数列中包含的数学文化

1、数列中包含的数学文化数学家的故事———数学王子高斯高斯(Carl Fried rich Gauss 1777 1855)德国数学家、天文学 家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿 并列，同享盛名。1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2 月23日卒于格丁根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才 进学校受教育。17951798年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆 施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从 1807年起担 任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。高斯是近代数学奠基

2、者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列， 有“数学王子”之称。高斯的成就遍及数学的各个领域， 在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函 数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文 学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。幼年时，他在数学方面就显示出了非凡的才华。3岁能纠正父亲计算中的错误；10岁便独立发现了算术级数的求和公式；11岁 发现了二项式定理。少年高斯的聪颖早慧，得到了很有名望的布瑞克 公爵的垂青与资助，使他得以不断深造。19岁的高斯在进大学不久， 就发明了只用圆规和直尺作出

3、正 17边形的方法，解决了两千年来悬 而未决的几何难题。1801年，他发表的算术研究，阐述了数论和高等代数的某些问题。他对超几何级数、复变函数、统计数学、椭圆 函数论都有重大贡献。作为一个物理学家，他与威廉.韦伯合作研究电磁学，并发明了电极。为了进行实验，高斯还发明了双线磁力计， 这是他对电磁学问题研究的一个很有实际意义的成果。高斯 30岁时 担任了德国著名高等学府天文台台长，并一直在天文台工作到逝世。他平生还喜欢文学和语言学，懂得十几门外语。他一生共发表323篇 （种）著作，提出了 404项科学创见，完成了 4项重要发明。高斯去世后，人们在他出生的城市竖起了他的雕像。为了纪 念他发现做出17

4、边形的方法，雕像的底座修成17边形。世人公认他 是一位和牛顿、阿基米德、欧拉齐名的数学家。他八岁时进入乡村小 学读书。教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教书真是大材小用。而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这 些蠢笨的孩子念书不必认真。这一天正是数学教师情绪低落的一天。同学们看到老师那抑 郁的脸孔，心里畏缩起来。“你们今天替我算从1加2加3 一 直到100的和。谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。”老师讲了这句话后就一言不发。教室里的小朋友们拿起石板开始计算： “1 力口2等于 3,3力口3等于 6,6力口4等于 1

5、0……” 一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算。有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗 来。还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去。“ 老师，答案是不是这样？”老师头也不抬，说“:去，回去 再算!错了。”他想不可能这么快就会有答案了。可是高斯却站 着不动，把石板伸向老师面前：“老师!我想这个答案是对的。 ”数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这 样的

6、数：5050,他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是 5050,这个8岁的小孩怎么这样快就得到了这个数值呢 ？高斯解释他 发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数 1+2+3+4+5…+n的方法。高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己 以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。他以后也认真教起书来，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。在他的鼓励下，高斯以后便在数学上作了一些重要的研究了。梦想与现实———谷神星的发现1766年，德国有一位名叫提丢斯（J.D.Titius,1729-

7、1796）的 中学数学教师，把下面的数列：3,6,12,24,48,96,192…… 在这个数列的前面加上 0,即：0,3,6, 12,24,48,96, 192…… 然后再把每个数字都加上 4,就得到了下面的数列：4, 7, 10, 16, 28, 52, 100, 196……再把每个数都除以10,最后得到：0.4, 0.7, 1, 1.6, 2.8, 5.2, 10, 19.6……令提丢斯惊奇的 是，他发现这个数列的

8、每一项与当时已知的六大行星（即水星、金星、地球、火星、木星、土星）到太阳的距离比例（地球到太阳的距离定 为1个单位）有着一定的联系。1772年，德国柏林天文台台长波德 (JohannElertBode,174人1826)深知这一发现的重要意义，就于 1772年公布了提丢斯的这一 发现，这串数从此引起了科学家的极大重视；并被称为提丢斯 ———波得定贝U (Titius-Bodelaw)。数歹!J: 0.4, 0.7, 1, 1.6, 2.8, 5.2, 10, 19.6……即太阳系行星与太阳的

