向量组的线性组合

1、上页下页铃结束返回首页1 定义：定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为的集合称为向量组向量组11121314342122232431323334aaaaAaaaaaaaa 1234, 123TTT 结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应有限向量有限向量组组第三节第三节 向量组的向量组的线性组合线性组合(一一)、向量组的线性组合、向量组的线性组合1。向量组：。向量组：当当R(A) n 时，齐次线性方程组时，齐次线性方程组 Ax = 0 的全体解的全体解组成的向量组含有无穷多个向量组成的向量组含有无

2、穷多个向量上页下页铃结束返回首页(一一)、向量组的线性组合、向量组的线性组合1。向量组：。向量组：2。向量组的。向量组的线性组合与线性表示线性组合与线性表示定义定义1 对于向量组对于向量组 1， 2， ， m ，如果有一组数，如果有一组数k1，k2， ，km，使，使 k1 1 k2 2 km m，则称向量则称向量 是向量组是向量组 1， 2 ， ， m的一个线性组合，的一个线性组合，或称或称 可由向量组可由向量组 1， 2 ， ， m线性表示。线性表示。 定义：定义：若干个同维数的列向量（行向量）所组成若干个同维数的列向量（行向量）所组成的集合称为的集合称为向量组向量组上页下页铃结束返回首页例

3、例1设设 1 (1, 0, 0)， 2 (0, 1, 0)， 3 (0, 0, 1)，则，则 (2, - -1, 1)是向量组是向量组 1， 2 ， 3的一个线性组合，的一个线性组合，也就是也就是 可由可由 1， 2 ， 3线性表示。线性表示。 2 1- - 2 3 2(1, 0, 0)- -(0, 1, 0) (0, 0, 1) (2, - -1, 1)，定义定义1对于向量组对于向量组 1， 2， ， m ，如果有一组数，如果有一组数k1，k2， ，km，使，使 k1 1 k2 2 km m，则称向量则称向量 是向量组是向量组 1， 2 ， ， m的一个线性组合，的一个线性组合，或称或称 可

4、由向量组可由向量组 1， 2 ， ， m线性表示。线性表示。 。下页下页注意：注意：（1）向量组）向量组 1， 2 ， 3 的线性组合有无穷多个的线性组合有无穷多个（2）一个向量）一个向量 有可能可由向量组有可能可由向量组 1， 2 ， 3 的线性表示；的线性表示； 也有可能不能由向量组也有可能不能由向量组 1， 2 ， 3 的线性表示。的线性表示。上页下页铃结束返回首页 例例2任何一个任何一个n维向量维向量 (a1, a2, , an) T都是都是n维向量组维向量组e e1 (1, 0, , 0) T ，e e2 (0, 1, , 0) T ， ，e en (0, 0, , 1) T的线的线

5、性组合。性组合。 这是因为这是因为 a1e e1 a2e e2 an e en。向量组向量组e e1，e e2， ，e en称为称为n维维单位向量组或单位向量组或n维基本向量组维基本向量组下页下页定义定义1对于向量组对于向量组 1， 2， ， m ，如果有一组数，如果有一组数k1，k2， ，km，使，使 k1 1 k2 2 km m，则称向量则称向量 是向量组是向量组 1， 2 ， ， m的一个线性组合，的一个线性组合，或称或称 可由向量组可由向量组 1， 2 ， ， m线性表示。线性表示。结论：结论：任何一个任何一个n维向量维向量 (a1, a2, , an)都可由都可由n维维单位向单位向量

6、组或量组或n维基本向量组维基本向量组线性表示线性表示上页下页铃结束返回首页5例：例：设设 123100,010001Ee e e1002 03 17 0001 123237eee237b 那么那么线性组合的系数线性组合的系数e1, e2, e3的的线性组合线性组合一般地，对于任意的一般地，对于任意的 n 维向量维向量b ，必有，必有1231000010000100001nbbbb 123nbbbbb 上页下页铃结束返回首页6n 阶单位矩阵阶单位矩阵 En 的列向量叫做的列向量叫做 n 维单位坐标向量维单位坐标向量1231000010000100001nbbbb 123nbbbbb 100001

