21新亮剑数学第5章（新高考）

1、第1节平面向量的概念及线性运算对应学生书自学听讲P101课标要求考向分析1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.4.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义平面向量的线性运算及其几何意义是高考的重点,主要以三角形或四边形为载体,考查向量的有关概念及其简单运算一、向量的有关概念1.向量:既有大小,又有方向的量.向量的大小叫作向量

2、的模. 2.零向量:长度为0的向量.其方向是任意的. 3.单位向量:长度等于1个单位的向量. 4.平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量,规定:0与任一向量共线. 5.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 6.相反向量:长度相等且方向相反的向量. 二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)(续表)向量运算定义法则(或几何意义)运算律减法求a与b的相反向量-b的和的运算a-b=a+(-b)数乘求实数与向量a的积的运算|a|=

3、|a|,当>0时,a与a的方向相同;当<0时,a与a的方向相反;当=0时,a=0 (a)=()a;(+)a=a+a;(a+b)=a+b三、向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数,使得b=a.1.若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则OP=12(OA+OB).2.若点A,B,C共线,OA=OB+OC(,为实数),则+=1.3.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量,即A1A2+A2A3+A3A4+An-1An=A1An,特别地,对于一个封闭图形,首尾连接而成的向量和为零向量.4.与非零向量a共线的单位向量

4、为±a|a|.【概念辨析】判断下列结论的正误.(对的打“”,错的打“×”)(1)单位向量只与模有关,与方向无关.()(2)零向量的模等于0,没有方向.()(3)若两个向量共线,则其方向必定相同.()(4)若|a|=|b|,则ab.()(5)AB+BA=0.()答案(1)(2)×(3)×(4)×(5)解析(1)正确.由定义知模为1的向量叫作单位向量,与方向无关.(2)错误.零向量的方向是任意的.(3)错误.共线向量的方向可能相同,也可能相反,若其中有零向量,则两向量的方向不确定.(4)错误.两向量的模相等,但两向量的方向不确定.(5)正确. AB

5、+BA=AB-AB=0.【基础自测】1.已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是().A.a+b=0B.a=bC.a与b共线反向D.存在正实数,使a=b答案D解析因为a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,所以a与b共线同向,故D项正确.2.(山东省聊城市2020届高三三模)在正方形ABCD中,E为DC的中点,若AE=AB+AC,则+的值为().A.-12B.12C.-1D.1答案B解析由题意得AE=12AD+12AC=12BC+12AC=12AC-12AB+12AC=-12AB+AC,=-12,=1,+=12.故选B.3.在四边形ABCD中,AB

6、=DC,且|AB|=|BC|,则四边形ABCD为().A.平行四边形B.菱形C.长方形D.正方形答案B解析因为AB=DC,所以四边形ABCD为平行四边形.又|AB|=|BC|,所以四边形ABCD为菱形,故选B.4.设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=. 答案12解析向量a,b不平行,a+2b0,又向量a+b与a+2b平行,则存在唯一的实数,使a+b=(a+2b)成立,即a+b=a+2b,则=,1=2,解得=12.【易错检测】5.给出下列说法:若两个单位向量的起点相同,则终点也相同;若a与b同向,且|a|>|b|,则a>b;0·a=0.其中错误说

7、法的序号是. 答案解析对于,单位向量只是长度为1,起点相同,终点不一定相同;对于,向量不可以比较大小;对于,0·a=0.因此正确.6.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+b与-(b-3a)共线,则的值为. 答案-13解析因为a+b与-(b-3a)共线,所以存在实数,使a+b=(3a-b),即1=3,=-,所以=13,=-13.对应学生书自学听讲P102平面向量的有关概念(1)给出下列命题:若|a|=|b|,则a=b;若A,B,C,D是不共线的四点,则AB=DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;若a=b,b=c,则a=c;a=b的充要条件是|a|=|b|且a

