信号与系统分析 2-3

1、电气工程与自动化学院 郭 俊 美第二章第二章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析建立数学模型建立数学模型( (列写方程列写方程) )解方程解方程经典法经典法双零法双零法变换域法变换域法零输入响应零输入响应: :用经典法用经典法零状态响应零状态响应经典法经典法卷积法卷积法2.2.1 1微分方程的经典求法微分方程的经典求法( )(1)110( )( )( )( )nnnytayta y ta y t 一、微分方程的经典解法一、微分方程的经典解法 流程：流程：( )hy t（通解）（通解） 11100 nnnaaa，求特征频率求特征频率 (

2、1,2,)iin若若 为不相等的单实根为不相等的单实根， i1( )inthiiy tce（1） ()10( )( )( )mmb ftb ftb f t 若若 为为k阶重实根阶重实根 1( )kk ithiiy tcte若若 是是k重根，重根， aj1( ) cos()kk ihiiy ttct1intii kce 1sin()kk iiitd t1intii kce ate2.1微分方程的经典求法微分方程的经典求法例例1：求微分方程：求微分方程22( )( )56 ( )( )d y tdy ty tf tdtdt解：解： 特征方程为：特征方程为： 2特征根为：特征根为： 5601223所

3、以齐次解为：所以齐次解为： ( )y t 21tc e32tc e的齐次解的齐次解2.1微分方程的经典求法微分方程的经典求法（2） （特解）（特解） ( )pytp( ) y ( )f ttB Aat eatAe ()iaat esin/cos ttiPsin tQcos t (j)2.1微分方程的经典求法微分方程的经典求法110()rtrttrriP t ePteP ea 是是r重r重特特征征根根（3） ( )( ) ( )hpy ty tyt 全响应全响应自由响应自由响应+ +受迫响应受迫响应零激励响应零激励响应+ +零状态响应零状态响应瞬态响应瞬态响应+ +稳态响应稳态响应 自自由由响响

4、应应 受受迫迫响响应应2.1微分方程的经典求法微分方程的经典求法总结：求解系统微分方程的经典法总结：求解系统微分方程的经典法求解方程时域经典法：齐次解求解方程时域经典法：齐次解+特解。特解。 齐次解齐次解：由特征方程：由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式1ekntkkA 注意重根情况处理方法。注意重根情况处理方法。特特 解解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式数的特解函数式代入原方程，比较系数代入原方程，比较系数 定出特解。定出特解。全全 解解：齐次解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解的系数。特解，由初始条件定

5、出齐次解的系数。例例 系统微分方程系统微分方程22( )( )56 ( )10sin 0d y tdy ty tttdtdt 试求系统响应的完全解试求系统响应的完全解. . 已知已知(0 )2,(0 )5,yy 2.1微分方程的经典求法微分方程的经典求法解：解： 特征方程为：特征方程为： 特征根为：特征根为： 60122325(1)(1)齐次解齐次解: : 所以齐次解为：所以齐次解为： ( )hy t 21tc e32tc e2.1微分方程的经典求法微分方程的经典求法代入微分方程代入微分方程, ,得：得： 12125()cost5()sin10sinpppptt (2)(2)特解特解: : 对

6、比方程两端同类项的系数对比方程两端同类项的系数, ,有：有： 12( )cossin t0pytptpt 12120 2pppp 解得：解得： 121 1pp ( )cossin2sin()4pytttt 2.1微分方程的经典求法微分方程的经典求法(3)(3)完全解完全解: : 代入初始条件得代入初始条件得: : 所以系统的完全解为：所以系统的完全解为： 121 2cc 2312( )2sin()4tty tc ec et 23( )22sin()4tty teet LTI LTI 系统的完全响应可分为系统的完全响应可分为零输入响应和零零输入响应和零状态响应。状态响应。 零输入响应零输入响应是

