误差理论与数据处理1学习教案

1、会计学1误差误差(wch)理论与数据处理理论与数据处理1第一页，共95页。门捷列夫(mn ji li f)研究误差的意义 第2页/共95页第二页，共95页。钱学森信息技术包括测量技术、计算机技术和通信(tng xn)技术，测量技术是信息技术的关键和基础。钱学森(1911- )研究误差(wch)的意义 第3页/共95页第三页，共95页。41、研究(ynji)误差的意义2、误差的基本概念3、误差与精度4、有效数字与数据运算第4页/共95页第四页，共95页。5第一节 研究误差(wch)的意义第二节误差(wch)的基本概念 误差的定义误差的分类误差的来源第5页/共95页第五页，共95页。6误差(wch

2、) 绝对(judu)误差相对(xingdu)误差粗大误差系统误差随机误差表示形式性质特点误差测得值真值一、误差的定义及表示法 第6页/共95页第六页，共95页。7引用(ynyng)误差（Fiducial Error of a Measuring Instrument） 定义(dngy) 该标称(bio chn)范围（或量程）上限 最大引用误差 仪器某标称刻度值处的绝对误差 mmmxrx引用误差是一种相对误差，而且该相对误差是引用了特定值，又称为引用相对误差。最大引用误差：引用标称范围上限（或量程）得到的，故该误差又满度误差。 最大引用误差：被用来确定仪表的等级精度iimxrx仪器标称范围（或量

3、程）内的最大绝对误差 第7页/共95页第七页，共95页。8主要(zhyo)来源 测量方法误差(wch)测量(cling)装置误差测量环境误差测量人员误差 二、误差的来源 误差的起因: 测量过程中，由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，人们认识能力所限，实验所得数据和被测量的真值之间存在差异。 第8页/共95页第八页，共95页。9三、误差(wch)分类 系统误差（Systematic Error） 在重复性条件下，对同一被测量进行(jnxng)无限多次测量所得结果的平均值与被测量的真值之差。 定义(dngy)特征 在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保持不变，或者在条

4、件改变时，按某一确定规律变化的误差。 第9页/共95页第九页，共95页。10按对误差掌握(zhngw)程度，系统误差可分为 误差(wch)绝对值和符号已经明确的系统误差(wch)。 已定系统误差：例： 直尺(zh ch)的刻度值误差 误差绝对值和符号未能确定的系统误差，但通常估计出误差范围。 未定系统误差：按误差出现规律，系统误差可分为 误差绝对值和符号固定不变的系统误差。 不变系统误差：误差绝对值和符号变化的系统误差。按其变化规律，可分为线性系统误差、周期性系统误差和复杂规律系统误差。 变化系统误差：第10页/共95页第十页，共95页。11随机误差（Random Error） 测得值与在重复

5、性条件(tiojin)下对同一被测量进行无限多次测量结果的平均值之差。又称为偶然误差。 定义(dngy)特征(tzhng) 在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差。 产生原因实验条件的偶然性微小变化，如温度波动、噪声干扰、电磁场微变、电源电压的随机起伏、地面振动等。 随机误差的大小、方向均随机不定，不可预见，不可修正。 大量的重复测量可以发现，它是遵循某种统计规律的。因此，可以用概率统计的方法处理含有随机误差的数据，对随机误差的总体大小及分布做出估计，并采取适当措施减小随机误差对测量结果的影响。 随机误差的性质第11页/共95页第十一页，共95页。12粗大(

6、cd)误差（Gross Error） 指明显超出统计规律预期值的误差(wch)。又称为疏忽误差(wch)、过失误差(wch)或简称粗差。 定义(dngy)产生原因某些偶尔突发性的异常因素或疏忽所致。 测量方法不当或错误，测量操作疏忽和失误（如未按规程操作、读错读数或单位、记录或计算错误等） 测量条件的突然变化（如电源电压突然增高或降低、雷电干扰、机械冲击和振动等）。由于该误差很大，明显歪曲了测量结果。故应按照一定的准则进行判别，将含有粗大误差的测量数据（称为坏值或异常值）予以剔除。 第12页/共95页第十二页，共95页。13三类误差(wch)的关系及其对测得值的影响 标准差期望值 均值(jn

