数学复习课设计案例解答

1、“先学后教全程评价合理引导及时巩固”数学复习教学模式吴增生一、教学内容简介（ “一元二次方程”复习）1、内容分析一元二次方程是初中阶段学习的最后一类方程， 是在学习了平方根、 整式的因式分解、一元一次方程的基础上进行的学习内容， ，其同解原理有：（1）方程x2a （ a0 ）与 xa 等价；（2）方程 (xa)( xb)0 等价于 xa0 或x b 0 。解一元二次方程需要同时用到等式的基本性质（方程两边都加上同一各个数或等式， 等式仍然成立； 等式的两边都乘以同一个不为 0 的数或整式， 等式仍然成立）和上述两个基本原理。另一方面，方程是刻画数量关系的典型模型，一元二次方程式是最基本的代数方

2、程之一， 它在今后的二次函数研究、解析几何中的圆锥曲线研究、二阶微分方程的学习（微分方程的特征方程）中有基础性作用；同时它是刻画面积、距离等量度属性和生活中两个线性变量乘积关系的重要数学模型，在数学领域以及生活领域有着广泛的应用。2、学情分析学生经历了一元一次方程、 二元一次方程组、 可化为一元一次方程的分式方程的解法和应用的学习， 也经历了一元二次方程的解法和应用的学习， 具有方程解法和应用的初步经验， 但对于以原二次方程模型和解法的认识是初步的， 没有形成系统的知识结构。3、复习重、难点重点是从数到形两个方面理解一元二次方程的本质， 通过一元二次方程的实际应用加深对方程建模的体验； 难点是

3、从一元二次方程的代数结构及其几何意义的角度对其应用进行合理归类和总结。4、学习目标（1）以实际问题为背景线索，能独立回顾一元二次方程的相关知识，并能进行初步的知识组织，通过相互交流建立一元二次方程的相关知识结构；（2）会根据一元二次方程的特点选择合理的方法解一元二次方程；会用判别式判断一元二次方程根的情况，会用根与系数的关系检验解方程结果的正确性；会根据实际问题建立一元二次方程模型并通过解方程解决问题；初步学会从一元二次方程的本质 （代数结构和几何意义解释） 出发对一元二次方程的应用进行归类。（3）通过实际问题的解决，体会方程模型是描述实际问题中数量关系的重要模型，感受数学来源于生活、应用于生

4、活。二、教学设计思路第一课时激发动机，明确任务，自主复习一元二次方程复习学案在本课时中，教师为学生创设知识回顾和组织的线索， 使学生明确自主回顾和重组知识结构以及进行知识运用的学习任务，这些都以学案的形式发给学生。一元二次方程是刻画现时问题的重要模型，请大家从简单的面积问题开始：引例：矩形的周长为 14，面积为 10，求这个矩形的边长。（ 1）你所设的未知数是 _，列出的方程为 _。（ 2）使用尽可能多的方法解出你所列的方程。（ 3）怎样检验你所得到的解正确与否？（ 4）试写出这个问题的求解过程。（ 5）若周长不变，面积为 15，求这个矩形的边长。（ 6）若举行的周长为 14，猜想：这个矩形的

5、最大面积是多少？总结：由上述问题的解决过程能想到一元二次方程的哪些知识和方法？试用适当的方法写出来。基础训练：1、一元二次方程x 216 的解是 _。2、方程 4x( x 3)2x2 的一般式是 _，一次项系数是 _，常数项是 _，方程的根是 _3、箬关于 x 的一元二次方程 kx 2(k3) xk 0 的一个根是 2，则另一个根是 _.4、若关于 x 的一元二次方程 kx 22 x10 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）（ A） k 1（B） k 1 且 k 0（C） k 1（D）k1 且 k05、用配方法解方程 x 22x5 0 时，原方程应变形为（ ）（ A）(x 1)26（B）

6、( x 1) 26（C）( x2) 29（D）( x 2) 296、阅读材料：设一元二次方程 ax 2bx c0 （a0）的两个根为 x1 、 x2 则两根与方程系数之间的关系是：x1 x2_ ， x1x2_ .已知 x1、 x2 是方程 x 26x30 的两个实数根，则 x2x1 的值为 _.x1x27、某市 2008 年国内生产总值（ GDP）比 2007 年增长了 12%，由于受到国际金融危机的影响，预计 2009 年比 2008 年增长 7%，若这两年平均增长率为x%，则 x%满足的关系是（）（ A）12%+7%=x% （ B） (1+12%)(1+7%)=2(1+x%)（ C）12%

