2019年全国中考数学分类汇编：压轴题(一)(含答案解析)

1、2019年全国中考数学分类汇编:压轴题(一)1. (2019?重庆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x" 2x-3与x轴交于点A, B (点A在点B的左侧)，交y轴于点C,点D为抛物线的顶点，对称轴与 x轴交于点E.(1)连结BD,点M是线段BD上一动点(点 M不与端点B, D重合)，过点M作MN XBD,交抛物线于点 N (点N在对称轴的右侧)，过点N作NHx轴，垂足为H ,交BD 于点F,点P是线段OC上一动点，当 MN取得最大值时，求 HF + FP+PC的最小值；3(2)在(1)中，当MN取得最大值，HF+FP+_1PC取得最小值时，把点 P向上平移 返32个单位得到点

2、Q,连结AQ,把4AOQ绕点。顺时针旋转一定的角度 ”(0° v a< 360° ), 得到AA' OQ',其中边A' Q'交坐标轴于点 G.在旋转过程中，是否存在一点G,使得/ Q'=ZQ'OG?若存在，请直接写出所有满足条件的点Q'的坐标；若不存在，请说明理由.% ： 必2. (2019?德州)如图，抛物线 y=mx" £mx-4与x轴交于A (x1，0), B (x2, 0)两点, 量与y轴交于点C,且x2-xi =、.(1)求抛物线的解析式；(2)若P (xi, y1)，Q (x2,

3、y2)是抛物线上的两点，当a<x1< a+2, x2>!时，均有y1<y2,求a的取值范围；(3)抛物线上一点 D (1, - 5),直线BD与y轴交于点E,动点M在线段BD上，当第3页(共130页)/BDC = / MCE时，求点M的坐标.3. (2019?天津)已知抛物线 y=x2-bx+c (b, c为常数，b>0)经过点A ( - 1, 0),点M(m, 0)是x轴正半轴上的动点.(I)当b=2时，求抛物线的顶点坐标；(n)点 D (b, yD)在抛物线上，当 AM=AD, m=5时，求b的值；(出)点Q (b+X, yQ)在抛物线上，当 V2AM+2QM

4、的最小值为 更返时，求b的值.244. (2019?济宁)如图1,在矩形 ABCD中，AB = 8, AD = 10, E是CD边上一点，连接 AE, 将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于 点G.(1)求线段CE的长;(2)如图2, M, N分别是线段 AG, DG上的动点(与端点不重合)，且/ DMN = / DAM ,设 AM=x, DN = y.写出y关于x的函数解析式，并求出 y的最小值;是否存在这样的点 M,使 DMN是等腰三角形？若存在，请求出 x的值；若不存在,请说明理由.5. (2019?自贡)(1)如图1, E是正方形 ABCD边A

5、B上的一点，连接 BD、DE ,将/ BDE绕点D逆时针旋转90。，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G.线段DB和DG的数量关系是 ;写出线段BE, BF和DB之间的数量关系.(2)当四边形ABCD为菱形，/ ADC=60° ,点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE,将/ BDE绕点D逆时针旋转120° ,旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G .如图2,点E在线段AB上时，请探究线段 BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；如图3,点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M,若BE=1, AB=2,直接写出线段GM的长度.6

6、. (2019?自贡)如图，已知直线 AB与抛物线 C: y= ax2+2x+c相交于点 A ( - 1, 0)和点B (2, 3)两点.(1)求抛物线C函数表达式；(2)若点M是位于直线 AB上方抛物线上的一动点，以 MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形 MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；(3)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=工的距离？若存在，求出定点 F的坐标；若不存在，请说明理由. 47. (2019?金华)如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC的边长为4,边OA, OC分别 在

7、x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为 好点.点P为抛物线y= - ( x - m) 2+m+2的顶点.(1)当m = 0时，求该抛物线下方(包括边界)的好点个数.(2)当m = 3时，求该抛物线上的好点坐标.(3)若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点，求m的取值范围.y八pc / iB8. (2019?金华)如图，在等腰 RtAABC 中，Z ACB = 90° , AB=14'&,点 D, E 分别在 边AB, BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转 90°得到EF .(1)如图1

