第八讲 等候线模型

1、第八讲第八讲 等候线模型等候线模型物流管理系薛伟霞队列排队论运行指标：运行指标：系统中没有任何个体的概率；系统中没有任何个体的概率；等候线中等待个体的平均数；等候线中等待个体的平均数；系统中个体的平均数；系统中个体的平均数；一个个体在等候线中所花费的一个个体在等候线中所花费的平均时间；平均时间；一个个体在系统中花费的平均一个个体在系统中花费的平均时间；时间；一个个体到达以后不得不等待一个个体到达以后不得不等待以接受服务的概率。以接受服务的概率。实践花旗银行自动取款机的等待时间n美国花旗银行纽约分部负责近美国花旗银行纽约分部负责近250250家银行业务中心。每家银行业务中心。每个中心提供一台或多

2、台自动取款机个中心提供一台或多台自动取款机(ATM)(ATM)，这些自动取，这些自动取款机可以执行多种银行业务。在每个服务中心，顾客款机可以执行多种银行业务。在每个服务中心，顾客随机到达，然后使用某一台自动取款机的服务，并形随机到达，然后使用某一台自动取款机的服务，并形成等候线。成等候线。n为了确定在某一特定业务中心区域内自动取款机的数为了确定在某一特定业务中心区域内自动取款机的数量，管理者需要得到关于每位顾客的平均等候时间以量，管理者需要得到关于每位顾客的平均等候时间以及平均服务时间的信息。等候线的运作参数，诸如等及平均服务时间的信息。等候线的运作参数，诸如等候线中顾客的平均数量、每位顾客的

3、平均等待时间以候线中顾客的平均数量、每位顾客的平均等待时间以及新到达的顾客不得不等待的概率等信息，会帮助管及新到达的顾客不得不等待的概率等信息，会帮助管理者确定各个业务区域内自动取款机的数量。理者确定各个业务区域内自动取款机的数量。实践花旗银行自动取款机的等待时间n例如，位于曼哈顿闹市区的银行业务中心，每天的最例如，位于曼哈顿闹市区的银行业务中心，每天的最高顾客到达率为每小时高顾客到达率为每小时172172小时。使用拥有小时。使用拥有6 6台自动取台自动取款机的多路线等待线模型时可以得出：款机的多路线等待线模型时可以得出：88%88%的顾客必须的顾客必须等待，并且顾客的平均等待时间为等待，并且

4、顾客的平均等待时间为6-76-7分钟。我们认为分钟。我们认为这种服务水平是不可接受的。利用等候线模型进行预这种服务水平是不可接受的。利用等候线模型进行预测，我们得出的建议是：在可接受的服务水平的要求测，我们得出的建议是：在可接受的服务水平的要求下，需要将该地区的自动取款机增加到下，需要将该地区的自动取款机增加到7 7台。等候线模台。等候线模型的使用为各业务中心区域增加自动取款机提供了指型的使用为各业务中心区域增加自动取款机提供了指导。导。主要内容n等候线系统的结构n到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的单列等候线模型n到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的多列等候线模型n等候线模型中的一般

5、关系n等候线的经济性分析案例伯格.度姆快餐店n伯格伯格. .度姆快餐店出售火腿汉堡、奶酪汉堡、法式油度姆快餐店出售火腿汉堡、奶酪汉堡、法式油炸食品、软包装饮料和搅拌牛奶，同时还有一些特炸食品、软包装饮料和搅拌牛奶，同时还有一些特色食品和甜点可供选择。虽然伯格色食品和甜点可供选择。虽然伯格. .度姆快餐店希望度姆快餐店希望能够为每位顾客提供即时的服务，但是很多时候，能够为每位顾客提供即时的服务，但是很多时候，到达的顾客远远多于伯格到达的顾客远远多于伯格. .度姆快餐店的服务人员所度姆快餐店的服务人员所能接待的人数。因此，顾客们不得不排队，以等候能接待的人数。因此，顾客们不得不排队，以等候所点快餐

6、并取走多点的食品。所点快餐并取走多点的食品。n伯格伯格. .度姆快餐店担心，它目前所用的顾客服务方式度姆快餐店担心，它目前所用的顾客服务方式正导致过长的等候时间。管理层已经提出要求，需正导致过长的等候时间。管理层已经提出要求，需要对等候线进行研究，以开发一个能够减少等待时要对等候线进行研究，以开发一个能够减少等待时间、提高服务质量的最佳服务方式。间、提高服务质量的最佳服务方式。单列等候线顾客到达服务生接收点餐并满足点餐要求等候线系统点餐完毕后顾客离开到达间隔分布n顾客的到达规律可以用泊松概率分布来很好地描述。顾客的到达规律可以用泊松概率分布来很好地描述。n泊松概率函数可以计算在某个时间段内，有

