,b) 内可导内可导，这样就产生了一个，这样就产生了一个新的函数，此函数称为函数新的函数，此函数称为函数 的的导函数导函数，记作，记作dd ( ),( ),.ddyf xyfxxx)(xf)(xf)(xf0()( )( )lim.xf xxf xfxx 即即三、求导数举例用导数定义求导数的步骤如下：用导数定义求导数的步骤如下：00()()yf xxf x 00()()f xxf xyxx0000()()()limxf xxf xfxx

4、 四、左、右导数函数函数 f (x) 在点在点 x0 处可导的处可导的充分必要条件充分必要条件是左导数是左导数和右导数存在且相等和右导数存在且相等.即即0000()()()limxf xxf xfxx 00()()fxfx0000()()()limxf xxf xfxx 左导数左导数右导数右导数单侧倒单侧倒数数 若函数若函数 f (x)在开区间在开区间 (a,b) 内可导，且内可导，且 及及 都存在，则称都存在，则称 f (x)在闭区间在闭区间 a,b 上可导上可导.( )fa)(bf五、导数的几何意义切线方程切线方程:000()()yyfxxx法线方程法线方程:0001()()yyxxfx

5、0()0)fx曲线曲线 在点在点 的切线斜率为的切线斜率为)(xfy 00(,)xy0tan()fx因此因此,六、函数的可导性与连续性的关系0lim( )xyfxx 所以函数在该点处连续所以函数在该点处连续.0000limlimlimlim() 00.xxxyyyxxfxxx 定理定理2. 1. 1 若函数若函数 在点在点 处可导，则函数在点处可导，则函数在点 处必连续处必连续.)(xf0 x0 x 证证 设函数设函数 在点在点 处可导，即处可导，即存在，则存在，则)(xf0 x注意注意: 函数在点函数在点 x 处处连续未必可导连续未必可导.xyoxy 定理定理2.2.1 设函数设函数 都在点

6、都在点 x 处可导，处可导，则函数则函数 的和、差、积、商（除分母为零的点外）的和、差、积、商（除分母为零的点外）都在点都在点 x 处可导处可导.且且第二节 函数的求导法则和基本公式( ),( )uu xvv x( ), ( )u xv x(1) ( )( )( )( )u xv xu xv x(2) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x2( )( ) ( )( ) ( )(3)( )( )u xu x v xu x v xv xvx( ( )0)v x 一、函数求导的四则运算法则一、函数求导的四则运算法则推论推论 1推论推论 2()CuCu()

7、uvwu vwuv wuvw(C为常数为常数 )二、反函数的导数11( )( )fxfy 定理定理2.2.2证证: 在在 x 处给增量处给增量 ,由反函数的单调性知由反函数的单调性知且由反函数的连续性知且由反函数的连续性知 时必有时必有 ，因此，因此( )( )0yxf yIfy如果函数在某区间 内单调、可导且，1( ) |( ),xyyfxIx xf yyI那么它的函数在对应区间内也可导，d1dddyyxx或0 x 11()( )0yfxxfx 1yxxy10011( )limlim( )xyyfxxxfyy 并且0 x 0y 常数和基本初等函数的导数常数和基本初等函数的导数 )(C0 )(

8、x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(exxe )(log xaaxln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctanx211x )cot(arcx211x三、复合函数的求导法则定理定理2.2.3 如果函数如果函数 在点在点 x 处可导处可导,而而函数函数 在对应的点在对应的点 u 处可导处可导,则复合函数则复合函数 也在点也在点 x 处可导处可导,且有且有( )ux)(ufy ( )yfx(

9、)( )d dd dyf uxxddddddyyuxux或或00dlimlim( )( )( )dxxyyuuf uf uxxxxx 证证:( )yf u在点在点 u 可导可导,故故0lim( )uyf uu ( )yf uuu （当（当 时时 )0u 0故有故有( )yf uu( )(0)yuuf uxxxx 定义定义2.3.1 一般地，如果变量一般地，如果变量 x 和和 y 满足一个方程满足一个方程 ，在一定条件下，当在一定条件下，当 x 取某区间内的任一值时，相应地，总取某区间内的任一值时，相应地，总有满足这一方程的有满足这一方程的 y 值存在，那么就说方程值存在，那么就说方程 在在该区