7、+7%=2x%(D) (1 12%)(17%)(1x%) 28、选择适当的方法解方程，并检验根的正确性（现时5 分钟）（ 1）4( x2) 220（ ）3x( x2)42x2（ 3）245（ ）2xx4x12x40（ 5） (2 x3) 2(6x)2综合应用9、2009 年以来， H1N1 在全球蔓延， 某城市一例输入病人把病毒传给了一批人（称为第一代传染），而被传染者又把各自病毒传染给另一批人（称为第二代传染），当局发现 1641 人被传染后进行了流行病调查， 确认这些病人中除了输入性病例 1 人外均属于一代或二代被传染者，试问，在该城市 H1N1 病毒平均每代传染了多少人？10、某商店经营

8、了一种水产品， 成本为 40 元每千克，若按 50 元每千克销售，一个月能售出 500 千克；销售价每涨一元，月销售额就减少 10 千克，针对这种水产品的销售情况，若该商店想从这批水产品销售中获得8000 元的毛利润（毛利润 =销售收入进货成本），应该把销售价格定为多少？11、把一张 8K 的试卷进行对折再对折，会有什么发现？会求8K 与 16K 纸的长与宽的比值吗？这两个比值有什么关系？问题：如果把一张矩形纸片进行上述的对折再对折，每次对折后对应的临边的比值相等，求这个不变的比值？12、如果一条平行于直线y2x 的直线被坐标轴截得的线段长为2 5 ，求这条直线与坐标轴的交点坐标。13、在平面

9、直角坐标系中，点A 的坐标为（ 0，2）。（ 1）试讨论过点 A 的直线与反比例函数y4 图象交点的个数；x（ 2）当直线与反比例函数的每个象限中的图象有且只有一个交点时， 叫这条直线是反比例函数图象的切线，写出过点 A 的反比例函数图象的切线的解析式。14、如图 1，矩形 ABCD 中， AB=8 ， AD=6 ，P 是 CD 上一动点， CP 的长为 t，把矩形沿着对角线 BD 对折，点 P 的对应点为 Q.（1）如图 2，若点 Q 落在边 AB 上，求 t 的值；此时，四边形 BPDQ 是什么四边形？证明你的结论；（2）如图 3，如果 PCB 的外接圆与 AD 相切，求此时 t 的值；（

10、3）如图 4，设 PQ 与 BD 交于点 F，以 BF 为直径的圆与 DQ 相切，求 t 的值。ABAQBQDPCDPC图1图2ABABEQQOFDPCDPC图3图415、如图 5，在平面直角坐标系中，BCA 是直角三角形， BCA=9 0，点 A（ 15，0），AB=25，AC=15，点 C 在第二象限， P 是 y 轴上的一个动点，连接 AP，并把 AOP绕着点 A 按逆时针方向旋转， 使边 AO与 AC重合，得到 ACD.(1) 求直线 AC的解析式；（2）当点 P 运动到点（ 0，5）时，求点 D 的坐标及 DP的长；（ 3）是否存在点P，使 OPD的面积为 5，若存在，试求出符合条件

11、的点P的坐标，若不存在，试说明理由。yDCP使用说明：AOB x图5第一课时的任务是根据引例回顾和重组一元二次方程的相关知识结构， 完成 1-8 题的基础练习，而 9-15 题作为课后作业（其中 9-13 题为中等难度问题，所有学生必做），当天放学后，收回学生的学案，进行答题分析，分析哪些问题是学生容易解决的，哪些问题是有帮助需求的，确定第二课时中重点分析的样例。【说明】本课时为学案导学，为学生的自主复习提供问题背景线索，让学生通过解决引例中的问题以及反思问题解决顺利回顾一元二次方程概念、 解法、根的判别、根与系数的关系等相关知识， 在此基础上让学生进行自主的知识重组活动。通过 1-8 题的基

12、础练习巩固相关知识；通过 9-13 题的中等难度的一元二次方程建模问题感受方程建模中的审题、 寻找相等关系的过程； 体会运用一元二次方程解决问题的基本过程； 初步感受一元二次方程的基本应用问题。 同时，通过分析学生完成学案的情况进行交流指导课前的前置性评价， 评估学生相关知识学习中的优势与不足，为进行有针对性地复习交流指导课教学决策提供依据。第二课时，相互交流，合理引导1、让学生相互交流自己的知识回顾与重组结果，教师进行适当引导。学生可以根据自己的喜好进行知识的组织， 教师也展示自己的知识结构 （如图 6 所示）解的定义方 程一元二次方程解与解法解法应用判别式及根与系数的关系解题步骤基本类型图