9、平 均距离。当时，人们还没有发现天王星、海王星，以为土星就是距太 阳最远的行星。1781年，英籍德国人赫歇尔在接近19.6的位置上(即 数列中的第八项)发现了天王星，从此，人们就对这一定则深信不疑 了。根据这一定则，在数列的第五项即 2.8的位置上也应该对应一颗 行星，只是还没有被发现。于是，许多天文学家和天文爱好者便以极 大的热情，踏上了寻找这颗新行星的征程。1801年新年的晚上，意大利天文学家皮亚齐还在聚精会神地观察着星空。突然，他从望远镜 里发现了一颗非常小的星星，正好在提丢斯——— 波得定则中2.8的位置上。可是，当皮亚齐再想

10、进一步观察这颗小行 星时，他却病倒了。等到他恢复健康，再想寻找这颗小行星时，它却 不知去向了。皮亚齐没有放弃这一偶然的机会，他认为这可能就是人 们一直没有发现的那颗行星，并把它命名为“谷神星”。天文学家对皮亚齐的这一发现持有不同的看法。有人认为皮亚齐是正确的；也有人认为这可能是一颗彗星，不然的话，为什么它只露了一 面就不见了呢？几个月过去了，人们的争论也没见分晓。可是，这场争论却引起了德国数学家高斯的注意。高斯想，既然天文学家通过观察找不 到谷神星，那么，是否可以通过数学方法找到它呢 ？许多天文学家对 高斯的这一提法不以为然。天文学家都找不到谷神星，难道

11、高斯还能 把它算出来吗？朋友们也劝他不要把自己的时间和才智浪费在这一毫 无希望的问题上。年轻的高斯却有自己的看法。他认为，天文学是离 不开数学的。如果没有雄厚的数学知识，是不可能成为一个出色的天 文学家的。在天文学发展史上，情况也正是如此。开普勒正是凭借着 自己的数学才能，才发现了行星运动的三大定律。牛顿也是凭着渊博 的数学知识，才发现了万有引力定律。在高斯之前，著名数学家欧拉 曾经研究出了一种计算行星轨道的方法。可是，这个方法太麻烦。高 斯决心去寻找一种简便易行的方法。 在前人的基础上，高斯经过艰苦 的运算，以其卓越的数学才能创立了一种崭新的行星轨道计算理论。他根据皮亚齐的观测资料，利用这种

12、方法，只用了一个小时就算出了 谷神星的轨道形状，并指出它将于何时出现在哪一片天空里。1801年12月31日夜，德国天文爱好者奥伯斯，在高斯预言 的时间里，用望远镜对准了这片天空。果然不出所料，谷神星出现了！高斯的计算方法成功了。高斯从笔尖上寻找到的这颗行星，在隐 藏了整整一年后，却又成为人类的最好的新年礼物。 这一礼物向人们 显示了数学在科学研究中的巨大作用。这一故事告诉我们：谷神星在比亚兹发现前就已客观存在的； 太阳到行星的距离分布是有规律的，太阳与行星之间是和谐的。数列中蕴含的数学方法数列这一章蕴含着多种数学思想及方法，如函数思想、方程 思想，而且在基本概念、公式的教学本身也包含着丰富的数

13、学方法， 掌握这些思想方法不仅可以增进对数列概念、公式的理解，而且运用 数学思想方法解决问题的过程，往往能诱发知识的迁移，举一反三、 融会贯通的解决多数列问题。在这一章主要用到了以下几中数学方法：不完全归纳法。不完全归纳法不但可以培养学生的数学直观， 而且可以帮助学生有效的解决问题，在等差数列以及等比数列通项公 式推导的过程就用到了不完全归纳法。倒叙相加法。等差数列前n项和公式的推导过程中，就根据 等差数列的特点，很好地应用倒叙相加法，而且在这一章的很多问题 都直接或间接地用到了这种方法。错位相减法。错位相减法是另一类数列求和的方法，它主要 应用于求和的项之间通过一定的变形可以相互转化，并且是多个数求 和的问题。等比数列的前n项和公式的推导就用到了这种思想方法函 数的思想方法。数列本身就是一个特殊的函数，而且是离散的函数， 因此在解题过程中，尤其在遇到等差数列与等比数列这两类特殊的数 列时，可以将它们看成一个函数，进而运用函数的性质和特点来解决 问题。方程的思想方法。数列这一章涉及了多个关于首项、末项、 项