陈研老师第五章混沌与分形模型初步

1、第二部分第二部分 基于过程的动力学模型与应用基于过程的动力学模型与应用 第五章第五章 混沌与分形模型初步混沌与分形模型初步5.1动力学系统与混沌动力学系统与混沌5.1.1 混沌混沌(chaos)的发现的发现洛仑兹关于大气对流的模型洛仑兹关于大气对流的模型图图5.2 5.2 洛仑兹方程在相平面的投影轨迹洛仑兹方程在相平面的投影轨迹bzxyzyrxxzyyxx洛仑兹洛仑兹 Lorenz 方程方程 式中式中x、y和和z z分别与对流强弱、对流引起的水平分别与对流强弱、对流引起的水平温差和垂直温差有关的变量，温差和垂直温差有关的变量， 、r和和b b分别与流体分别与流体力学中的普兰多数力学中的普兰多数

2、（Prandtl） 、瑞利数和区域、瑞利数和区域大小有关的参量。变量上面的大小有关的参量。变量上面的“ ”表示该变量对表示该变量对时间时间t t的一阶导数。的一阶导数。 蝴蝶效应 19791979年年1212月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所谓了极其深刻的印象。从此以后，所谓“蝴蝶效应蝴蝶效应”之说就之说就不胫而走，名声远

3、扬了。不胫而走，名声远扬了。 “ “蝴蝶效应蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。 从科学的角度来看，从科学的角度来看，“蝴蝶效应蝴蝶效应”反映了混沌运动的反映了混沌运动的一个重要特征：一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。依赖性。 一则西方寓言：一则西方寓言：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马；坏了

4、一只蹄铁，折了一匹战马； 马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小的变化，但其小的变化，但其“长期长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。效应却是一个帝国存与亡的根本差别。这就是军事和政治领域中的所谓这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应蝴蝶效应”。折了一匹战马，伤了一位骑士；折了一匹战马，伤了一位骑士；输了一场战斗，亡了一个帝国。输了一场战斗，亡了一个帝国。 伤了一位骑士，输了一场战斗；伤了一位骑士，输了一场战斗； 什么是混沌呢？什么是混沌呢？ 混沌学的任务就是寻求混沌现象的规律，混沌学的任务就是寻求混沌现象的规律，加以处理和应用。加

5、以处理和应用。 60年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物理学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、物理学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域，成为一门新兴学科。经济学、社会学等诸多领域，成为一门新兴学科。 它的原意是指无序和混乱的状态（混沌它的原意是指无序和混乱的状态（混沌译自英文译自英文Chaos）。这些表面上看起来无规律、）。这些表面上看起来无规律、不可预测的现象，实际上有它自己的规律。不可预测的现象，实际上有它自己的规律。 混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的

6、系统，的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性其行为却表现为不确定性-不可重复、不可预测，不可重复、不可预测，这就是混沌现象。这就是混沌现象。科学家给混沌下的定义是：科学家给混沌下的定义是：1）、对初始条件的敏感依赖性）、对初始条件的敏感依赖性n这是混沌系统的典型特征。初始条件的微小差别在最后的现象中产生极大这是混沌系统的典型特征。初始条件的微小差别在最后的现象中产生极大的差别的差别;或者说，起初小的误差引起灾难性后果。洛伦兹在他的玩具天气模或者说，起初小的误差引起灾难性后果。洛伦兹在他的玩具天气模型中发现了这一特性。型中发现了这一特性。n 在生活中，人们知道一串事件往往

7、具有一个临界点，那里小小的变化会在生活中，人们知道一串事件往往具有一个临界点，那里小小的变化会放大放大. 然而混沌意味着这种临界点比比皆是。它们无孔不入，无时不在。然而混沌意味着这种临界点比比皆是。它们无孔不入，无时不在。在天气这样的系统中，对初始条件的敏感依赖性乃是各种大小尺度的运动在天气这样的系统中，对初始条件的敏感依赖性乃是各种大小尺度的运动互相纠缠所不能逃避的后果，因此，洛伦兹断言：长期预报注定要失败。互相纠缠所不能逃避的后果，因此，洛伦兹断言：长期预报注定要失败。信息从小尺度传向大尺度，把初始的随机性放大。信息从小尺度传向大尺度，把初始的随机性放大。 2）、极为有限的可预测性、极为有