7、0000100001nE 上页下页铃结束返回首页例例3零向量是任何一组向量的线性组合。零向量是任何一组向量的线性组合。下页下页定义定义1对于向量组对于向量组 1， 2， ， m ，如果有一组数，如果有一组数k1，k2， ，km，使，使 k1 1 k2 2 km m，则称向量则称向量 是向量组是向量组 1， 2 ， ， m的一个线性组合，的一个线性组合，或称或称 可由向量组可由向量组 1， 2 ， ， m线性表示。线性表示。例例4向量组向量组 1， 2 ， ， m中的任一向量中的任一向量i(1 i m)都是都是此向量组的线性组合。此向量组的线性组合。注意：注意：对对k1，k2， ，km未加任何限

8、制；特别是未限制未加任何限制；特别是未限制k1，k2， ，km不全为零。不全为零。这是因为这是因为o=0 1 0 2 0 m这是因为这是因为 i 0 1 1 i 0 m 。上页下页铃结束返回首页 定理定理 n维列向量维列向量 可由可由n维列向量组维列向量组 1， 2， ， m线性表示线性表示的充分必要条件是：以的充分必要条件是：以x1，x2， ，xm为未知量的线性方程为未知量的线性方程组组 x1 1 x2 2 xm m 有解。有解。 讨论：讨论： 上述线性方程组在什么情况下有解？上述线性方程组在什么情况下有解？提示：提示： 线性方程组线性方程组 x1 1 x2 2 xm m 有解的有解的充分必

9、要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，即矩阵即矩阵( 1 2 m)与矩阵与矩阵( 1 2 m )的秩相等。的秩相等。下页下页3。 可由可由 1， 2， ， m线性表示的判定方法：线性表示的判定方法：a11x1 a12x2 a1mxm b1a21x1 a22x2 a2mxm b2an1x1 an2x2 anmxm bn x1 1 x2 2 xm m 上页下页铃结束返回首页定理定理 n维列向量维列向量 可由可由n维列向量组维列向量组 1， 2， ， m线性表示线性表示的充分必要条件是：以的充分必要条件是：以x1，x2， ，xm为未知量的线性方程为未知量的

10、线性方程组组 x1 1 x2 2 xm m 有解。有解。 推论：推论：下页下页3。 可由可由 1， 2， ， m线性表示的判定方法：线性表示的判定方法：（1） n维列向量维列向量 可由可由n维列向量组维列向量组 1， 2， ， m线性表示线性表示秩秩( 1 2 m)=秩秩( 1 2 m )定理定理 n维行向量维行向量 可由可由n维行向量组维行向量组 1， 2， ， m线性表示线性表示的充分必要条件是：以的充分必要条件是：以x1，x2， ，xm为未知量的线性方程为未知量的线性方程组组 x1 1T x2 2T xm mT T有解。有解。 （2） n维行向量维行向量 可由可由n维行向量组维行向量组

11、1， 2， ， m线性表示线性表示秩秩( 1T 2 T mT)=秩秩( 1T 2T mT T)上页下页铃结束返回首页例例5设设-632,321,211,132321判断向量判断向量 是否为向量组是否为向量组 1 ， 2 ， 的线性组合。的线性组合。若是，写出表示式。若是，写出表示式。解：解：设设x1 1 x2 2 x 由此可得线性方程组由此可得线性方程组-163233222321321321xxxxxxxxx解此线性方程组解此线性方程组上页下页铃结束返回首页增广矩阵增广矩阵（ 1 2 ）-163233212211010050107001-163233222321321321xxxxxxxxx因

12、为线性方程组有解，因为线性方程组有解，所以所以 可由可由 1， 2 ， 线性表示线性表示又因解为又因解为x1 ， x2 ， x 所以所以 1 2 上页下页铃结束返回首页 例例6判断向量判断向量 1 (4, 3, - -1, 11) T与与 2 (4, 3, 0, 11) T是否各是否各为向量组为向量组 1 (1, 2, - -1, 5) T， 2 (2, - -1, 1, 1) T的线性组合。若的线性组合。若是，写出表示式。是，写出表示式。 解：解：(1)考虑线性方程组考虑线性方程组x1 1 x2 2 1。因为。因为 2 - -1 3- -1 1 - -1 5 1 11 1 2 4 ( 1 2

