2018--2019年全国高校自主招生数学模拟试卷十四

1、-1 2019年全国高校自主招生数学模拟试卷十二命题人：南昌二中 高三(0101)班张阳阳、选择题(36 分)1 .已知数列Xn满足 Xn+1=Xn X“-1(n 2), Xi=a , X2=b , 记 Sn=Xi+X2+Xn，则下列结论正确 的是(A)xioo=_a, Sioo=2ba(B)xioo=_b, Sioo=2b-a(C)xioo-b, Sioo=b -a(D)xioo-a, Sioo=b-a(0 f(-)f(3)f(Y(D) f(、.)f(Mf(Yf(S二.填空题(每小题 9 分，共 54 分)r3(x 1) +1997(x1)= 1,冲1.设 x,y 为实数，且满足y_1)3+

2、1997(y1)=1.则x+y-.22 .过双曲线 X2 y2=1 的右焦点作直线 I 交双曲线于 A、B 两点，若实数 入使得|AB| =入的直线 l恰有 3 条，则入_.1一3 .已知复数 z 满足 2z+Z =1，则 z 的幅角主值范围是_4 .已知三棱锥 S2BC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC= 2, AB= 2，设 S、A、B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上，则点O 到平面 ABC 的距离为5 设 ABCDEF 为正六边形，一只青蛙开始在顶点 A 处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一.若在 5 次之内跳到 D 点，则停止跳动；若 5 次之内不能到

3、达 D 点，则跳完 5 次也停止跳动，那么这只2 .如图，正四面体 ABCD 中，E 在棱 AB 上,F 在棱 CD 上,使得 EB=FD6 .如果空间三条直线a,b,c 两两成异面直线，那么与a,b,c 都相交的直线有(A) 0 条(B) 1 条(C)多于 1 的有限条(D)无穷多条-2 青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 _种.11 16 .设 a =logz+logx(yz) +1, b fogx +log(xyz+1), c =logy+log( xyz) +1，记 a,b,c 中最大数 为 M，则M 的最小值为_.三、(20 分)设 xyz洽，且 x+y+z才，求乘积 cosx

4、siny cosz 的最大值和最小值.四、(20 分)设双曲线 xy=1 的两支为 C1, C2(如图)，正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线上.(1) 求证：P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上；(2) 设 P(-1, -1)在 C2上，Q、R 在 C1上，求顶点 Q、R 的坐标.五、(20 分)设非零复数 a1, a2, a3, a4, a5满足 a2a3a4a5a1a2a3a4其中 S 为实数且|S|W2.a1+a2+a3+a4+ a5=4(丄丄丄丄丄+a1a2a3a4a5)=S.求证：复数 a1, a2, a3, a4,a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上.2019年全国高校自主招

5、生数学模拟试卷十二参考答案一、选择题(每小题 6 分，共 36 分)1 .已知数列Xn满足 Xn+1=Xn Xn-1(n 2) , X1=a , X2=b , 记 Sn=X1+X2+Xn，则下列结论正确 的是(A)x100二-a, S100= 2b a(B) X100二-b, S100=2b - a(C)X100二-b, S100=b -a (D)X100二-a, S100二 b-a解: X1=a , X2=b , X3=b a , X4= a , X5= b , X6=a b , X7=a , X8=b ,.易知此数歹 U 循环， 于是 X100=X4= a ,又x|+X2+X3+X4+X5

6、+X6= 0 ,故 S100=2b a.选 A.AE CF2 .如图，正四面体 ABCD 中，E 在棱 AB 上，F 在棱 CD 上，使得丘=无=入 (0 ? 1 时 a5 ,选 D .甘 12+( 2)2515B=rctan4, Y=rcos(3),、= arccot(),则(B) f&) f( )f(3)f(Y(D) f(：)f(af(Yf(3 3 Xn+6=Xn,(C)4 个 (D)5 个d,项数为 n,则 na+；n(n 1)d=972, n2a+(n 1)d=2x972,即卩 n 为 2(B)3 个解：设首项为 a，公差为X972的大于 3 的约数.n=972, 2a+(97

7、2n= 97, 2a+96d=194, d=0,n=2X97 , n =2X972,无解.4 .在平面直角坐标系中， 若方程 围为(A)(0,1)(B)(1,+g)2 时 nf(3f()f(Y(C) f(i)f(af(3)f( Y 4 1n解：f(x)的对称轴为 x=2.n n n n2n3n5n易得，0加 64 仟 32YT$0 .故 f(t)单调增，现 x 1 = 1 y, x+y=2.22 .过双曲线 x2 y-=1 的右焦点作直线 I 交双曲线于 A、B 两点，若实数 入使得|AB|二入的直线 l 恰有 3条，则入_.2解：右支内最短的焦点弦=2b=4.又 2a=2,故与左、右两支相交