8、b.其中正确命题的序号是().A.B.C.D.(2)给出下列命题:两个具有公共终点的向量一定是共线向量;两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;若a=0(为实数),则必为零;若a=b,为实数,则a与b共线.其中错误命题的个数为().A.1B.2C.3D.4答案(1)A(2)C解析(1)不正确.两个向量的长度相等,但其方向不一定相同.正确.因为AB=DC,所以|AB|=|DC|且ABDC.又A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则ABDC且|AB|=|DC|,因此AB=DC.正确.向量相等具有传递性.不正确.当ab且方向相反时,即使

9、|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且ab不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件.综上所述,正确命题的序号是.故选A.(2)错误.两向量共线要看其方向而不是起点或终点.正确.因为向量既有大小,又有方向,所以向量不能比较大小,但向量的模均为实数,故向量的模可以比较大小.错误.当a=0时,不论为何值,a=0.错误.当=0时,a=b=0,此时,a与b可以是任意向量.故选C.有关平面向量概念的注意点:(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即平行向量,它们均与起点无关.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.(4)非零向量a与a|a|的关系:a|

10、a|是与a同方向的单位向量,-a|a|是与a反方向的单位向量.(5)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小.(6)两平行向量所在的直线平行或重合.【针对训练1】在下列选项中,“ab”的充分不必要条件是().A.a,b都是单位向量B.|a|=|b|C.|a+b|=|a|-|b|D.存在不全为零的实数,使a+b=0答案C解析对于A,a,b都是单位向量,但方向可能既不相同,又不相反,故A错误.对于B,|a|=|b|,但方向不确定,故B错误.对于C,|a+b|=|a|-|b|,若a,b都是非零向量,则a,b反向共线,且|a|>|b|;若a,b中恰有一个零向量,则a0

11、,b=0;若a=b=0,则a,b也符合|a+b|=|a|-|b|.所以“|a+b|=|a|-|b|”“ab”,而“ab” /“|a+b|=|a|-|b|”,故C正确.对于D,“存在不全为零的实数,使a+b=0”“ab”.平面向量的线性运算考向1:向量的线性运算已知三角形ABC是等边三角形,D为AB的中点,点E满足2CE+BE=0,则AE=().A.23AB-23CDB.23AB+23CDC.23AB-13CDD.13AB+23CD答案A解析由2CE+BE=0知CE=13CB(如图所示),作EFCD交AB于点F,在BDC中,EFCD=BEBC=23,DFDB=CECB=13,由向量加法的三角形法

12、则知AE=AF+FE=23AB+23DC=23AB-23CD.考向2:利用向量线性运算求参数设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=1AB+2AC(1,2为实数),则1+2的值为. 答案12解析DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(AC-AB)=-16AB+23AC.因为DE=1AB+2AC,所以1=-16,2=23,故1+2=12.平面向量的线性运算技巧:(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向

13、量表示出来求解.【针对训练2】1.(2020届运城模拟)在平行四边形ABCD中,点E为CD的中点,BE与AC的交点为F,设AB=a,AD=b,则向量BF=().A.13a+23bB.-13a-23bC.-13a+23bD.13a-23b答案C解析由题意得BFEF=ABEC=2,所以BF=23BE=23(BC+CE)=23b-12a=-13a+23b,故选C.2.(2020届深圳模拟)如图所示,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若AC=AM+BD,则+=().A.43B.53C.158D.2答案B解析因为AC=AM+BD=(AB+BM)+(BA+AD)=AB+12AD+(-AB+AD)=(-)

14、AB+12+AD,且AC=AB+AD,所以-=1,12+=1,解得=43,=13,所以+=53,故选B.平面向量共线定理及应用设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证:A,B,D三点共线.(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.分析(1)证明向量BD与AB共线即可得证;(2)利用共线向量的条件建立方程组求解.解析(1)AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB,AB与BD共线.又它们有公共点B,A,B,D三点共线.(2)假设ka+b与a+k

