高中数学常见思想方法总结

1、高中常见数学思想方法方法一函数与方程的思想方法函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各局部内容中，一直是高考的热点、 重点内容 . 函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、 联系和开展角度拓宽解题思路. 方程的思想，是从问题的数量关系入手， 运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型方程、不等式或方程与不等式的混合组，然后通过解方程组或不等式组来使问题获解 .函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质， 解有关求值、 解( 证 )不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题

2、；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,到达化难为易，化繁为简的目的. 有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，到达解决问题的目的.【例 1】设等差数列an 的前 n 项的和为 Sn ， a312, S12 0, S13 0 .1求公差 d 的取值范围；2指出 S1 、 S2 、 S12 中哪一个值最大，并说明理由 .【分析 】 1利用公式 an 与 Sn 建立不等式，容易求解d 的范围； 2利用 Sn 是 n 的二次函数，将 Sn 中哪一个值最大，变成求二次函数中n 为何值时 Sn 取最大值的函数最值问题 .【解】 1 由 a 3 a1

3、2d 12, 得到 a1 122 d ，所以 S1212 a1 66 d 12(12 2 d ) 66 d 144 42 d0，S13 13a1 78 d 13(12 2 d ) 78d 156 52 d 0.解得：243 .d72解法一：函数的思想Sn na1 n(n1)d1 dn2(125 d )n122222 dn1524d152422d22d因为 d0 ，故124n52d2最小时， Sn 最大 .由24d3得 6n15246.5 ，故正整数 n 6 时 n152472d2d解法二：方程的思想由 d0 可知 a1a2a3a13 .因此，假设在 1n12中存在自然数n ，使得 an 0，

4、an 1 0 ，2最小，所以S6 最大 .那么 Sn 就是 S1 ， S2 ， Sn 中的最大值S120a1 5dd0a602S130a7,a1 6d00故在 S1 、 S2 、 S12中 S6的值最大【点评 】 数列的通项公式及前n 项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析,即用函数方法来解决数列问题；也可以利用方程的思想，利用不等式关系，将问题进展算式化，从而简洁明快.由此可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，开展了学生思维品质的深刻性、独创性 .【例 1】在平面直角坐标系xoy中，如图，椭圆 x2y 21的左右顶点为 A,B ，右顶点为

5、 F，设过点 T95 t, m 的直线 TA,TB 与椭圆分别交于点M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 ) ，其中 m>0, y10, y201设动点 P 满足 PF 2PB 24,求点 P 的轨迹；2设 x11，求点 T 的坐标；2, x233设 t9 ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点其坐标与Am 无关 .OFB【解】 1由题意知F (2,0) ， A(3,0) ，设 P( x, y) ，那么( x2) 2y 2( x3) 2y 249化简整理得x.22把 x1 21， x23直线 AM : y1 ( x 3)代人椭圆方程分别求出M (2, 5) ， N(

6、1 , 20)33935直线 BN : y( x3)610、联立得T7,.（ 3 T (9,m) ，直线 TA : ym ( x3)，与椭圆联立得M (3(m 280),40)12m280m 280直线 TB : ym ( x3) ，与椭圆联立得N (3(m 220) ,m220)6m 220202040203(m220)直线 MN : ym280m220x,m2203(m280)3(m220)m220m280m220化简得 y20103(m220)20m240xm220m2令 y 0 ，解得 x1 ，即直线 MN 过 x 轴上定点 (1,0) .【点评 】 此题主要考察求简单曲线的方程，考察

7、直线与椭圆的方程等根底知识，考察运算求解能力和探究问题的能力 . 而且，此题在解决问题时，无论求点的坐标，还是求点P 的轨迹方程，都灵活运用了方程的思想，特别是在证明过程中更是很好地利用方程的有关知识，使问题画繁为简，华难为易.方法二数形结合的思想方法正确利用数形结合，应注意三个原那么：1等价性原那么数形信息的转换应该是等价的、充要的 . 要注意由于图形的直观性，往往可以成为严格推证的启导，但有时不能完整表现数的一般性，考虑问题可能不完备.2双向性原那么数形结合的含意是双向的，即考虑问题既注意代数问题几何化，也注意几何问题代数化，而不仅仅指前者.（ 3简单性原那么有了解题思路，思考用几何方法，

8、还是代数方法，还是两者兼而用之，要取决于解题的简单性原那么，而不能形而上学地让几何问题代数化，代数问题几何化成为一种机械模式.运用数形结合的思想方法解题的途径主要有三条:第一，以形助数：把一些数式的几何意义明朗化，构造出解题的几何模型，突显问题的直观性，使解题思路变得形像而通畅;第二，以数助形： 利用几何图形或图像图表中隐含的数式特征，构造出解题的代数模型( 必要时建立坐标系突显问题的本质，另辟解题的捷径;第三，数形互助：根据问题的需要，将以形助数和以数助形二方面结合运用.数形结合的应用是广泛的，数与形的结合点主要集中在以下几个方面：) ，1. 研究函数的性质 ( 单调性、奇偶性、周期性、对称