13、 62、一元二次方程的基本解法测试与总结。测试以下解一元二次方程的水平（限时5 分钟）（1） 8(x2)22 ；（ 2） x2 4x 18 ；（3） x( x4)4x ；（4） 2x 2x30；（5） 2x26x5 0 ；（6） x26x94( x1) 2 .3、方程的应用：从不同的观点看一元二次方程。（1）从引例“矩形的周长为 14，面积为 10，求这个矩形的边长”出发，如果把一元二次方程看作（ ax+b） (cx+d)=k ，a、 b、 c、 d、 k 为常数，可以构成面积问题（如图 7 所示）7-x成本价格成本销售毛利润10x价外矩形面积 =销售收入格图7图8问题 1：能把这个问题中的边

14、长和面积用其他具有实际意义的量表示，使这个问题变成一个实际问题吗？问题 2：如果涉及成本、销售价格和利润等问题，则可以让矩形的边长固定一部分，变化一部分（如图 8 所示），则可以构成学案中题 10 的问题。问题 3：如果矩形的一组邻边长同步增长 （如图 9），则可以构成连续两次变化的变化率问题。a1 原水平 aax1次增长 1 原水平 aax2次增长原水平ax1aaxm(a+ax)(1+m)图9例如，可以形成如下的问题：某城市的商品房均价从 7 月份的 6000 元每平方米涨到 9 月份的 9000 元每平方米，求该城市这两个月商品房均价的月增长率。（ 2）根据勾股定理， 直角三角形两直角边的

15、平方和等于斜边的平方， 利用这一定理，可以求两点之间的距离的平方， 这样可以构建一元二次方程， 如学案中的题 12、14、15。（ 3）从函数的观点看， 一元二次方程可以看作是二次函数图象与一次函数图象的交点的横坐标 ax2bx ccxd (a0) ，反比例函数与一次函数图象的交 点 先 得 到 分 式 方 程 kaxb(ak0)，再转化成一元二次方程xax 2bx k(ak 0) ，如学案中的题 13。（ 4）从比例的角度看，一元二次方程还可以看作比例形式axbmxn ，cxdpxq这个比例形式可以进一步转化成一元二次方程，如学案中题12。（ 5）在上述（ 1）（4）的学习活动中引导学生通过

16、相互交流体会怎样建立方程模型，从中感悟方程模型的应用（如图10 所示）实际问题方程实际问题的解方程的解图 104、引导学生总结一元二次方程应用的基本类型 (从方程式的不同意义解析出发 )：面积型、距离型、交点型、比例型。5、引导学生总结寻找等量关系，建立方程模型的基本方法：寻找联系已知与未知的基本结构模型、 画结构流程图、用式子表示数量、用等式表示数量关系。【说明】本课时是交流指导课，是教师进行合理引导的核心教学活动。本课时的核心任务是：（1）引导学生交流上一节课的自主复习成果， 交流对一元二次方程的基本知识的理解， 交流自己的知识整理结果， 同时接收老师与同伴的指导，优化知识结构；（2）进行

17、一元二次方程相关知识的查漏补缺和解一元二次方程的课堂限时测试； 同时，基于一元二次方程应用的基本类型， 选择有代表性的例题进行方程建模的分析交流， 通过对面积问题的实际意义的不同理解， 使学生对一元二次方程应用的 4 种基本类型有较深刻的理解， 在此基础上对一元二次方程的基本应用类型进行及时总结，总结方程建模时思考的基本程序。第三课时查漏补缺第二课时后，以学案上未完成的问题为课后作业，教师收回学生的作业后，让优秀的学生批改其他学生的作业。 上课时，先让作对的同学把自己的想法讲给有困难的学生听， 再让有困难的学生展示理解解题过程， 由帮他的同学进行补充说明，对确实有困难的学生，或普遍有困难的问题

18、（如学案中的题 14、15），进行适当的分析或讲解。【说明】本教学活动是在对学生复习结果进行评价的基础上进行的。 一般地，第二课时的教学以基本检测、 基本技能训练和基本思维训练为主， 其例题一般为中等及以下难度水平， 对于较难的综合性和学生普遍有困难的问题， 需要在本课时教学中进行集中分析和指导。课例的特点1、为学生的复习活动提供了体现一元二次方程本质的学习线索。认知心理学研究表明，学习活动的线索直接影响着个体知识的记忆和提取，而突出学科本质联系的复习活动线索能有效提高学生对相关内容的学科知识本质以及学科思想观念的认知水平。 从代数角度认识一元二次方程， 就是含有一个未知数且未知数最高次数为