15、b共线,则存在实数,使ka+b=(a+kb),即(k-)a=(k-1)b.又a,b是两个不共线的非零向量,k-=k-1=0,消去,得k2-1=0,k=1或k=-1.将例(1)中“CD=3(a-b)”改为“CD=a+mb”,则m为何值时,A,B,D三点共线?解析BD=BC+CD=2a+8b+a+mb=3a+(8+m)b.若A,B,D三点共线,则存在实数,使BD=AB,即3a+(8+m)b=(a+b).=3,8+m=,解得m=-5.平面向量共线定理的应用: (1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意只有当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.(2)向量a,b共线是指存在不全为零的实数1

16、,2,使1a+2b=0成立.若1a+2b=0,当且仅当1=2=0时成立,则向量a,b不共线.【针对训练3】1.(2020届贵州适应性考试)已知向量e1与e2不共线,且向量AB=e1+me2,AC=ne1+e2,若A,B,C三点共线,则实数m,n满足的条件是().A.mn=1B.mn=-1C.m+n=1D.m+n=-1答案A解析因为A,B,C三点共线,所以一定存在一个确定的实数,使得AB=AC,所以有e1+me2=ne1+e2,由此可得1=n,m=,所以mn=1.2.(安徽省2020届高三上学期第一次素质测试)如图,在平行四边形ABCD中,M,N 分别为AB,AD上的点,且AM=45AB,连接

17、AC,MN 交于点P,若AP=411AC,则点N的位置为().A.AD中点B.AD上靠近点D的三等分点C.AD上靠近点D的四等分点D.AD上靠近点D的五等分点答案B解析设AD=AN,因为AP=411AC=411AB+AD=41154AM+AN=511AM+411AN,又M,N,P三点共线,所以511+411=1,解得=32,所以AN=23AD,所以点N为AD上靠近点D的三等分点.直观想象数形结合思想的应用在ABC中,BAC=60°,BAC的角平分线交BC于点D.若AB=4,且AD=14AC+AB(R),则AD的长为().A.23B.33C.43D.53答案B解析因为B,D,C三点共线

18、,且AD=14AC+AB,所以14+=1,解得=34.如图,过点D分别作AC,AB的平行线交AB,AC于点M,N,则四边形AMDN是平行四边形,且AN=14AC,AM=34AB.因为AB=4,所以AM=3.又AD平分BAC,所以平行四边形AMDN是菱形,所以AN=AM=3,所以由余弦定理得AD=33,故选B.【突破训练】1.如图,在ABC中,AN=13AC,P是BN上的一点,若AP=mAB+211AC,则实数m的值为().A.911B.511C.311D.211答案B解析因为N,P,B三点共线,AP=mAB+211AC=mAB+611AN,所以m+611=1,所以m=511.2.(2020届安

19、徽安庆模拟)在ABC中,点D是边BC上任意一点,M是线段AD的中点,若存在实数和,使得BM=AB+AC,则+=().A.12B.-12C.2D.-2答案B解析如图,因为点D在边BC上,所以存在tR,使得BD=tBC=t(AC-AB).因为M是线段AD的中点,所以BM=12(BA+BD)=12(-AB+tAC-tAB)=-12(t+1)AB+12tAC.又BM=AB+AC,所以=-12(t+1),=12t,所以+=-12.故选B.(2018年全国卷)在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB=().A.34AB-14ACB.14AB-34ACC.34AB+14ACD.14AB+34

20、AC答案A解析EB=ED+DB=12AD+12CB=14AB+AC+12AB-AC=34AB-14AC.对应高效训练P45基础打磨1.已知向量a,b不共线,AB=a+3b,BC=5a+3b,CD=-3a+3b,则().A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线答案B解析BD=BC+CD=2a+6b=2AB,BD与AB共线.BD与AB有公共点B,A,B,D三点共线.2.(本题为多项选择题)下列关于平面向量的说法中,不正确的是().A.已知a,b均为非零向量,则“ab”的充要条件是“存在唯一的实数,使得b=a”B.若向量AB,CD共线,则点A,B,C,