8、,若AD = BD,点E与点C重合，AF与DC相交于点 O.求证：BD = 2DO.(2)已知点G为AF的中点.如图2,若AD=BD, CE = 2,求DG的长.若AD = 6BD,是否存在点E,使得 DEG是直角三角形？若存在，求 CE的长；若不 存在，试说明理由.9. （2019?枣庄）已知抛物线 y= ax2+旦x+4的对称轴是直线 x=3,与x轴相交于 A, B两点?，（点B在点A右侧），与y轴交于点C.图1圄2（1）求抛物线的解析式和 A, B两点的坐标；（2）如图1,若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与 B、C重合），是否存 在点P,使四边形PBOC的面积最大？若存在，求

9、点 P的坐标及四边形 PBOC面积的最 大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2,若点M是抛物线上任意一点， 过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N, 当MN = 3时，求点M的坐标.10. （2019?达州）箭头四角形模型规律如图 1,延长 CO 交 AB 于点 D,则/ BOC = / 1 + / B=/ A+/C+/B.因为凹四边形 ABOC形似箭头，其四角具有“/ BOC=Z A+/B+/C”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”模型应用(1)直接应用： 如图 2, / A+/B+/C+/D+/E+/F=.如图3, / ABE、/ ACE的2等分线(即角平分线)BF、CF交于点

10、F,已知/ BEC =120° , / BAC=50° ,则/ BFC =.如图 4, BOi、COi 分别为/ ABO、/ACO 的 2019 等分线(i=1, 2, 3,，2017, 2018).它们的交点从上到下依次为。1、02、03、O2018-已知/ BOC=m° , / BAC=n ,则/ BO1000c=度.(2)拓展应用：如图 5,在四边形 ABCD中，BC=CD, / BCD = 2/BAD.。是四边形 ABCD内一点，且 OA=OB = OD.求证：四边形 OBCD是菱形.211. (2019?达州)如图 1,已知抛物线 y=-x+bx+c 过

11、点 A (1, 0), B (-3, 0).(1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；(2)设点D是x轴上一点，当tan (/CAO + /CDO) = 4时，求点 D的坐标；(3)如图2.抛物线与y轴交于点E,点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段 PA交BE于点M,交y轴于点N, ABMP和 EMN的面积分别为 m、n,求m- n的最大值.12(2019?滨州)如图，在 ABC中，AB=AC,以AB为直径的。分别与BC, AC交于点D, E,过点D作DFLAC,垂足为点 F.(1)求证：直线DF是OO的切线；(2)求证：BC2=4CF?AC;(3)若。的半径为4, /CDF = 15

12、6; ,求阴影部分的面积.第9页(共130页)13(2019?滨州)如图，抛物线y= - -x2+yx+4 y轴交于点A,与x轴交于点B, C, 将直线AB绕点A逆时针旋转90。，所得直线与x轴交于点D.(1)求直线AD的函数解析式；(2)如图，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点当点P到直线AD的距离最大时，求点 P的坐标和最大距离；当点P到直线AD的距离为 2时，求sin Z PAD的值.414. (2019?青岛)已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB/CD, /ACB=90° , AB= 10cm, BC=8cm, OD垂直平分A C.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，

13、速度为 1cm/s； 同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另 一个点也停止运动.过点 P作PELAB,交BC于点E,过点Q作QF/AC,分别交 AD, OD于点F, G.连接OP, EG.设运动时间为t (s) (0vt<5),解答下列问题：(1)当t为何值时，点E在/ BAC的平分线上？(2)设四边形PEGO的面积为S (cm2)，求S与t的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使四边形 PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(4)连接OE, OQ,在运动过程中，是否存在某一时刻t,使OELOQ?若存在，

14、求出t的值；若不存在，请说明理由.15. (2019?重庆)在平面直角坐标系中，抛物线 y= - N/x2+gx+2jl与x轴交于A, B两 JM点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C,顶点为D,对称轴与x轴交于点Q.(1)如图1,连接AC, BC.若点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点 P作PE/y轴交BC于点E,作PFLBC于点F,过点B作BG/AC交y轴于点G.点H, K分别在对称轴和y轴上运动，连接 PH, HK.当 PEF的周长最大时，求 PH+HK+近.KG的最2小值及点H的坐标.(2)如图2,将抛物线沿射线 AC方向平移，当抛物线经过原点 O时停止平移，此时抛物线顶点记为 D&#