7、指激励为零是指激励为零，仅由系统的初仅由系统的初始状态所引起的响应始状态所引起的响应，用用 表示表示。 )(tyzi 在零输入条件下，微分方程式右端为零，化在零输入条件下，微分方程式右端为零，化为齐次方程。若其特征根均为单根，则其零输入为齐次方程。若其特征根均为单根，则其零输入响应为：响应为：1jntz iz ijjy(t)Ce 2.2连续时间系统的零输入响应连续时间系统的零输入响应2.2.2 2连续时间连续时间系统的系统的零输入响应零输入响应 系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由系统状态值系统状态值(0 )(0 ),ziyy 求出待定系

8、数。求出待定系数。( )( )(0 )(0 )nnziyy (0 )(0 ),ziyy ( )0,0,0nziziziyyy 例描述某例描述某LTI系统的微分方程为系统的微分方程为)(4)(2)(4)(5)( tftftytyty 已知已知 ，求该系统的零输入响应。，求该系统的零输入响应。 5)0(, 1)0( yy解：零输入响应满足：解：零输入响应满足： 50001000045yyyyyytytytyzizizizizizizi0452 4, 121 ttziececty421 ttecectyzi4214 5412121cccc 2321cc teetyttzi 423 例：图示电路，例：

9、图示电路，(0 )0(1)(0 )1iAis(0 )0(2)(0 )10ciuv2 ,1 ,1RCF LH 求电路的零输入响应电流。求电路的零输入响应电流。 解：解： ( )su t ( )Ri t1( )tidc( )di tLdt设初始条件为：设初始条件为：2.2连续时间系统的零输入响应连续时间系统的零输入响应求导，求导， 去积分：去积分：( )2 ( )( )( )0siti ti tu t 1,21 则则( )ziit 特征根特征根 12ttc ec te12()tcc t e0t 2.2连续时间系统的零输入响应连续时间系统的零输入响应（1）当初始条件）当初始条件 时时 (0)0(0)

10、1iAis 122( )tttziitc ec tec e 212()ttcc ec te 12101ccc 21c所以所以( )( )tziittet (0 )(0 )0 ,(0 )(0 )1ziziiiii 2 2）初始条件）初始条件(0 )0(0 )10ciuv 电路微分方程可写成：电路微分方程可写成： ( )( )( )( )csdi tLRi tu tu tdt(0 )(0 )(0 )0ciRiu ( )ziit 12ttc ec te 12()tcc t e 0t 所以所以 (0 )(0 )(0 )10ciuRi 同上由同上由 求得系数求得系数 (0 ),(0 )ziziii 10

11、 ,c 210c 则零输入响应电流为：则零输入响应电流为： ( )10( )tziittet (0 )(0 )0 ,(0 )(0 )10ziziiiii 2.2.3 3 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应 ( )( )dttdt ( )( )dg th tdt( )( )tg thd( ) t( )( )zsyth t，一、定义：当初始条件为一、定义：当初始条件为0，作用于系统的，作用于系统的所对应的输出响应所对应的输出响应为为冲激响应冲激响应。信号信号( ) ,t 所对应的状态响应为所对应的状态响应为 , ,称为称为阶跃响应。阶跃响应。 ( )g t当初始状态为当初始状态为0，作用于系统的

12、阶跃信号，作用于系统的阶跃信号 2.2.3 3 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应 原则：原则： 冲激函数的平衡准则：冲激函数的平衡准则： 任意方程两边关于任意方程两边关于 相平衡相平衡 ( )( )kt1. 1. 直接法直接法 二、冲激响应的求法二、冲激响应的求法2.2.3 3 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应 一阶系统一阶系统 00( )( )( )y ta y tb f t00( )( )( )h ta h tbt时， 0t ( )h t 0011001( )( )( )a ta tctc a eta c et 01( )a tc et0( )bt2.2.3 3 冲激响应与阶跃响应

13、冲激响应与阶跃响应 所以所以 10 ,cb 00( )( )a th tb et 0( )( )y ta y t 10( )( )b ftb f t 0( )( )h ta h t 10( )( )btbt ( )h t 01( )( )a tc etBt 2.2.3 3 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应 总结：总结： 当当nm1( )( )ntiiiih tcet为单根当当n=m , 1( )( )( )ntiiiih tc etBt为单根当当nm， ( )10( )( )( )nm ntjjijiiih tc etbt为单根例例1 1 已知连续时间系统框图如图，求系统的冲激响应。已知连