21、D必在同一直线上C.若a·c=b·c且c0,则a=bD.若点G为ABC的重心,则GA+GB+GC=0答案BC解析对于选项A,由平面向量平行的推论可知其正确;对于选项B,向量AB,CD共线,只需两向量方向相同或相反即可,点A,B,C,D不一定在同一直线上,故B错误;对于选项C,a·c=b·c(a-b)·c=0,则可能(a-b)c,不一定推出a=b,故C错误;对于选项D,由平面向量中三角形重心的推论可知其正确.故选BC.3.(2020届山西太原模拟)在ABC中,AN=14NC,P是直线BN上一点,若AP=mAB+25AC,则实数m的值为().A.-

22、4B.-1C.1D.4答案B解析AN=14NC,AC=5AN.又AP=mAB+25AC,AP=mAB+2AN.由B,P,N三点共线可知m+2=1,m=-1.4.(2020届湖南省娄底市高三上学期期末)已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O,E为平面内一点,且AE=13EC,若BE=xBA+yBD(x,yR),则x+y=().A.1B.-12C.34D.14答案C解析由AE=13EC知E为AO的中点,所以BE=BA+12AO=BA+12AB+12BD=12BA+14BD,故x=12,y=14,x+y=34.5.(2020届枣庄模拟)设D为ABC所在平面内一点,AD=-13AB+43AC,若BC

23、=DC(R),则=().A.2B.3C.-2D.-3答案D解析由BC=DC可知AC-AB=(AC-AD),AD=1-1AC+1AB,又AD=-13AB+43AC,1=-13,1-1=43,解得=-3.6.(本题为多项选择题)如图,在ABC中,点D在边BC上,且CD=2DB,点E在边AD上,且AD=3AE,则().A.CE=29AB+89ACB.CE=29AB-89ACC.CE=13AD+ACD.CE=13AD-AC答案BD解析CE=CA+AE,AE=13AD,AD=AB+BD,BD=13BC,BC=BA+AC,CE=13AD-AC,BD=13(BA+AC),AD=AB+BD=AB+13BA+1

24、3AC,AE=13AB+13BA+13AC,CE=CA+13AB+19BA+19AC=13AB+19BA+CA+19AC=29AB-89AC.7.(2020届湖北孝感二模)设D,E,F分别为ABC的边BC,CA,AB的中点,则DA+2EB+3FC=().A.12ADB.32ADC.12ACD.32AC答案D解析因为D,E,F分别为ABC的边BC,CA,AB的中点,所以DA+2EB+3FC=12(BA+CA)+2×12(AB+CB)+3×12(AC+BC)=12BA+AB+CB+32BC+32AC+12CA=12AB+12BC+AC=12AC+AC=32AC,故选D.8.(2

25、020届辽宁丹东五校协作体联考)已知P是ABC所在平面上的一点,满足PA+PB+PC=2AB,若SABC=6,则PAB的面积为().A.2B.3C.4D.8答案A解析因为PA+PB+PC=2AB=2(PB-PA),所以3PA=PB-PC=CB,所以PACB,所以SABCSPAB=BCAP=|CB|PA|=3,所以SPAB=SABC3=2.9.(山东省德州市2020届高三第二次练习)设向量a,b不平行,向量a+14b与-a+b平行,则实数=. 答案-4解析a,b不平行,-a+b0.又a+14b与-a+b平行,存在实数,使a+14b=-a+b,则有-=1,14=,=-4.10.(2020

26、届钦州质检)已知e1,e2为平面内两个不共线的向量,MN=2e1-3e2,NP=e1+6e2,若M,N,P三点共线,则=. 答案-4解析因为M,N,P三点共线,所以存在实数k使得MN=kNP,所以2e1-3e2=k(e1+6e2),又e1,e2为平面内两个不共线的向量,可得2=k,-3=6k,解得=-4.能力拔高11.(江西省南昌市2020届高三模拟)在ABC中,D为BC上一点,E是AD的中点,若BD=DC,CE=13AB+AC,则+=().A.13B.-13C.76D.-76答案B解析CE=13AB+AC=13(CB-CA)+AC=13CB+-13-CA=+13CD+-13-CA,