15、39; , N为直线DQ上一点，连接点 D' , C, N, ' CN能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N的坐标；若不能，请说明理由.16. (2019?安徽)一次函数y=kx+4与二次函数y= ax2+c的图象的一个交点坐标为 (1,2), 另一个交点是该二次函数图象的顶点(1)求k, a, c的值；(2)过点A (0, m) (0vmv4)且垂直于y轴的直线与二次函数 y=ax2+c的图象相交 于B, C两点，点O为坐标原点，记 W= OA2+BC2,求W关于m的函数解析式，并求 W 的最小值.17. (2019?安徽)如图，RtABC 中，/ ACB=90&#

16、176; , AC = BC, P 为4ABC 内部一点，且 / APB = / BPC = 135° .(1)求证： PABA PBC;(2)求证：FA=2PC;（3）若点P到三角形的边 AB, BC, CA的距离分别为hi, h2, h3,求证hi2=h2?h3.18. （2019?扬州）如图，四边形 ABCD是矩形，AB=20, BC=10,以CD为一边向矩形外 部作等腰直角 GDC, /G = 90° .点M在线段AB上，且AM = a，点P沿折线AD -DG运动，点Q沿折线BC-CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ/ AB.设PQ与AB之间的距离

17、为 x.（1）若 a=12.如图1,当点P在线段AD上时，若四边形 AMQP的面积为48,则x的值为;在运动过程中，求四边形 AMQP的最大面积；（2）如图2,若点P在线段DG上时，要使四边形 AMQP的面积始终不小于 50,求a 的取值范围.19. （2019?扬州）如图，已知等边 ABC的边长为8,点P是AB边上的一个动点（与点 A、B不重合）.直线1是经过点P的一条直线，把4ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B'.（1）如图1,当PB = 4时，若点B'恰好在AC边上，则AB'的长度为 ;(2)如图2,当PB = 5时，若直线1/AC,则BB'的长度为

18、;(3)如图3,点P在AB边上运动过程中，若直线 1始终垂直于AC, AACB'的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；(4)当PB = 6时，在直线1变化过程中，求 ACB'面积的最大值.20. (2019?南京)如图 ，在 RtABC 中，/C=90° , AC=3, BC= 4.求作菱形 DEFG ,使点D在边AC上，点E、F在边AB上，点G在边BC上.小明的作法1 .如图，在边AC上取一点 D,过点D作DG / AB交BC于点G.2 .以点D为圆心，DG长为半径画弧，交 AB于点E.3 .在EB上截取EF = ED,连接FG ,则四边形DEFG为

19、所求作的菱形.(1)证明小明所作的四边形 DEFG是菱形.(2)小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围.21. (2019?南京)【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走.可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy,对两点A(X1,y1)和B(X2,y2),用以下方式定义两点间距离：d (A,B)=|xI - X2|+|y1 -y2|.第11页(共130页)4321-1C-1【数学理解】(1)已知点A ( - 21),则d (O, A)=

20、函数y= - 2x+4 (0wxw 2)的图象如图 所示，B是图象上一点，d (OB) =3,则点B的坐标是函数y = (x>0)的图象如图 所示.求证：该函数的图象上不存在点C,使d(OC) =3.(3)函数y=x2-5x+7 (x>0)的图象如图 所示，D是图象上一点，求 d(O, D)的最小值及对应的点 D的坐标.【问题解决】(4)某市要修建一条通往景观湖的道路，如图，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短?(要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由)22. (2019?宁波)定义：有两个相邻内角互余的四边形

21、称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.(1)如图1 ,在4ABC中，AB = AC, AD是 ABC的角平分线,E, F分另1J是BD, AD第#页(共130页)上的点.求证：四边形ABEF是邻余四边形.(2)如图2,在5X4的方格纸中，A, B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF ,使AB是邻余线， 巳F在格点上.(3)如图3,在(1)的条件下，取EF中点M,连结DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点N.若N为AC的中点，DE = 2BE, QB=3,求邻余线 AB的长.23. （2019?宁波）如图1,。经过等边 ABC的顶点A, C （圆心 O在4ABC内），分别与A