7、zh) 某次测得值 奇异(qy)值 系统误差和随机误差的定义是科学严谨，不能混淆的。但在测量实践中，由于误差划分的人为性和条件性，使得他们并不是一成不变的，在一定条件下可以相互转化。也就是说一个具体误差究竟属于哪一类，应根据所考察的实际问题和具体条件，经分析和实验后确定。f x ( )_33+第13页/共95页第十三页，共95页。14第三节误差(wch)与精度 测量(cling)结果中系统误差的影响程度准确度（Correctness）测量(cling)结果中随机误差的影响程度精密度（Precision）精确度（Accuracy ） 表示测量结果与被测量真值之间的一致程度。就误差分析而言，精确度

8、是测量结果中系统误差和随机误差的综合，误差大，则精确度低，误差小，则精确度高。 精确度（精度）在数值上一般多用相对误差来表示，但不用百分数。如某一测量结果的相对误差为0.001%，则其精度为10-5。 第14页/共95页第十四页，共95页。15准确度、精密度和精确度三者之间的关系(gun x)(a)(b)(c)弹着点全部(qunb)在靶上，但分散。相当于系统误差小而随机误差大，即精密度低，准确度高。弹着点集中，但偏向(pinxing)一方，命中率不高。相当于系统误差大而随机误差小，即精密度高，准确度低。弹着点集中靶心。相当于系统误差与随机误差均小，即精密度、准确度都高，从而精确度高。第15页/

9、共95页第十五页，共95页。16第四节有效数字与数据(shj)运算 一、有效数字(yu xio sh z) 测量精度有限 最末一位有效数字(yu xio sh z)应与测量精度同一量级可靠数字 + 一位存疑数字 = 有效数字(yu xio sh z) 有效位数是该数中有效数字(yu xio sh z)的个数。指从该数左方第一个非零数字算起到最末一个数字（包括零）的个数，它不取决于小数点的位置 。例如：3.14（3位）0.0032（2位）0.00320（3位）3.143.210-33.2010-3正确表示：（20.53 0.01）mm（20.534 0.042）mm第16页/共95页第十六页，共

10、95页。17二、数字(shz)舍入规则 计算和测量过程中，对很多位的近似数进行取舍时，应按照下述原则进行凑整：若舍去部分的数值，大于保留部分末位的半个单位，则末位数加1。若舍去部分的数值，小于保留部分末位的半个单位，则末位数减1。若舍去部分的数值，等于保留部分末位的半个单位，则末位凑成偶数(u sh)，即当末位为偶数(u sh)时则末位不变，当末位是奇数时则末位加1。第17页/共95页第十七页，共95页。18三、数字运算(yn sun)规则 1.在近似数运算时，为了保证最后结果有尽可能高的精度，所有残余运算的数字，在有效数字后可多保留一维数字作为参考数字（或称为(chn wi)安全数字）。2.

11、在近似数做加减运算时，各运算数据以小数位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同。3.在近似数乘除运算时，各运算数据以有效位数最少的数据位数为准，其余各数据可多取一位有效数，但最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。4.在近似数平方或开方运算时，近似数的选取与乘除运算相同。5.在对数运算时，n位有效数字的数据应该(ynggi)用n位对数表，或用（n+1）位对数表，以免损失精度。6.三角函数运算时，所取函数值的位数应随角度误差的减小而增多第18页/共95页第十八页，共95页。19第一节 随机误差第二节 系统误差第三节 粗大误差第四节 测量(cli

