第四章 时变电磁场_miao

1、第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学1 本章内容本章内容 4.1 波动方程波动方程 4.2 电磁场的位函数电磁场的位函数 4.3 电磁能量守恒定理电磁能量守恒定理 4.4 惟一性定理惟一性定理 4.5 时谐电磁场时谐电磁场第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学24.1 波动方程波动方程(Wave Equation) 在无源空间中，设媒质是线形、各向同性且无损耗的均匀媒在无源空间中，设媒质是线形、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有质，则有 无源区的波动方程无源区的波动方程 波动方程波动方程 二二阶矢量微分方程，阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性揭示电磁场的

2、波动性 麦克斯韦方程麦克斯韦方程 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系间的相互作用关系 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组 波动方程波动方程 问题的提出问题的提出2220HHt2220EEt电磁波动方程电磁波动方程第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学32220HHt2220EEt22()HHHt 2()EHt 00HtHtH 同理可得同理可得 推证推证 问题问题 若为有源空间，结果如何？若为有源空间，结果如何？ 若为导电媒质，结果如何？若为导电媒质，结果如何？第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学44.2 电

3、磁场的位函数电磁场的位函数 讨论内容讨论内容 位函数的性质位函数的性质 位函数的定义位函数的定义 位函数的规范条件位函数的规范条件 位函数的微分方程位函数的微分方程第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学5引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化。 引入位函数的意义引入位函数的意义 位函数的定义位函数的定义BA AEt ()0At0BBt 第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学6 位函数的不确定性位函数的不确定性()()()AAAAAAtttt A（ 、 ） 满足下列变换关系的两组位函数满足

4、下列变换关系的两组位函数 和和 能描述同能描述同一个电磁场问题。一个电磁场问题。A（ 、 ）AAt 即即也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。不同位也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。不同位函数之间的上述变换称为规范变换函数之间的上述变换称为规范变换A 原因：未规定原因：未规定 的散度的散度为任意可微函数为任意可微函数第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学7除了利用洛伦兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即除了利用洛伦兹条件外，另一种常用的是库仑条件，即 在电磁理论中，通常采用洛伦兹条件，即在电磁理论中，通常采用洛伦兹条件，即 位函数的规范条件位函数

5、的规范条件 造成位函数的不确定性的原因就是没有规定造成位函数的不确定性的原因就是没有规定 的散度。利用的散度。利用位函数的不确定性，可通过规定位函数的不确定性，可通过规定 的散度使位函数满足的方程得的散度使位函数满足的方程得以简化。以简化。AA0A0At第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学8DHJt()AAJtt 222()AAJAtt EBJt222AAJt 位函数的微分方程位函数的微分方程BDEHABAEt 2()AAA 0At第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学9D()At 222t 同样同样ADEEt 、0At第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁

6、波天津工业大学天津工业大学10222t 说明说明222AAJt 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程? 具有什么特点具有什么特点? 问题问题 应用洛仑兹条件的特点：应用洛仑兹条件的特点： 位函数满足的方程在形式上是对称位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解；的，且比较简单，易求解； 解的物理意义解的物理意义非常清楚，明确地非常清楚，明确地 反映出电磁场具有有限的传递速度；反映出电磁场具有有限的传递速度； 矢量位矢量位只决定于只决定于J，标标 量位量位只决定于只决定于，这对求解方程特别有利。只需解出这对求解方程特别有利。只需解出A，无需，无

7、需 解出解出 就可得到待求的电场和磁场。就可得到待求的电场和磁场。 电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应 用不同的规范条件，矢量位用不同的规范条件，矢量位A和标量位和标量位 的解也不相同，但最终的解也不相同，但最终 得到的电磁场矢量是相同的。得到的电磁场矢量是相同的。第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学114.3 4.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律 讨论内容讨论内容 坡印廷定理坡印廷定理 电磁能量及守恒关系电磁能量及守恒关系 坡印廷矢量坡印廷矢量第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津