14、续时间系统框图如图，求系统的冲激响应。( )3 ( )2 ( )4( )( )y ty ty tf tf t解法一：解法一：( )h t对对，微微分分方方程程为为：( )3 ( )2 ( )4( )( )h th th ttt0t 当当时时有有：( )3 ( )2 ( )0h th th t212( ) ( )() ( )tth th tc ec et 所所以以：21212 ( )(2) ( )() ( )tth tc ec etcct 将将上上式式微微分分有有：2121212 ( )(4) ( )(2) ( ) ()( )tthtc ec etcctcct ( ) h t代代入入的的微微分分

15、方方程程中中得得：212122121221212 (4) ( )(2) ( )()( )3() ( )2() ( )4( )( )ttttttc ec etcctcctc ec ecctc ec ettt （- - - 2 2）( (t t) )+ + 3 3212122121221212 (4) ( )(2) ( )()( )3() ( )2() ( )4( )( )ttttttc ec etcctcctc ec ecctc ec ettt （- - - 2 2） ( (t t) )+ + 3 3 为为了了使使方方程程平平衡衡，利利用用冲冲激激平平衡衡法法，则则有有：12121223314c

16、ccccc 1237cc 2( )( 37) ( )tth teet 响应及其各响应及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为n次次)2 2间接求解间接求解1110111101d( )d( )d ( )( )dddd( )d( )d( )( )dddnnnnnnmmmmmmy ty ty taaaa y ttttf tf tf tbbbb f tttt 对于线性时不变系统对于线性时不变系统, ,可以用一高阶微分方程表示可以用一高阶微分方程表示 1111011110( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnmmmma htahta hta h tbtbtbtbt 激励及其各激励及其各阶导

17、数阶导数(最最高阶为高阶为m次次)令令 f(t)= (t) 则则 y(t)=h(t) 1101d( )d( )( )( )ddnnnnnnh th taaa h tttt 令方程令方程右端右端只有一项只有一项 (t)时，冲激响应为时，冲激响应为 h t积积分分方方程程两两端端在在 00 00001100000dd( )d( )dnnnnahttahttah tttt 积分积分为为1 1有界函数，在无穷有界函数，在无穷小区间积分为小区间积分为0 0含含 ( (t) )项项积分不为积分不为0 0因为实际系统是因果的，即系统在冲激信号未作用因为实际系统是因果的，即系统在冲激信号未作用之前不会有响应故

18、之前不会有响应故120000nnhhh 230000nnhhh nanh1)0() 1(后面的各项积分所得结果在后面的各项积分所得结果在t=0t=0处连续处连续根据上面的初始条件可以求出根据上面的初始条件可以求出 11001nnna hh h t th由系统的线性时不变特性，原系统的冲激响应由系统的线性时不变特性，原系统的冲激响应 为为 .的的线线性性组组合合 th 1101d( )d( )( )( )ddmmmmmmhthth tbbb h ttt 此方法比直接法简单。对于高阶系统更有优越性。此方法比直接法简单。对于高阶系统更有优越性。( )3 ( )2 ( )4( )( )y ty ty

19、tf tf t例例1 1法二：法二：( )h t对，微分方程为：( )3 ( )2 ( )4( )( )h th th ttt0( )( )tht设，000( )3( )2( )( )hthth tt20012( ) ( )() ( )tththtc ec et所以为：00(0 )0, hh+代入(0 )=1：1212021cccc1211cc 20 ( )() ( )tthteet002222( )4( )( )4(2) ( )4() ( ) () ( )( 37) ( )tttttttth th th teeteeteeteet 2.2.3 3 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应 例例2

20、：图示电路，：图示电路，(0 )0cu( )i t( )cu t12R 2CF解法一：列微分方程：解法一：列微分方程：( )( )( )ccdu ttu tRCdt及及整理得到：整理得到： ( )( )( )ccu tu tt求响应电流求响应电流2.2.3 3 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应 特征根特征根 1 ( )( )tcu tAet把它代入原方程，把它代入原方程， ( )( )( )( )tttAetAetAett所以所以 1A 所以所以 ( )( )tcu tet( )( )cdu ti tCdt2 ( )( )ttetet 一一. .有始信号分解为有始信号分解为冲激冲激信号信号