12、ng)结果的数据处理实例第19页/共95页第十九页，共95页。20第一节 随机误差 一、随机误差产生的原因(yunyn) 二、随机误差的分布及其特性 三、算术平均值 四、测量的标准差 五、测量的极限误差 六、不等精度测量 七、随机误差的其他分布 第20页/共95页第二十页，共95页。21一.随机误差的产生(chnshng)原因 误差的出现没有确定的规律 统计规律 二.正态分布22(2)1( )2fe22( )fd 4( )5fd1( )2fd第21页/共95页第二十一页，共95页。22NoImage三.算术(sunsh)平均值 设 为n次测量(cling)所得的值，则算术平均值 为：12, ,

13、.,nl llx121.ninillllxnniivlx式中： 第 个测得值， 1，2，n; 的残余误差(wch)（简称残差）。iliiivil0iilL随机误差：第22页/共95页第二十二页，共95页。23正态分布(fnb)的随机误差分布(fnb)密度1.单次测量(cling)的标准差2222121.inninn四.测量(cling)的标准差22(2)1( )2fe211inivn（Bessel公式）2.测量列算术平均值的标准差xn第23页/共95页第二十三页，共95页。24五.测量(cling)的极限误差1.单次测量的极限(jxin)误差22(2)112ed2202()()2 ( )2tt

14、PPtedtt t：置信(zhxn)系数； P:置信(zhxn)概率或置信(zhxn)水平2.算术平均值的极限误差limxxt 第24页/共95页第二十四页，共95页。251.权的概念(ginin) 各个(gg)测量结果的可靠程度p六.不等精度(jn d)测量2.权的确定方法最简单确定权的方法：按测量的次数确定权。 前提：测量条件和测量水平皆相同。iipnixin1212222111:.:.:mmxxxppp结论：每组测量结果的权与其相应的标准差平方成反比。第25页/共95页第二十五页，共95页。26 3.加权算术(sunsh)平均值加权算术(sunsh)平均值11miiimiip xxp4.

15、单位(dnwi)权概念iizp x 若将不等精度测量的各组测量结果 皆乘以自身权数的平方根 ，此时得到的新值 的权数就为1。ipzix第26页/共95页第二十六页，共95页。27用 代替 代入等精度测量的公式得：iixp viv211imixip vm 加权算术(sunsh)平均值的标准差：211(1)imiximxiip vmp等精度测量(cling)列的残余误差等精度(jn d)测量列的测量结果 已知各组测量结果的残余误差为： ，将各组 单位权化得：iiiiixp vp xp xixiixvxx 加权单次测量的标准差：5.加权算术平均值的标准差第27页/共95页第二十七页，共95页。28七

16、.随机误差的其他(qt)分布 正态分布是随机误差最普遍(pbin)的一种分布规律，但不是唯一的分布规律。 几种(j zhn)常见的非正态分布：1.均匀分布2. 反正弦分布3. 三角形分布4. 分布25. 分布t 6. 分布F第28页/共95页第二十八页，共95页。29第二节 系统误差随机误差处理方法的前提：测量数据中不含有系统误差实际情况(qngkung)：系统误差与随机误差同时存在研究系统误差的特征与规律性，找出产生系统误差的原因，提出减加或消除系统误差的方法 给出科学结论一 系统误差产生(chnshng)的原因二 系统误差的特征(tzhng)三 系统误差的发现四 系统误差的减小和消除第29

17、页/共95页第二十九页，共95页。30计量校准(jio zhn)后发现的偏差、仪器设计原理缺陷、仪器制造和安装的不正确等。测量(cling)时的实际温度对标准温度的偏差、测量(cling)过程中的温度、湿度按一定规律变化的误差等。采用近似的测量方法或计算公式引起的误差等。测量人员固有的测量习性引起的误差等。一 系统误差产生的原因第30页/共95页第三十页，共95页。31二 系统误差的特征(tzhng)在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持(boch)不变，或者在条件改变时，误差按一定规律变化。1 不变的系统误差2 线性变化(binhu)的系统误差3 周期性变化的系统误差4 复