8、工业大学12 进入体积进入体积V的能量体积的能量体积V内增加的能量体积内增加的能量体积V内损耗的能量内损耗的能量电场能量密度电场能量密度：12ew E D 磁场能量密度磁场能量密度：12mw H B 电磁能量密度电磁能量密度：1122emwwwE DH B 空间区域空间区域V中的电磁能量中的电磁能量：11d()d22VVWw VE DVH B 特点特点：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随：当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随 时间改变，从而引起电磁能量流动时间改变，从而引起电磁能量流动 电磁能量守恒关系：电磁能量守恒关系： 电磁能量及守恒关系电磁能量及守恒关系ddWt

9、VS第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学13 其中其中： 单位时间内体积单位时间内体积V 中所增加中所增加 的电磁能量的电磁能量 单位时间内电场对体积单位时间内电场对体积V中的电流所作的功；中的电流所作的功； 在导电媒质中，即为体积在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率内总的损耗功率 通过曲面通过曲面S 进入体积进入体积V 的电磁功率的电磁功率 表征电磁能量守恒关系的定理表征电磁能量守恒关系的定理积分形式：积分形式：d11() d()ddd22SVVVVtE HSE DH BE J dVVE J d11()dd22VVtE DH B () dSE HS11()()22tE

10、 HE DH BE J 坡坡印廷定理印廷定理微分形式：微分形式：第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学14 当参数都不随时间变化时，则有当参数都不随时间变化时，则有将以上两式相减，得到将以上两式相减，得到由由DHJtBt DH JtBHHt DBHH JHtt 1()1()22D Dtttt1()1()22BHHHHHH Btttt 推证推证第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学15即可得到坡印廷定理的微分形式即可得到坡印廷定理的微分形式再利用矢量恒等式再利用矢量恒等式：()HHH 11()()22H DH B Jt 在任意闭曲面在任意闭曲面S 所包围的

11、体积所包围的体积V上，对上式两端积分，并应用散上，对上式两端积分，并应用散度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式度定理，即可得到坡印廷定理的积分形式d11() d()ddd22SVVVVtE HSE DH BE J 物理意义：物理意义：单位时间内，通过曲面单位时间内，通过曲面S 进入体积进入体积V的电磁能量等于的电磁能量等于 体积体积V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学16 定义：定义： ( W/m2 )SH 物理意义物理意义： 的方向的方向 电磁能量传输的方向电磁能量传输的方向S 的大小的大小

12、 通过（垂直于能量传输方通过（垂直于能量传输方 向的）单位面积的电磁功率向的）单位面积的电磁功率S 描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量 坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）坡印廷矢量（电磁能流密度矢量） H S 能能流流密密度度矢矢量量 E 第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学17 例例4.3.1 同轴线的内导体半径为同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径为、外导体的内半径为b，其间，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U ，导体中流过的电，导体中流过的电流为流为I 。（。（

13、1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（功率；（2）当导体的电导率）当导体的电导率为有限值时，计算通过内导体表面为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。进入每单位长度内导体的功率。同轴线同轴线第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学18 解：解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存电场和磁场只存在于内外导体之间的理想介质中在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的，内外导体表面的电场无切向分电场无切向分量量，只有，只有电场的径向分量电场的径向分量。利

14、用。利用高斯定理和安培环路定理高斯定理和安培环路定理，容易，容易求得内外导体之间的电场和磁场分别为求得内外导体之间的电场和磁场分别为,ln()UEeb a()ab2IHe2 ()ln()22ln()zUIUISEHeeeb ab a内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量(见例见例3.1.5)第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学19电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源向负电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源向负载，如图所示。载，如图所示。2d2d2ln()bzSaUIPS eSUIb a 穿过任意横截面的功率