8、限的可预测性n 当系统进入混沌过程后，系统或表现为整体的不可预言，或表现为当系统进入混沌过程后，系统或表现为整体的不可预言，或表现为局部的不可预言。混沌研究者们在自然界和社会中发现了大量混沌现象，局部的不可预言。混沌研究者们在自然界和社会中发现了大量混沌现象，如湍流中的旋涡，闪电的分支路径，流行病的消胀、股市的升降、心脏如湍流中的旋涡，闪电的分支路径，流行病的消胀、股市的升降、心脏的纤颤、精神病行为、城镇空间分布及规模与数量等级等等。的纤颤、精神病行为、城镇空间分布及规模与数量等级等等。 n 信息论认为，信息是对事物不确定性的一种量度。信息量大，消除不信息论认为，信息是对事物不确定性的一种量度

9、。信息量大，消除不确定性的程度就大。我们拥有的关于某物的信息越多，对该事物的预测确定性的程度就大。我们拥有的关于某物的信息越多，对该事物的预测就会更准确。但是，当系统变得混沌以后，它成了一架产生信息的机器，就会更准确。但是，当系统变得混沌以后，它成了一架产生信息的机器，成了连续的信息源，收集更多的信息变得毫无意义。成了连续的信息源，收集更多的信息变得毫无意义。 3）、混沌的内部存在着超载的有序、混沌的内部存在着超载的有序 n 混沌内部的有序是指混沌内部有结构，而且在不同层次混沌内部的有序是指混沌内部有结构，而且在不同层次上其结构具有相似性，即所谓的自相似性。上其结构具有相似性，即所谓的自相似性

10、。 混沌内部的有序还表现为不同系统之间跨尺度的相似性，混沌内部的有序还表现为不同系统之间跨尺度的相似性，即所谓普适性。费根鲍姆通过两种完全不同的反馈函数即所谓普适性。费根鲍姆通过两种完全不同的反馈函数Xt+1=rXt(1-Xt)和和Xt+1=rsinXt的迭代计算，即取一个数作输入，的迭代计算，即取一个数作输入，产生另一个数作输出，再将前次的输出作输入，如此反复迭产生另一个数作输出，再将前次的输出作输入，如此反复迭代计算。当代计算。当 r 值较小时，结果趋向一个定数，当值较小时，结果趋向一个定数，当 r 超过某值超过某值时，其轨迹出现分岔。时，其轨迹出现分岔。 5.1.2 生态系统中的振荡与混

11、沌生态系统中的振荡与混沌 令令xn和和xn+1分别表示亲代和子代的种群数量。分别表示亲代和子代的种群数量。很容易看出，很容易看出，xn+1应与应与xn有关：有关：)(1nnxFx子代数量子代数量xn+1与亲代数量与亲代数量xn的关系应为的关系应为 )(1nnnxbaxx)1 ()(xkxxfy相当于二次函数相当于二次函数 迭代迭代由由f(x) 所实现的映射称为逻辑斯蒂所实现的映射称为逻辑斯蒂（logistic）映射。映射。 当当 时，参数时，参数 变化时，长时间变化时，长时间xn演化的形态可以有好多种。演化的形态可以有好多种。4 , 0,1 , 0 x110时，时，xn0kxn11 312时，

