高等数学-第六章-定积分的应用教学教材

1、高等数学-第六章-定积分的应用表示为niiixfU10)(lim一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的2) U 对区间 a , b 具有可加性 , 即可通过“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限”baxxfd)(niiixf10)(lim定积分定义一个整体量 ;二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ?第一步第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式xxfUd)(d第二步第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式Uxxfb

2、ad)(这种分析方法称为元素法元素法 (或微元分析法微元分析法 )元素元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等近似值精确值三、已知平行截面面积函数的三、已知平行截面面积函数的 立体体积立体体积第二节一、一、 平面图形的面积平面图形的面积二、二、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第六六章 ybxa)(2xfy )(1xfy O一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxxfAbad)(边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为 xxfxfAbad)

3、()(21Oxbay)(xfy xxdxxxxd例例1. 计算两条抛物线22,xyxy在第一象限所围图形的面积 . 解解: 由xy 22xy 得交点) 1, 1 ( , )0,0(xxxAd)(d22332x01331x3110AxyOxy 22xy xxxd) 1 , 1 (1Oxy224 xyxy例例2. 计算抛物线xy22与直线的面积 . 解解: 由xy224 xy得交点)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所围图形)2,2(221yy442361y为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有42Ayyydab例例3. 求椭圆12222byax解解: 利用对

4、称性 , xyAdd所围图形的面积 . 有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba当 a = b 时得圆面积公式xxxdxyO2. 极坐标情形极坐标情形,0)(, ,)(C设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(r d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A xO对应 从 0 变例例5. 计算阿基米德螺线解解:)0( aardd)(212a20A22a331022334a到 2 所围图形面积

5、. a2xOxa2Ottadcos82042例例6. 计算心形线所围图形的面积 . 解解:)0()cos1 (aardd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用对称性)2t令223a二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,0M1iMiMnM当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)ni 10lims则称OAByxsdabyxO(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元

6、素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs(2) 曲线弧由参数方程给出:)()()(ttytx弧长元素(弧微分) :因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs(3) 曲线弧由极坐标方程给出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分) :(自己验证)例例11. 计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20( t的弧长 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (

7、22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyOa2d222aa例例12. 求阿基米德螺线相应于 02一段的弧长 . 解解:)0( aard)()(d22rrsd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aara2Oar 三三、已知平行截面面积函数的立体体积、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在则对应于小区间d,xxx的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabxxxd)(xA上连续,Oxy)(yx特别 , 当考

8、虑连续曲线段2)(xf轴旋转一周围成的立体体积时, 有轴绕xbxaxfy)()(xdbaV当考虑连续曲线段)()(dycyx绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有2)(yyddcVycdxyabxyabO)(xfy xayxb例例13. 计算由椭圆12222byax所围图形绕 x 轴旋转而转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程)(22axaxaaby则xxaabad)(220222(利用对称性)3222312xxaab0a234abOaV02xy d2x方法方法2 利用椭圆参数方程tbytaxsincos则xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1

9、02特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积.343aayxbOxa2xyO例例14. 计算摆线)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 0 t 2解解: 绕 x 轴旋转而成的体积为xyVaxd202利用对称性利用对称性 022)cos1 (2tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令xyad202xyOa2a绕 y 轴旋转而成的体积为)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2

10、yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a)(1yxx 注注分部积分对称关于2202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226例例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并与底面交成 角,222Ryx解解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为垂

11、直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .ORxyxORx),(yxyR思考思考: 可否选择 y 作积分变量 ?此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ?)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22内容小结内容小结1. 平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2. 平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程直角坐标方程21d)()(

12、tttttAd)(212A3. 已知平行截面面积函数 A(x) 的立体体积baxxAVd)(旋转体的体积2)(yxA绕 x 轴 :2)(xyA绕 y 轴 :)(xyy 思考与练习思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .提示提示: 交点为, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxO13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧线段部分直线段部分)52ln()376ln(4155373s以 x 为积分变量 , 则要分两段积分, 故以 y 为积分变量. 作业作业 P284 3; 12; 18第三节定积分在物理学上的应用 第六六章