15、为穿过任意横截面的功率为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（理想导体情况）（理想导体情况）第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学20 （2）当导体的电导率）当导体的电导率为有限值时，导体内部存在沿电流方为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场向的电场内内2zJIEea根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即因此，在内导体表面外侧的电场为因此，在内导体表面外侧的电场为zzEE 外内2ln()zaUIEeeab aa外2aIHea外磁场则仍为磁场则仍为内导体表面外侧的坡印廷矢量为内导体表面

16、外侧的坡印廷矢量为2232()22ln()zaaIUISEHeeaab a 外外外同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）（非理想导体情况）第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学2122122320()d2d2SaIIPSSa zRIaa 外e21Ra式中式中 是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。进入每单位长度内导体的功率为进入每单位长度内导体的功率为由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径由此可见

17、，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如图所示。向分量，如图所示。 以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学224. 4 惟一性定理惟一性定理 在以闭曲面在以闭曲面S为边界的有界区域内为边界的有界区域内V，如果给定如果给定t0时刻的电场强度和磁

18、场强度时刻的电场强度和磁场强度的初始值，并且在的初始值，并且在 t 0 时，给定边界面时，给定边界面S上的电场强度的切向分量上的电场强度的切向分量或或磁场强度的切向分量磁场强度的切向分量，那么，在，那么，在 t 0 时，区域时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。 惟一性定理的表述惟一性定理的表述 在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初给定的初始条件和边界条件始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟

19、一的呢？这就是麦件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。克斯韦方程的解的惟一问题。 惟一性问题惟一性问题VS第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学23012EEE012HHH 惟一性定理的证明惟一性定理的证明 利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域内的解不是惟内的解不是惟一的，那么至少存在两组解一的，那么至少存在两组解 、 和和 、 满足同样的麦克斯韦满足同样的麦克斯韦方程，且具有方程，且具有相同相同的的初始条件初始条件和和边界条件边界条件。令。令1E2H2E1H000EHEt00HEt0(

20、)0H0()0E则在则在区域区域V 内内 和和 的初始值为零；在边界面的初始值为零；在边界面S 上电场强度上电场强度 的的切向分量为零切向分量为零或或磁场强度磁场强度 的切向分量为零的切向分量为零，且，且 和和 满足麦满足麦克斯韦方程克斯韦方程0E0H0E0H0E0H第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学24根据坡印廷定理，应有根据坡印廷定理，应有22200000d11()d()ddd22nSVVEHeSHEVEVt222000d11()dd0d22VVHEVEVt所以，得所以，得由于的初始值为零，将上式两边对由于的初始值为零，将上式两边对 t 积分，可得积分，可得2220

21、00011()d(d)d022tVVHEVEVt 000000()()()0nnnSSSEHeeEHHeE根据根据 和和 的边界条件，上式左端的被积函数为的边界条件，上式左端的被积函数为0E0H第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学2500,E 00H 12,EE12HH上式中两项积分的被积函数均为上式中两项积分的被积函数均为非负的非负的，要使得积分为零要使得积分为零，必有，必有（证毕）（证毕）即即 惟一性定理指出了获得惟一解所必须惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件满足的条件，为电磁场，为电磁场 问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的问题的求解提供了理

22、论依据，具有非常重要的意义和广泛的 应用。应用。 第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学264. 5 时谐电磁场时谐电磁场(Time-Harmonic) 复矢量的麦克斯韦方程复矢量的麦克斯韦方程 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示 复电容率和复磁导率复电容率和复磁导率 时谐场的位函数时谐场的位函数 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 平均能流密度矢量平均能流密度矢量第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学27 时谐电磁场的概念时谐电磁场的概念 如果如果场源场源以一定的以一定的角频率角频率随时间呈随时间呈时谐（正弦或余弦）时谐（正弦或余弦）变化，变化，则所产生则

23、所产生电磁场电磁场也以也以同样的角频率同样的角频率随时间呈随时间呈时谐变化时谐变化。这种以一。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。 研究时谐电磁场具有重要意义研究时谐电磁场具有重要意义 在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、电视和通信广播、电视和通信 的载波等都是时谐电磁场。的载波等都是时谐电磁场。 任意的时变场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不任意的时变场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不 同频率的时谐场的叠加。同频率的时谐场的叠加。第4章电磁场与电磁波

