公开课-垂直于弦的直径(第1课时)

1、24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径 垂径定理垂径定理如图，如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥，求赵州桥主桥拱的半径（精确到拱的半径（精确到 0.1 m）创设情境，导入新知创设情境，导入新知 实践探究实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？几次，你发现了什么？由此你能得到什么结

2、论？可以发现：可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴所在直线都是它的对称轴O O如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？OABCDE思考思考（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2） 线段：线段： AE=BE弧：，弧：，CAEBO.D想一想：

3、想一想：垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。并且平分弦对的两条弧。结论结论CD为为 O的直径的直径CDAB 条件条件垂径定理垂径定理 定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM, AC =BC, AD =BD.判断下列图形，能否使用垂径定理？判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件（过圆心，垂直于弦）（过圆心，垂直于弦）缺缺一不可！一不可！ EDCOABOBCA

4、DDOBCAOBACDOBACMOACBND D如图，在圆如图，在圆OO中，直径中，直径MNABMNAB，垂足是，垂足是C C，则下列结论中错误的是，则下列结论中错误的是 （ ）A.AC=CB B. AN=BNA.AC=CB B. AN=BNC.AM=BM D.ON=CNC.AM=BM D.ON=CN 1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，（，（1）求）求 O的半径的半径OABE解解：作：作答：答： O的半径为的半径为5cm. (2) 若弦若弦AB长为长为8cm， O半径为半径为5cm， 求圆心求圆心O到到AB距离距离（3）若圆心

5、）若圆心O到到AB距离为距离为3cm， O半径为半径为5cm求弦求弦AB长长连接连接OA变式训练：变式训练：OEBA若若圆心到弦的距离圆心到弦的距离用用d d表示，半径用表示，半径用r r表示，表示，弦长用弦长用a a表示，这三者之间有怎样的关系？表示，这三者之间有怎样的关系？2222adr若下面的弓形高为若下面的弓形高为h h则则r r、d d、h h之间有怎样的关系之间有怎样的关系? ?r=d+hr=d+hdrah1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆，圆心心O到到AB的距离为的距离为3cm求求 O的半径的半径总结总结:圆中有关计算常作的辅助线圆中有关计算常作的辅助线

6、过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线,连结半径连结半径,构造直角三角形的基本图形再构造直角三角形的基本图形再利用勾股定理解题利用勾股定理解题OEBA1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE解：解：答：答： O的半径为的半径为5cm.活活 动动 三三在RtAOE中讲解讲解垂径定理的应用垂径定理的应用 2.已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两个同心为圆心的两个同心圆中，大圆的弦圆中，大圆的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。两点。你认为你认为AC和和BD有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？证明：过证明

7、：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即即 ACBD.ACDBOE1.1.在半径为在半径为3030的的OO中，弦中，弦AB=36AB=36，则，则O O到到ABAB的距离是的距离是= = 。 OABP24mm注意：解决有关弦的问题，过圆心作注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法是一种常用辅助线的添法如图，已知在两同心圆如图，已知在两同心圆 O 中，大圆弦中，大圆弦 AB 交小圆交小圆于于 C，D，则，则 AC 与与 BD 间可能存在什么关系？间可能存在什么关系？6利用新

8、知解决问题利用新知解决问题DOCAB变式变式1 如图，若将如图，若将 AB 向下平移，当移到过圆心时，结论向下平移，当移到过圆心时，结论 AC=BD 还成立吗？还成立吗？6利用新知解决问题利用新知解决问题DOCAB变式变式2 如图，连接如图，连接 OA，OB，设，设 AO=BO，求证：求证：AC=BD6利用新知解决问题利用新知解决问题DOCAB变式变式3 连接连接 OC，OD，设，设 OC=OD，求证：求证：AC=BD6利用新知解决问题利用新知解决问题DOCAB方法归纳方法归纳: : 解决有关弦的问题时，经常解决有关弦的问题时，经常连接半径连接半径；过圆心作一条与弦垂直的线段过圆心作一条与弦垂