7、泊松概率函数可以计算在某个时间段内，有x x个顾客个顾客到达的概率。到达的概率。nxx在此时间段内到达的人数；在此时间段内到达的人数；n每个时间段内到达的平均人数；每个时间段内到达的平均人数；ne=2.71828.e=2.71828.)210(!)(，xxexxP伯格.度姆快餐店顾客到达的概率n平均每小时到达的顾客人数为平均每小时到达的顾客人数为4545人。人。n=45=45名顾客名顾客/60/60分钟分钟=0.75=0.75名顾客名顾客/ /分钟。分钟。!5.705.70!)(xexxexxP伯格.度姆快餐店顾客到达的概率到达顾客概率00.472410.354320.132930.03324

8、0.006250.0010服务时间分布n服务时间服务时间从服务开始，某位顾客在服务台所从服务开始，某位顾客在服务台所花费的时间。花费的时间。n服务时间的概率分布可以用指数概率分布来表示。服务时间的概率分布可以用指数概率分布来表示。n利用指数分布计算服务时间小于或等于时间长度利用指数分布计算服务时间小于或等于时间长度t t时的概率：时的概率：n每个时间段内可接受服务的个体的均值；每个时间段内可接受服务的个体的均值；ne=2.71828.e=2.71828.tetP1)(服务时间伯格.度姆快餐店的服务时间分布n每个服务生平均每个时间能为每个服务生平均每个时间能为6060位顾客提供点餐位顾客提供点餐

9、服务。服务。n平均服务率：平均服务率：=1=1名顾客名顾客/ /分钟。分钟。935.30.5011).50(eP分钟服务时间6321. 01.011)1.0(eP分钟服务时间8647. 02.011)2.0(eP分钟服务时间其他n排队原则排队原则先到先服务先到先服务(FCFS)(FCFS)n稳态运行稳态运行开始或起始阶段称为开始或起始阶段称为过渡（瞬时）过渡（瞬时）阶段，当系统正常或阶段，当系统正常或稳态运行稳态运行时，过渡（瞬时）时，过渡（瞬时）阶段结束。等候线模型描述了等候线的稳态运行阶段结束。等候线模型描述了等候线的稳态运行参数。参数。到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的单列等候线模

10、型的运行参数n每个时间段内到达的平均数（平均到达率）每个时间段内到达的平均数（平均到达率）n每个时间段内服务的平均数（平均服务率）每个时间段内服务的平均数（平均服务率）n1 1、系统中没有任何个体的概率：、系统中没有任何个体的概率：n2 2、等候线中个体的平均数：、等候线中个体的平均数：n3 3、系统中个体的平均数：、系统中个体的平均数：10P2qLqL L到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的单列等候线模型的运行参数n4 4、一个个体在等候线中所花费的平均时间：、一个个体在等候线中所花费的平均时间：n5 5、一个个体在系统中花费的平均时间：、一个个体在系统中花费的平均时间：n6 6、某位刚

11、到达的个体必须等待的概率：、某位刚到达的个体必须等待的概率：n7 7、系统中同时有、系统中同时有n n个个体的概率：个个体的概率：qWqL1W qWwP0PnPn伯格.度姆快餐店的运行参数n平均到达率平均到达率=0.75=0.75n平均服务率平均服务率=1=1n1、n2、n3、5.201115.700P（位顾客）5.225.701125.702qL（位顾客）35.22L15.70qL伯格.度姆快餐店的运行参数n4、n5、n6、（分钟）3L5.705.22qWq（分钟）4131W1qW5.70P175. 0w伯格.度姆快餐店的运行参数n伯格伯格. .度姆快餐店的等候线系统中有度姆快餐店的等候线系

12、统中有N N位顾客的概率位顾客的概率顾客人数概率00.250010.187520.140630.105540.079150.059360.04457个或更多0.1335改进等候线运作n1 1、通过创造性的设计变更或利用新技术来提高、通过创造性的设计变更或利用新技术来提高平均服务率平均服务率。n2 2、增加服务渠道，这样能够使更多的顾客得到、增加服务渠道，这样能够使更多的顾客得到即时服务。即时服务。伯格.度姆改进后的运行参数n雇佣一名上菜员帮助收银台旁的点餐员。雇佣一名上菜员帮助收银台旁的点餐员。n平均服务率由每小时平均服务率由每小时6060人上升到人上升到7575人。人。n平均到达率平均到达率

