数学建模论文

1、古塔的变形山东省莱阳市第一中学63级21班 徐佳庆 指导老师 姜成功摘要 本文对古塔的各层中心坐标，倾斜、弯曲、变形问题，采用数据插值、最小二乘法、回归分析法及Excel软件与Matlab软件，进行求解，具体步骤如下：1第13层中第5个观测点空白数据处理对1986年和1996年，第13层中第5个观测点进行了估计，采用数据插值方法中的3次样条插值，算出1986年数据分别为566.308，519.7624， 52.7686及1996年数据568.0575，519.7562，52.7657 。2模型建立及求解各层中心坐标将空间中每层观测的点分别投影到,各平面，通过最小二乘法确定出以投影的点为中心的中

2、心直线，以三条直线为母线做平行于三角坐标的平面，求解三个平面的交点即为中点的坐标。 利用Excel及Matlab软件求解出各层中心坐标。3古塔倾斜分析将古塔各层相邻的中心坐标连接起来，构成空间向量，通过求解向量的夹角、来确定古塔的倾斜情况。计算与仿真结果表明，古塔中心各层间都有倾斜，但在8-9层，12-13层时倾斜更为严重。4古塔扭曲，变形分析 将中心坐标投影到面，计算相邻层上投影点构成的直线的斜率，得到夹角。该角度说明了中心发生倾斜时的方向、角度大小描述了扭曲程度大小。结果表明古塔朝着平面的第四象限偏移大。5古塔变形预测 采用多元回归分析法，根据最小二乘法原理，拟合出古塔最终变形的趋势。从图

3、中可以看出古塔是各层不断的发生变化。并且在8-11层变形严重。关键词：中心直线 插值 曲线拟合 回归分析一、问题重述由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响，古塔会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。某古塔已有上千年历史，是我国重点保护文物。管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。请你们根据附件1提供的4次观测数据，讨论以下问题：1. 给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。2. 分

4、析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。3. 分析该塔的变形趋势。二、模型假设 1假设对模型计算结果均保留四位有效数字，不影响其变形趋势；2. 假设任意两层中心的连线为直线时，考虑其倾斜程度；3. 假设任意两层中心的连线为曲线时，考虑其弯曲、扭曲程度。4.假设古塔是规则图形；5.假设古塔刚建好时地面平坦没有倾斜和扭曲。三、符号说明1，表示空间中点的坐标；2.为投影平面直线方程的参数；3.表示空间投影到平面上的各点距离之和的最小值；4.三个平面的交点；5.、（，）表示向量的方向角； 6.两点构成的直线的倾斜角；7.回归中未知参数。四、模型建立及求解1. 中心位置模型建立 以古塔其中一层为研究对象，建立

5、中心位置的数学模型。设，是古塔第层的观测的数据，为空间中的点。首先，将，投影到平面上，得到观测数据记为，。在平面直角坐标系中，建立以这些点构成的中心直线方程，记为，要求使各点，到直线的距离之和最小，即用最小二乘法。将问题转化为求解的最小值。由二元函数极值原理，令即可求得，确定出直线方程 （1）同理，将，投影到平面上，得到观测数据记为，。采用二元函数极值原理，可确定出直线方程 （2）将，投影到平面上，得到观测数据记为，。可确定出直线方程 （3）确定出的这三条直线（1）、（2）、（3）在空间分别表示三个母线依次平行于三个坐标轴的平面。求解出三个平面的交点，就是我们要找的每层的中心，记作。2.模型求

6、解（1）题目中给出的1986年和1996年观测数据中，第13层中第5个观测点没有数据。利用数据插值的方法，将这个数据估计出来。在此，利用Matlab中3次样条插值，给出缺失数据。调用函数spline，数据计算如下所示：（计算的缺失数据加黑显示）表一 1986年第13层观测值 表二 1996年第13层观测值13层x/my/mz/m1566.308525.09252.8662564.716523.61652.8783564.418521.52152.8974565.91519.89352.885566.308519.762452.76876569.701521.0552.7037569.89752

7、3.18852.7948568.582524.82252.82213层x/my/mz/m1566.3142525.085752.8642564.7222523.609852.8773564.4872521.514852.8894565.9161519.886852.8785568.0575519.756252.76576569.7072521.043852.6967569.9032523.181752.7898568.588524.815752.817（2）将每一层都采取上述的建模方法，计算每层的中心位置，其中。计算时采用Excel、Matlab软件对数据进行求解，求解过程见附件一。解得每年各

8、层中心位置坐标如下表所示：表三 每年各层中心位置坐标1986年观测数据1996年观测数据中心点坐标中心点坐标层数XYZ层数XYZ1566.6645522.71311.77941566.665522.70971.77732566.7196522.65497.30462566.7205522.65987.32353566.7729522.603812.73863566.7751522.593712.72784566.8161522.606817.05324566.8183522.624717.0565566.8621522.590721.74455566.8641522.586521.736765

9、66.9084522.543526.23516566.9118522.569926.25187566.9408522.506629.83227566.9506522.496129.82618566.9468522.419433.33568566.9884522.459133.32849567.0218522.510536.86679567.0265522.454236.840410567.0569522.544940.19410567.0169522.557740.187211567.1045522.464444.434111567.1102522.337144.39212567.151852