18、杂规律变化的系统误差第31页/共95页第三十一页，共95页。32三 系统误差的发现(fxin)秩和检验法检验法计算数据比较法，正态检验法检验法组间不同公式计算标准差法残余误差校核法残余误差观察法实验对比法组内发现系统误差的方法Ft第32页/共95页第三十二页，共95页。33四 系统误差的减小和消除(xioch)（一）消误差源法 （二）加修正(xizhng)值法 （三）改进测量方法 （一）消误差源法： 所用基准件、标准件是否准确可靠； 所用量具仪器是否处于正常工作状态，是否经过检定； 仪器的调整、测件的安装定位和支承装卡是否正确合理； 所采用的测量方法和计算方法是否正确，有无(yu w)理论误差

19、； 测量的环境条件是否符合规定要求，如温度、振动、尘污、气流等； 注意避免测量人员带入主观误差如视差、视力疲劳、注意力不集中等。 （二）加修正值法第33页/共95页第三十三页，共95页。34（三）改进(gijn)测量方法 1、消除恒定系统误差的方法 抵消或反向补偿法丝杠与螺母间的配合间隙等因素引起的定回误差，往往采用往返两个方向的两次读数取均值作为测量结果(ji gu) 代替法：代替法的实质是在测量装置上对被测量测量后不改变测量条件，立即用一个标准量代替被测量，测量差值 被测量标准差差值 交换法：这种方法是根据误差产生原因，将某些条件交换，以消除系统误差。 第34页/共95页第三十四页，共95

20、页。352、消除线性系统误差(wch)的方法对称法 3425122xxxxx例如测定量块平面平行性时（见图2-20）,先以标准量块A的中心0点对零，然后按图中所示被检量块B上的顺序逐点检定，再按相反顺序进行检定，取正反两次读数的平均值作为各点的测得值，就可消除因温度变化而产生(chnshng)的线性系统误差。第35页/共95页第三十五页，共95页。363、消除(xioch)周期性系统误差的方法半周期法sinal 11211sinal 1112sin)sin(laal0221121llll第36页/共95页第三十六页，共95页。37第三节 粗大(cd)误差粗大误差的数值比较大，它会对测量(cli

21、ng)结果产生明显的歪曲，一旦发现含有粗大误差的测量(cling)值，应将其从测量(cling)结果中剔除一 粗大误差的产生(chnshng)原因1测量人员的主观原因2客观外界条件的原因二 防止与消除粗大误差的方法1避免人为因素的影响，反复多次检查2尽量采用自动化数采系统3加强本底环境监测第37页/共95页第三十七页，共95页。38三 判别粗大(cd)误差的准则3iv31 准则 测量次数充分大若 则可以认为它含有粗大(cd)误差2 t检验(jinyn)准则（罗曼诺夫斯基准则）当测量次数较少时，按 t 分布的实验误差分布范围来判别粗大误差较为合理.特点：首先剔除一个可疑的测量值，然后按t分布检验

22、被剔除的测量值是否含有粗大误差.第38页/共95页第三十八页，共95页。39第三章 误差(wch)的合成与分配第一节 函数误差第二节 随机误差的合成第三节 系统误差的合成第四节 系统误差与随机误差的合成第五节 误差分配(fnpi)第六节 微小误差取舍准则第七节 最佳测量方案的确定第39页/共95页第三十九页，共95页。40 任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各环节一系列误差因素共同(gngtng)作用的结果。 正确分析与综合这些误差(wch)因素，并正确地表述这些误差(wch)的综合影响。第一节 函数(hnsh)误差 间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其他量，