27、因为E是AD的中点, 所以+13=12,-13-=12,解得=12,=-56,所以+=-13.故选B.12.如图,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD=().A.a-12bB.12a-bC.a+12bD.12a+b答案D解析连接OC,OD,CD,由点C,D是半圆弧的三等分点,可得AOC=COD=BOD=60°,且OAC和OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形,所以四边形OACD为菱形,所以AD=AO+AC=12AB+AC=12a+b,故选D.13.(2020届河北、河南、山西三省联考)如图,在等边ABC中,O为ABC的重心,点D为BC边上靠

28、近点B的四等分点,若OD=xAB+yAC,则x+y=().A.112B.13C.23D.34答案B解析设点E为BC的中点,连接AE,可知点O在AE上,则OD=OE+ED=13AE+14CB=16(AB+AC)+14(AB-AC)=512AB-112AC,故x=512,y=-112,x+y=13.14.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O是ABC的重心,若点P满足OP=132OA+12OB+12OC,则点P一定为ABC的().A.BC边中线的中点B.BC边中线的三等分点(非重心)C.重心D.BC边的中点答案B解析设BC的中点为M,则12OC+12OB=OM,OP=13(OM+2OA)=13OM

29、+23OA,即3OP=OM+2OA,也就是MP=2PA,P,M,A三点共线,且P是AM上靠近A点的一个三等分点,即BC边中线的三等分点(非重心).思维拓展15.(2020届河南郑州阶段测试)如图所示,在ABO中,OC=14OA,OD=12OB,AD与BC相交于M,设OA=a,OB=b,则用a和b表示向量OM=. 答案 17a+37b解析因为A,M,D三点共线,所以OM=1OD+(1-1)OA=121b+(1-1)a,因为C,M,B三点共线,所以OM=2OB+(1-2)OC=2b+1-24a,由可得121=2,1-1=1-24,解得1=67,2=37.故OM=17a+37b.16.(山

30、东省烟台市、菏泽市2020届高三高考适应性练习)在ABC中,点O是BC的三等分点,|OC|=2|OB|,过点O的直线分别交AB,AC或其延长线于不同的两点E,F,且AB=mAE,AC=nAF,若1m+tn的最小值为83,则正数t的值为. 答案2解析因为点O是BC的三等分点,|OC|=2|OB|,所以AO=AB+BO=AB+13BC=AB+13AC-13AB=23AB+13AC=2m3AE+n3AF,又E,O,F三点共线,则2m3+n3=1.1m+tn=2m3+n31m+tn=23+t3+2mt3n+n3m23+t3+22mt3n·n3m=23+t3+22t9,当且仅当2tm

31、2=n2时,等号成立,即1m+tn的最小值为23+t3+22t9,则有23+t3+22t9=83,解得t=2.第2节平面向量的基本定理与坐标运算对应学生书自学听讲P104课标要求考向分析1.理解平面向量基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算主要考查用坐标表示的平面向量的加、减、数乘运算及向量共线定理的坐标表示及应用一、平面向量基本定理如果e1,e2是同一个平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1,2满足a=1e1+2e2.不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基

32、底.二、平面向量的坐标运算1.向量的加法、减法、数乘及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2), a=(x1,y1),|a|=x12+y12. 2.向量坐标的求法(1)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即向量的坐标.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2. 三、平面向量共线的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1y2-x2y1=0.特别地,若x2,y20,则abx1x2=y1y