22、B, CB的延长线交于点 D, E,连结DE, BFLEC交AE于点F.(1)求证：BD = BE.(2)当 AF : EF=3: 2, AC=6 时，求 AE 的长.(3)设_ = *, tan/DAE = y.EF求y关于x的函数表达式;如图2,连结OF, OB,若 AEC的面积是 OFB面积的10倍，求y的值.（1）求二次函数表达式;224. （2019?泰安）若二次函数 y=ax+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点 A （3, 0）、B （0,-2),且过点 C (2, - 2).第13页（共130页）(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且SApba= 4,求点P的坐标；(3)在抛

23、物线上(AB下方)是否存在点 M,使/ ABO = /ABM?若存在，求出点 M到y轴的距离；若不存在，请说明理由.督用图25. (2019?泰安)如图，四边形 ABCD是正方形， EFC是等腰直角三角形，点 E在AB上，且/ CEF = 90° , FGXAD,垂足为点 C.(1)试判断AG与FG是否相等？并给出证明；(2)若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由.26. (2019?杭州)设二次函数 y= (xxi) (x x2) (x1，X2是实数).(1)甲求得当x= 0时，y=0;当x= 1时，y= 0；乙求得当x=a时，y = .若甲求2

24、2得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由.(2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值(用含x1, x2的代数式表示).(3)已知二次函数的图象经过(0, m)和(1, n)两点(m, n是实数)，当0vx1vx2第17页(共130页)<1 时，求证：0V mnv J .1627. (2019?杭州)如图，已知锐角三角形 ABC内接于圆 O, OD(1)若/ BAC = 60° ,求证：OD = OA.2当OA=1时，求 ABC面积的最大值.(2)点E在线段 OA上，OE = OD,连接 DE,设/ABC = r(m, n 是正数),若/ABCv/ACB,求证

25、：m - n+2= 0.上±BC于点D,连接OA.nZOED , / ACB= n/OED28. (2019?盐城)如图所示，二次函数 y=k(x- 1) 2+2的图象与一次函数y=kx- k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧,直线 AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中 k<0.(1)求A、B两点的横坐标;(2)若 OAB是以OA为腰的等腰三角形,求 k的值;巳 是否存在实数 k,使得/ ODC=2/BEC,(3)二次函数图象的对称轴与x轴交于点29. (2019?泰州)如图，线段 AB = 8,射线BGXAB, P为射线BG上一点，以 AP为边作 正方形APCD ,

26、且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E,使/ EAP= / BAP, 直线CE与线段AB相交于点F (点F与点A、B不重合).(1)求证： AEPA CEP;(2)判断CF与AB的位置关系，并说明理由；(3)求 AEF的周长.30. (2019?泰州)已知一次函数 yi = kx+n (n<0)和反比例函数 y2 = (m>0, x>0).(1)如图1,若n= - 2,且函数yy2的图象都经过点 A (3, 4).求m, k的值；直接写出当y1>y2时x的范围；(2)如图2,过点P (1, 0)作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点 B,与反比例 函数y3=

27、 (x>0)的图象相交于点 C.若k= 2,直线l与函数y1的图象相交点 D.当点B、C、D中的一点到另外两点的距 离相等时，求m- n的值；过点B作x轴的平行线与函数 y1的图象相交与点 E.当m - n的值取不大于1的任意 实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定彳1.求此时 k的值及 定值d.931. (2019?成都)如图1,在4ABC中，AB=AC=20, tanB=*,点D为BC边上的动点(点D不与点B, C重合).以D为顶点作/ ADE = / B,射线DE交AC边于点E,过点A作AFLAD交射线DE于点F,连接CF .(1)求证： ABDA DCE;(

28、2)当DE / AB时(如图2),求AE的长；(3)点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF = CF?若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由.232. (2019?成都)如图，抛物线y=ax+bx+c经过点A ( - 2, 5),与x轴相交于 B(- 1, 0),C (3, 0)两点.(1)求抛物线的函数表达式；(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将 BCD沿直线BD翻折得到4BC'D,若点C恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；(3)设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当 CPQ为等边三角形时，求直线 BP

29、的函数表达式.33. （2019?温州）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=-Jx+4分别交x轴、y轴于点B, C,正方形AOCD的顶点D在第二象限内，E是BC中点，OFLDE于点F,连结OE.动 点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点 Q在直线BC上从某一点Qi向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点.（1）求点B的坐标和OE的长.（2）设点Q2为（m, n）,当工= 1tan/EOF时，求点Q2的坐标.io 7（3）根据（2）的条件，当点 P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合.延长AD交直线BC于点Q3,当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q = s, AP=t,求s关于t的函数表达式.