21、f(t)t0f(0)2k012( )kf tffff 其其中中f0f1fk2.4 信号的时域分解和卷积积分信号的时域分解和卷积积分 1() ()(2)fttf () ()(1)kf ktktkf 0(0) ()()fttff(t)t0f(0)f0f1f2fk2k0f(t)t2k0 ( )()kf tf k即00( )lim() ()kf tf ktk 0 ( )( ) ()( )( )f tftdf tt ()(1)tktk 0 当. .上式表明有始时间信号可分解为一系列上式表明有始时间信号可分解为一系列具有不同幅度、不同时延冲激信号的迭加具有不同幅度、不同时延冲激信号的迭加卷积积分卷积积分0

22、 ( )( ) ()( )( )f tftdf tt 2.4 信号的时域分解和卷积积分信号的时域分解和卷积积分 二二 零状态响应的求法零状态响应的求法零状态响应：零状态响应： 当初始状态为零时，仅由外加激励当初始状态为零时，仅由外加激励引起的响应引起的响应 ，用符号，用符号 表示。表示。( )zsyt( )f t ( ) t( ) t( )h t( )h t( )y t 2.4 信号的时域分解和卷积积分信号的时域分解和卷积积分 ( ) ( ) th t定义 t（） h(t-) ()时不变性f() (t-) f()h(t-) ()齐次性 k -0()()f kt k k 0()()f kh t

23、k （叠加性）0 0( ) () ftd 0f( ) ()h td0 f(t)f(t)* (t) zsy ( )( )* ( )tf th t通过归纳，我们得出：通过归纳，我们得出： 0( )( ) ()f tftd 0( )( ) ()( )* ( )zsytfh tdf th t一般而言，如果有两个信号一般而言，如果有两个信号 和和 ，则积分：，则积分： 1()f t2()f t1212( )( )()( )*( )f tff tdf tf t称为称为 和和 的卷积积分，简称卷积的卷积积分，简称卷积1( )ft2( )ft2.4 信号的时域分解和卷积积分信号的时域分解和卷积积分 三、卷积积

24、分的求法三、卷积积分的求法1212( )*( )( )()f tf tff td一般一般（分（分5个步骤）个步骤） 1.1.图解法：图解法：a.换元换元 :以纵轴为基准反折以纵轴为基准反折 ，得到 2( )f2()f把 的 换成12( ),( )f tfttb.反折反折2.4 信号的时域分解和卷积积分信号的时域分解和卷积积分 把把 沿轴移动某一时刻 ,得到 1t21()f t2( )f把把 相乘，得到 121( ),()ff t121( )()ff t 令令 为连续变量 t，将 波形沿1t2()f tc. 时移时移: : d.相乘相乘: : 轴从左向右平移，轴从左向右平移， 从而得到任意时刻从

25、而得到任意时刻 t 的卷积积分的卷积积分e. 积分：积分：2.4 信号的时域分解和卷积积分信号的时域分解和卷积积分 例例1已知)(1tf和)(2tf如图所示，用图解法求)()(21tftf。2( )f t1( )f t110034tt(a)(b)2.4 信号的时域分解和卷积积分信号的时域分解和卷积积分 解：当解：当t从从改变时，改变时，)(2 tf 自左向右平移，对应不同的自左向右平移，对应不同的t值范围，值范围， )(2 tf与与)(1 f相乘、积分的结果相乘、积分的结果 如下。如下。 向向1( )f103t2( )f t12120( )()0( )( )0tff tf tf t1)011(