33、2. 1.若a与b不共线,且a+b=0,则=0.2.若G是ABC的重心,则GA+GB+GC=0,AG=13(AB+AC).3.三点共线定理若OA,OB是平面内不共线的向量,且存在实数1,2使得OC=1OA+2OB,则当1+2=1时,A,B,C三点共线.特别地,当1=2=12时,C是线段AB的中点.【概念辨析】判断下列结论的正误.(对的打“”,错的打“×”)(1)平面向量不论经过怎样的平移变换,其坐标均不变.()(2)平面内任意两个不共线的向量均可作为一组基底.()(3)若a,b不共线,且1a+1b=2a+2b,则1=2,1=2.()(4)在同一组基底下同一向量的表现形式是唯

34、一的.()答案 (1)(2)(3)(4)解析(1)正确.由向量的坐标表示可知向量不论怎样平移,其坐标均为终点坐标减去起点坐标,故平移后坐标不变.(2)正确.由基底的定义可知,任意不共线的两向量均可作为一组基底.(3)正确.根据不共线向量构成的平行四边形是唯一的可知1=2,1=2.(4)正确.由平面向量基本定理可知,若e1,e2是平面内的一组基底,则对于平面内的任意一向量a,存在唯一实数对,使a=e1+e2,故其表现形式唯一.【基础自测】1.已知点A(0,1),B(3,2),向量AC=(-4,-3),则向量BC=().A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)答案A解析(法一

35、)设C(x,y),则AC=(x,y-1)=(-4,-3),所以x=-4,y=-2,从而BC=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).(法二)由AB=(3,2)-(0,1)=(3,1),得BC=AC-AB=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).2.若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=0,52,则c可用向量a,b表示为().A.c=12a+bB.c=-12a-bC.c=32a+12bD.c=32a-12b答案A解析设c=xa+yb,则0,52=(2x-y,x+2y),所以2x-y=0,x+2y=52,解得x=12,y=1,则c=12a+b.3.(甘肃省2020届高三诊断考试)已知

36、向量a=(1,m),向量b=(-1,3),若ab,则m=().A.3B.-3C.33D.-33答案B解析由题得1×3-m×(-1)=0,m=-3.4.(黑龙江省牡丹江市2020届高三检测)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,AB=(2,4),AC=(1,3),则|BD|=. 答案34解析AD=BC=AC-AB=(-1,-1),BD=AD-AB=(-3,-5),|BD|=(-3)2+(-5)2=9+25=34.【易错检测】5.(2020届成都诊断)如图,在OAB中,P为线段AB上的一点,OP=xOA+yOB,且BP=2PA,则().A.x=23,y=13B.x

37、=13,y=23C.x=14,y=34D.x=34,y=14答案A解析由题意知OP=OB+BP,且BP=2PA,所以OP=OB+23BA=OB+23(OA-OB)=23OA+13OB,所以x=23,y=13.6.在ABC中,点P在BC上,且BP=2PC,点Q是AC的中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC=. 答案(-6,21)解析由题得AQ=PQ-PA=(-3,2),因为Q是AC的中点,所以AC=2AQ=(-6,4),所以PC=PA+AC=(-2,7).因为BP=2PC,所以BC=3PC=(-6,21).对应学生书自学听讲P105平面向量基本定理的应用(1)(2020届郑

38、州模拟)如图,在直角梯形ABCD中,CDAB,D=90°,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,BC=3EC,F为AE的中点,则BF=().A.23AB-13ADB.13AB-23ADC.-23AB+13ADD.-13AB+23AD(2)(2020届湖南邵阳一模)如图,在ABC中,设AB=a,AC=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P,若AP=ma+nb,则m+n=. 答案(1)C(2)67解析(1)(法一)如图,取AB的中点G,连接DG,则易知四边形DCBG为平行四边形,所以BC=GD=AD-AG=AD-12AB,所以AE=AB+BE=AB+23BC=AB

