孙霆18世纪的数学

1、18世纪数学和微积分的进一步探索微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在18世纪，微积分进一步深入发展。这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。在数学史上，18世纪可以说是分析的时代，也是向现代化数学过渡的重要时期。 在18世纪，数学的主流是由微积分发展起来的数学析，以欧洲大陆为中心。物理学的主流是力学，天文学的主流是天体力学。数学分析的发展使力学和天体力学深化，而力学和天体力学的课题又成为数学分析发展的动力。 从数学家的角度而言，18世纪被称为“英雄时代”，各路豪杰尽显威名。在此我们来介绍1

2、8世纪的数学家们。 在数学和科学的历史上最著名的家族之一是瑞士伯努利家 族，从十七世纪未叶以来，它产生过不少有本领的数学家和科学 家。这个家族的记录开始于雅科布·伯努利和约翰·伯努利兄弟，这两个人放弃了 早年的本行，成了数学家，他们属于最早认识到微积分的惊人力量并把此 工具应用于各种各样问题的一批数学家。雅科布从1687年到去世 一直担任瑞士巴塞尔大学的数学讲座教授。约翰在1697年成为荷 兰格罗尼根大学的教授.1705年雅科布死后，约翰继承了巴塞尔大学的讲座教授，并在这里度过了自己的余生。这兄弟二人，在 学术上常是劲敌；他们与莱布尼茨和他们兄弟之间都经常交换思 想。1.雅

3、科布·贝努利（Jacob Bernoulli）1654-1705他于1671年和1676年在巴塞尔大学取得艺术硕士和神学硕士，当他读了笛卡尔、沃利斯的著作后，对数学发生了强烈的兴趣，毅然违背了其父要他现身神学的意愿。转而投身数学，成为17世纪牛顿和莱布尼茨之后最先发展微积分的人。对数学的主要贡献：.继Newton和Leibniz后最早发展微积分的人 1694年,微分学方法，论反切线法Nova Methodus pro Maximis et Minimis, itemque Tangentibus.创建极坐标 polar coordinate；. 在直角坐标系和极坐标系中平面曲线曲率半

4、径公式的推导：.其他高次平面曲线的研究； .所谓等时线 Isochrone 的发现:一种曲线，物体沿着它以均匀垂直速度下降.弹簧棒形状的确定；.满风矩形帆的形状的确定.提出并讨论“等周问题”Isoperimetric problem周长固定且包括最大面积的给定种类平面闭曲线；.变分法的重要奠基者；1696，最速降线 Brachistochrone1697，等周问题 Isoperimetric problem.数学概率的早期研究者之一猜测术1713, Art Conjectandi 概率论的数学基11). 以Jacob Bernoulli命名的数学成果：.概率统计学的贝努利分布和贝努利定理Ber

5、noulli概型.微分方程中的贝努利方程.使用微积分求一阶常微分方程分析解的先驱之一 .数论中很有影响的贝努利数出自猜度术1713, Art Conjectandi Bernoulli Number的应用：正则素数与非正则素数；费马大定理的证明；大数定理Jacob Bernoulli首次提出.数论中著名的贝努利多项式Bernoulli polynomial.微积分中著名的贝努利双纽线Bernoulli lemniscate.引入术语“积分”Integral等时线的研究即摆线 Isochrone:求一条曲线，使得一个摆沿着它们作一次完全的振动时都取得相等的时间，不管摆线所经历的弧长的大小.2.约

6、翰·伯努利Johann Bernoulli1667-1748约翰·伯努利比起他哥哥雅科布来，是一位在数学上更为多产的贡献者。虽然他是一个爱妒忌的、脾气不好的人，但是他是他那个时代最成功的教师之一。他大大地丰富了微积分学并且是使这门学科的作用在欧洲大陆得到正确评价的最有影响的人。在1694年获得医学博士，其论文是关于肌肉收缩的问题，但不久便迷上了微积分学，并很快掌握了它，数学工作涉及解析几何、微分方程、变分法，1700年左右发展了积分法，18世纪初分析学的重要奠基者之一，他也是欧拉的老师。(1).约翰·贝努利首先使用“变量”variate这个词，并且使函数概念公式化