30、当PQ与 OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长.34. (2019?乐山)在 ABC中，已知 D是BC边的中点，G是 ABC的重心，过 G点的直 线分另1J交AB、AC于点E、F.(1)如图1 ,当EF / BC时，求证：理+&L= 1 ；AE AF(2)如图2,当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，(1)中的结论 是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.(3)如图3,当点E在AB的延长线上或点 F在AC的延长线上时，(1)中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.35. (2019?乐山)如图，已知抛物线 y=a (x+

31、2) (x- 6)与x轴相交于A、B两点，与y轴 交于C点，且tan/CAB = W>.设抛物线的顶点为 M,对称轴交x轴于点N.2(1)求抛物线的解析式；(2) P为抛物线的对称轴上一点，Q (n, 0)为x轴上一点，且 PQXPC.当点P在线段MN (含端点)上运动时，求 n的变化范围；当n取最大值时，求点 P到线段CQ的距离；当n取最大值时，将线段 CQ向上平移t个单位长度，使得线段 CQ与抛物线有两个 交点，求t的取值范围.备用图AR36. (2019?武汉)在 ABC 中，/ ABC =90° , = n, M 是 BC 上一点，连接 AM.BC(1)如图1,若n=1

32、, N是AB延长线上一点， CN与AM垂直，求证：BM = BN .(2)过点B作BPXAM, P为垂足，连接 CP并延长交 AB于点Q.如图2,若n=1,求证：.PQ BQ如图3,若M是BC的中点，直接写出tan/ BPQ的值.(用含n的式子表示)加图2图337. (2019?武汉)已知抛物线 Ci： y= (x 1) 2 4 和 C2： y=x2(1)如何将抛物线 C1平移得到抛物线 C2?(2)如图1 ,抛物线C1与x轴正半轴交于点 A,直线y=- x+b经过点A,交抛物线C1于另一点B.请你在线段 AB上取点P,过点P作直线PQ/y轴交抛物线C1于点Q, 连接AQ.若AP=AQ,求点P

33、的横坐标；若PA= PQ,直接写出点P的横坐标.NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行.若 MNE的面积为2,设M、N两点的横坐标分别为 m、n,求m与n的数量关系.38. (2019?苏州)已知矩形 ABCD中，AB=5cm,点P为对角线 AC上的一点，且 AP = 2泥cm.如图，动点M从点A出发，在矩形边上沿着 A-B-C的方向匀速运动(不 包含点C).设动点M的运动时间为t (s), AAPM的面积为S (cm2), S与t的函数关 系如图所示.(1)直接写出动点 M的运动速度为 cm/s, BC的长度为 cm；(2)如图，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度

34、和方向匀速运动，同时，另一个动点 N从点D出发，在矩形边上沿着 D-C-B的方向匀速运动，设动点 N 的运动速度为 v (cm/s).已知两动点 M, N经过时间x (s)在线段BC上相遇(不包含 点C),动点M, N相遇后立即同时停止运动，记此时APM与4DPN的面积分别为 Si(cm2), S2 (cm2)求动点N运动速度v (cm/s)的取值范围；试探究S1?S2是否存在最大值，若存在，求出S1?S2的最大值并确定运动时间 x的值；若不存在，请说明理由第21页(共130页)39. (2019?苏州)如图，抛物线y=- x2+ (a+1) x-a与x轴交于A, B两点(点A位于 点B的左侧

35、)，与y轴交于点C.已知 ABC的面积是6.(1)求a的值；(2)求 ABC外接圆圆心的坐标；(3)如图，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点 P到x轴的距离为d, 4QPB的面积为2d,且/ PAQ=Z AQB,求点Q的坐标.40. (2019?荷泽)如图，抛物线与 x轴交于A, B两点，与y轴交于点C (0, - 2),点A 的坐标是(2, 0), P为抛物线上的一个动点，过点 P作PDx轴于点D,交直线BC于 点巳 抛物线的对称轴是直线 x= - 1.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且 PE =