39、+23AD-12AB=23AB+23AD,于是BF=AF-AB=12AE-AB=1223AB+23AD-AB=-23AB+13AD,故选C.(法二)BF=BA+AF=BA+12AE=-AB+12AD+12AB+CE=-AB+12AD+12AB+13CB=-AB+12AD+14AB+16(CD+DA+AB)=-23AB+13AD.(2)根据已知条件得,BQ=AQ-AB=12AP-AB=12ma+nb-a=m2-1a+n2b,CR=BR-BC=12BQ-AC+AB=12m2-1a+n2b-b+a=m4+12a+n4-1b,QP=m2a+n2b,RQ=m4-12a+n4b,RP=-m8+14a+12

40、-n8b.RQ+QP=RP,3m4-12a+3n4b=-m8-14a+12-n8b,3m4-12=-m8-14,3n4=12-n8,解得m=27,n=47,故m+n=67.平面向量基本定理的实质及解题思路:(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.提示:在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理.【针对训练1】1.(2020届长春模拟)如图所示,下列结论正确的是().

41、PQ=32a+32b;PT=32a-b;PS=32a-12b;PR=32a+b.A.B.C.D.答案C解析根据向量的加法法则,得PQ=32a+32b,故正确;根据向量的减法法则,得PT=32a-32b,故错误;PS=PQ+QS=32a+32b-2b=32a-12b,故正确;PR=PQ+QR=32a+32b-b=32a+12b,故错误.2.(2020届岳阳质检)在梯形ABCD中,已知ABCD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点.若AB=AM+AN,则+的值为().A.14B.15C.45D.54答案C解析(法一)连接AC(图略),由AB=AM+AN,得AB=2(AD+AC)+2(AC+A

42、B),则2-1AB+2AD+2+2AC=0,即2-1AB+2AD+2+2AD+12AB=0,所以14+34-1AB+2AD=0.又AB,AD不共线,所以由平面向量基本定理得14+34-1=0,+2=0,解得=-45,=85.所以+=45.(法二)根据题意作出图形如图所示,连接MN并延长,交AB的延长线于点T,由已知易得AB=45AT,所以45AT=AB=AM+AN,即AT=54AM+54AN.因为T,M,N三点共线,所以+=45.平面向量的坐标运算已知点A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求

43、满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求点M,N的坐标及向量MN的坐标.分析(1)根据向量的坐标运算法则求解;(2)由向量坐标运算建立方程组求解;(3)利用终点坐标减起点坐标求解.解析由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),-6m+n=5,-3m+8n=-5,解得m=-1,n=-1.即所求实数m的值为-1,n的值为-1.(3)设O为坐标原点,CM=OM-OC=3c,OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-

44、4)=(0,20),即点M(0,20).又CN=ON-OC=-2b,ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),即点N(9,2).MN=(9,-18).例题条件不变,(1)求线段AB中点的坐标.(2)求三角形ABC的重心G的坐标.解析(1)设O为坐标原点,P(x,y)是线段AB的中点,则OP=12(OA+OB),即(x,y)=12(-2,4)+(3,-1)=12,32,线段AB中点的坐标为12,32.(2)设AB的中点为P,O为坐标原点,CG=23CP,OG=13OC+23OP=13OC+13(OA+OB),OG=13(OA+OB+OC)=13(-2,4)+(3,-1)+(-

45、3,-4)=-23,-13,重心G的坐标为-23,-13.平面向量坐标运算的技巧:(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加、减、数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标.(2)在解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解.【针对训练2】1.已知向量a,b,c在正方形网格中,如图所示,若c=a+b(,R),则=().A.1B.2C.3D.4答案D解析建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1),则点A(1,-1),B(6,2),C(5,-

46、1),所以a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).因为c=a+b,所以-1=-+6,-3=+2,解得=-2,=-12,因此=4,故选D.2.已知向量a=(2,1),b=(1,-2).若ma+nb=(9,-8)(m,nR),则m-n的值为. 答案-3解析由向量a=(2,1),b=(1,-2),得ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),则2m+n=9,m-2n=-8,解得m=2,n=5,故m-n=-3.3.在平面直角坐标系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C(-1,c)(c>0),且|OC|=2,若OC=OA+OB,则实数+的值为. 答案3