9、直的线段等辅助线，为等辅助线，为应用垂径定理创造条件。应用垂径定理创造条件。 垂径定理经常和勾股定理结合使用。垂径定理经常和勾股定理结合使用。E.ACDBO.ABO2 2、如图、如图4 4，在，在OO中，中，ABAB为为OO的弦，的弦，C C、D D是直是直线线ABAB上两点，且上两点，且ACACBDBD求证：求证：OCDOCD为等腰三角为等腰三角形。形。ABCDOEABCDO3 3、如图，两个圆都以点、如图，两个圆都以点O O为圆心，小圆的弦为圆心，小圆的弦CDCD与大圆的弦与大圆的弦ABAB在同一条直线上。你认为在同一条直线上。你认为ACAC与与BDBD的的大小有什么关系？为什么？大小有什

10、么关系？为什么？G2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且为互相垂直且相等的两条弦，相等的两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.再逛赵州石拱桥再逛赵州石拱桥 如图，用如图，用 表示桥拱，表示桥拱， 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为Rm，经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD，D为垂足，与为垂足，与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理，据垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是是 的中点，的中

11、点，CD就是拱高就是拱高.由题设知由题设知ABABABAB, 2 . 7, 4 .37CDABABAD21, 7 .184 .3721DCOCOD. 2 . 7 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)2 . 7(7 .18222RR即解得解得 R27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.OABCRD37.47.2 1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石我国隋朝建造的赵州石拱桥拱桥(如图如图)的桥拱是圆弧形的桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧弧所对是弦的长所对是弦的长)为为37.4m,拱高拱高(弧的中点到弧的中点

12、到弦的距离弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,求桥拱的半求桥拱的半径径(精确到精确到0.1m).1 18 8. .7 73 37 7. .4 42 21 1A AB B2 21 1A AD DABCDO3 3、如图，两个圆都以点、如图，两个圆都以点O O为圆心，小圆的弦为圆心，小圆的弦CDCD与大圆的弦与大圆的弦ABAB在同一条直线上。你认为在同一条直线上。你认为ACAC与与BDBD的的大小有什么关系？为什么？大小有什么关系？为什么？G60如图：在直径是如图：在直径是20cm的的 两条半径的两条半径的夹角是夹角是中，中， ，那么弦，那么弦AB= ，点，点O到弦到弦AB的距离的距离OD

13、= 。 D A B O O O练习练习:如图，如图，CD为圆为圆O的直径，弦的直径，弦AB交交CD于于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦，求弦AB的长。的长。EDOCAB方法规律方法规律 想一想想一想 EOABDC已知：如图，直径已知：如图，直径CDAB，垂足为，垂足为E .若半径若半径R = 2 ，AB = , 求求OE、DE 的长的长. 若半径若半径R = 2 ，OE = 1 ，求，求AB、DE 的长的长.32由由 、两题的启发，你能总结出什么规律吗？两题的启发，你能总结出什么规律吗？方法总结方法总结n 对于一个圆中的弦长对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d、圆

14、半、圆半径径r、弓形高、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：个量，就可以求出另外两个量，如图有：d + h = r222)2(adrhda2O11.矩形矩形ABCD与圆与圆O交交A,B,E,F DE=1cm,EF=3cm,则则AB=_ABFECDO5cm挑战自我挑战自我画一画画一画 4.如图如图,圆圆O与矩形与矩形ABCD交于交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BE的长的长.ABCD0EFGH请围绕以下两个方面小结本节课：请围绕以下两个方面小结本节课：1 1、从知识上学习了什么？、从知识上学习了什么？、

15、从方法上学习了什么？、从方法上学习了什么？课课堂堂小小结结圆的轴对称性；圆的轴对称性；垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并垂直于弦的直径平分弦，并 且平分弦对的两条弧。且平分弦对的两条弧。（）（）垂径定理和勾股定理结合。垂径定理和勾股定理结合。（）（）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线 过圆心作垂直于弦的线段；过圆心作垂直于弦的线段； 连接半径。连接半径。祝同学们：祝同学们：金榜题名！金榜题名！愿我们愿我们 ： 心想事成！心想事成！生活是数学生活是数学的源泉，探的源泉，探索是数学的索是数学的生命线生命线.探索垂径定理的逆定理 1.想一想：如下图示