23、按照已知的函数关系式计算出被测量。 间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。 研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。 对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。第40页/共95页第四十页，共95页。4112( ,.,)nyf x xx1212.nnfffyxxxxxx（函数(hnsh)系统误差公式）一. 函数(hnsh)系统误差的计算第一节 函数(hnsh)误差二. 函数随机误差计算11121112.nnfffyxxxxxx21222212.nnfffyxxxxxx1212.NNNnNnfffyxxxxxx可得：122222222112.2()nijnyxxxijxxijn

24、ijfffffxxxxx 该式即为函数随机误差公式，其中 为第 个测量值和第 个 测量值之间的误差相关系数, 为各测量值的误差传递系数。ijijifx第41页/共95页第四十一页，共95页。42若各测量(cling)值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时，有：0ij10NimjmmijxxKN则误差(wch)公式变为：12222222212.nyxxxnfffxxx1222222212.nyxxxnfffxxx令iifax1122222222.nnyxxxaaa （较常使用(shyng)）122222222112.2()nijnyxxxijxxijnijfffffxxxxx 第42页/共95

25、页第四十二页，共95页。43三. 误差间的相关(xinggun)关系和相关(xinggun)系数1.误差(wch)间的线性相关关系即线性依赖(yli)关系，有强弱之分。2.相关系数由相关系数定义知：D 式中： 误差间的协方差； 两误差的标准差。D,22()()( ,)()()ikijkjkijikijkjkkxxxxx xxxxx第43页/共95页第四十三页，共95页。44第二节 随机误差的合成(hchng)一. 标准差的合成(hchng)211()2qqiiijijijiijaa a 211()2qqjiiiijijiijiijata att t iiit 二. 极限误差(wch)的合成12

26、.qtttt0ij21()qiiia （较常使用）第44页/共95页第四十四页，共95页。45一. 已定系统误差的合成(hchng)1riiia211()2ssiiijijijiijuaua a uu 当 时，有：0ij21()siiiuau二. 未定系统误差211()2ssji iiijijiijiijeaeeeta att t 21()si iieae 当各单项未定系统误差均服从(fcng)正态分布，且 时，0ij极限(jxin)误差标准差第三节 系统误差的合成第45页/共95页第四十五页，共95页。46第四节 系统误差与随机误差的合成(hchng)一、按极限误差(wch)合成设有r个单项

27、已定系统误差 s个单项未定系统误差 q个单项随机误差12,r 12,se ee12,q 22111qrsiiiiiiiietRtt 总ia假设误差传递系数 均为1，则总极限误差为：各个(gg)误差间协方差之和第46页/共95页第四十六页，共95页。47二按标准差合成(hchng)s个未定系统误差标准差q个单项随机误差标准差12,su uu12,q 误差传递系数均为1，且各个(gg)误差间协方差之和R为02211qsiiiiu对于(duy)多次重复测量：22111qsiiiiun只考虑未定系统误差与随机误差合成问题第47页/共95页第四十七页，共95页。48第五节 误差(wch)分配单项误差 总

28、误差总误差的允差 各个单项误差综合如： 弓高弦长法测大直径D给定直径测量允许极限误差 ，求弓高h和弦长s的测量极限误差D,hs 已定系统误差(wch)通过修正方法消除，则只考虑未定系统误差(wch)和随机误差(wch)，且这两种误差(wch)分配时可同等看待，分配方法完全相同。第48页/共95页第四十八页，共95页。49第六节 微小误差取舍(qsh)准则微小误差：测量过程包含多种误差，有的误差对测量结果(ji gu)总误差影响较小，小到一定程度，计算测量结果(ji gu)总误差可不予考虑。2222221211ykkknDDDDDD取出部分误差kD222221211ykknDDDDD若 ， 则