7、. 1698年，函数定义：由变量x和常数所构成的式子中做x的函数，记作X或或(x). 引进了超越函数 Transcendental function (2).对积分法的发展 1699年，用变量替换来求某些函数的积分将有理函数化为部分分式的积分方法(3) .1742年,积分学教程微积分研究成果的总结，使微积分更系统化(4).求0/0型不定式的洛比达法则 LHospital(5).著作广泛光学，曲线的正交轨迹，曲线长，区域面积，解析三角学，指数演算等.(6).“最速降线”奠定了变分法的基础.(7).摆线cycloid也是等时曲线isochrone的解钟摆的制作. (8).微分方程的开拓者Diffe

8、rential equation (9) .悬链线 catenary3.丹尼尔贝努利著名的伯努利家族中的最杰出的一位，是约翰·伯努利第2个儿子， 16岁，获得自由艺术硕士；21岁，获得医学博士，论文题目“呼吸的作用”八年的圣彼得堡科学院生涯(1725-1733)生命学院士和数学院士，欧拉的同事。巴塞尔大学教授(1733-1777)解剖学、植物学、生理学、物理学、哲学教授。 主要成就：1).将微积分、微分方程理论应用到物理学上，研究流体问题、物体振动问题和摆动问题，是数学物理方法的奠基人.(2).利用级数求得代数方程数值解的近似值；(3).提出了循环级数recurring series

9、；(4).正弦和余弦级数(5).里卡蒂方程的解：(6).概率论中有影响著作关于度量的分类(7).开创了新学科流体力学；1738年，流体动力学(8).偏微分方程的先驱；(9).第一个把Newton和Leibniz的微积分思想联系起来的人.棣莫弗尔和概率论1667-1754在十八世纪中，费马、帕斯卡和惠更斯在概率论方面的先驱思想得到相当详尽的阐述；而概率论之所以能快速发展，其中还有雅科布·伯努利的功劳，他在猜测术一书中对概率论作了进一步论述。棣莫弗尔在概率论方面的贡献更大；他是法国的加尔文派教徒。1685年废除南特法令后，他迁居到政治气氛较好的伦敦。他在伦敦以当家庭教师为生，并且成为牛顿

10、的亲密朋友。棣莫弗尔以其著作人寿保险引入注目，这在实用数学上占重要位置。他的机会论包括概率论方面的许多新材料。他的分析杂论对循环小数、概率论和解析三角都有贡献。棣莫弗尔被誉为论述概率积分和正态频率曲线的第一人。关于棣莫弗尔的死有一个颇具数学色彩的神奇传说：在临终前若干天，棣莫弗发现他每天需要比前一天多睡1/4小时，那么各天睡眠时间将构成一个算术数列，当此算术数列达到24小时时，棣莫弗就长眠不醒了。泰勒1685-1731泰勒1709年，法学学士；1714年，法学博士.以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。主要贡献：.提出 “骑士游历问题”；.微积分发展史上的重要著作:正和反的增量法,直

11、线的透视1715年；.微积分学中的Taylor定理；.有限差分的奠基人正和反的增量法，1715年麦克劳林Colin Maclaurin1698-17461719年，当选英国皇家学会会员，18世纪英国最具有影响力的数学家之一。他是一位数学奇才，他11岁就考上了格拉斯大学，15岁就取得硕士学位，并且为自己关于重力的功的论文作了杰出的的公开的答辩。19岁就主持阿伯丁的马里沙学院数学系，并于21岁发表其第一本重要著作构造几何。他27岁成为爱丁堡大学数学教授的代理或助理。.麦克劳林展式 Maclaurins expansion formula.几何学中高次曲线的研究；.并在克莱姆发表其克莱姆法则之前就已

12、经知道了这一法则, 1748年发表的论文-解联立方程组的方法；.流数论Treatise of fluxion, 1742年.欧拉Leonhard Euler1707-178318世纪最伟大的数学家、分析的化身，“数学家之英雄”，公认为人类历史上成就最为斐然的数学家之一，而且把数学推至几乎整个物理领域，此外还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理，他的工作使得数学更接近于现在的形态。Euler是数学史上最多产的数学家生前的论文及著作有560余种；未发表的论文足够圣彼得堡科学院用20年；每年以800页的速率发表高质量论文；Euler全集将有8

