初中数学专题02等腰三角形的存在性问题(原卷版)

1、专题二 等腰三角形的存在性问题【考题研究】近几年各地的中考数学试题中，探索等腰三角形的存在性问题频频出现，这类试题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思精巧，要求学生要有较高的分析问题的能力和解决问题的能力，这类问题符合课标对学生能力提高的要求。【解题攻略】在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类如果 ABC是等腰三角形，那么存在AB = AC,BA=BC,CA=CB三种情况.解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算哪些题目适合用几何法呢？如果 ABC的/ A （的余弦值）是确定的，夹/ A的两边AB和AC

2、可以用含x的式子表示出来，那么就用几何法如图1,如果AB = AC,直接列方程；如图 2,如果BA=BC,那么；如图3,如果CA= CB,那么.代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来【解题类型及其思路】解题类型：动态类型：1.一动点类型问题；2.双动点或多动点类型问题背景类型：1.几何图形背景；2.平面直角坐标系和几何图形背景解题思路：几何法一般分三步： 分类、 画图、 计算； 代数法一般也分三步： 罗列三边长， 分类列方程， 解方程并检验 如

3、果4ABC是等腰三角形，那么存在 AB = AC,BA=BC,CA= CB三种情况.已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快【典例指引】类型一 【二次函数综合题中根据条件判定三角形的形状】典例指引1.抛物线yx2bxC与x轴交于点A,点B (1,0),与y轴交于点C(0,- 3),点M是其顶点.(1)求抛物线解析式；(2)第一象限抛物线上有一点D,满足/ DAB=45°,求点D的坐标；(3)直线x t (- 3< tv - 1)与x轴相交于点H.与线段AC,

4、AM和抛物线分别相交于点E, F, P.证明线段HE, EF, FP总能组成等腰三角形.【举一反三】(2020 江西初三期中)如图 ，已知抛物线y=ax2+bx+3 (aO与x轴交于点A (1, 0)和点B (-3, 0),(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的对称轴与 x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使4CMP为等腰三角形？若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由;BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值，并求此(3)如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接时E点的坐标.类型二【利用二次函数的性质与等腰三角形的性质确定点的坐标】 典例指引2.(2019 山

5、东初三期末)如图1,已知抛物线y ax2 bx 3(a 0)与x轴交于点A(1,0)和点B( 3,0),与 y轴交于点C.(l)求抛物线的表达式；(2)如图1,若点E为第二象限抛物线上一动点，连接 BE,CE ,求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标；(3)如图2,在x轴上是否存在一点 D使得 ACD为等腰三角形？若存在， 请求出所有符合条件的点 D的 坐标；若不存在，请说明理由.【举一反三】y=ax2+bx+c的图象与 x轴(2019 广东省中山市中山纪念中学三鑫双语学校初三期中)如图，已知抛物线交于A (2, 0), B ( - 8, 0)两点，与y轴交于点C (0, - 8).

6、(1)求抛物线的解析式；(2)点F是直线BC下方抛物线上的一点，当 4BCF的面积最大时，求出点 F的坐标；(3)在(2)的条件下，是否存在这样的点 Q (0, m),使得4BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由.类型三【确定满足等腰三角形的动点的运动时间】典例指引3.(2018济南中考)如图1,抛物线产=-2广平移后过点A (8, ,0)和原点，顶点为 B,对称轴与宣轴相交 于点C,与原抛物线相交于点 D.(1)求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积54超.；(2)如图2,直线AB与V轴相交于点P,点M为线段OA上一动点，dM用为直角，边 MN与AP相

7、交于 点N,设。M二-试探求：t为何值时力却为等腰三角形；为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少.【举一反三】如图所示，抛物线y=ax2+bx+c(aw。经过A (-1,0)、B(3,0)、C (0, 3)三点.点 D从C出发，沿线段CO以1个单位/秒的速度向终点 O运动，过点D作OC的垂线交BC于点E,作EF / OC,交抛物线 于点F.(1)求此抛物线的解析式；(2)小明在探究点 D运动时发现，当点 D与点C重合时，EF长度可看作O;当点D与点。重合时, EF长度也可以看作 O,于是他猜想：设点 D运动到OC中点位置时，当线段 EF最长，你认为他猜想是否 正确，为什么？(3)连接CF、

8、DF,请直接写出4CDF为等腰三角形时所有t的值.【新题训练】1. (2020江西初三)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-2,4),直线x=- 2与x轴相交于点B,连接OA,抛物线y= - x2从点O沿OA方向平移，与直线x= - 2交于点P,顶点M到点A时停止移动.(1)线段OA所在直线的函数解析式是 ;(2)设平移后抛物线的顶点 M的横坐标为 m,问：当m为何值时，线段PA最长？并求出此时 PA的长.(3)若平移后抛物线交 y轴于点Q,是否存在点 Q使得4OMQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.2. (2018山东中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数

9、y ax2 bx c交x轴于点A 4,0、B 2,0，交y轴于点C 0,6，在y轴上有一点E 0, 2 ,连接ae .(1)求二次函数的表达式；(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值；(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使 AEP为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由.23. (2016广西中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线 y x 2x 3与x轴交于A, B两点(A在B的 左侧)，与y轴交于点C,顶点为D.(1)请直接写出点 A, C, D的坐标；(2)如图(1),在x轴上找一点E,使得4CDE的周长最小，求点 E的坐标；(3)如图(