24、电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学284.5.1 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示 时谐电磁场可用时谐电磁场可用复数方法复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问来表示，使得大多数时谐电磁场问题得分析得以简化。题得分析得以简化。 设设 是一个以角频率是一个以角频率 随时间随时间t t 作正弦变化的场量，它作正弦变化的场量，它可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，它与时间的关系可以表示成它与时间的关系可以表示成( , )A r t 0( , )cos( )A r tAtr( )0( , )ReRe ( )ejt

25、rj tA r tA eA r其中其中( )0( )ejrA rA时间因子时间因子空间相位因子空间相位因子 利用三角公式利用三角公式式中的式中的A0为振幅、为振幅、 为与坐标有关的相位因子。为与坐标有关的相位因子。( )r 实数表示法或实数表示法或瞬时表示法瞬时表示法复数表示法复数表示法复振幅复振幅第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学29 复数式只是数学表示方式，不代表真实的场复数式只是数学表示方式，不代表真实的场 真实场是复数式的实部，即瞬时表达式真实场是复数式的实部，即瞬时表达式 由于时间因子是默认的，有时它不用写出来，只用与坐标有关由于时间因子是默认的，有时它不用写

26、出来，只用与坐标有关 的部份就可表示复矢量的部份就可表示复矢量照此法，矢量场的各分量照此法，矢量场的各分量Ei（i 表示表示x、y 或或 z）可表示成）可表示成 ( )( , )Re( )eReijtrjtiiimE r tE rE e( , )Re( )ejtmE r tEr( )( )( )( )( )( )( )yxzjrjrjrmxxmyymzzmEre Er ee Er ee Er e各分量合成以后，电场强度为各分量合成以后，电场强度为 有关复数表示的进一步说明有关复数表示的进一步说明复矢量复矢量第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学30 例例4.5.1 将下列场

27、矢量的瞬时值形式写为复数形式将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式( , )cos()sin()xxmxyymyE z te Etkze Etkz（2）00( , , )()sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta解：解：（1）由于）由于( , )cos()cos()2xxmxyymyE z te Etkze Etkz(/2)()Reeeyxjt kzjt kzxxmyyme Ee E(/2)()( )eeyxjkzjkzmxxmyymEze Ee E()eyxjjjkzxxmyyme E ee jE e（1）所以所以第4章电磁场与电磁波电

28、磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学31（2）因为）因为 cos()cos()kzttkzsin()cos()cos()22kzttkztkz200( , )()sin()ecos()ejkzjjkzmxzaxxHx ze H ke Haa故故 00( , , )()sin()sin()cos()cos()xzaxH x z te H kkztaxe Hkzta所以所以 00()sin()cos()2cos()cos()xzaxe H ktkzaxe Htkza第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学32 例例4.5.2 已知电场强度复矢量已知电场强度复矢量( )cos()m

29、xxmzEze jEk z解解()2( , )Recos()eRecos()ejtxxmzjtxxmzE z te jEk ze Ek zcos()cos()2xxmze Ek zt其中其中kz和和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量为实常数。写出电场强度的瞬时矢量cos()sin()xxmze Ek zt 第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学33以电场旋度方程以电场旋度方程 为例，代入相应场量的矢量，可得为例，代入相应场量的矢量，可得BEtRe(e)Re(e)j tj tmmEBt Re(e)Re(e)Reej tj tj tmmmEBjBt mmEj B tRe 将

30、将 、 与与 交换次序，得交换次序，得上式对任意上式对任意 t 均成立。令均成立。令 t0 ，得，得4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程复矢量的麦克斯韦方程ReRemmEjB 令令t/2 ，得，得ReRe ()mmjEjjB ImIm()mmEjB 即即第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学340mmmmmmmmHJjDEjBBD 0tt DHJBEBD0HJjDEjBDB 从形式上讲，只要把微分算子从形式上讲，只要把微分算子 用用 代替，就可以把时谐电磁代替，就可以把时谐电磁场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此