13、 1) 0 - -5 - -5 0 3 3 0 - -9 - -9 1 2 4 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 2 4秩秩( 1 2 1) 秩秩( 1 2)，所以，所以 1可由可由 1， 2线性表示。线性表示。因为线性方程组的解为因为线性方程组的解为x1 2， x2 1，所以使，所以使2 1 2 。 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 2，下页下页上页下页铃结束返回首页 例例6判断向量判断向量 1 (4, 3, - -1, 11) T与与 2 (4, 3, 0, 11) T是否各是否各为向量组为向量组 1 (1, 2, - -1, 5) T， 2 (2, - -1, 1, 1)

14、 T的线性组合。若的线性组合。若是，写出表示式。是，写出表示式。 解：解： (2)考虑线性方程组考虑线性方程组x1 1 x2 2 2。因为。因为 2 - -1 3- -1 1 0 5 1 11 1 2 4 ( 1 2 2) 0 - -5 - -5 0 3 4 0 - -9 - -9 1 2 4 0 1 1 0 3 4 0 0 0 1 2 4秩秩( 1 2 2) 秩秩( 1 2)，所以，所以 2不能由不能由 1， 2线性表示。线性表示。 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 2 4，下页下页上页下页铃结束返回首页 例例7设向量设向量 1 (1, 2, 3) ， 2 (0,1,4) ， 3 (2

15、, 3, 6) (-1,1, 5)，证明，证明 由由向量组向量组 1， 2， 3线性表示并写出具体线性表示并写出具体的表示式。的表示式。解：解：考虑线性方程组考虑线性方程组x1 1T x2 2T x3 3T T。因为。因为 ( 1T 2T 3T T) -564313121201-110020101001秩秩( 1T 2T 3T T) 秩秩( 1T 2T 3T)，所以，所以 可由可由 1， 2 ， 3线性表示。线性表示。 因为线性方程组的解为因为线性方程组的解为x1 1， x2 2， x3 - -1， 所以所以 1 2 2 - - 3 上页下页铃结束返回首页15例：例：设设证明向量证明向量 b

16、能由向量组能由向量组 a1, a2, a3 线性表示，并求出表示式线性表示，并求出表示式12311111210, , , 21432301aaab - - 解：解：向量向量 b 能由能由 a1, a2, a3 线性表示当且仅当线性表示当且仅当R(A) = R(A, b) 1111103212100121( , )2143000023010000rA b- 因为因为R(A) = R(A, b) = 2， 所以向量所以向量 b 能由能由 a1, a2, a3 线性表示线性表示上页下页铃结束返回首页161111103212100121( , )2143000023010000rA b- 行最简形矩阵

17、对应的方程组为行最简形矩阵对应的方程组为通解为通解为所以所以 b = (3c + 2) a1 + (2c1) a2 + c a3 13233221xxxx - - - 3232212110cxccc- - -上页下页铃结束返回首页17结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应 1111211221222211221212,mmmmmmnnnmmxaaaxxaaaxx ax ax aa aaxaaax1122mmbaaa11121121222212mmnnnmmaaaaaabaaa ( )( , )R AR A b 向量向量b 能由能由向量组向量组

18、A线性表示线性表示线性方程组线性方程组 Ax = b 有解有解P.83 定理定理1 的结论：的结论：上页下页铃结束返回首页18定义：定义：设有向量组设有向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 若若向量组向量组 B 中的每个向量都能由向量组中的每个向量都能由向量组 A 线性表示，则称线性表示，则称向向量组量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示若向量组若向量组 A 与向量组与向量组 B 能互相线性表示，则称这两个能互相线性表示，则称这两个向量向量组等价组等价 4。向量组的等价。向量组的等价 上页下页铃结束返回首页例例1向量组向量组 1 =(1,