13、=0.75=0.75n平均服务率平均服务率=1.25=1.25伯格.度姆改进后的运行参数系统没有顾客的概率0. 400等候线中顾客的平均人数0.900系统中顾客的平均人数1.500一个顾客在等候线中花费的平均时间1.200分钟一个顾客在系统花费的平均时间按2.000分钟一位到达的顾客必须等候的概率0.600系统中有7位以上（含7位）顾客的概率0.028课堂练习n针对伯格针对伯格. .度姆快餐店的单列等候线，假设平均度姆快餐店的单列等候线，假设平均到达率增加到每分钟到达率增加到每分钟1 1名顾客，平均服务率增加名顾客，平均服务率增加到每分钟到每分钟1.251.25位顾客。位顾客。n请计算在这个新

14、系统下的各运行参数。请计算在这个新系统下的各运行参数。n与原来的系统相比，这个新系统的服务是改善了与原来的系统相比，这个新系统的服务是改善了还是变差了？还是变差了？n讨论一下两者的差异，并指出造成差异的原因。讨论一下两者的差异，并指出造成差异的原因。到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的多列等候线模型n多列等候线多列等候线包括两个或两个以上服务渠道，包括两个或两个以上服务渠道，假设这些服务渠道就服务能力而言是相同的。在假设这些服务渠道就服务能力而言是相同的。在多列系统中，到达的个体在单列等候线中等待，多列系统中，到达的个体在单列等候线中等待，然后移动到第一个可用的渠道接受服务。然后移动到第一

15、个可用的渠道接受服务。伯格.度姆快餐店的双渠道等候线顾客到达渠道1服务生A等候线点餐完毕后顾客离开渠道2服务生B顾客到下一个营业渠道多列等候线运行参数n满足下列条件：满足下列条件：n到达服从泊松分布；到达服从泊松分布；n各个渠道的服务时间服从指数分布；各个渠道的服务时间服从指数分布；n各个渠道的平均服务率各个渠道的平均服务率相同；相同；n到达者在单列等候线中等候，然后移动到第一个到达者在单列等候线中等候，然后移动到第一个可用的渠道接收服务。可用的渠道接收服务。运行参数n表示系统的平均到达率；表示系统的平均到达率；n表示每个渠道的平均服务率；表示每个渠道的平均服务率；nk k表示渠道数。表示渠道

16、数。n1 1、系统中没有任何个体的概率：、系统中没有任何个体的概率：n2 2、等候线中个体的平均数：、等候线中个体的平均数：10)(!)/(!)/(10Pknnnkkkn0qL2)()!1()/(Pkkk运行参数n3 3、系统中个体的平均数：、系统中个体的平均数：n4 4、一个个体在等候线中所花费的平均时间：、一个个体在等候线中所花费的平均时间：n5 5、一个个体在系统中花费的平均时间：、一个个体在系统中花费的平均时间：qL LqWqL1W qW运行参数n6 6、某位刚到达的个体必须等待的概率：、某位刚到达的个体必须等待的概率：n7 7、系统中同时有、系统中同时有n n个个体的概率：个个体的概

17、率：0!1PPkkkkw)(!)/(P0knPnnn对于)(!)/(P0)(knPkkknnn对于到达服从泊松分布、服务时间服从指数分布的多列等候线中的P0的值比率（/）渠道的数量（k）23450.150.86050.86070.86070.86070.200.81820.81870.81870.81870.250.77780.77880.77880.77880.300.73910.74070.74080.74080.750.45450.47060.47220.47240.800.42860.44720.44910.44931.000.33330.36360.36730.36781.200.2

18、5000.29410.30020.30111.400.17650.23600.24490.24631.800.05260.14600.16160.16462.000.11110.13040.1343伯格.度姆快餐店的双渠道系统n如果管理者想对增开第二个点餐工作台（以便能如果管理者想对增开第二个点餐工作台（以便能同时为同时为2 2位顾客提供服务）的可行性进行评估。位顾客提供服务）的可行性进行评估。n假设在单列等候线中排队的第一位的顾客首先到假设在单列等候线中排队的第一位的顾客首先到达空闲的服务生处，接收服务。达空闲的服务生处，接收服务。n平均到达率为平均到达率为0.750.75位顾客位顾客/ /