31、得到复矢量的麦克斯韦方程的麦克斯韦方程jtjt 略去略去“.”和下标和下标m第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学35 例题例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为：已知正弦电磁场的电场瞬时值为12( , )( , )( , )E z tE z tE z t8182( , )0.03sin(10)( , )0.04 cos(10/ 3)xxEz tetkzEz tetkz式中式中888888(10/2)(10/3)(/2)(/3)( , )0.03sin(10)0.04cos(10/3)0.03cos(10)0.04cos(10/3)2Re0.03eRe0.04eRe0.03e0

32、.04eexxxxjt kzjt kzxxj kzj kzjxxE z tetkzetkzetkzetkzeeee810t 解解：（1）因为）因为/2/3( )0.030.04ejjjkzxE zeee故电场的复矢量为故电场的复矢量为试求：（试求：（1）电场的复矢量）电场的复矢量;（2）磁场的复矢量和瞬时值。）磁场的复矢量和瞬时值。第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学36（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量0032054321( )( )0.03e0.04ee7.6 10 e1.01 10 eexyjjjkzyjjj

33、kzyEjH zE zejzkee k 58( , )Re( )e7.6 10sin(10)j tyH z tH ze ktkz481.01 10cos(10)3tkz磁场强度瞬时值磁场强度瞬时值第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学37实际的介质都存在损耗：实际的介质都存在损耗： 导电媒质导电媒质当电导率有限时，存在欧姆损耗当电导率有限时，存在欧姆损耗 电介质电介质受到极化时，存在电极化损耗受到极化时，存在电极化损耗 磁介质磁介质受到磁化时，存在磁化损耗受到磁化时，存在磁化损耗 损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关

34、。一些媒质 的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。4.5.3 复电容率和复磁导率复电容率和复磁导率 ()cjjjj HEEEE 导电媒质的等效介电常数导电媒质的等效介电常数 对于介电常数为对于介电常数为 、电导率为、电导率为 的导电媒质，有的导电媒质，有其中其中 c= -j/、称为导电媒质的等效介电常数。、称为导电媒质的等效介电常数。第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学38 电介质的复介电常数电介质的复介电常数 对于存在电极化损耗的电介质，有对于存在电极化损耗的电介质，有 ，称为复介电，称为复介电常数或复电容率。常数或

35、复电容率。其虚部为大于零的数，表示电介质的电极化损其虚部为大于零的数，表示电介质的电极化损耗耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。 cj 同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质 对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复介电常数对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复介电常数为为 (+)cj 磁介质的复磁导率磁介质的复磁导率 对于磁性介质，复磁导率数为对于磁性介质，复磁导率数为 ，其虚部为大于零其虚部为大于零的数，表示磁介质的磁化损耗的数，表示磁介质的磁化损耗。 cj 第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天

36、津工业大学39 损耗角正切损耗角正切 工程上通常用损耗角正切来表示介质的损耗特性，其定义为工程上通常用损耗角正切来表示介质的损耗特性，其定义为复介常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有复介常数或复磁导率的虚部与实部之比，即有 导电媒质导电性能的相对性导电媒质导电性能的相对性 导电媒质的导电性能具有相对性，在不同频率情况下，导电导电媒质的导电性能具有相对性，在不同频率情况下，导电媒质具有不同的导电性能。媒质具有不同的导电性能。tantan，电介质电介质tan，导电媒质导电媒质磁介质磁介质1 良导体良导体第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学40逆散射问题的试验设置DMTSscf

