江苏省吴江平望中学2018-2019学年高二数学上学期第二次阶段性测试试题

1、吴江平望中学 2018 2019 学年第一学期第二次阶段性测试高二数学试卷(满分：160 分，考试时间：120 分钟) 2018 年 12 月填空题：本大题共 14 小题，每题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上.1 抛物线y=4x的焦点坐标是_2-y1的渐近线方程为63、焦距为 8，短轴长为 6,且焦点在X轴上的椭圆的标准方程为4以-1,2为圆心，半径为,3的圆的标准方程为2 25、若椭圆 y1的焦点在X轴上，则实数k的取值范围是 3k 1+k6已知正四棱柱的底面边长是3，侧面的对角线长是3 5，则这个正四棱柱的侧面积为 27、 过抛物线y=4x的焦点作直线交抛物线于点A(X

2、1, y1), B(X2, y2)，若 AB= 7,贝UAB 的中点M到抛物线准线的距离为 8、 棱长为1的正方体的外接球的表面积为9、已知直线I : x - y 4 = 0与圆C：(X-1)2(1)2，则 C 上各点到丨的距离的最小值为 .10.已知直线m,n,平面，二且m_： ,n二；，给出下列命题:若:-H，则m _ n； 若:-:，则m/n; 若m _ n，则/ ：；若m/n,则二I】.其中真命题的个数为.2 211、设 F1、F2分别是双曲线 务=1 的左、右焦点.若双曲线上存在点 A 使/F1AF2=90,a b且AR =2AF2，则双曲线的离心率为2 2112.已知椭圆 7 T1

3、内部的一点为A(1,3)，F为右焦点,MA * .2MF 的最小值为2、双曲线X2M为椭圆上一动点，则-2 -2 213、已知椭圆 笃爲=1(a b .0)的两个焦点分别为F,F2，短轴的一个端点为P,若a b/RPF2 为钝角，则椭圆离心率的取值范围为2 214.已知椭圆冷=1 a b 0 的离心率为a b于 A, B 两点，若 7?=2 目，贝 U k=.2-，过右焦点F作斜率为k的直线l与椭圆相交3二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内 作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.15.(本题满分 14 分)求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1) 焦点在

4、 x 轴上，a =2，离心率为3;2(2) 焦点的坐标为(5,0) , (-5,0)，渐近线方程为 y= -x.316.(本题满分 14 分)如图，四棱锥P _ABCD的底面是菱形，且.ABC =60，又.：PAB是等边三角形，E, F-3 -分别是AB, PD的中点.(1) 求证：AB_平面PEC；(2)求证：AF /平面PEC.17.(本题满分 14 分)已知圆C:x2y2-4x -4y 4 = 0,点E(3,4).(1)过点 E 的直线l与圆交与A, B两点，若AB二2.3，求直线丨的方程;-4 -(2)从圆C外一点P(x),yi)向该圆引一条切线，切点记为M,0为坐标原点，且满足PM

5、= P0，求使得PM取得最小值时点P的坐标.18.(本题满分 16 分)有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有宽度AB为8米(1) 计算车辆通过隧道时的限制高度；(2) 现有一辆载重汽车宽3.5米，高4.2米，试判断该车能否安全通过隧道?19.(本题满分 16 分)务芯=-1(a b 0)的离心率为 ，且过点A(2,1) .若P,Q是椭圆Ca2b22上的两个动点，且使/PAC的角平分线总垂直于x轴.(1)求椭圆 C 的方程(2)试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.为保证安全

6、，要0.5米.若行车道总已知椭圆C:-5 -20、(本题满分 16 分)已知椭圆C:x葺=1(a0)的离心率为,以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径a b2的圆与直线 x - y2 =0 相切.(1)求椭圆 C 的方程;(2)设 P(4, 0) ,M、N是椭圆C上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；(3)在的条件下，证明直线ME与 x 轴相交于定点.-6 -吴江平望中学 2018 2019 学年第一学期第二次阶段性测试咼二数学试卷(满分：160 分，考试时间：120 分钟) 2018 年 12 月命题人： 许建冬审核人：丁莉萍.填空题：本大