36、J-OD,求 PBE的面积.4（3）在（2）的条件下，若 M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点 M,使4BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.2019年全国中考数学分类汇编：压轴题（一）参考答案与试题解析1. （2019?重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x" 2x-3与x轴交于点A, B （点A在点B的左侧），交y轴于点C,点D为抛物线的顶点，对称轴与 x轴交于点E.（1）连结BD,点M是线段BD上一动点（点 M不与端点B, D重合），过点M作MN XBD,交抛物线于点 N （点N在对称轴的右侧），过点N作NHx轴，垂足为H

37、 ,交BD 于点F,点P是线段OC上一动点，当 MN取得最大值时，求 HF + FP+PC的最小值；3（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+gpC取得最小值时，把点 P向上平移 坐 31个单位得到点 Q,连结AQ,把4AOQ绕点。顺时针旋转一定的角度 ”（0° v ”V 3600 ）, 得到AA' OQ',其中边A' Q'交坐标轴于点 G.在旋转过程中，是否存在一点G,使得/ Q'=ZQ'OG?若存在，请直接写出所有满足条件的点Q'的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)先确定点F的位置，可设点 N (m, m2-

38、2m-3),则点F (m, 2m-6), 可得|NF|= (2m- 6) - (m2-2m-3) =- m2+4m-3,根据二次函数的性质得 m= -匕2 a=2时，NF取到最大值，此时 MN取到最大值，此时 HF = 2,此时F (2, - 2),在x 轴上找一点K (二返，0),连接CK,过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于 点P, sin/OCK = ,直线KC的解析式为：y= -272 53,从而得到直线 FJ的解析3式为：丫=亚 t返联立解出点j (空返，-19-4V2 )得Fp+Xpc的最小值即为 42993117+W?FJ 的长，且 |FJ| =最后得出 |HF+FP+-P

39、C|min= ；QJJJ(2)由题意可得出点 Q (0, -2), AQ=&i,应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半”取 AQ的中点 G,连接 OG,则 OG = GQ=LaQ = Y1,此时，/ AQO=/22GOQ,把 AOQ绕点。顺时针旋转一定的角度 a (0° < a< 360° ),得到 A' OQ',其中边A' Q'交坐标轴于点 G,则用OG = GQ',分四种情况求解.【解答】解：(1)如图12.抛物线y=x2-2x- 3与x轴父于点A, B （点A在点B的左侧），交y轴于点C ，令 y=0

40、解得：xi=- 1, X2= 3,令 x= 0,解得：y= - 3,A (1, 0), B (3, 0), C (0, - 3)2点D为抛物线的顶点，且 一=±=1, -c-bx42 a 24a4X：1.点D的坐标为D (1 , - 4)直线BD的解析式为：y=2x-6,由题意，可设点 N (m, m2-2m-3),则点F (m, 2m-6).|NF|= (2m-6) - ( m2-2m-3) =- m2+4m - 3，当m=- = 2时，NF取到最大值，此时 MN取到最大值，此时 HF = 2,2 a此时，N (2, - 3), F (2, - 2), H (2, 0)在x轴上找一

41、点K (1对2, 0),连接CK,过点F作CK的垂线交CK于点J点,4轴于点P,sin/OCK = ",直线 KC 的解析式为：y= T® ,且点 F (2, -2),.PJ=J_PC,直线FJ的解析式为：丫=返工产.23_4 x 22-272 -19-472.点 J(, g).FP+士PC的最小值即为 FJ的长，且|FJ| = =4g333第25页（共130页） .|HF+FP+JLpC|min=Zt±；33(2)由(1)知，点 P (0, 一4+“，2),2把点P向上平移返个单位得到点Q2，点 Q (0, - 2)在 RtAAOQ 中，/ AOG=90

42、6; , AQ=J,取 AQ 的中点 G,连接 OG,则 OG = GQ= Laq=d1L,此时，/ AQO = /GOQ 22把4AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度 a (0° v /V 3600 ),得到 A' OQ',其中边A' Q'交坐标轴于点 G如图2D： 图2第27页（共130页）G点落在y轴的负半轴，则 G （0,-三二），过点Q作Q'Ux轴交x轴于点I,且/ GOQ' =/ Q'则/ IOQ'=Z OA'Q'=Z OAQ,. / cac _0Q _ 2 _ 2 sin / OAQ =AQ否