9、性、值域与最值等) ，可从函数图像的直观性得到鲜明的启示 .2. 利用数轴与坐标系 ( 包括直角坐标系、极坐标系 ) ，使数与点对应，使函数与图像、方程与曲线结合，使代数与几何联结 . 这样，可利用坐标或向量的运算，探索几何图形的相关性质；利用函数图像与方程曲线的直观性，探索函数或方程的性质.3. 从统计图表、图像中，收集分析出“数的信息，由破译的数量关系建立代数模型，探索相关的结论. 这类数形信息的转换能力是近年高考的新亮点.4.三角函数与单位圆、三角函数曲线的联系.5.复平面与复数、向量的沟通 .6. 利用类比法、换元法 ( 如三角换元 ) 、构造法、坐标法等构造代数问题的几何模型、几何问

10、题的代数模型，开辟解题的新思路 .【例 1】 12 年上海模拟假设函数 yf (x)( xR) 满足 f ( x2)f ( x) ，且 x 1,1时， f ( x) 1x2 ，lg( x 1),x1函数 g( x)1 ,x0，那么函数 h( x) f ( x)g ( x) 在区间 5,6内的零点个数为 _.x0,0x1【答案】 9h( x)f ( x) g( x) 的零点 , 可【解】由题意，直接求解会很麻烦，且不易得到正确的答案，所以该题中求以转化为求f ( x) 与 g ( x) 两函数图像的交点. 那么画出 f ( x) 与 g (x) 的图像 , 由于 f (x) 在 x 1,1上为

11、f ( x)1 x2,且为周期函数, 周期为 2, 而 g( x) 是分段函数 , 注意其图像共分为三局部,如图,可等共有 9个交点 , 其中有一个易错点, 即其中 1个交点为 (1,0)很容易被遗漏 .【点评】要求 h(x)f (x)h( x) 在区间 5,6内的零点的个数，可转化为求f (x) 与 h(x) 交点的个数，可以作出图形，观察图形易得交点的个数. 此题表达了数形结合的思想, 正是运用数形结合的思想方法解题的途径中的以形助数 .【例 2】函数 y=f(x)的图像为圆心在原点的两段圆弧，试解不等式f(x) f( x)十 x【解】 解法一：以数助形由题意及图像，有f (x)1x20x

12、1 ，1x 21x01当 0<x1时 ,f(x)>f(x)+x 得1x2> 1( x)2 +x, 解得 0<x< 25 ;52当 1x<0 时 , 得 1x2>1(x) 2+x,解得 1x< 2 5,5 原不等式的解集为1, 25)(0,25).55解法二：数形互助由图象知 f(x)为奇函数 ， 原不等式为f(x)> x ， 而方程 f(x)=x 的解为 x=± 2 5 ，据图像可知原不等225式解集为 1, 25)(0,25).55【点评 】 此题以形看数解式，奇偶性，以数解形曲线交点A、 B，最后以形解数不等式 ，这才是真正意

13、义上的数形结合，扬长避短方法三分类讨论的思想方法1. 通常引起分类讨论的原因，大致可归纳为如下几点：(1) 涉及的数学概念是分类定义的；(2) 涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法那么是分类给出的；(3) 涉及题中所给的限制条件或研究对像的性质而引起的；(4) 涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的；(5) 涉及的几何图形的形状、位置的变化而引起的；(6) 一些较复杂或非常规的数学问题，需要采用分类讨论的解题策略解决的.2. 分类讨论的步骤一般可分为以下几步：(1) 确定讨论的对像及其范围；(2) 确定分类讨论的标准，正确进展分类；(3) 逐类讨论，分级进展；(4) 归纳整合，作

14、出结论 .其中最重要的一条是“不漏不重. 学生必须对相关知识点或涉及的概念、定义、定理相当清楚，对于一些结论成立的条件掌握结实，这样才能在解题时思路清晰，才能知道何时必须进展分类讨论，而何时无须讨论，从而可以知道怎样进展分类讨论.【例 1】12 年上海二模点 Q ( x, y) 是函数 yx 21 图像上的任意一点，点P(0,5) ，那么 P 、 Q 两点之间2距离的最小值是 _.【答案 】11【解】 当 x21 0 时， y 1x2x2( y 5)2( y 6)29 ., PQ222y 63 时，即 y 9 或 y3， PQ 取最小值0，但 x222y 都为负数，不成立；222当 x1 0时