16、，想一想：如下图示，AB是是 O的弦的弦(不是直径不是直径)，作一条，作一条平分平分AB的直径的直径CD，交，交AB于点于点M 同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）此图是轴）此图是轴对称图形吗对称图形吗?如果是，其对称轴是什么如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。中有哪些等量关系？说一说你的理由。驶向胜利的彼岸n由由 CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,CDAB,AD=BD.平分弦（平分弦（）的直径垂直于弦）的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.推论：推论

17、：平分弦（不是直平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条并且平分弦所对的两条弧弧OABCDM CDAB,n由由 CD是直径是直径 AM=BM AC=BC, AD=BD.可推得可推得推论：推论：(1)直径直径 (过圆心的线过圆心的线)；(2)垂直弦；垂直弦； (3) 平分弦平分弦 ；(4)平分劣弧；平分劣弧；(5)平分优弧平分优弧.知二得三知二得三注意注意: “ 直径平分弦则垂直弦直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗这句话对吗?( )错错OABCDM垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理 想一想想一想P91OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦

18、,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经

19、过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.试一试试一试P93驶向胜利的彼岸挑战自我挑战自我填一填填一填 1、判断：、判断： 垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两并且平分弦所对的两条弧条弧. （ ） 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧另一条弧. （ ） 经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ） 圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的

20、弧相等，则这两条弦平行. （ ） 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）一、判断是非：一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。弦。

21、（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。C(4)ABOABCDO(5)ABCDO(6)E判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧

22、挑战自我挑战自我垂径定理的推垂径定理的推论论 如果圆的两条弦互相平行如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相那么这两条弦所夹的弧相等吗等吗? 老师提示老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.挑战自我挑战自我画一画画一画 3、已知：如图，、已知：如图， O 中，中， AB为为 弦，弦，C 为为 弧弧AB 的中点，的中点，OC交交AB 于于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm

23、. 求求 O 的半径的半径OA.DOABCODBAC例已知例已知:如图如图,是是 直径直径,AB=10,弦弦AC=8,D是弧是弧AC中点中点,求求CD的长的长.E5432解：解：（1）AC=CB，OC 是半径（已知）是半径（已知）OC AB(如果圆的直径平分弧，那么这如果圆的直径平分弧，那么这条直径垂直这条弧所对的弦）条直径垂直这条弧所对的弦） ADO=90 OAB+ AOC=90 OAB=90 -35 =55 例一例一 、 如图所示，如图所示， C是是AB的中点，的中点， OC交交AB于点于点D ， AOC=35 , AD=16cm 求（求（1） OAB的度数（的度数（2）AB的长的长ABC

24、DO(如果圆的直径平分弧，那么这条直径平分如果圆的直径平分弧，那么这条直径平分这条弧所对的弦这条弧所对的弦)解：解：（2）AC=CB，CD经过圆心经过圆心O（已知）（已知）DB=AD=16cmAB=2AD=32cm 例一例一 、 如图所示，如图所示， C是是AB的中点，的中点， OC交交AB于点于点D ， AOC=35 , AD=16cm 求（求（1） OAB的度数（的度数（2）AB的长的长ABCDOOABC（1）已知）已知 O的半径为的半径为4.5，它的内接，它的内接ABC中，中，AB=AC,ADBC于于D,AD+AB=10,求求AD的的长。长。（2）若）若D是是BC的中点，的中点，AD B

25、C,BC=24,AD=9,求求 O的半径。的半径。DBACDO(1)解：连结解：连结OB,延长延长AD，则必过圆心，则必过圆心O。若设若设AD=x，则，则OD=4.5-x,AB=10-x在在RtABD和和RtOBD中，中， BD2=AB2AD2=OB2OD2即（即（10 x）2x2 =4.52（4.5x）2 解得解得x=4 即即AD=43cm已知已知P为为内一点，且内一点，且OP2cm，如果，如果的半径是的半径是，那么过，那么过P点的最短点的最短的弦等于的弦等于. E D C B A P O2 5cm O O O O2.P2.P为为OO内一点内一点, ,且且OP=2cm,OP=2cm,若若OO