37、inf第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学41CSI and MR-CSI Reconstructions of FME for TM case at 10 GHzrr0r2(r )(r )1r(r ,)0rj DR 2D第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学424.5.4 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 导电媒质导电媒质(有损耗）有损耗）理想介质理想介质 在时谐时情况下，将在时谐时情况下，将 、 ，即可得到复矢即可得到复矢量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。量的波动方程，称为亥姆霍兹方程。222t jt 瞬时矢量瞬时矢量复矢量复矢量222200kkEEHH()

38、k 22222200ttEEHH()cck 22222200ttttEEEHHH222200cckkEEHH第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学434.5.5 时谐场的位函数时谐场的位函数 在时谐情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以在时谐情况下，矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以表示成复数形式。表示成复数形式。t BAAE洛仑兹条件洛仑兹条件达朗贝尔方程达朗贝尔方程瞬时矢量瞬时矢量复矢量复矢量j BAEAj At A222222tt AAJ2222kk AAJ第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学444.5.6 平均能量密度和平均能流密度

39、矢量平均能量密度和平均能流密度矢量 时谐场中时谐场中二次式的表示方法二次式的表示方法 二次式本身不能用复数形式表示，其中的场量必须是实数形二次式本身不能用复数形式表示，其中的场量必须是实数形式，不能将复数形式的场量直接代入。式，不能将复数形式的场量直接代入。00( , )cos( )( , )cos( )ttttE rErH rHr 设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为 电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方电磁场能量密度和能流密度的表达式中都包含了场量的平方 关系，这种关系式称为二次式。关系，这种关系式称为二次式。第4章电磁场与电磁波

40、电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学45则能流密度为则能流密度为 200cos( )tSEHEHr如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有( )0( )ejrE rE( )0( )ejrH rH( )( )002( )0000Re( ee)ReeeRe ecos 22 ( )jtjtj tj tjttrrrSEHEHEHEHr( )( )00200ReeReecos( )jtjttrrSEHEHr先取实部，再代入先取实部，再代入 第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学46使用二次式时需要注意的问题使用二次式时需要注意的问题 二次式只有实

41、数的形式，没有复数形式二次式只有实数的形式，没有复数形式 场量是实数式时，直接代入二次式即可场量是实数式时，直接代入二次式即可 场量是复数式时，应场量是复数式时，应先取实部先取实部再代入，即再代入，即“先取实后相乘先取实后相乘” 如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学47 二次式的时间平均值二次式的时间平均值 在时谐电磁场中，常常要在时谐电磁场中，常常要关心关心二次式二次式在一个时间周期在一个时间周期 T 中的中的 平均值，即平均值，即平均能流密度矢量平均能流密度矢量00

42、11d()dTTavtEHtTTSS平均电场能量密度平均电场能量密度00111dd2TTeavewwtE D tTT平均磁场能量密度平均磁场能量密度00111dd2TTmavmwwtH B tTT 在时谐电磁场中，二次式在时谐电磁场中，二次式的时间平均值可以直接由复矢量计的时间平均值可以直接由复矢量计 算，有算，有1Re() ,2avEHS1Re()4mavwH B1Re() ,4eavwE D第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学48则平均能流密度矢量为则平均能流密度矢量为 2000000111()dcos ( )d2TTavttrtTTSEHEHEH如果电场和磁场都用复

43、数形式给出，即有如果电场和磁场都用复数形式给出，即有 ( )0( )0( )e( )ejjrrE rEH rH00011Re( e) Re(e)2Tj tj tavTSEHEH*1Re()2avSEH( )( )000011Reee22jjrrEHEH时间平均值与时间无关时间平均值与时间无关00( , )cos( ),( , )cos( )ttttE rErH rHr 例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度例如某正弦电磁场的电场强度和磁场强度都用实数形式给出都用实数形式给出第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学49 具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其它具有普遍意义