8、的焦点弦长 2a=2,这样的弦a3 .已知复数 z 满足 2z+* =1，则 z 的幅角主值范围是 _1解：2z+ = 1 吕 4r3 4+(4cos2 0 1)r2+1= 0，这个等式成立等价于关于x 的二次方程 4x2+(4cos2 0214cos20_11)x+1 = 0 有正根. = (4cos201)2 16 0,由 乂仅2=40，故必须 X1+X2= 0.333 cos20W 4 .二(2k+1)narccoSq 2log2 .于是 a、c 中必有一个log2 .即 M log2，于是 M 的最小值 log2.但取 x=y=z= 1，得 a=b=c= log2 .即此时 M= lo

9、g2 .于是 M 的最小值wlog2 .所求值=log2 .三、(本题满分 20 分)ITJT设 xyz 12，且 x+y+z=2，求乘积 cosx siny cosz 的最大值和最小值.解：由于 x yz代，故6geos 3 =& .即最小值.1(由于 6wxw3 , yz,故 cosxsin(y z) 0)，当 y=z=代,x=3 时，cosx siny cosz=8 . cosx siny cosz=coszX；sin(x+y)sin(xy) =；cos2z；coszsin(xy).1212二 17：2+ 3由于 sin(x y) 0, cosz0，故 cosx siny cos

10、zw2cos z=2cos12=2(1+cos6)=85 兀-12，最大值23，最小值1.8 8、“5 兀応当 x= y=12，z=12时取得最大值.四、(本题满分 20 分)设双曲线 xy=1 的两支为 C1, C2(如图)，正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线上. 5 -8 (1)求证：P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上；设 P(_1, -1)在 C2上，Q、R 在 Ci上，求顶点 Q、R 的坐标.1P( 1 , 1)，设 Q(X2,X),点 P 在直线 y=X 上.以 P 为圆心，|PQ|为半径作圆，此圆与双X2曲线第一象限内的另一交点R 满足|PQ|=|PR|,由圆与双曲线都是 y

11、=x 对称，知 Q 与 R 关于 y=x 对称.且1在第一象限内此二曲线没有其他交点(二次曲线的交点个数).于是 R(丄，X2).PQ 所在直线方程为 y+1 = (2+ 3)(X+1)，代入 xy=1,解得 Q(2 3,2+ 3)，于是 R(2+ 3, 2 3).五、(本题满分 20 分)设非零复数 a1, a2, a3, a4, a5满足r02a3a4a.5ja1a2a3a41 丄丄丄 1 a1+a2+a3+a4+a5=4L+_+_)=s. a1a2a3a4a5其中 S 为实数且 SS2.求证：复数 a1, a2, a3, a4, a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上.证明：设a2=a3

12、=a4=a5=q，则由下式得 a1(1 + q+q2+q3+q4)=44(1 + q+q2+q3+q4).a1a2a3a4” ag ”2 42342234 (a1q 4) (1 + q+q +q +q) = 0,故 aq = ，或 1+q+q +q +q = 0.21 121211125 右a1q = ，则得支(q2+q+1 + q+q)=S. = S= (q+q)+(q+q)1= 2(q+q+2) 4.由已知，有(q+q+扩一R,且 吧+扩4W11 15令 q+ + _=h(cos Oisin,(h0).贝Vh2(cos2 州 s in20)R.= si n2B=.q 2425 129- -

13、1 q(cos2 州 sin20)-41二4 切(cs2 肝 isin29牙，二 cos2B0. = B=kk Z)/ q+qR.再令 q=r (cosa+isin a), (r0) 贝Vq+十(r+*)cosa+i(r )sina R. = sina=0 或 r= 1. 11解：设某个正三角形的三个顶点都在同一支上.此三点1iiPgx;) ,Q(X2，Q ,R(X3，-)不111妨设kpQ=y2y1X2x；2；kQR=-1 .X2X3；1 1-+-X1X2X2X3tan/ PQR=-10,从而/ PQR 为钝角.即 PQR 不可能是正1+2X1X3X2三角形.PQ 与 y=X 的夹角=30, PQ 所在直线的倾斜角= 75. tan75 1+罟厂1- f2+ 3-9 11 5113若 sina=0,贝Uq= r 为实数.此时