10、间内确定了一个隐函数该区间内确定了一个隐函数.第三节 隐函数及参数方程所确定 的函数的导数( )yf x( , )0F x y 隐函数隐函数一、隐函数的导数一、隐函数的导数显函数显函数( , )0F x y ( , )0F x y 隐函数的显化隐函数的显化二、由参数方程确定的函数的导数若参数万程若参数万程 确定确定 y 与与 x 之间的函数关系之间的函数关系，则称此函数为，则称此函数为由参数方程所确定的函数由参数方程所确定的函数.定义定义 2.3.2 ( )( )xtyt再设函数再设函数 都可导都可导,且且 .由由复合函数及反函数的求导法则与反函数的求导公式复合函数及反函数的求导法则与反函数的

11、求导公式,有有在方程在方程 中，设函数中，设函数 具有单调连具有单调连续的反函数续的反函数 ，则，则 . ( )xt1( )yx ( ),( )xtyt1( )( )ddddddddd dddddddddd dyytytxxtxttt( )( )xtyt( )0t1( )txd dd dd dd dd dd dyytxxt即第四节 高阶导数定义定义2.4.1 函数函数 y= f(x) 的导数的导数 y= f (x) 仍是仍是 x 的函数的函数,我们称我们称 f (x)的导数为函数的导数为函数 f(x)的的二阶导数二阶导数,记作记作y 或或 ,即即 y=(y ) 或或 .相应地相应地,把把 y=

12、 f(x)的导数的导数 f (x) 称为函数称为函数 y= f(x)的一阶导数的一阶导数.类似地有三阶类似地有三阶,四阶四阶, n 阶阶导数导数，分别记作，分别记作 y , y(4) , y(n)或或 , , .其其中，二阶及二阶以上的导数称为中，二阶及二阶以上的导数称为高阶导数高阶导数. 22d ydx22()d yddydxdx dxnnd ydx44d ydx33d ydx二、参数方程的二阶导数若参数方程若参数方程 具有一阶导数，那么由具有一阶导数，那么由 可得到函数的可得到函数的二阶导数公式二阶导数公式( )( )xtyt222( )( )( )( )( )( )1()()()( )(

13、 )( )( )d dd dd dd dd dd dd dd dd dd dd dd dyytttttttxxxxtttxtt223( )( )( )(.)( )d dd dyttttxt即即( )( )d dd dytxt 一块正方形金属薄片受温度变化的影响一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由其边长由x0变到变到x0 + x问此薄片面积改变了多少问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为设薄片边长为 x , 面积为面积为 A , 则则A=x2,当当 x 在在x0取得增量取得增量x时时,面积的增量为面积的增量为2200()Axxx202()xxx 关于关于x 的的线性主部线性主部故故02A

14、xx20 xA 0 x0 xx x 2)( x xx 0 xx 0一、微分的概念一、微分的概念1.引例引例第五节 函数的微分及其应用称为函数在称为函数在 x0 的微分的微分 x0时为时为高阶无穷小高阶无穷小2. 微分定义定义定义2.5.1 设设 y = f(x) 在在x0处的某邻域内有定义处的某邻域内有定义, x+x是该邻是该邻域内的任意一点域内的任意一点,如果函数在如果函数在 x0处的增量处的增量 y=f (x0+x)-f (x0)可表示成可表示成 y=Ax+o(x)， 其中其中A是仅与是仅与 x 有关有关的常数的常数, o(x)是是x的高阶无穷小的高阶无穷小,则称函数则称函数 y= f(x

15、) 在在点点 x0 处处可微可微.并称并称 Ax为函数为函数 y = f(x)在在 x0处的处的微分微分，记作记作dy ,即即dy= Ax ,且有且有A= f(x) ,这样这样dy = f (x) x.函数函数 y = f(x)在点在点 x0处可微的处可微的充要条件充要条件是函数是函数 y = f(x)在在 x0处可导处可导. xyO)(xfy T0 xM xx 0N PQyyd)( xo x当当y是曲线的纵坐标增量时是曲线的纵坐标增量时;dy就是切线纵坐标对应的增量，就是切线纵坐标对应的增量，当当|x|很小时很小时,在点在点M的附近的附近,切线段切线段MP可近似代替曲线段可近似代替曲线段MN

16、.0tan()QPMQxfx d dyPQ二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式与 微分运算法则1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式设函数设函数 都可微，则复合函数都可微，则复合函数 的微分为的微分为即即2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则3. 复合函数的微分法则复合函数的微分法则(1) d()dduvuv(2) d()dCuC u(3) d()dd (0)uvv uu v v2dd(4) d()(0)uv uu vvvv( ),( )yf uux ( )yfxd( )( )dyf uxxd( )dyf uu微分形式不变性微分形式不变性四、微分在近似计算中的应用若函数若函数 在点在点 处的导数处的导数 ，且，且当当