蝴蝶定理的推广极其猜想数学毕业论文

1、 本科毕业论文题 目: 蝴蝶定理的推广及其猜想 院 系： 数学与信息科学学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 程 琼 学 号： 指导教师： 赵远英 教师职称： 讲师 填写日期： 2015年 9月 20 日摘 要数学的一门分支是混沌论。混沌论中有一个非常著名的定理蝴蝶定理。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂

2、亮的结果。关键词：蝴蝶定理；研究；衍变；AbstractOne of branches of Mathematics is Choas Theory.And there is a theorem which called Butterfly Theorem is famous.There are all  kinds of methods to prove it and it is still researched by people who loves maths so much. Different forms appear in the exam. The Butterfly

3、Theorem contains beautiful imagination and profound turth, and we have gained many achievements about it since tow hundred years ago.And they are all attractive. By now, more than 60 methodsare used to prove the Butterfly Theorem, the primary methods includes Synthsis method、Area method、Triangle met

4、hod 、Analysis and so on. As the Butterfly theorem changes  and popularizes, we can get more than we think. Key Word: Butterfly theorem, Discuss, Evolve目 录摘 要IAbstractII第一章 前言1第二章 蝴蝶定理概述2第一节 蝴蝶定理的发展2一、蝴蝶定理的产生2二、蝴蝶定理的内容2三、蝴蝶定理的发展3第三章 蝴蝶定理的证明4第一节 运用简单几何知识的巧妙证明4一、带有辅助线的常见蝴蝶定理证明4二、不使用辅助线的证

5、明方法6第二节 运用解析几何的知识证明8一、函数图像法8二、函数解析法9第四章 蝴蝶定理的推广与猜想9第一节 蝴蝶定理的推广9一、椭圆定理11二、曲线推广13第二节 蝴蝶定理的猜想14一、猜想一14二、猜想二14三、猜想三15四、结论16第五章 结束语17致谢18参考文献19第一章 前言蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在美国数学月刊1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。这个命题最早作为一个征解问题出现

6、在公元1815年英国的一本杂志男士日记（Gentleman's Diary）39-40页上。登出的当年,英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳（他发明了多项式方程近似根的霍纳法）给出了第一个证明，完全是初等的；另一个证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出。另外一种早期的证明由M.布兰德（Miles Bland）在几何问题（1827年）一书中给出。最为简洁的证法是射影几何的证法，由英国的J·开世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"（中译：近世几何

7、学初编，李俨译，上海商务印书馆 1956 ）给出，只有一句话，用的是线束的交比。1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用解析几何的一种比较简单的方法（利用直线束，二次曲线束）。关于蝴蝶定理的证明，出现过许多优美奇特的解法，并且知道现在还有很大的研究价值。其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它使用的是面积证法。1985年，在河南省数学教师创刊号上，杜锡录老师以平面几何中的名题及其妙解为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开在20世

8、纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在几何证题法中有构思奇巧的证明。如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M点不再是中点，能得到坎迪定理、若M、N点是AB的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。第二章 蝴蝶定理概述数学的一门分支是混沌论。混沌论中有一个非常著名的定理蝴蝶定理。它是说，一些最轻微的因素，能够在复杂的环境中，引起滔天的巨浪，就好比地球南半球一只蝴蝶轻轻地扇动美丽的翅膀，那微小的气流，已足已引起北半球的飓风和海啸。他的产生和发展对数学界来说，

9、美丽而又洵美。第一节：蝴蝶定理的发展对美的向往，是人类的共同追求，对美的热爱，总能够激起人类的内心需求，蝴蝶定理，把平面的图形中最完美的图形圆和大自然生命中的精灵蝴蝶和谐地统一在一起，使大家恍惚置身于美丽的田园、清澈的山水之间，身心得到预约的享受。一、蝴蝶定理的产生蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志男士日记上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名。二、蝴蝶定理的内容定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。如图,过圆中弦AB的中点作M引任意两弦CD和EF,连结CF和ED,分别交AB于P

10、、Q，则PMQM 由于此图形似只蝴蝶飞舞，故此定理因此而得名：蝴蝶定理。此定理早在1815年在英国杂志男士日记上见刊，征求证明，有意思的是，迟到1972年以前，人们的证明都并非初等，且十分繁琐。然近些年来，证明者不乏其人，使得这只翩翩起舞的蝴蝶栖止不定，变化多端。三、蝴蝶定理的发展在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。1969年，查克里恩从订立的定理考虑，给出蝴蝶定理的逆定理：任何具有蝴蝶性质的凸闭曲线必定是椭圆。1985年，在河南省数学教师创刊号上，杜锡录同志以平面几何中的名题及其妙解为题，载文