26、的半径为的半径为3cm,3cm,则过则过P P点的最短弦长等于点的最短弦长等于( )( ) A.1cm B.2cm C. Cm D. A.1cm B.2cm C. Cm D.5cm52D垂径定理垂径定理的应用的应用解法训练解法训练: 二、请你选择正确的答案二、请你选择正确的答案1. 1. 同心圆中同心圆中, ,大圆的弦大圆的弦ABAB交小圆于交小圆于C,D,C,D,已知已知AB=4,CD=2,ABAB=4,CD=2,AB的弦心距为的弦心距为1,1,则两个同心圆则两个同心圆的半径之比为的半径之比为( )( ) A.3:2 B. : C. :2 D.5:4 A.3:2 B. : C. :2 D.5

27、:42.2.已知已知:AB:AB是是OO的直径的直径,OA=10,OA=10,弦弦CD=16,CD=16,则则A,BA,B两点到两点到CDCD的距离之和等于的距离之和等于( )( ) A.24 B.12 C.16 D.6 A.24 B.12 C.16 D.6525BB垂径定理垂径定理的应用的应用解法训练解法训练: 二、请你选择正确的答案二、请你选择正确的答案达标检测达标检测一、填空一、填空1、已知、已知AB、CD是是 O中互相垂直的弦，并且中互相垂直的弦，并且AB把把CD分成分成3cm和和7cm的两部分，则弦和圆心的距离为的两部分，则弦和圆心的距离为cm.2、已知、已知 O的半径为的半径为10

28、cm，弦，弦MNEF,且且MN=12cm,EF=16cm,则则弦弦MN和和EF之间的距离为之间的距离为.3、已知、已知 O中，弦中，弦AB=8cm，圆心到，圆心到AB的距离为的距离为3cm，则此圆的，则此圆的半径为半径为4、在半径为、在半径为25cm的的 O中，弦中，弦AB=40cm，则此弦和弦所对的弧的，则此弦和弦所对的弧的中点的距离是中点的距离是5、 O的直径的直径AB=20cm, BAC=30则弦则弦AC=14cm或2cm25cm10cm和40cm10 3 cm4.如图如图,在在 O中中,AB,AC是互相垂直的两条弦是互相垂直的两条弦,ODAB于于D,OEAC于于E,且且AB=8cm,A

29、C=6cm,那么那么 O的半径为的半径为( )A.4cm B.5cm C6cm D8cm5.在半径为在半径为2cm的圆中的圆中,垂直平分半径的弦长为垂直平分半径的弦长为 .6.如图如图, O直径直径AB和弦和弦CD相交于点相交于点E,已知已知AE=6cm,BE=2cm,CEA=30,则则CD长为长为 .EOABCDEOBADCBF8.已知已知:如图如图,AB,CD是是 O直径直径,D是是AC中点中点,AE与与CD交于交于F,OF=3,则则BE= .9.如图如图,DE O的直径的直径,弦弦ABDE,垂足为垂足为C,若若AB=6,CE=1,则则CD= ,OC= . 10.已知已知 O的直径为的直径

30、为10cm,弦弦ABCD,AB=12cm,CD=16,则弦则弦AB与与 CD的距离为的距离为 .FODCABE6COAEBD942cm或或14cm 3.为改善市区人民生活环境，市建设污水管为改善市区人民生活环境，市建设污水管网工程，某圆柱型水管的直径为网工程，某圆柱型水管的直径为100 cm，截面，截面如图，若管内污水的面宽如图，若管内污水的面宽AB=60 cm，则污水的，则污水的最大深度为最大深度为 cm；OA B 能力提升：能力提升： 若遇下雨天，管内污若遇下雨天，管内污水水面上升了水水面上升了70cm，则污，则污水的水面宽水的水面宽AB= cm； 船能过拱桥吗船能过拱桥吗 变形题：变形题

31、： 如图如图,某地有一圆弧形拱桥某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为桥下水面宽为7.2米米,拱顶高出拱顶高出水面水面2.4米米.现有一艘宽现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水米、船舱顶部为长方形并高出水面面2米的货船要经过这里米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？此货船能顺利通过这座拱桥吗？船能过拱桥吗船能过拱桥吗 做一做做一做P补补7 .2,2 .4,11 .5 .2A BC DH NM N解 ： 如 图ABAD21, 6 . 32 . 721DCOCOD. 4 . 2 R在在RtOAD中，由中，由勾股定理，得勾股定理，得,222ODADOA.) 4 . 2(6 . 3222RR即解得解得 R3.9（m）.船能