12、3449. 33时，时，xn周期周期2，即在两个值上跳动即在两个值上跳动4545. 3449. 3xn周期周期4，即在四个值上来回跳动，即在四个值上来回跳动 3.57 = xn混沌吸引子混沌吸引子5.1.3 混沌的其它例子混沌的其它例子滴水水龙头滴水水龙头混沌的特征混沌的特征 1、对初始条件的敏感依赖性。、对初始条件的敏感依赖性。 3、混沌的内部存在着超载的有序。、混沌的内部存在着超载的有序。 2、极为有限的可预测性。、极为有限的可预测性。5.1.4 混沌判断混沌判断-李雅普诺夫指数李雅普诺夫指数10,)(ln1limnnnndxxdfnMdxxdfn)(,稳定稳定几种混沌图片（几种混沌图片（

13、1）几种混沌图片（几种混沌图片（2）几种混沌图片（几种混沌图片（3）几种混沌图片（几种混沌图片（4）5.2 分形分形（fractal）现象与分形维数现象与分形维数(Mandelprot)曾说过：曾说过： “浮云不呈球形，山峰不呈锥体，浮云不呈球形，山峰不呈锥体，海岸线不是圆圈，树干不是光溜溜的，海岸线不是圆圈，树干不是光溜溜的，闪电永不会沿直线行进闪电永不会沿直线行进” ” Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does l

14、ightning travel in a straight line. nHow long is the coast of Britain? (Science, 1967)The true answer is: it depends! It depends on the scale at which you measure it. Benot Mandelbrot122869定义：部分以某种形式与整体相似的形状叫定义：部分以某种形式与整体相似的形状叫做分形做分形 。特点：自相似性；无标度。特点：自相似性；无标度。英国的海岸线有多长？英国的海岸线有多长？5.2.1 自然界分形现象的几个实例自然界

15、分形现象的几个实例1. 菜花形状的特征菜花形状的特征2. Cantor集合0F1F2FCantor 集合集合 中点数不可数（比有理数还多！），中点数不可数（比有理数还多！），但其区间长度为零！但其区间长度为零！F3.Weierstrass函数函数0)2()sin()(nnnsxxW其中其中 1s2 且且 ，W(x) 是处处连续、是处处连续、处处不可微的函数。对应处处不可微的函数。对应 s=1.4, 的图象是的图象是124. Van Koch 雪花曲线雪花曲线5.（两种不同的雪花结晶照片，由于晶体结晶的（两种不同的雪花结晶照片，由于晶体结晶的起始位置（晶种）具有一定的随机性，和规则的起始位置（晶

16、种）具有一定的随机性，和规则的分形结构相比这两个雪花有些分形结构相比这两个雪花有些“瑕疵瑕疵”。）。）大自然的不规则性： 树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不 规则的。晶体的生长，分子的运动轨迹等也是不规则的。如何用几何来描述它？ B. Mandelbrot 观察到英国海岸线与Van Koch 曲线的关系，提出了一门描述大自 然的几何形态的学科-分形(Fractal) 5.2.2 2 随机分形的几个例子随机分形的几个例子 二维土壤切片的数字化图像，白色代表孔隙二维土壤切片的数字化图像，白色代表孔隙,黑色代表土壤。黑色代表土壤。（二维逾渗模型（二维逾渗模型(percolation)相应的每个格点被

17、孔隙相应的每个格点被孔隙占有的概率为占有的概率为 p=0.63，黑色代表孔隙，黑色代表孔隙,白色代表土壤）白色代表土壤）（计算机（计算机38 000步模拟之后生成的步模拟之后生成的DLA（Diffusion Limit Aggregation）结构）结构） 分形的特性 1、具有无限精细的结构 2、局部与整体的相似性 3、具有非拓扑维数，并且它大于对应的 拓扑维数 4、具有随机性 5、在大多数情况下，分形可以用非常 简单的方法确定，可能由迭代产生。 5.2.3 分形与分形维数的定义分形与分形维数的定义 分形的维数 1、相似维数：设分形 F 是自相似的，即 F 由 m 个子集构成，每个子集放大 c 倍后同 F一样，则定义 F 的维数为 )1log(/ )(logrrND 对于对于Cantor集，集，3log/