11、向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。接着，中国科学院成都分院的杨路教授在论文中指出：将蝴蝶定理的弦AB的中点M推广到弦AB上任一点，有蝴蝶定理的坎迪形式。同年，我国数学教育者马明在论文中指出，将蝴蝶定理弦AB上的M点，拓广到弦AB外，蝴蝶定理仍然有成立之处。接下来，蝴蝶定理的研究出现了一个高潮，人们发现，不仅仅是圆，任何二次曲线中蝴蝶定理都有适用的形式，例如，椭圆中的蝴蝶定理。1990年，出现了筝形蝴蝶定理，并发现，蝴蝶定理在退化的二次曲线中仍然适用。关于蝴蝶定理的证明，仅在初等几何的范围内，就有多达50多种证法，譬如综合法、面积法、三角法、解析法、相似法、向量法、全等三角形法

12、等等。第三章 蝴蝶定理的证明第一节：运用简单几何知识的巧妙证明蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。一、带有辅助线的常见蝴蝶定理证明在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1：如图1（证POMQOM）      作CF、DE的弦心距OG、OH，连OM，则OMAB且OGPM四点共圆。    POMPGM。同理，QOMQHM    MFCMDE，MFFCMDDE  &#

13、160; MF2FGMD2DH，MFFGMDDH FD    MFGMDH，MGFMHD 由得：POMQOM  PMQM证法2：如图2（作PMDQMD） 作C关于直线OM的对称点C连CM交O于D，则AC弧BC弧，MDMD，   PMDQMD CPM0.5AF弧0.5BCC弧0.5AF弧0.5AC弧0.5CC弧0.5FCC弧FDM   从而PFDM四点共圆。PDMPFMD在PDM与QDM中 PDMD  MDMD PMDQMDPMDQMDPMQM证法3 如图4，设直线与交于点。对及截线，及截线分别应用梅涅劳斯

14、定理，有 ，由上述两式相乘，并注意到 得 化简上式后得。2二、不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。证法4：如图3（梅氏定理证法） 延长CF、ED相交于G点。   直线CD截三角形GPQ三边于C、M、D三点 ××=1(1) 直线EF 截GPQ三遍与PME三点 ××=1(2)GFGC=GDGE.CPFP=APBP.QEQD=BQAQ(3)(3)代入（1）×（2）得=1，设MB=MA=a化简得MP=MQ 证法 5 （如图5） 令，以点为视点，对和分别应用张角定理，有上述两式相减，得设分别为的中点，由，

15、有于是 ，而，知，故。第二节：运用解析几何的知识证明在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。一、函数图像法图象法的优点： 能直观形象的表示出函数的变化情况。证法 6 如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为。直线的方程为，直线的方程为。由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为令，知点和点的横坐标满足二次方程，由于的系数为，则两根和之和为，即，故。5二、函数解析法解析法的优点：1.函数关系清楚; 2.容易从自变量的值求出其对应的函数值； 3.便于研究函数的性质。证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的

16、方程可写为直线、的方程可写为,。又设的坐标为，则分别是二次方程的一根。在轴上的截距为同理，在轴上的截距为。注意到是方程的两根，是方程的两根，所以，从而易得 ，即。4证法 8 如图8，以为极点，为极轴建立极坐标系。因三点共线，令，则 作于，作于。注意到 由与可得 将代入可得，即。第四章 蝴蝶定理的推广和猜想第一节：蝴蝶定理的推广一、椭圆定理如图，已知椭圆的长轴与轴平行，短轴在轴上，中心（）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；（）设直线与椭圆交于，（），直线与椭圆次于，（）求证：；（）对于（）中的在，设交轴于点，交轴于点，求证：（证明过程不考虑或垂直于轴的情形）618本小主要考查直线、椭圆和双曲线

17、等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分. （）解：椭圆方程为 焦点坐标为， 离心率（）证明：证明：将直线CD的方程代入椭圆方程，得 整理得： 根据韦达定理，得： ， 所以 将直线GH的方程代入椭圆方程，同理可得 由 、得 = 所以结论成立（）证明：设点P，点Q 由C、P、H共线，得 解得 由D、Q、G共线， 同理可得 由 = 变形得 = 所以 即 2二、曲线推广通过射影几何，我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线，甚至退化到两条相交直线的情况）。圆锥曲线C上弦PQ的中点为M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为X