13、4卷，大四开本.1).初等几何中的欧拉线 Euler line三角形的外心、重心、垂心、九点圆心共线.(2).空间解析几何的欧拉变换公式.(3).欧拉定理：.凸面体的欧拉定理：对任何凸面体必有：顶点数-棱数+面数=2，V-E+F=2 .设直线上四点顺次为A,B,C,D，则矩形AC×BD=矩形AB×CD+矩形BC×AD.三角形外心R与内心r之间距离d的关系(4) . 四次方程的Euler解法；5) .数论中的欧拉函数以及欧拉定理： (6) .微分方程的Euler方程：(7) .级数论的Euler级数及Euler级数判别法：(8).变分学Euler方程(9) .Eul

14、er乘积 (10).数学分析中的Euler积分：(11) .复变函数中的欧拉公式初等的Euler公式为(12) .关于Fermat大定理当n=3,4时的证明 (13).“素数有无穷个”的Euler证明(14).解析几何中的Euler角(Eulers Angles)(15).极限中的Euler常数(16).常微分中的Euler变换17).1732年推翻了费马关于一切“Fermat数”都是素数的猜想，证明了(18).用类比法为Jacobi计算(20).下列记号的正规化，应归功于Euler：f (x)函数 e 自然对数的底，Euler把数列的极限记为e，又用e为底，建立了自然对数；a,b,c三角形的

15、三个边；s 三角形的半周；r 三角形内切圆的半径；R 三角形外接圆的半径； 求和符号； i 虚数单位.21).数论方面：.1736年，证明费马小定理. .1783年，提出了著名的二次互反定律22).单复变函数中的23).微积分：.导出了函数恰当微分的必要条件：(25).代数方面： 1742年，第一次提出了所有实系数的n次多项式都可以分解为实一次或实二次因式的定理,即具有n个形如a+bi的根.与代数基本定理等价.代数学入门代数学的系统总结；(26).熟练的教材作者 无穷小分析引论Introduction in analysin infinitorum, 1748 微分学原理Instiitutio

16、nes calculi differentialis, 1755积分学原理Instiitutiones calculi integralis, 1768-1770在样式、范围、记号等方面均够得上是典范(27).兴趣十分广泛 音乐 、天文学、医学、植物学、化学、神学、东方语言、历史等等.拉格朗日Joseph Louis Lagrange1736.1.25-1813.4.11.分析严密化的第一人;.三本巨著:解析函数论- 分析严密化,实变函数论.论高次数值方程的解法- 连分数求解.分析力学- 动力系统运动一般方程.从偏微分方程到变分法; .费马猜想的证明,1772年;每一个正整数可被表成不超过四个

17、平方数的和.群论中的Lagrange 定理:若为H一个有限阶的群，G是H的一个子群，则G的阶可整除的H阶. .数论中的两个重要定理:. Lagrange恒等式：1).第一个“现代”分析家.A.数学分析的开拓者;B.变分法的开创者;C.常微分方程的奇解、特解和通解;D.一阶偏微分方程理论的建立者;E.多元函数相对极大极小及解微分方程的任意乘子法;F. 群论的先驱; G.天体力学H.二次型理论I.函数论J.分析严密化的先驱K.无穷级数关于任意函数是否可表为三角函数的争论. L.分析力学的创立者M.天体力学的奠基者 Euler, Clairaut, DAlembert, Lagrange, Laplace2). 数学、力学和天文学.最突出的贡献是在把数学分析的基础脱离几何与力学的不同方面起了决定性的作用，使数学的独立性更为清楚，而不仅是其他学科的工具.(3).十四卷的拉格朗日全集，此书从1867年开始出版第一卷，到1965年才出完第十四卷，目前还计划出版第十五卷.(4).拿破仑的评价：“Lagrange是数学科学方面的高耸的金字塔.”9.拉普拉斯势论的拉普拉斯方程系偏微分方程式，说的是：所