数学超纲内容

1、在圆锥曲线里：设椭圆上有一定点有一动点，那么有变换得到时就可以看成这一点切线的斜率，写成导数的形式就是函数不等式：拉格朗日中值定理，洛必达法则（在下面），柯西不等式的变式，赫尔德不等式，闵可夫斯基不等式，（安利一本贝肯鲍尔的不等式入门，小册子）第二数学归纳法（在下面）解析几何：极坐标系，参数方程，隐函数求导（在上面）（事实上背过切线公式和切点弦公式就好），各种二级结论做过的最好就背过。立体几何：向量叉乘，暴力破解一个爽数列：各种二三级递推、递归，以及特征很方程选填最后一两题：高斯函数被考滥了，三角形四心的向量性质（在下面），一些典型的涂色问题，还有就是一些几何性质，阿波罗尼斯圆（在下面）什么的

2、，毕业久了记不得了“四心”1 若P是ABC的重心PA+PB+PC=02 若P是ABC的垂心PA*PB=PB*PC=PA*PC(内积）3 若P是ABC的内心aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）4 若P是ABC的外心|PA|=|PB|=|PC|（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）5 AP=（AB/|AB|+AC/|AC|),0,+) 则直线AP经过ABC内心6 AP=（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),0,+) 经过垂心7 AP=（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),0,+）或 AP=(AB+AC),0,+) 经过重心8.若aOA=bOB+cOC,则0为A

3、的旁心,A及B,C的外角平分线的交点洛必达法则0/0型不定式极限若函数  和  满足下列条件：  ，  ； 在点  的某去心邻域内两者都可导，且  ；  （  可为实数，也可为 ± ），则/型不定式极限若函数  和  满足下列条件：  ； 在点  的某去心邻域内两者都可导，且  ；  （  

4、;可为实数，也可为  ），则其他类型不定式极限不定式极限还有  ，  ，  ，  ，  等类型。经过简单变换，它们一般均可化为  型或  型的极限。(1) 型可将乘积中的无穷小或无穷大变形到分母上，化为  型或  型。例：求 解：原式= (2) 型把两个无穷大变形为两个无穷小的倒数，再通分使其化为  型。例：求 解：原式=

5、60;(3) 型可利用对数性质  将函数化简成以e为底数的指数函数，对指数进行求极限。针对不同的问题，还可以利用等价无穷小  作替换，化简算式。例：求 解：原式=  =  =  =  = = 上式求解过程中，利用了等价无穷小的替换，即把  替换成了  。(4) 型同上面的化简方法例：求 解：原式= (5) 型同上面的化简方法例：求 解：原式=

6、60;注意不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量  是无法求导数的。但此时有形式类近的斯托尔兹切萨罗定理（StolzCesàro theorem）作为替代。作为竞赛狗，我负责任地说些非纯竞赛，自招难度的东西哪些能用，请知友根据实际情况自己定夺1.牢记，牢记！三角恒等式和三角不等式,很有用，把证明记住，一证引理，一步到位妥妥的2.阿贝尔变换。还有其他恒等变换，暴算不等式的时候很有用。3.几何法做解析，找准几何意义，超级简单比如用个角平分线定理，感觉可神奇了得看题怎么样，需要运气和智商，毕竟有的题确实没有几何意义4.复数做平几。李伟固说今年Imo中国队就败

7、在了不会算平几，2010年联赛那个很难的平几，建系很方便一般是有“心”还有良好的对称性的平几需要5.换元法，待定系数，有时会起到简化作用，算代数题，很有用6.函数题，特值法，逼值，会比描述简单，但条件必须很好7.见到三角的题，设复数算，配以微积分基本定理，特别简单好像大家对复数都不是很熟悉，其实复数是很好的数学工具8.做不等式之前，先猜取等条件。给某个变量取极限看其他变量变化，所谓，冻结变量法9.求值域，解不等式，多想几何意义，线性规划简单很多10.导数部份用拉格朗日中值定理，泰勒公式11.解析，点差法，圆锥曲线的第二定义，拉格朗日恒等式变形，运算中常用。定比分点。多记着小结论最好了12.用行

8、列式展开多项式，方便13.切比雪夫，排序，都很巧14.母函数15.高次方程韦达定理16.复数中的Hlawka不等式。柯西不等式有条件成立，还有反向柯西。17.斐波那契数列性质18.复数中，单位根19.解析中常常会用到阿波罗尼斯圆。错位相减公式：所有错位相减题都可以化成的形式。设，那么(q1)此公式经本人上学时反复验证。记住这个，再碰到错位相减题直接写答案。如果是大题象征性地写一写过程就行了。涉及圆锥曲线焦半径长度的题目：用圆锥曲线统一定义几率秒杀。焦半径长度用直角坐标不好表示，用统一定义简单得不要不要的。第二数学归纳法原理是设有一个与正整数n有关的命题，如果：（1）当n=1时，命题成立；（2）

9、假设当nk（kN）时，命题成立，由此可推得当n=k+1时，命题也成立。那么根据可得，命题对于一切正整数n来说都成立。数列放缩（不一定靠谱）花了一周时间，总算找到了一个通法，至少在答主的高中经历中能解决90%以上的数列放缩问题，包括不是固定值的，而是一个表达式的思想同样适应。话不多说，见下0x1 思考这个值如1/3的得来，你会发现基本上都是等比求和的极限，没错。这机是关键，原因也很简单，我们基本上只能对这类数列求和。0x2 利用分析法。既然是一个等比数列，那么我们就直接构造这个等比数列，a1和q都设出来。一般来说q就是前面需要放缩的式子中指数下的那个（题目难的话，可能会调整这个q）然后就利用放缩

10、的逆过程，即两个数列中的每一项都有固定的大小关系（如要证A>B那么对应的a(n)>b(n)）这里会用到很多技巧，比如可能这个式子的前几项不满足，但后面的所有项都成立，那么可以把前几项单独拿出来说明。0x3 最后再用综合法书写过程。0x4 总之，这类问题的思想就是这样，但几年过去了，很多细节也忘了。希望能帮到题主。/我也是一条安静的分割线/我是一个简单的栗子，随便在网上找的一道题，若有错误，请指正。步骤：0x1 设an(a1*（1-qn）)/(1-q),然后去掉qn因为可以看作这个数列的极限就是5/3, a1/(1-q)=5/3,观察前面的式子，可令q1/2这里的q可以不一样（但是为了后面的分析法容易证明）解得a1=5/6；0x2 现在an5/3*（1-1/2n)，利用分析法比较1/（2n-1）<5/3*（1-1/2n)（选取1/2也是因为这里比较容易证明）这时你就会发现第一项不满足（1>5/6）但从第二项开始，后面的每一项都小于，所以我们第一项单独提出来说明（1<5/3利用原式子），因为从第二项开始都小于，所以每一项相加也同样小于。综上该不等式成立。0x3 最后利用综合法书写过程。完毕！然后这里附上参考答案的做法，可以对比一下可以发现