29、称为微小误差，可从总误差中舍去yykD已知测量(cling)结果的标准差为：第49页/共95页第四十九页，共95页。50第七节 最佳(zu ji)测量方案的确定 测量结果与多个测量因素有关，采用什么方法确定各个(gg)因素，使得测量结果的误差为最小，确定最佳测量方案。函数(hnsh)的标准差为2222221212ynnfffxxx使标准差为最小，确定最佳测量方案，从以下二方面考虑：一 选择最佳函数误差公式二 使误差传递系数等于零或为最小第50页/共95页第五十页，共95页。51第四章：测量(cling)不确定度 第四章 测量(cling)不确定度第一节 测量(cling)不确定度的基本概念第二

30、节 标准不确定度的评定第三节 测量(cling)不确定度的合成第四节 测量(cling)不确定度应用实例第51页/共95页第五十一页，共95页。52第四章：测量(cling)不确定度测量不确定(qudng)度（uncertainty of measurement）是测量结果带有的一个参数，用于表征被测量值的分散性。一个(y )完整的测量结果被测量的最佳估计值分散性参数第一节 测量不确定度的基本概念以分布区间的半宽表示，因此它表示一个区间，强调一个范围。A类评定方法是采用统计分析的方法评定标准不确定度。一、A类评定方法第二节：标准不确定度的评定二、B类评定方法 在很多情况下，我们不能用统计方法来

31、评定标准不确定度，利用其他假设,经验或资料(本次测量以外的其他信息)进行统计分析的B类评定方法 。第52页/共95页第五十二页，共95页。53第三节：测量(cling)不确定度的合成一、合成标准不确定度（combined standard uncertainty）当测量结果受多种因素(yn s)影响形成了若干个不确定度分量时，测量结果的标准不确定度就用这些分量合成后的合成标准不确定度 表示。cu一般(ybn)用下式表示：一般用下式表示：2112NNciijijiijuuuu 其中， 第i个标准不确定度的分量 第i个和第j个标准不确定度分量之间的相关系数 不确定度分量的个数iuijN第53页/共

32、95页第五十三页，共95页。54二、展伸不确定(qudng)度（expanded uncertainty）也称为扩展不确定度或范围不确定度。用符号(fho) 或 表示。UpU 展伸不确定度由合成标准不确定度 乘以包含因子 得到，即 用展伸不确定度作为测量不确定度，则测量结果(ji gu)表示为 ：cukcUkuYyU三、不确定度的报告第54页/共95页第五十四页，共95页。55第四章：测量(cling)不确定度 第五章 线性参数(cnsh)的最小二乘法第一节 最小二乘法的原理第二节 正规方程第三节 精度(jn d)估计第四节 组合测量的最小二乘法处理第55页/共95页第五十五页，共95页。5-

33、56最小二乘法的产生是为了解决(jiju)从一组测量值中寻找最可信赖值的问题。 对某量进行测量，得到一组数据(shj) ,不存在系统误差和粗大误差，相互独立，且服从正态分布,其标准差为 x12,nx xx12,n 测得值落入 的概率 ix,iix xdx221exp()22iiiivpdx第56页/共95页第五十六页，共95页。5-57测得值 同时(tngsh)出现的概率为 12,nx xx211exp()2( 2 )niiniiiiivPpdx最可信赖值满足(mnz) 22iiivMin2iiwvMin22()iivxxMin21iiw201iw权因子(ynz) 最小二乘法原理 虽然是在正态

34、分布下导出最小二乘法，实际上，按误差或残差平方和为最小进行统计推断已形成一种准则。第57页/共95页第五十七页，共95页。0第58页/共95页第五十八页，共95页。5-59线性测量(cling)方程组线性测量(cling)方程组的一般形式为 1 1221tiiiittijjjya xa xa xa x1,2,in1tiijjijya xv测量(cling)残差方程组 含有随机误差Ax = yy - Ax = v矩阵形式111212122212ttnnntaaaaaaAaaa12nyyyy12txxxx12nvvvv第59页/共95页第五十九页，共95页。5-60T() ()Miny - Axy