15、， yxx2( y5)2( y4)211.当 y 4时， PQ 取最小值为 11 综上1， PQ22所述， P 、 Q 两点之间距离的最小值为11 【点评 】由于题中给出的是绝对值函数，需要利用分类讨论的思想去掉绝对值，然后再求解 . 表达了数学概念是分类定义的而引起的分类讨论.【例 2】设等比数列 an 的公比为 q ，前 n 项和 Sn0(n1,2,3,) ，求 q 的取值范围 .【分析 】在应用等比数列前 n 项和的公式时，由于公式的要求，分q 1 和 q 1 两种情况 .【解】 an 是等比数列，且前 n 项和 Sn 0( n1,2,3,) ，a1S1 0 ，且 q0当 q 1 时，

16、Sn na10 ；当 q1时， Sna1 (1qn )0 ，即 1 qn0(n1,2,3,) .1q1q上式等价于1qn0或1qn0 ,1q01q0由得 q1, 由得1q1,q 的取值范围为1,00,.【点评 】此题正是分类讨论中运算的数学定义、公式或运算性质、法那么是分类给出的表达.【例 4】实数 a0, 函数 fx2xa, x1,1af1 a , 那么 a 的值为 _.x2a, x假设 f1.【答案 】34【解】首先讨论1 a ， 1a 与 1 的关系 .当 a0时， 1a1，1a1，所以 f1a1a2a1a ；f 1a2(1a)a3a2 .因为 f1af 1a ，所以1a3a2 ，所以

17、a3；4当 a0时， 1a1， 1a1，所以 f1a2 1aa2a ；f 1a(1a)2a3a1.因为 f1af 1a ，所以2a3a1 ，所以 a3舍去 .23综上，满足条件的a.4【点评 】此题的解题关键在于讨论1a ， 1a 与 1 的关系，正是表达了数学问题中参变量的不同取值导致不同结果而引起的分类讨论.方法四概括归纳的思想方法概括是在思维中将同一种类型的对像共同的本质属性集中起来，结合为一般类型的属性. 归纳是一种逻辑型的思维形状， 是从几个特殊情形做出一般结论的不完全的属性. 一类是性质和法那么的归纳，如数列的根本性质，对数运算的法那么的归纳过程；另一类是解题方法的归纳，如向量在物

18、理中的应用等；第三类是归纳猜测，如由表格所给数据归纳几个连续奇数的和等.【例 2】在数列 an 中，1 =13 ，且前 n 项的算术平均数等于第n 项的 2 n -1 倍 n N*a（ 1写出此数列的前 5 项；（ 2归纳猜测 an 的通项公式，并用数学归纳法证明【分析 】 1利用数列 an 前 n 项的算术平均数等于第n 项的2n-1倍，推出关系式，通过n=2， ，53 4求出此数列的前5 项；2通过 1归纳出数列 an 的通项公式，然后用数学归纳法证明第一步验证n =1 成立；第二步，假设n = k 猜测成立，然后证明n = k1 时猜测也成立 .【解 】 1 由a1 =1， a1a2a3

19、an= 2 n -1 an ，分别取 n =2 ， 3 ， 4 ， 5 ，得3na21 a111 ， a31 a1a211 ，53515145735a41 a1a2 a3711 ， a51 a1a2a3a4911 ，27963441199所以数列的前5 项是： a11a21a31a41a51.3，991535632由 1中的分析可以猜测an1 n N*(2n1)(2n1)下面用数学归纳法证明：当 n =1 时，猜测显然成立 .假设当 n = k k 1 且 k N*时猜测成立，即ak1(2 k 1)(2 k1)那么由，得a1a2a31akak1(2k1)ak1 ，k即 a1a2a3ak(2 k

20、 23k)ak1 所以 (2 k2k )ak(2k 23k)ak1 ，即 (2 k1)ak(2 k3)ak1 ，又由归纳假设，得(2k1)1(2k3)ak 1 ，(2 k1)(2k1)所以 ak 11，即当 nk1时，猜测也成立 .(2 k1)(2k3)综上和知，对一切n N*，都有 an1成立(2 n 1)(2n 1)【点评 】 此题考察数列的项的求法，通项公式的猜测与数学归纳法证明方法的应用，注意证明中必须用上假设，考察计算能力，分析问题解决问题的能力正是表达了概括归纳的思想方法.方法五化归与等价变换的思想方法在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，需将原问题转化成一个新问题相对

21、来说，对自己较熟悉的，通过对新问题的求解，到达解决原问题的目的. 这一思想方法我们称之为“转换化归思想. 而转换化归思想的根本原那么就是：化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为.1. 利用转换化归思想解决数学问题时必须明确三个问题：1把什么东西进展转换化归，即化归对像；2化归转换到何处，即化归转换的目的；3如何进展转换化归，即转换化归的方法.2. 化归与转化常遵循以下几个原那么.1目标简单化原那么：将复杂的问题向简单的问题转化；2和谐统一性原那么：即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、 形关系上趋于统一的方向进展，使问题的条件和结论更均匀和恰当；（ 3熟悉化原那么：将陌生的问题转