44、，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其它 时变电磁场；而时变电磁场；而 只适用于时谐电磁场。只适用于时谐电磁场。 ( , ) tS r( )avSr 在在 中，中， 和和 都是实数形式且是都是实数形式且是 时间的函数，所以时间的函数，所以 也是时间的函数，也是时间的函数，反映的是能流密度反映的是能流密度 在某一个瞬时的取值在某一个瞬时的取值；而；而 中的中的 和和 都是复矢量，与时间无关，所以都是复矢量，与时间无关，所以 也与时间无也与时间无 关，关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。( , )( , )( , )tttS rE rH r( ,

45、 ) tH r( , ) tE r( , ) tS r1( )Re( )( )2avSrE rHr( )E r( )H r( )avSr01( )( , )dTavttTSrS r 利用利用 ，可由，可由 计算计算 ，但不能直，但不能直 接由接由 计算计算 ，也就是说，也就是说( , ) tS r( )avSr( )avSr( , ) tS r( , )Re( )ej tavtS rSr( , ) tS r( )avSr 关于关于 和和 的几点说明的几点说明第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学50 例例4.5.4已知无源的自由空间中，电磁场的电场强度复矢量已知无源的自由空

46、间中，电磁场的电场强度复矢量为为 ，其中，其中k 和和 E0 为常数。求：为常数。求：（1）磁场强度复矢）磁场强度复矢量量H ；（；（2）瞬时坡印廷矢量）瞬时坡印廷矢量S ；（；（3）平均）平均坡印廷矢量坡印廷矢量Sav 。0( )ejkzyzEEe 解解：（1）由得）由得0j EH000000011( )( )()(e)1(e)ejkzzyjkzjkzxxzzEjjzkEEjz HEeeee（2）电场和磁场的瞬时值为）电场和磁场的瞬时值为00( , )Re( )ecos()j txkEz tztkz HHe0( , )Re( )ecos()jtyz tzEtkzEEe第4章电磁场与电磁波电磁

47、场与电磁波天津工业大学天津工业大学51 （3）平均坡印廷矢量为）平均坡印廷矢量为0002200001Ree(e) 21Re()22zjkzjkzavyxzkEEkEkE Seeee2002222000001dd2cos ()d22TavzzttTkEktkztE SSSee或直接积分，得或直接积分，得瞬时坡印廷矢量为瞬时坡印廷矢量为2200cos ()zkEtkze000cos() cos()yxkEEtkztkz SEHee第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学52 例例 2 已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为00

48、( , )cos(),( , )cos()xyz tEtkzz tHtkzEeHe解解:(1)22002222000011()()221cos ()cos ()2emwwwEHEtkzHtkzE DB H*22000011Re()()44aveavmavwwwEHE DB H*000000e,e,e,ejkzjkzjkzjkzxxyyEEHHEeDeHeBe由于由于(2)200( , )( , )cos ()zz tz tE HtkzSEHe*0011Re()22avzE HSEHe所以所以其中其中E0、H0 和和 k 为常数。求：为常数。求：(1) w 和和 wav ；(2) S 和和 Sa

49、v。第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学53例例3 已知截面为已知截面为 的矩形金属波导中电磁场的复矢量为的矩形金属波导中电磁场的复矢量为ba000sine(sincos)ejzyjzxzaxEe jHaaxxHe jHe Haa 式中式中H0 、都是常数。试求：（都是常数。试求：（1）瞬时坡印廷矢量；）瞬时坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。）平均坡印廷矢量。 解解：（1） 和和 的瞬时值为的瞬时值为EH0( , , )Re esinsin()j tyaxE x z tEeHtza0coscos()zxe Htza0( , , )Reesinsin()j txaxH x

50、z tHeHtza 第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学542022220( , , )( , , )( , , )2sin()sin(22)4( )sin ()sin ()xzx z tE x z tH x z taxeHtzaaxeHtzaS*222011Re()sin ()22avzaxEHeHaS（2）平均坡印廷矢量）平均坡印廷矢量所以瞬时坡印廷矢量所以瞬时坡印廷矢量第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学55第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学56 产生电磁波的振荡源一般为天线。随着振荡源频率的提高使电产生电磁波的振荡源一