26、)4ttd1( )0f非重迭部分不是03t 2)01( )f13tt-42()0f t就是12( )( )f tf t200148ttt221148tt218t331201( )( )()4f tf ttd34t 3)1( )f10tt-43948t31241( )( )()4tf tf ttd4)47t 1( )f130332441148ttt21(67)8ttt-4t12fft03 471589812f f 00t 393448tt21(67)478ttt 07t 相应波形如图所示21038tt 结论：结论：1.积分上下限是两函数重迭部分的边界下限为两函数左边界的最大者下限为两函数左边界的

27、最大者 上限为两函数右边界的最小者上限为两函数右边界的最小者2.卷积结果所占时宽两卷积函数所占时宽卷积结果所占时宽两卷积函数所占时宽之和。之和。2.解析法（即用卷积的定义）解析法（即用卷积的定义）：2312( )( ) ( )( )ttf tetf tet例例2.用定义求下面两个信号的卷积用定义求下面两个信号的卷积：解：解：12( )* ( )f tf t 12( )()ff td23()( )()teetd 23()0tteed30ttee d3(1) ( )tteet23() ( )tteet 一般，卷积积分中出现的积分项，其被积函数总是一般，卷积积分中出现的积分项，其被积函数总是含有两个

28、阶跃函数的因子，二者结合构成门函数的含有两个阶跃函数的因子，二者结合构成门函数的形式，门函数的两个边界就是积分的上下限，左边形式，门函数的两个边界就是积分的上下限，左边界为下限，右边界为上限。界为下限，右边界为上限。 积分结果有效存在的时间我们这样来确定：这个积分结果有效存在的时间我们这样来确定：这个有效时间总是以阶跃函数来表示，并且仍由被积有效时间总是以阶跃函数来表示，并且仍由被积函数中两个阶跃函数因子构成的门函数来确定，函数中两个阶跃函数因子构成的门函数来确定，把积分上下限相减即可。把积分上下限相减即可。 结论：判断积分上下限和积分结果的有效存在时结论：判断积分上下限和积分结果的有效存在时

29、间的方法间的方法例例311 ( )( )( )y tGtGt求011( )Gt1212t1( )Gt如下图所示解法一解法一:图解法图解法( )0y t 01121211) t 12t12tt1( )G1122( )1ty td1212) 0 t 01121( )G12tt12t1122t1t 13) 0 t 11212( )1ty tdt0112121( )Gt12t12t11111100( )00ttty tttt 相应波形如图所示t111( )y t0结论：两个门宽相等的门信号相卷积，其结果等于三角波结论：两个门宽相等的门信号相卷积，其结果等于三角波法二：解析法： 11( )*( )GtG

30、t1111111122222222ttttdddd1111 ()()* ()()2222tttt11() ()( )tttt 11( )() ()tttt 11() ()2 ( )tttt 11() ()tt 例例2 2：已知系统单位冲激响应是：已知系统单位冲激响应是2( )() ( )tth teet 输入信号输入信号，求零状态响应，求零状态响应. .( )( )tf tet 解解: :零状态响应：零状态响应：( )( )* ( )zsytf th t2( )* ( )ttteteet()2()0ttteee ed 200tttte dee d2(1) ( )ttteet200|ttttee

31、e2.2.5 5 卷积积分的意义卷积积分的意义1. 1. 交换律交换律 ： ( )* ( )( )*( )f th th tf t证明：证明： ( )*( )( )()f th tfh td() ( ) ()t xf tx h x d tx ( )()h x f tx dx( )*( )h tf t一、运算规律一、运算规律从系统的观点看卷积的交换律从系统的观点看卷积的交换律( ( 如下图如下图) )即：即： )(tf)(th)(tyzs ) (tf) (th) (tyzs一个单位冲激响应是一个单位冲激响应是 的的LTI系统对输入系统对输入信号信号 所产生的响应，与一个单位冲激响所产生的响应，与

32、一个单位冲激响应是应是 的的LTI系统对输入信号系统对输入信号 所产生所产生的响应相同。的响应相同。( )h t( )f t( )f t( )h t2.2.结合律结合律121221 ( )( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )f th th tf th th tf th th t从系统的观点看，两个系统级联时，总系统的冲从系统的观点看，两个系统级联时，总系统的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。即激响应等于子系统冲激响应的卷积。即y1h(t)h(t)12( )( )( )h th th t且与级联次序无关。且与级联次序无关。 2h( )zsyth(t) 1y( )f t1h( )