10、2), F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P,使得AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.4. (2019广东广州市第二中学初三)如图(1),在平面直角坐标系中，矩形 ABCO, B点坐标为(4, 3),1抛物线y= -x2+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C, D为BC的中点，直线 AD与y轴交于E点，与抛 21c物线y=1x2+bx+c交于第四象限的F点.2(1)求该抛物线解析式与 F点坐标；(2)如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒运个单位长度的速度向终点 E运动.过2点P

11、作PHLOA,垂足为H,连接MP, MH.设点P的运动时间为t秒.问EP+PH + HF是否有最小值，如果有，求出 t的值；如果没有，请说明理由.若4PMH是等腰三角形，求出此时 t的值.5. (2019湖南中考模拟)如图，关于 x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A (1, 0)和点B与y轴交于点C (0, 3),抛物线的对称轴与 x轴交于点D.(1)求二次函数的表达式;(2)在y轴上是否存在一点 P,使4PBC为等腰三角形？若存在.请求出点P的坐标；(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在 AB上向点B运动，另一个点 N从点D与点M同时出发，以每秒 2个单位的速度在抛

12、物线的对称轴上运动，当点 M到达点B时，点M、N同时停止运动,问点M、N运动到何处时， 4MNB面积最大，试求出最大面积.6. (2018山东中考模拟)如图，抛物线 y=-,x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,抛物线的对称轴交X轴于点D,已知A (- 1, 0), C (0, 2).(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使4PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形 CDBF的最大

13、面积及此时 E点的坐标.A (0, 6), B (6, 0), C7. (2019山东中考模拟)已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点(-2, 0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式；(2)当点P运动到什么位置时，PAB的面积有最大值?(3)过点P作x轴的垂线，交线段 AB于点D,再过点P做PE/x轴交抛物线于点 E,连结DE ,请问是否存在点P使4PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由.B管用国8. (2018广东中考模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数2y ax bx 4 (a 0)的图象与x轴交于(1)

14、求该二次函数的解析式;(2)如图1,连结BC,在线段BC上是否存在点E,使得4CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由;(3)如图2,若点P (m, n)是该二次函数图象上的一个动点(其中m>0, n<0),连结PB, PD, BD,求 BDP面积的最大值及此时点 P的坐标.9. (2019四川中考模拟)如图，已知二次函数y=-x2+bx+c (c> 0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点(1)求二次函数的解析式;(2)积为点P为线段BM上的一个动点，过点 P作x轴的垂线PQ,垂足为Q,若OQ=m,四边形ACPQ

15、的面S,求S关于m的函数解析式，并写出 m的取值范围;(3)探索：线段BM上是否存在点N,使4NMC为等腰三角形？如果存在，求出点 N的坐标；如果不存在，请说明理由.10. (2019甘肃中考模拟)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A (-1, 0), B (3, 0)两点，与y轴相交于点 C (0, - 3).(1)求这个二次函数的表达式；(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH，x轴于点H,与BC交于点M,连接PC.求线段PM的最大值；当4PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点 P的坐标.11. (2019安徽中考模拟)如图，已知直线y x 1与抛物

16、线y ax2 2xc相交于点A1,0和点B 2,m两点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P是位于直线 AB上方抛物线上的一动点， 当 PAB的面积S最大时，求此时 PAB的面积S及 点P的坐标;(3)在x轴上是否存在点Q,使 QAB是等腰三角形？若存在，直接写出Q点的坐标(不用说理)；若不 存在，请说明理由.12. (2018江苏中考模拟)(2017南宁，第26题，10分)如图，已知抛物线 y ax2 2小3ax 9a与坐标 轴交于A, B, C三点，其中C (0, 3), /BAC的平分线AE交y轴于点D,交BC于点E,过点D的直线 l与射线AC, AB分别交于点 M, N.(1)直接

17、写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴;(2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若 PAD为等腰三角形，求出点 P的坐标;11(3)证明：当直线l绕点D旋转时， 均为定值，并求出该定值.AM AN13. (2019重庆中考模拟)如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线戈二1 ,与y轴负半轴交于C点，与x轴交于A、(1)求此抛物线的解析式;(2)若点G (2, y)是该抛物线上一点，点 P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，4APG的面积最大？求出此时 P点的坐标和4APG的最大面积.(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于 M、N两点(其中点M在点N的右侧)，在x轴上是否

18、存在点 Q,使4MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.14. (2019辽宁中考模拟)抛物线 y=ax2+bx-3 (a*Q与直线y=kx+c (kQ相交于A (- 1, 0)、B (2,-3)两点，且抛物线与 y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)求出C、D两点的坐标(3)在第四象限抛物线上有一点P,若4PCD是以CD为底边的等腰三角形，求出点P的坐标. 1c 、.15. (2020浙江初三期末)如图，抛物线 y=- - x2+2x+6交x轴于A, B两点(点A在点B的右侧)，交y2轴于点C,顶点为D,对称轴分别交x轴、线段AC于点E、F.备用图(1)求抛物线的对称轴及点 A的坐标；(2)连结AD, CD,求4ACD的面积；,取AACD 一边的两端点和点 P,若以这三点为(3)设动点P从点D出发，沿线段DE匀速向终点E顶点的三角形是等腰三角形，且P为顶角顶点，求所有满足条件的点P的坐标.16. (2020湖北初三期末)如图，已知二次函数的图象经过点A (4, 4), B (5, 0)和原点O, P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