35、 - Ax最小二乘法(chngf)原理式 求导TTA Ax = A y正规(zhnggu)方程组 正规(zhnggu)方程组解 1TxCA yTA ACT() w()Miny - Axy - AxwwTTAAx = Ay1(TTwwxAA) Ay不等权正规方程组 第60页/共95页第六十页，共95页。5-61三、标准差的估计(gj) 1、直接测量(cling)结果的标准差估计 2iivsnt2iiiwvsnt（加权）未知量个数方程(fngchng)个数残差2、待求量的标准差估计 xjjjd直接测量量的标准差1TA A对角元素误差传播系数 3、待求量与的相关系数 ijijiijjdd d1TA

36、A元素第61页/共95页第六十一页，共95页。5-62【例5-】为精密测定1号、2号和3号电容器的电容量，进行了等权、独立(dl)、无系统误差的测量。测得1号电容值，2号电容值，1号和3号并联电容值，2号和3号并联电容值。试用最小二乘法求及其标准偏差。 123,x x x10.3y 20.4y 30.5y 40.3y 123,x x x【解】列出测量(cling)残差方程组 y - Ax = v0.30.40.50.3y100010101011A1234vvvvv11223134230.30.40.5()0.3()xxxxxx 矩阵(j zhn)形式第62页/共95页第六十二页，共95页。5-

37、63正规(zhnggu)方程组 TTA Ax = A y100101020101001010211010011112011TCA A0.310100.80.401010.70.500110.20.3T A y1232010.80210.71120.2xxx 第63页/共95页第六十三页，共95页。5-64正规(zhnggu)方程组解 1TxCA y1 0.250 -0.500 0.250 -0.500-0.500 -0.500 0.7500.7501.000C0.750 0.250 -0.5000.80.325 0.250 0.750 -0.5000.7-0.425-0.500 -0.500

38、1.0000.2 0.1501230.325,0.425,0.150 xxx 即第64页/共95页第六十四页，共95页。5-65代入残差方程组，计算(j sun) 12340.025vvvv 222212340.0025vvvv0.002543s 1110.0433xs d 2220.0433xs d 3330.050 xs d 第65页/共95页第六十五页，共95页。5-66测量(cling)残差方程组 ( )iiiyvx12( ,)tx xxx非线性函数(hnsh)取的初始似值 x(0)x泰勒展开(0)(0)()iiijijyvxj=tj=1xx 1 122iiiittiyaaav ()i

39、iiyy (0)x按线性参数最小二乘法解得 12( ,)t (1)(0)xx 迭代直至满足精度为止 第66页/共95页第六十六页，共95页。5-67第67页/共95页第六十七页，共95页。5-68【例5-3】要求检定丝纹尺0，1，2，3刻线间的距离(jl)。已知用组合测量法测得图所示刻线间隙的各种组合量。试用最小二乘法求及其标准偏差。 123,x x x123,x x x11.015L 20.985L 31.020L 42.016L 51.981L 63.032L 0123xxx123LLLLLL123456第68页/共95页第六十八页，共95页。5-69【解】列出测量(cling)残差方程组

40、 L- Ax = v1.01250.9851.0202.0161.9813.302L100010001110011111A123456vvvvvvv1112223334412552366123vLxvLxvLxvLxxvLxxvLxxx第69页/共95页第六十九页，共95页。5-70解出11TTTxC A LA AA L10.5000.25000.2500.5000.25000.2500.500C 1.0150.9851001016.0631.020010111 8.0142.016001011 6.0331.9813.032TA L0.5000.25006.0631.0280.2500.5000.250 8.014 0.98300.2500.500 6.033 1.013x 1231.028,0.983,1.013xxx即计算结果第70页/共95页第七十页，共95页。5-71代入残差方程组可得 11122233344125523661231.015 1.0280.0130.9850.9830.0021.020 1.0130.0072.016(1.0280.983)0.0051.981 (0.983 1.013)0.0153.032(1.0280.983 1.013)0.008vLxvLxvLxvLxxvLxxvLxxx 2222221234560.0