33、f t ( )zsyt 1hh(t)2h3.3.分配律分配律1212( ) ( )( )( )( )( )( )f th th tf th tf th t 如下图分配律表明，并联如下图分配律表明，并联LTI系统对输入系统对输入f(t)的响应等于各子系统对的响应等于各子系统对f(t)的响应之和。的响应之和。 )(tf)(th)(tyzs )(tyzs )(tf)(1th)(2th二、卷积性质二、卷积性质.微分性质微分性质 设设 12( )( )*( ) ,f tf tf t则则 1212( )( )*( )( )*( )f tf tf tf tf t证明：证明： 12( )( )*( )ddf

34、tf tf tdtdt12( )()dff tddt12( )()dff tddt12( )()()dff tdd t 12( )*( )f tf t同理同理 12( )( )*( )f tf tf t()()12( )( )*( )mmftftf t()12( )*( )mf tft两个信号卷积后的导数等于其中一个信号的导数与两个信号卷积后的导数等于其中一个信号的导数与另一个信号的卷积另一个信号的卷积 . 卷积积分卷积积分1212( )*( )( )*( )ttffdffd证明：证明： 12( )*( )tffd12( )( )tfdf12( )*( )tffd12( )()tffdd12(

35、 )()tffd d 两个信号卷积后的积分等于其中一个信号的积分与另两个信号卷积后的积分等于其中一个信号的积分与另一个信号的卷积一个信号的卷积 推广推广: : ()()()1212( )( )*( )( )*( )nnnftftf tf tft3. 微积分性质微积分性质 ()( )()12( )*( )( )mnm nftftft这里当这里当m,n为正数时，为导数的阶次；当为正数时，为导数的阶次；当m,n为负为负数时为重积分的阶次数时为重积分的阶次 )(tf)(t)(tf三、函数与奇异函数的卷积三、函数与奇异函数的卷积1.)(tf)(tf如上图冲激响应为 的系统是 。 )(t短路线( )* (

36、 )( ) ()f ttftd ( )f t2.如下图所示，冲激响应为 的系统是延时为 t0 的延时器。 0()tt )(tf0t)(0ttf00( )* ()( ) ()f tttftt d 结论：任意信号与延时了的冲激信号卷积相当于把该信结论：任意信号与延时了的冲激信号卷积相当于把该信号做了相同的延时号做了相同的延时)(tf)(0tt )(0ttf0()f tt( )( )( )( )( )f ttf ttf t3. )(tf)(t)(tf )(tfddt)(tf 如图：即：若系统的冲激响应为 ，该系统是一个微分器。( ) t4. )(tftdf)( )( )f tt ( 1)( )* (

37、 )( )tfttfd )(tftdf)( ) t设设 12( )( )*( )f tf tf t则：则： 1122122112()*()()*()()f ttf ttf ttf ttf ttt利用上面的公式以及卷积的交换律利用上面的公式以及卷积的交换律、结合律，可得到结合律，可得到一般的两个卷积的时移特性一般的两个卷积的时移特性证明：证明： 1122()*()f ttf tt1122( )* ()*( )* ()f tttf ttt1221( )* ()*( )* ()f tttf ttt1221()*()f ttf tt1122()*()f ttf tt1212( )*( )* ()* (

38、)f tf ttttt12( )*()f tttt1122( )* ()*( )* ()f tttf ttt12()f ttt（证毕）（证毕） 思考题思考题 1. 已知周期为已知周期为T的冲激序列的冲激序列 及及 如图如图( )Tt( )f t解：解： ( )()TkttkT( )( )()*( )Tktf ttkTf t求求( )*( )Ttf t波形。波形。 ()* ( )ktkTf t()kf tkT结论：任意的周期函数可以由核心函数与冲激序结论：任意的周期函数可以由核心函数与冲激序列的卷积来完成列的卷积来完成 2 2、信号、信号 的波形分别如图的波形分别如图(1)(2)(1)(2)所示所示 12( )( )f