10、2.415348.735412567.1578522.36348.683313567.2011522.73852.8313567.2012522.368452.826614567.2471522.243755.1233514567.2544522.236755.11982009年观测数据2011年观测数据中心点坐标中心点坐标层数XYZ层数xyz1566.7267522.67871.74371566.72695522.72341.77922566.764522.65177.28812566.7642522.68997.29513566.8002522.632612.71473566.800445

11、22.655312.71284566.8293522.622817.04424566.82971522.579317.03875566.8603522.488421.68535566.86096522.498221.68216566.9469522.553226.21786566.94784522.547826.18417566.9793522.537629.83487566.98522.518129.83018567.0305522.458833.35338567.0313522.453133.32849567.0815522.446536.8659567.0823522.447136.80

12、210567.1368522.366240.174410567.13806522.364940.137511567.1798522.375544.422811567.18096522.375244.402412567.2224522.334848.713512567.22383522.332948.708813567.2712522.24952.805313567.27251522.247352.803714567.336522.214655.08914567.3374522.213255.087 通过数据，可以看出古塔各层中心坐标都有不同幅度的变动，为了更加清楚的描述数据间的关系，通过Mat

13、lab软件仿真，得到下图： 图1 1986年中心坐标仿真图 图2 1996年中心坐标仿真图 图3 2009年中心坐标仿真图 图4 2011年中心坐标仿真图从图中可以看出，古塔的中心随着时间的推移在发生着改变。古塔中心位置在8、9层及11、12层发生较为明显的偏移。3.古塔倾斜、弯曲、扭曲分析 （1）古塔倾斜分析设是古塔中心坐标，表示第层和第层中心点构成的向量。、（，）表示向量的方向角。 向量的方向余弦为 ，通过向量与坐标轴之间的夹角、，来判断倾斜程度，其中表示层与竖坐标的夹角，角度越大表示倾斜程度越大。、表示倾斜时朝那个方向。通过Excel计算，得直线在空间的夹角。如下表所示：表四 每年各层之

14、间倾斜角1986年倾斜角1996年倾斜角层数层数189.431390.60610.8310189.426690.51540.7709289.440690.54140.7785289.421290.70070.9088389.428989.96280.5750389.428189.58960.7038489.440890.19920.5952489.439490.46750.73589.411990.60480.8435589.394790.21060.6408689.486690.59030.7821689.378291.18271.3363789.904591.42851.4292789.3

15、81690.60520.8652888.786288.52501.9140889.378490.07990.6266989.398289.41030.8462990.164288.22871.77891089.359591.09021.26351088.730693.00243.26021189.372690.65660.90811189.364589.65420.72341289.934490.49681.10141289.620989.92530.92392009年倾斜角2011年观倾斜角层数层数189.617190.28160.4758189.615790.35060.5203289.6

16、20490.20430.4321289.619490.36850.5298389.617590.13230.4063389.614991.00911.0786489.620191.66141.7023489.617191.00321.0723588.908189.18361.3670588.897189.37151.2729689.489490.24970.5696689.497290.46930.6879789.169191.28551.5299789.162691.06701.3559889.170590.20330.8559889.161490.10160.8469989.045591.

17、39241.6875989.045191.41421.70571089.422789.87720.59331089.426389.86420.59271189.433890.54610.78671189.432490.56540.80111289.319491.20381.38191289.321591.20011.3776图5 四年倾斜角变化趋势图 6 四年倾斜角变化趋势图 7 四年倾斜角变化趋势 从图中可以看，每条曲线都在变动，即随着层数的改变倾斜角也在不断的变化，每层倾斜的程度不同。在8到11层，图形变化强度大，表示这些层，倾斜程度高，这也符合实际。因为当受外在因素地震、飓风等影响时，高

18、层建筑都是越向上形变越明显。（2）古塔弯曲、扭曲分析 通过单位弧段上切线转过的角度大小，来描述弧段的弯曲和扭曲的程度。假设将空间相邻两层第层和第层，两点连线构成的直线记为曲线的切线。 对古塔中心位置的坐标，做如下处理：将空间中任意两点和投影到平面，求出两点构成的直线的倾斜角用表示古塔在该层的扭曲程度。 通过Excel软件计算得到每层的夹角，如下表所示：表五 每年各层之间的夹角层数1996年夹角1996年夹角2009年夹角2011年夹角1-37.5343-37.5896-40.8804-40.97992-37.3275-37.4376-40.5633-39.93113-37.68-37.7104

19、-40.7958-41.58624-37.5034-37.6113-40.6329-40.46655-36.8512-36.9686-31.1197-31.16816-23.0009-23.4128-34.3045-34.34317-22.7727-23.0711-32.436-32.51558-23.107-23.6695-32.9341-32.8839-21.6897-21.8021-43.6789-43.683810-39.6168-39.6192-42.2749-42.34811-39.8545-39.9013-42.2548-42.194912-79.4108-79.4205-42.421-42.4851 图