7、题共 14 小题，每题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1抛物线寸=4x的焦点坐标是_.(1,0)2 22、双曲线、1的渐近线方程为8 64.以-1,2为圆心，半径为.3 的圆的标准方程为.(x 1)2(y-2)2=32 25、若椭圆 y1的焦点在x轴上，则实数k的取值范围是(-1,1).3_k 1+k-6.已知正四棱柱的底面边长是3，侧面的对角线长是3 5，则这个正四棱柱的侧面积为. 727.过抛物线y2= 4x的焦点作直线交抛物线于点A(X1,y,0X2,y2)，若AB=乙则AB的中点M到抛物线准线的距离为8、 棱长为1的正方体的外接球的表面积为.3二9、 已知直线I

8、:x - y 4= 0与圆C：(x -1)2 (y -1)2= 2，则 C 上各点到丨的距离的最小值为_2.10、 已知直线m,n,平面，且m_： - ,n二卜，给出下列命题：若/ :，则m _ n；若_ :，则m/n;若m _ n，则/ 一：；若m/n,则鳥；.其中真命题的个数为 _. 22 211、 设 Fl、F2分别是双曲线 务-每=1的左、右焦点若双曲线上存在点 A 使/FiAR=90,a b且AR =2AF2，则双曲线的离心率为龙3、焦距为 8，短轴长为 6,且焦点在x轴上的椭圆的标准方程为2592 2-7 -(1)焦点在 x 轴上，a =2，离心率为3;2焦点的坐标为（5,0）,（

9、莎,0），渐近线方程为y.315.解:（1）因为焦点在 x 轴上，设双曲线的标准方程为22xy22=1iai0,b0 ，ab其中c2= a2b2.=2 及离心率 e =c=3得，c=3，所以 b2a 22 2 2 2=c -a =3 -2 =5，所以,2 2所求双曲线的标准方程为-y145由焦点的坐标为（5,0），（-5,0）知双曲线的焦点在x 轴上,2故设双曲线的标准方程为笃a2占=1a 0,b 0，b2且 c2二 a2 b2=25，-9分因为渐近线方程为 y=4x，3由得 a2=9，b2=16，1222i12.已知椭圆-I 1内部的一点 为 A（1,1） ,F为右焦点，423MA+72MF

10、 的最小值为 .2 罷_12 213、已知椭圆 冷+当=l（ab0）的两个焦点分别为F,F，短轴的一个端点为P,若a bNF1PF2为钝角，则椭圆离心率的取值范围为 .（%，）2于 A，B 两点，若 AF =2FB，贝 U k =二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分请在答题卡指定区域内.作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分 14 分）求适合下列条件的双曲线的标准方程：M为椭圆上一动点，则2 214.已知椭圆 笃 爲a b 0的离心率为a2b2v丿2，过右焦点F作斜率为k的直线l与椭圆相交3二.3-8 -2 2所以，所求双曲线的标准方程为L_=1.- 149

11、1616.(本题满分 14 分)如图，四棱锥P -ABCD的底面是菱形，且.ABC =60,又PAB是等边三角形，E, F分别是AB，PD的中点.(1)求证：AB_平面PEC;(2)求证：AF /平面PEC.16. (1)证明：连结AC.因为ABCD是菱形，且.ABC =60，且.：ABC是等边三角形,因为E是AB的中点，所以CE_AB.PAB是等边三角形，E是AB的中点，所以PE_AB，-4分因为 PEACE 二 E，PE平面PEC，CE二平面PEC，所以AB_平面PEC，-7分证明：取PC中点G，连结FG，EG.-9 -1 在PCD中，F , G分别为PD, PC的中点，所以FG/CD且

12、FG =丄 CD ,21 又ABCD是菱形，E是AB的中点，所以AE/CD且 AEnCD ,2从而FG/AE且FG二AE，故四边形AEGF是平行四边形， -10 分所以AF /EG，又因为AF二平面PEC，EG二平面PEC，所以AF /平面PEC .-14分17.(本题满分 14 分)已知圆C:x2y2-4x -4y 4 = 0，点E(3,4).(1) 过点E的直线l与圆交与A, B两点，若AB二2、3，求直线丨的方程；(2)从圆C外一点卩(为，)向该圆引一条切线，切点记为M,O为坐标原点，且满足PM =PO，求使得PM取得最小值时点P的坐标.17、解：圆C方程可化为(x-2)2 (y-2)2