51、般为天线。随着振荡源频率的提高使电 磁波的波长与天线尺寸可相比拟时，就会产生显著的辐射。磁波的波长与天线尺寸可相比拟时，就会产生显著的辐射。 对于天线，我们关心的是它的辐射场强、方向性、辐射功率和对于天线，我们关心的是它的辐射场强、方向性、辐射功率和 效率。效率。 天线的型式可分为线天线和面天线。天线的型式可分为线天线和面天线。 本章由滞后位的概念出发，求解元电流的辐射场。本章由滞后位的概念出发，求解元电流的辐射场。第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学57本章内容：本章内容：q 滞后位滞后位q 电偶极子的辐射电偶极子的辐射第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津

52、工业大学581( ,)1( , )d41( ,)( , )d4VVr trrvr tVrrJ r trrvA r tVrr BAt AE其解为：其解为：8.1 8.1 滞后位滞后位yz zxP PrrVrrVd 在第在第4 4章引入了动态矢量位和动章引入了动态矢量位和动态标量位：态标量位：222222tt AAJ在在洛伦兹条件洛伦兹条件下，其方程为下，其方程为滞后位滞后位第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学59 换言之，观察点处位函数随时间的变化总是滞后于源随时间换言之，观察点处位函数随时间的变化总是滞后于源随时间的变化。滞后的时间是电磁波从源所在位置传到观察点所需的时的

53、变化。滞后的时间是电磁波从源所在位置传到观察点所需的时间，故称为间，故称为滞后位滞后位或或推迟位推迟位。物理意义物理意义： 时刻时刻 t 空间任意一点空间任意一点 r 处的位函数处的位函数并不取决于该时刻的电流和并不取决于该时刻的电流和电荷分布电荷分布，而是取决于比，而是取决于比 t 较早的时刻较早的时刻 的电流或的电流或电荷分布电荷分布。时间。时间 正好是电磁波以速度正好是电磁波以速度 从源从源点点 传到场点传到场点 所需的时间。所需的时间。/rrv/ttrrvr1/vr 例如例如：日光是一种电磁波，在某处某时刻见到的日光并不是：日光是一种电磁波，在某处某时刻见到的日光并不是该时刻太阳所发出

54、的，而是在大约该时刻太阳所发出的，而是在大约8 8分分2020秒前太阳发出的，秒前太阳发出的，8 8分分2020秒内光传播的距离正好是太阳到地球的平均距离。秒内光传播的距离正好是太阳到地球的平均距离。第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学60 e1d4ed4jkVjkVVVrrrrrrrrJ rA rrr BAj EA2222kk AAJ时谐电磁场的位函数时谐电磁场的位函数,rrkk rrtvv 其中其中第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学61 电偶极子是一种基本的辐射单元，是电偶极子是一种基本的辐射单元，是长度长度 l 远小于波长远小于波长的直的直线

55、电流元，线上电流是均匀的，且相位相同。线电流元，线上电流是均匀的，且相位相同。dddzzIVS zI zSJee由于电流元由于电流元e( )d4jkrVrVrJA代入代入得电偶极子的矢量位得电偶极子的矢量位8.2 电偶极子的辐射电偶极子的辐射(Radiation)yz zxlP Pre( )d4jkrzCrI zrAeede44jkrjkrzzCIIlzrree第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学62( )coscose4jkrrrzIlArA eAr( )sinsine4jkrzArA eIlAr ( , )0Ar tA ezxyrAAA 在球坐标系中在球坐标系中第4章电磁场与电磁波电磁场与电磁波天津工业大学天津工业大学632sin11sin0rrerereHArrArA 2sin11sin00sinrerereEHjjrrrH 22sin1e4()jkrk Iljekrkr3323232cos1sin1ee4()()4()()jkrjkrrk Iljk Iljjeekrkrkrkrkr由此得到电偶极子的电磁场：由此得到电偶极子的电磁场：第4章电磁场与