43、5 .sin/ IOQ'=1土 =也0Q冬区，解得：iioi=2£55在RtA OIQ'中根据勾股定理可得|OI |=2工£5点Q'的坐标为Q'（耳£,一芈）；55如图3,如图55555综上所述，所有满足条件的点Q'的睦显为：送返，-蚪延L,主区)，一生L,喑)(.华等【点评】本题主要考查了二次函数图象与坐标轴的交点求法和与几何图形结合的综合能力的培养及直角三角形的中线性质.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用通过求点的坐标来表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.2. (2019?德州)如图，抛物线 y=m

44、x2-,mx-4与x轴交于A (xi, 0), B(X2, 0)两点, 与y轴交于点C,且*2-x1 = NL.2(1)求抛物线的解析式；(2)若P (xi, yi), Q (x2, y2)是抛物线上的两点，当a<xi< a+2, x2>?时，均有2yi<y2,求a的取值范围；(3)抛物线上一点 D (I, - 5),直线BD与y轴交于点E,动点M在线段BD上，当 /BDC = / MCE时，求点M的坐标.A】【分析】(1)函数的对称轴为：x=-旦=n=盯十 -2 ,而且X2-X1 = JIL,将上述两 2a 422式联立并解得：X1 = - , X2=4,即可求解；2

45、(2)由(1)知，函数的对称轴为： x=t,则x=2和x=- 2关于对称轴对称，故其函42数值相等，即可求解;(3)确定 BOC、 CDG均为等腰直角三角形，即可求解.【解答】 解：(1)函数的对称轴为：x= -= = ! -,而且x2 - xi =-ii-, 将上述两式联立并解得： xi= - , x2 = 4 ,2则函数的表达式为： y=m (x+) (x- 4) = m (x2- 4x+x - 6),222即：-6m = - 4,解得：m=一,3故抛物线的表达式为：y=x2 - x - 4 ；33(2)由(1)知，函数的对称轴为：x =生，4则x=2和x= - 2关于对称轴对称，故其函数

46、值相等，2又aWx1wa+2, x2>旦时，均有y产y2,2结合函数图象可得：-j9,解得：-2<a<-1；a1-2<y2(3)如图，连接 BC、CM,过点D作DGLOE于点G,第29页(共130页)而点 B、C、D 的坐标分别为：（4, 0）、（0, -4）、（1, -5）,则 OB=OC = 4, CG = GC=1, BC=4、m， CD = 2,故4 BOC、 CDG均为等腰直角三角形，./BCD=180° - Z OCB - Z GCD = 90° ,在 RtBCD 中，tan / BDC =里二限叵=4, CD-V2/ BDC = Z M

47、CE,则 tan/ MCE = 4,将点B、D坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得:直线BD的表达式为：y = 3x-型，故点E （0, -22）, 333设点M （n, 5n-9），过点M作MFLCE于点F,33贝UMF=n, CF=OF - OC =n g 5n =4, 3 33MFtan/ MCE CF解得：门=丝23故点M（H-,2323【点评】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰直角三角形性质等,其中（3）,确定 BOC、4CDG均为等腰直角三角形，是本题解题的关键.3. （2019?天津）已知抛物线 y=x2-bx+c （b, c为常数，b>0）经过点A

48、 （ - 1, 0）,（m, 0）是x轴正半轴上的动点.（I）当b=2时，求抛物线的顶点坐标；(n)点 D (b, yD)在抛物线上，当 AM=AD, m=5时，求b的值；(出)点Q (b+X, yQ)在抛物线上，当 &AM+2QM的最小值为22返时，求b的值.24【分析】(I)将点A (T, 0)代入y=x2-bx+c,求出c关于b的代数式，再将 b代入即可求出c的值，可进一步写出抛物线解析式及顶点坐标；(n)将点 D (b, yD)代入抛物线 y=x2-bx- b - 1,求出点 D纵坐标为-b - 1,由b>0判断出点D (b, - b-1)在第四象限，且在抛物线对称轴x=