19、2) T ， 2 = (1, 1) T ， 3 = (2, 3) T可以由可以由基本向量组基本向量组e e1 (1, 0) T，e e2 (0, 1) T 线性表示；线性表示；同时因为向量组同时因为向量组e e1 (1, 0) T =- - 1 T+2 2 T，e e2 (0, 1) T= 1 T- - 2T，即向量组，即向量组e e1 ， e e2可由向量组可由向量组 1， 2，线性表示；线性表示；所以向量组所以向量组 1， 2与向量组与向量组e e1，e e2等价等价上页下页铃结束返回首页20设有向量组设有向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 若向量

20、组若向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示，即线性表示，即11211121122112212222mlmlmmlmlmbk ak akabk ak akabk ak ak a 1112221122121212,mmmmllmlllkkkkkkb bba aakkk 线性表示的线性表示的系数矩阵系数矩阵上页下页铃结束返回首页21设有向量组设有向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：b1, b2, , bl ， 若向量组若向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示，即线性表示，即n对于对于 b1 ，存在一组实数，存在一组实数 k11, k21, , km1 ，使得，使得b1 =

21、 k11a1 + k21 a2 + + km1 am ；n对于对于 b2 ，存在一组实数，存在一组实数 k12, k22, , km2 ，使得，使得b2 = k12a1 + k22 a2 + + km2 am ；n对于对于 bl ，存在一组实数，存在一组实数 k1l , k2l , , kml ，使得，使得bl = k1l a1 + k2l a2 + + kml am上页下页铃结束返回首页22若若 Cmn = Aml Bln ，即，即则则 1112121222121212,nnnllllnbbbbbbc cca aabbb 结论：结论：矩阵矩阵 C 的列向量组的列向量组能由矩阵能由矩阵 A 的

22、列向量组的列向量组线性表示，线性表示，B 为这一线性表示的系数矩阵为这一线性表示的系数矩阵111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmmnmmmllllncccaaabbbcccaaabbbcccaaabbb 上页下页铃结束返回首页23若若 Cmn = Aml Bln ，即，即111211112111121212222122221222121212nlnnlnmmmnmmmllllncccaaabbbcccaaabbbcccaaabbb 则则1112111212222212TTlTTlTTmmmlmlaaarbaaarbaaarb 结论：结论：矩阵矩

23、阵 C 的行向量组的行向量组能由矩阵能由矩阵 B 的行向量组的行向量组线性表示，线性表示，A 为这一线性表示的系数矩阵为这一线性表示的系数矩阵上页下页铃结束返回首页24口诀：左行右列定理：设A是一个 mn 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.结论：若 C = AB ，那么p矩阵 C 的行向量组能由矩阵 B 的行向量组线性表示，A为这一线性表示的系数矩阵（A 在左边）p矩阵 C 的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示，B为这一线性表示的系数矩阵（B 在右边）上页下页铃结束

24、返回首页25cABA 经过有限次初等经过有限次初等列列变换变成变换变成 B存在有限个初等矩阵存在有限个初等矩阵P1, P2, , Pl ，使，使 AP1 P2 , Pl = B存在存在 m 阶阶可逆矩阵可逆矩阵 P，使得，使得 AP = B矩阵矩阵 B 的列向量组的列向量组与矩阵与矩阵 A 的列向量组的列向量组等价等价rAB矩阵矩阵 B 的行向量组的行向量组与矩阵与矩阵 A 的行向量组的行向量组等价等价 同理可得同理可得 口诀：左行右列口诀：左行右列. .把把 P 看看成是线性成是线性表示的表示的系数矩阵系数矩阵上页下页铃结束返回首页26向量组向量组 B：b1, b2, , bl 能由向量组能由向量组 A：a1, a2, , am 线性表示线性表示存在矩阵存在矩阵 K，使得，使得 AK = B 矩阵方程矩阵方程 AX = B 有解有解 R(A) = R(A, B) （P.84 定理定理2）R(B) R(A) （P.85 定理定理3） 推论：推论：向量组向量组 A：a1, a2, , am 及及 B：