13、 一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x a 移动到,bx 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x) 在区间 ,ba上所作的功为baxxFWd)(例例1.一个单求电场力所作的功 . qOrabrrrd11解解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律库仑定律电场力为2rqkF 则功的元素为rrqkWdd2所求功为barrqkWd2rqk1ab)11(baqk说明说明:处的电势为电场在ar arrqkd2aqk位正电荷沿直线从距离点电荷

14、a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, S例例2.体, 求移动过程中气体压力所Ox解解:由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 .ab建立坐标系如图.xxxd由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即,SxkVkp 功元素为WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功为baxxkWdbaxk lnabkln力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 m3m5例例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐标系如图.Oxxxxd在任一小区间d,xxx上的一薄层

15、水的重力为gxd32这薄层水吸出桶外所作的功(功元素功元素)为Wdxxgd9故所求功为50Wxxgd9g922xg5 .112( KJ )设水的密度为05(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 面积为 A 的平板二、液体的侧压力二、液体的侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强: hgph当平板与水面平行时, ApP 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .平板一侧所受的压力为小窄条上各点的压强xgp332Rg例例4. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图. 所论半圆的22xRy)0(Rx 利用对称性 , 侧压力元素RP0 xxRx

16、gd222OxyRxxxd222xR Pdxg端面所受侧压力为xd方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 0arcsin224222RRxRxRxgR,d222xxR 说明说明: 当桶内充满液体时,),(xRg小窄条上的压强为侧压力元素Pd故端面所受侧压力为RRxxRxRgPd)(222奇函数奇函数3Rg)(xRgRxxRgR022d4tRxsin令OxyRxxxd三、三、 引力问题引力问题质量分别为21, mm的质点 , 相距 r ,1m2mr二者间的引力 :大小:221rmmkF 方向:沿两质点的连线若考虑物体物体对质点的引力, 则需用积分解决 .例例5. 设有一长度为 l,

17、线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,M该棒对质点的引力.解解: 建立坐标系如图.y2l2ld,xxx细棒上小段对质点的引力大小为 dkF xm d22xa 故铅直分力元素为cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkxOx在试计算FdxFdyFdxxd利用对称性利用对称性223022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxamk22412laalmk棒对质点引力的水平分力.0 xF22412llmkFaa故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的铅直分力为 My2l2laaxOxFdxFdyFdxxd2lOy2laxxxdx说

18、明说明:amk22) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 ,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒 .移到 b (a b) 处时克服引力作的功,bybalyyylmkW224d222412llmkyyWdyd则有22412llmkFaalOxyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxmkF02223)(d引力大小为22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFdsindF注意正负号3) 当质点位于棒的左端点垂线上时, 内容小结内容小结(1) 先用元素法求出它的微分表

19、达式 dQ一般元素的几何形状有:扇扇、片片、壳壳 等.(2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之. 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功 , 侧压力 , 引力, 转动惯量等.条条、段段、环环、带带、作业作业: P291 3 , 9 , 12习题课1. 定积分的应用定积分的应用几何方面几何方面 : 面积、 体积、弧长、 表面积 .物理方面物理方面 : 质量、作功、 侧压力、引力、2. 基本方法基本方法 : 元素法元素形状 : 条、段、 带、 片、扇、环、壳 等.定积分的应用 第六六章 表示为niiixfU10)(lim一、什么问题可以用定积

20、分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量 U 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的2) U 对区间 a , b 具有可加性 , 即可通过“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限”baxxfd)(niiixf10)(lim定积分定义一个整体量 ;二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ?第一步第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的微分表达式xxfUd)(d第二步第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的积分表达式Uxxfbad)(这种分析方法称为元素法元素法 (或微元分析法微元分析法 )元素元素的几何形状常

21、取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等近似值精确值一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线)0()(xfy与直线)(,babxax及 x 轴所围曲则xxfAd)(dxxfAbad)(边梯形面积为 A ,Oxbay)(xfy xxdx2. 极坐标情形极坐标情形,0)(, ,)(C设求由曲线)(r及,射线围成的曲边扇形的面积 .)(r d在区间,上任取小区间d,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A xO二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长定义定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,0M1iMiMnM当折线段的最大边长 0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 ,此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1ni 10lims则称OAByxsdabyxO(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:)()(bxaxfy)(xfy 弧长元素