47、-1解析因为|OC|=2,所以|OC|2=1+c2=4,因为c>0,所以c=3.因为OC=OA+OB,所以(-1,3)=(1,0)+(0,1),所以=-1,=3,所以+=3-1.平面向量共线的坐标表示(1)已知点A(0,1),B(3,2),C(2,k),且A,B,C三点共线,则向量AC=().A.2,23B.2,53C.23,2D.53,2(2)(2020届日照二模)已知点P(-3,5),Q(2,1),向量m=(2-1,+1),若PQm,则实数等于().A.113B.-113C.13D.-13答案(1)A(2)B解析(1)由题得AB=(3,1),AC=(2,k-1),因为A,B,C三点共

48、线,所以可设AB=AC,即(3,1)=(2,k-1),所以2=3,即=32,所以AC=1AB=2,23.(2)由题知PQ=(5,-4),因为PQm,所以5+5=-8+4,解得=-113.与平面向量共线的坐标表示有关问题的常见类型及解题策略:(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.(2)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为a(R),然后结合其他条件列出关于的方程,求出的值后代入a即可得到所求的向量.【针对训练3】1.已

49、知梯形ABCD,其中ABCD,且DC=2AB,若点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为. 答案(2,4)解析因为在梯形ABCD中,ABCD,DC=2AB,所以DC=2AB.设点D的坐标为(x,y),则DC=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y),因为AB=(2,1)-(1,2)=(1,-1),所以(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),所以4-x=2,2-y=-2,解得x=2,y=4,故点D的坐标为(2,4).2.(四川省百校2020届高三模拟冲刺卷)已知向量a=(2,-1),b=(1,),若(a+2b)(2a-b),则实数=.

50、 答案-12解析a+2b=(4,2-1),2a-b=(3,-2-),(a+2b)(2a-b),4(-2-)=3(2-1),解得=-12.数学运算解析法(坐标法)在向量中的应用(1)(2017年江苏卷)如图,在同一个平面内,向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为,且tan =7,OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB(m,nR),则m+n=. (2)给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为23.如图所示,点C在以O为圆心的AB上运动,若OC=xOA+yOB,其中x,yR,则x+y的最大值是. 答案(1)3(2)2解

51、析(1)如图,以O为原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则由|OA|=1得A(1,0),由tan =7得sin =7210,cos =210.又|OC|=2,C(|OC|cos ,|OC|sin ),即C15,75.BOC=45°,cosAOB=cos(+45°)=cos cos 45°-sin sin 45°=210×22-7210×22=-35,sinAOB=45.又|OB|=1,B-35,45.故由OC=mOA+nOB得15=m+-35n,75=45n, 解得m=54,n=74, 故m+n=3.(2)以O为坐标原点,OA

52、所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(1,0),B-12,32.设AOC=0,23,则C(cos ,sin ).由OC=xOA+yOB,得cos=x-12y,sin=32y,x=cos +33sin ,y=233sin ,x+y=cos +3sin =2sin+6.又0,23,当=3时,x+y取得最大值,最大值为2.【突破训练】如图,四边形ABCD是正方形,延长CD至E,使得DE=CD,若点P为CD的中点,且AP=AB+AE,则+=().A.3B.52C.2D.1答案B解析由题意,设正方形的边长为1,建立平面直角坐标系如图所示,则B(1,0),E(-1,1),AB=(1,0),A

53、E=(-1,1),AP=AB+AE=(-,),P为CD的中点,AP=12,1,-=12,=1,=32,=1,+=52.1.(2019年全国卷)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=().A.2B.2C.52D.50答案A解析因为a-b=(2,3)-(3,2)=(-1,1),所以|a-b|=(-1)2+12=2.2.(2018年全国卷)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),则=. 答案12解析因为2a+b=(4,2),c(2a+b),所以4-2=0,解得=12.对应高效训练P46基础打磨1.已知向量m=(1,7)与向量n=(k,k+18)平行