49、b的右侧，过点 D作2DEx轴，可证 ADE为等腰直角三角形，利用锐角三角函数可求出b的值；(出)将点Q (b+, yQ)代入抛物线y= x2 - bx - b - 1,求出Q纵坐标为-卜-旦，可22 4知点Q (b+-L, -在第四象限，且在直线 x = b的右侧，点N (0, 1),过点Q22 4作直线AN的垂线，垂足为 G, QG与x轴相交于点 M,过点Q作QHx轴于点H,则点 H (b+-L, 0),在 RtAMQH 中，可知/ QMH=/MQH=45° ,设点 M (m, 0),则2可用含b的代数式表示 m,因为 在AM+2QM=U2,所以花(-)-(-42 41) +2

50、V (b+薮)(4" 一 ")=-,解方程即可.【解答】解：(I) .抛物线y=x2-bx+c经过点A (-1, 0),1 + b+c= 0,即 c= - b - 1,当b = 2时，y=x2- 2x- 3= (x- 1) 2- 4,，抛物线的顶点坐标为(1 , -4);(n)由(I)知，抛物线的解析式为y=x2-bx- b - 1,丁点D (b, yD)在抛物线 y=f-bx - b - 1上，.2 .yD = b - b?b- b_1 = _b_1,由 b>0,得 b>>0, - b- 1<0, 点D (b, - b- 1)在第四象限，且在抛物线

51、对称轴x=卜的右侧，2如图1,过点D作DEx轴，垂足为 E,则点E (b, 0), 在 RtA ADE 中，/ ADE = /DAE = 45° ,AD=AE,由已知 AM = AD , m=5, -5- (- 1) =2(b+1),.二 b= 3/2 - 1 ；(山),一点 Q (b+, yo)在抛物线 y=x2-bx-b-1 上，2yo = ( b+) 2 b (b+) - b_1 = _,222 4可知点Q (b+1, - 1-1)在第四象限，且在直线 x=b的右侧，22 4 V2AM+2QM = 2 (亚AM+QM),2可取点 N (0, 1),如图2,过点Q作直线AN的垂线

52、，垂足为 G, QG与x轴相交于点 M,由/GAM = 45° ,得逞AM = GM,2则此时点M满足题意，过点Q作QHx轴于点H,则点H (b+工，0),2在 RtAMQH 中，可知/ QMH=/MQH=45° ,.QH=MH , QM= V2MH ,.点 M (m, 0),0 _ ( - _ ) = ( b+) - m,2 42解得，m =-,2 4 V2AM+2QM =旦叵，4V2 (-1)- (- 1)+2& (b+春)('-；)= 2 422 44b= 4.AE=b+1, DE = b+1 ,得 AE=DE,第31页(共130页)>1*【点评

53、】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上的点的坐标满足抛物线方程等，解 题关键是能够根据给定参数判断点的位置，从而构造特殊三角形来求解.4. （2019?济宁）如图1,在矩形 ABCD中，AB = 8, AD = 10, E是CD边上一点，连接 AE, 将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于 点G.（1）求线段CE的长；（2）如图2, M, N分别是线段 AG, DG上的动点（与端点不重合），且/ DMN = / DAM , 设 AM=x, DN = y.写出y关于x的函数解析式，并求出 y的最小值；是否存在这样的点 M,使 DMN是等腰三角形？若存在

54、，请求出 x的值；若不存在，第37页（共130页）请说明理由.DE= EF=8-x.在【分析】（1）由翻折可知：AD = AF=10. DE = EF,设EC= x,则鼻 ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.(2)证明ADMsGMN,可得坦 = &L,由此即可解决问题.MG GN存在.有两种情形：如图 3 - 1中，当MN = MD时.如图3-2中，当MN=DN时,作MHLDG于H.分别求解即可解决问题.图1四边形ABCD是矩形，AD=BC=10, AB=CD = 8, ./ B=Z BCD= 90° ,由翻折可知： AD = AF = 10. DE = EF,设 E

55、C = x,贝U DE = EF = 8- x.在 RtABF 中，BF = f_/=6, .CF= BC- BF= 10-6 = 4,在 RtAEFC 中，则有：（8-x） 2=x2+42,x= 3,EC= 3.(2)如图2中,. AD / CG,AB DE.CG CE10 = 5'' ?CG 3，CG = 6,BG= BC+CG=16,在 RtABG 中，AG = 82+1 62=8V<5,在 RtDCG 中，DG = 6，gZ=10， AD= DG= 10, ./ DAG = Z AGD, . / DMG =Z DMN +/ NMG = / DAM+/ADM , / DMN = ./ ADM =Z