18、Y之中点。而通过投影变换可以非常容易证明这个定理。射影几何里面关于投影变换有一个重要结论，对于平面上任意两个圆锥曲线C1,C2.任意指定C1内部一个点A1和C1上面一个点B1,另外任意指定C2内部一个点A2和C2上面一个点B2,存在一个唯一投影变换将曲线C1变换到C2而且A1变换到A2,B1变换到B2.由此对于本题，我们可以通过投影变换将C1变换成一个圆M，而将弦PQ的中点M变换成这个圆的圆心。在此变换以后，弦AB和CD都是圆M的直径而且四边形ACBD是圆M内接矩形，PQ也是一条直径，有对称性显然得出投影变换后M为X,Y的中点。又因为变换前后M都是线段PQ的中点，我们可以得出在直线PQ上这个变

19、换是仿射变换，所以变换前M也是XY的中点。3第二节：蝴蝶定理的猜想一、猜想1在蝴蝶定理中, 显然 OM是 AB的垂线 (O是圆心) , 那么, 我们可以猜想,如果在保持 OM AB的前提下将圆 O的弦 AB移至圆外, 仍可能会有 PM =QM .推论1 已知直线 AB与 O相离. OM AB, M 为垂足. 过 M作 O任意两条割线 MC, M E分别交 O于 C, D和 E, F. 连结DE,FC并延长分别交 AB 于 P, Q. 求证: PM = QM.证明：过 F作 FKAB, 交直线 OM于 N,交 O于 K .连结 M K交 O于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON FK,故有

20、FN = KN,从而M F =M K(因为M在 FK的垂直平分线上) .又由割线定理知M E·M F = MG·M K .因此 M E = MG. 又由 FMN = KMN, OM AB,知EM P = GMQ. 从 CQM = CFK = CGK知 CGM +CQM= 180° , 从而 G,M, Q, C四点共圆. 所以 MGQ =MCQ.又由于 M EP = DEF = DCF = MCQ, 知M EP = MGQ. 由 、 、 知 PM E QMG.所以 PM = QM. 3二、猜想2猜想：既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那

21、么, 我们可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线 (也即是两条平行线) , 仍可能会有 PM = QM .推论 2 设点 A、 B分别在两条平行线 l 1、 l 2上,过AB的中点M任意作两条直线 CD和 EF分别交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 连结 ED、 CF交 AB于 P、 Q. 求证: PM =QM.证明：由于 l 1 l 2 ,M 平分AB, 从而利用 MACMBD知M平分 CD, 利用 MAEMBF知 M平分 EF.在四边形 CEDF中, 由对角线相互平分知 CEDF是平行四边形,从而 DE CF. 又由于 M平分 EF,故利用 M EP M FQ知 P

22、M = QM。3三、猜想3 在蝴蝶定理中, P、 Q分别是 ED、 CF和AB的交点. 如果 P、 Q分别是 CE、 DF和AB延长线的交点,我们猜想可能会有PM = QM推论 1过圆的弦 AB的中点M引任意两条弦 CD与 EF, 连结 CE、 DF并延长交 AB的延长线于 P、 Q. 求证: PM = QM.证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;PM E = QM F =,PCM = DFM = ;CM E = DM F =,QDM = CEM = ;记 PM E, QM F,PMC, QMD的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4.则由恒等式S2·

23、S3·S4·S1= 1知M P·M Esin MQ·M Fsin · FQ·FM sin ( - )CP·CM sin ··MCsin (+)·MD sin (+)· DQ·DM sin EP·EM sin ( - )=·DQ·M P2·EP·MQ2 = 1,即 QF·QD·M P2= PC·PE·MQ2. 又由割线定理知PC·PE = PA·PB = ( x - a

24、) ( x + a) = x2- a2,QF·QD = QB·QA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入 式, 得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.由于 a 0, x, y > 0,所以 x = y .即 PM = QM.5四、结论从本质上说，蝴蝶定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，它具有多种形式的推广：1. M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。2 .圆可以改为任意二次曲线。3. 将圆变为一个完全四角形，M为对角线交点。4. 去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，这对2，3均成立正是由于它证法的多样性，蝴蝶定理至今仍然被数学热爱者研究，时有出现各种变形的题目，不仅仅是在竞赛中，甚至出现在2003年的北京高考题中。但只要思想得当，证明出来也是比较自然的事。第五章 结束语 数学名题总能因其数学美而激发研究者、学习者的兴趣，就如蝴蝶定理，蝴蝶定理这一古老的命题，已经繁衍出了一系列结论，成为一个庞大的蝴蝶家族，蝴蝶定理把平面图形中的圆与蝴蝶和谐统一在一起，蝴蝶定理的这一演变推广不仅发展了蝴蝶定理在一