22、化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经历和问题来解决；（ 4直观化原那么：将比拟抽象的问题转化为比拟直观的问题来解决；（ 5正难那么反原那么：即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解3转化与化归常用到的方法（ 1直接转化法：把问题直接转化为根本定理、根本公式或根本图形问题（ 2换元法：运用“换元把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的根本问题（ 3数形结合法：研究原问题中数量关系解式与空间形式图形关系，通过互相变换获得转化途径（ 4构造法：“构造一个适宜的数学模型，把问题变为易于解决的问题（ 5坐标法：以

23、坐标系为工具，用计算方法解决几何问题，是转化方法的一个重要途径（ 6类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化途径（ 7特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题（ 8等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，到达转化目的9加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比方在证明不等式时：原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使之成为原命题的充分条件，从而易证10补集法：如果下面解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，而包含该问题的整体问题的结果类

24、比为全集U，通过解决全集U 及补集使原问题得以解决.化归与等价变换的思想方法所涉及到的具体问题很多很多，如果不断努力地用这种方法去解决一些数学问题或数学范畴以外的问题时，往往会出现事半功倍的奇特效果.【例 1】设 x 、 y R 且 3x22y26x ，求 x2y2 的范围 .【解】方法一：等价转化法 ( 转化为函数问题 )由 6x2 y23x2 0 得 0 x 2.设 kx2y2 ，那么 y2k x2 ，代入等式得：x26x 2k 0 ，即 k1 x2 3x ，其对称轴为 x =3.2由 0 x 2 得 k 0,4.所以 x2y2的范围是： 0 x2y2 4.方法二：数形结合法转化为解几何问

25、题：由 3x22 y22y2. x2y21 ，即表示如下图椭圆，其一个顶点在坐标原点6x 得 x 1的范围就是32椭圆上的点到坐标原点的距离的平方. 由图可知最小值是0, 距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点.设圆方程为 x2y2k ，代入椭圆中消y 得 x26x 2k0 . 由判别式36 8k0 得 k 4 , 所以 x2y2 的范围是： 0x2y24 .方法三：三角换元法，对式和待求式都可以进展三角换元转化为三角问题：由 3x22 y22y2x1cos6x 得 x 11 ，设6 sin，那么y322x2y212coscos23sin2132cos1cos21 cos252222c

26、os0,422所以 x2y2 的范围是： 0x2y24 .【点评 】此题运用多种方法进展解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力 . 而且各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型, 正是表达了熟悉化原那么，将不熟悉的知识转化为自己熟悉的知识.【例 2】设等比数列an的公比为q，前 n 项和为 Sn，假设 Sn+1、 Sn、 Sn+2 成等差数列，那么q=_.【答案 】 -2【解】 S2a1 a1q ， S1a1 ， S3 a1a1q a1q2 S2S32S1 2a12a1q a1q 22a1 (a1 0) q2 或 q 0 舍去 .【点评 】

27、 由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q 的值 . 如： S2 , S1, S3 成等差，求 q 的值 . 这样就避免了一般性的复杂运算. 既表达简单化原那么，也是特殊化方法的使用，正是转化与化归的思想方法的典型表达。【例 4】对于满足 p 2的所有实数 p ，求使不等式 xpx12 xp 恒成立的 x 取值范围 .【解】原不等式化为 ( x1) p (x 1) 20 ，令 f ( p)( x1) p(x1) 2 ，它是关于 p 的一次函数，定f ( 2)( x1)( x3) 0义域为 2,2 。由依次函数的单调性知(x1)( x1)0f (2)解得： x1 或 x3【点评 】 此题正是利

28、用主元与参变量的关系，视参变量为主元即变量与主元的角色换位, 简化问题在求解，正是转化与化归思想的典型表达.人生中每一次对自己心灵的释惑，都是一种修行，都是一种成长。相信生命中的每一次磨砺，都会让自己的人生折射出异常的光辉，都会让自己的身心焕发出不一样的香味。我们常常用人生中的一些痛，换得人生的一份成熟与成长，用一些不可防止的遗憾，换取生命的一份美丽。在大风大雨，大风大浪，大悲大喜之后，沉淀出一份人生的淡然与淡泊，静好与安宁，深邃与宽厚，慈悲与欣然生活里的每个人，都是我们的一面镜子，你给别人什么，别人就会回待你什么。当你为一件事情不悦的时候，应该想想你给过人家怎样负面的情绪。世界上的幸福，没有一处不是来自用心经营和珍惜。当你一味的去挑剔指责别人的时候，有没有反思过自己是否做得尽善尽美呢？假设你的心太过自我，不懂得经营和蔼待，不懂得尊重他人的感受，那么你永远也不会获得真正的爱和幸福人生就像一场旅行，我们所