13、=4(1)当直线l与x轴垂直时，满足AB=2j3，所以此时l:x=3 .2 分因为AB =2,3，所以圆心到直线的距离由点到直线的距离公式得3解得k二一4所以直线l的方程为37当直线丨与x轴不垂直时，设直线l方程为y-4二k(x-3),即y = kx -3k 4.3分d = 4-3 =1. 4 分|二k_2 |1k2-10 -所以所求直线l的方程为X=3或y X，.44.7 分-11 -（2）因为PM =P0,PM（x -2）2（y-2）2-4,PO =化简得%+捲一1=0即点卩（人，）在直线y + x1=0上，.10分当PM最小时，即PO取得最小，此时OP垂直直线y x_1=018.（本题满

14、分 16 分）有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示为保证安全,求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.若行车道总宽度AB为8米.（1）计算车辆通过隧道时的限制高度；（2）现有一辆载重汽车宽3.5米，高4.2米，试判断该车能否安全通过隧道?17、解：（1）建立如图所示的坐标系，设抛物线的方程为2x = 2 py（ p 0）,-2分根据题意，此抛物线经过点（-5, -5），代入抛物线方程解得5 P =2所以抛物线的方程为 x2-5y . -6分所以OP的方程为y x =0.12 分所以yx=0y x _1 = 0解得1 1所以点P的坐标

15、为（-，2）.14 分-12 -所以车辆通过隧道时的限制高度为3.3米.10在此方程中令x二-4，得 y -,- 85分因此，70.5 =3.3 ,5-13 -a2=b2c2(2)因为/ PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，所以 PA 与 AQ 所在的直线关于直线 x = 2 对称. 设直线PA 的斜率为 k，则直线 AQ 的斜率为一 k.所以直线 PA 的方程为 y 1 = k(x 2)，直线 AQ 的方程为 y 1 = - k(x 2).249(2)对于抛物线x- _5y，令x =3.5，得 y, - 13分20- 16分x2y219.已知椭圆C：2y2(a b 0)的离心率为 ，且过点A

16、(2,1).若P,ab2Q是椭圆C上的两个动点，且使/PAQ勺角平分线总垂直于x轴.(1)求椭圆 C 的方程(2)试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.19.解：(1)因为椭圆 C 的离心率为3，且过点 A(2,1)，2所以1b21.3a 2，解得丿2ab2X2=8所以椭圆 C 的方程为=2 82-14 -设点P(X1,yJ,Q(X2, y2)，由得(1 4k2)x2- (16k2-8k)x 16k2- 16k - 4 = 0-15 -因为点 A(2,1)在椭圆 C 上，所以 x = 2 是方程的一个根,16k16k2-4八-X?牙，Xr X?2又y1 iy2 =

17、k(x1 x2 -4)=1 +4k1 +4k所以直线 PQ 的斜率kpQ二=1，Xr_X221所以直线 PQ 的斜率为定值，该值为 一-16 分220、(本题满分 16 分)已知椭圆C: .=1(a b 0)的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的a b2圆与直线 x y .2=0 相切.(1) 求椭圆 C 的方程；(2)设 P(4, 0) ,M、N是椭圆C上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；(3)在的条件下，证明直线ME与 x 轴相交于定点.20.(本题满分 16 分)反22”23解由题意知 e = = ，所以e2=与=2=，即 a2= 4b2,a 2a a 42又因为 b =w2=1，所以a2=4, b2=1，故椭圆C的方程为C:三+y2=1.4 分71 十 14由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为 y =k(x-4) y =k(x-4)联立 x22消去y得：(4k21)x2-32k2x 4(16k2-1)-0,7y刊由,；-(32k2)2-4(4k21)(64? -4) 0得 12k2-1：0，又k =0不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是 -3: k. 0 或 0：k：.