19、分钟，每个渠道的服分钟，每个渠道的服务率为务率为1 1位顾客位顾客/ /分钟。分钟。伯格.度姆快餐店的运行参数545.400P （位顾客）1227. 04545. 0qL22)75. 012()!12(175. 0) 1/75. 0(（位顾客）727.8015.70227.10LqL（分钟）636.105.70227.10LqWq（分钟）636.111636.101WqW2045. 0545.405.701212215.70! 21Pw伯格.度姆快餐店双渠道系统中有n位顾客的概率顾客人数概率00.454510.340920.127830.047940.018050.0109管理层的决策运行参数

20、运行参数一名员工的单一名员工的单列系统列系统两名员工的单两名员工的单列系统列系统每个渠道一名每个渠道一名员工的双渠道员工的双渠道系统系统P0系统没有顾客的概率系统没有顾客的概率0.250. 4000.4545Lq等候线中顾客的平均人数等候线中顾客的平均人数2.250.9000.1227L系统中顾客的平均人数系统中顾客的平均人数31.5000.8727Wq一个顾客在等候线中花一个顾客在等候线中花费的平均时间费的平均时间3分钟分钟1.200分钟分钟0.1636分钟分钟W一个顾客在系统花费的平一个顾客在系统花费的平均时间均时间4分钟分钟2.000分钟分钟1.1636分钟分钟Pw一位到达的顾客必须等候

21、一位到达的顾客必须等候的概率的概率0.750.6000.2045系统中有系统中有7位以上（含位以上（含7位）位）顾客的概率顾客的概率0.13350.0280.0109等候线模型中的一般关系nL Lq q等候线中个体的平均数等候线中个体的平均数nL L系统中顾客的平均人数系统中顾客的平均人数nW Wq q一个顾客在等候线中花费的平均时间一个顾客在等候线中花费的平均时间nW W一个顾客在系统花费的平均时间一个顾客在系统花费的平均时间n里特导出方程里特导出方程( (不论到达是否服从泊松分布，服不论到达是否服从泊松分布，服务时间是否服从指数分布务时间是否服从指数分布) )WLqWqLqLqW 1qWW

22、例题n在一次对墨菲食品连锁店的食品杂货收银台的研在一次对墨菲食品连锁店的食品杂货收银台的研究中，有分析家得出：该店的顾客到达服从平均究中，有分析家得出：该店的顾客到达服从平均到达率为每小时到达率为每小时2424位顾客的泊松分布；但是他还位顾客的泊松分布；但是他还发现，服务时间服从平均服务率为每小时发现，服务时间服从平均服务率为每小时3030位顾位顾客的正态分布，而不是指数分布。通过一个对顾客的正态分布，而不是指数分布。通过一个对顾客实际等候时间的研究发现，每位顾客在系统中客实际等候时间的研究发现，每位顾客在系统中平均花费的时间为平均花费的时间为4.54.5分钟。分钟。该等候线系统的运行参数分钟

23、位顾客/0.4024/60分钟位顾客/0.50/6003.54W )( 5 . 250. 015 . 41WqW分钟（位顾客）1.84.50.40WL（位顾客）1.520.40qWqL等候线的经济性分析n总成本总成本等候成本和服务成本。等候成本和服务成本。nCw每个个体在每个时间段内的等候成本；每个个体在每个时间段内的等候成本；nL系统中个体的平均数；系统中个体的平均数；nCs每条渠道在每个时间段内的服务成本；每条渠道在每个时间段内的服务成本；nk渠道数；渠道数；nTC每个时间段内的总成本。每个时间段内的总成本。n总成本是等候成本与服务成本之和：总成本是等候成本与服务成本之和：kcLcwwTC

24、伯格.度姆快餐店的经济性分析n等候成本，每分钟花在每位等候顾客身上的成本。等候成本，每分钟花在每位等候顾客身上的成本。n等候成本为每小时等候成本为每小时1010美元。美元。n服务成本，与每个服务渠道的运作直接相关的成本服务成本，与每个服务渠道的运作直接相关的成本。包括服务生的薪水、福利以及其他与服务渠道的。包括服务生的薪水、福利以及其他与服务渠道的运作相关的直接成本。运作相关的直接成本。n根据估计，每小时为根据估计，每小时为7 7美元。美元。伯格.度姆快餐店的经济性分析n单列系统（单列系统（L=3L=3位顾客）位顾客）n双渠道系统（双渠道系统（L=0.8727L=0.8727位顾客）位顾客）小时）（美元/3717310TCkcLcww小时）（美元/22.73270.872710TCkcLcww等候线模型中的等候线成本曲线、服务成本曲线和总成本曲线的大体形状其他等候线模型n肯德尔（肯德尔（D.G.KendallD.G.Kendall）提出