19、2 的用等号连接的式子； 从图形的角度去理解， 则可以理解为面积与线段长度的关系， 线段的成比例关系， 直线与圆锥曲线的交点坐标、平面上的距离关系的坐标表示等； 从生活实际意义理解， 则可以看成诸如价值、价格、数量之间的二维关系，工作总量、工作时间、工作效率之间的二维关系，二次变化率问题（他们都是二次函数模型所刻画的变量之间的关系）。生活实际中的问题，本质上是数学模型中二维度量与其中一维度量之间的数量关系的生活意义解释，行程问题、工程问题、销售问题最终归结为(ax+b)(cx+d)=y+m 的问题，而二次增长率问题则是a(1+bx)(1+cx)=d 的问题，这几类生活实际问题，可以归结为图形中

20、面积变化问题。综上所述，一元二次方程的应用问题可划分成以下基本数量关系模型： （1）面积度量关系；（2）线段成比例问题；（3）坐标平面上的距离问题；（4）坐标平面上直线与圆锥曲线交点问题。 在本教学案例的学案设计和教学过程中充分体现了一元二次方程的上述本质属性为学习活动线索的基本思想。2、采取学案与教案相结合，学案前移的方法此方法使学生在教师集中教学前有比较充分的自主复习的时间， 在自主复习中，采用任务驱动、线索引导的方法保证学生学习的专注和合理的复习活动定向。让学生进行独立的知识回顾与重组、 基础训练和典型应用等认知活动， 体现了引导学生“能做的事尽量自己做” 的基本教学思想， 确保学生广泛

21、而有深度地参与数学复习活动。3、为学生提供了训练机会从独立做到教师集中启发后做再到二次指导下做， 能最大可能的保证学生的成功率，另外，由于每次所做的是相同系列的问题， 可以起到加深对典型问题的认识、丰富知识与典型问题联结模式的作用，同时，随着学习进程的推进，学生所要进行的训练逐步减少，减轻了学生的学业负担。在学生的独立复习训练活动中， 教师应逐次评价， 并根据学生的学习情况进行有针对性的指导， 使评价真正起到为教学决策提供依据、 诊断学生学习问题的作用，使复习指导尽可能地与学生的帮助需求相匹配。4、为学生提供了集中交流的机会在交流中学生能相互启发， 坚持让学生把自己的思考过程讲给同伴听， 通过

22、表达和倾听，不同层次的学生在课堂上都有不同的事做， 都能收到良好的思维训练效果。同时在复习活动中， 教师可以根据学情， 进行从集中层面到个别层面的有针对性的指导，使学生特别是后进生接受针对性指导的机会大大增加。思考：1、复习是一种特殊的学习活动，是对已有知识经验的再加工。作为复习的学习活动具有重复性、综合性、概括性和系统性等基本特征。（ 1）数学复习活动包括学生对相关知识经验的回顾、组织（系统化） 、概括抽象、运用和评价等活动， 这种学习活动对学生参与的广度和深度要求更高， 随着学习任务的更广泛、更综合，对任务的专注程度的要求也更高。（ 2）复习活动具有重复性， 其基本内容是学生学习过的， 但

23、部分学生由于种种原因会有很多基础知识的缺陷， 因此，数学复习活动中要求教师的教学更有针对性，这种针对性来自于对学生学情的准确把握， 这是建立在及时评价的基础之上的。（ 3）由于数学复习活动中知识经验、 思想策略的运用背景更复杂， 学生往往需要在教师的启发下反复思考才能比较深刻地理解知识、 思想、方法、策略的要义，正常情况下这不是在一次操作中能够达到的， 需要多次反复， 经历尝试帮助指导再尝试再应用的过程， 而所有这些，都需要在一定时间内集中进行有效的训练，需要及时巩固。2 、当前的数学复习中存在的普遍现象（1）要么学生已经事先看了复习用书，对相关的内容有了初步理解，而教师再重复一遍（教师的教学对这些学生来说是无效的） ；要么学生事先没有准备而教师代替学生包揽了诸如知识回顾、组织、反思、运用等本应由学生做的事，学生在复习活动中只剩下做题目，学生参与复习活动的积极性低下。（2）缺乏对学情的全面了解，教学没有针对性。（3）教师讲的题目多，而学生