八年级数学培优竞赛专题20正方形

1、八年级数学培优竞赛专题专题 20 正方形阅读与思考矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特殊条件的平行四边形，正方形不仅是特殊的 平行四边形，而且是邻边相等的特殊矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱 形的性质来研究正方形的有关问题正方形问题常常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最容易得到特殊三角形、全等三角形， 熟悉以下基本图形例题与求解【例l】 如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC ， BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使 AD 落在 BD 上，点A恰好与BD 上的点 F 重合，展开后，折痕DE 分别交 AB ， AC 于点 E ， G .下

2、列结论：AGD 112.50；AD2 ； S AGD S OGD ；四边形AEFG 是菱形；BE 2OG .AE其中，正确结论的序号是 解题思路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等知识方法2】 如图1 ，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形ABCD 的边 BC 的延长线上（CG BC） ，取线段AE 的中点M .连 MD ， MF 1）探究线段MD ， MF 的关系，并加以证明2）将正方形CGEF 绕点 C 旋转任意角后（如图2） ，其他条件不变探究线段MD ， MF 的关系，并加以证明解题思路：由 M 为 AE 中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等13】 如图，正方形A

3、BCD 中， E ， F 是 AB ， BC 边上两点，且EF AE FC ， DG EF于 G ，求证：DG DA.解题思路AE FC 的线段是解本例的关键【例4】GH 的交点，若矩形结论如图，正方形ABCD 被两条与边平行的线段EF 、 GH 分割成四个小矩形，P 是 EF 与PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的 2 倍，试确定HAF 的大小，并证明你的解题思路：先猜测HAF 的大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系5】 如图，在正方形ABCD 中，E ， F 分别是边BC ， CD 上的点，满足EF BE DF ，AE, AF 分别与对角线BD 交于点 M

4、,N 求证： （ 1） EAF 450；222（ 2） MN 2 BM 2 DN 2 （四川省竞赛试题）解题思路：对于（1） ，可作辅助线，创造条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2） ，很容易联想到直角三角形三边关系6】 已知：正方形ABCD 中， MAN 450，MAN 绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB ， DC （或它们的延长线）于点M , N 当 MAN 绕点A旋转到BM DN 时（如图1） ，易证 BM DN MN （ 1）当 MAN 绕点A旋转到BM DN 时（如图2） ，线段 BM , DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（ 2）当MAN 绕点 A

5、旋转到如图3的位置时，线段BM ,DN 和 MN 之间又有怎样的数量关系？ 请直接写出你的猜想解题思路：对于（2） ，构造DN BM 是解题的关键能力训练图3A级1. 如图，若四边形ABCD 是正方形，CDE 是等边三角形，则EAB的度数为 .（北京市竞赛试题）2. 四边形 ABCD 的对角线AC、 BD 相交于点O，给出以下题设条件： AB BC CD DA； AO BO CO DO , AC BD ； AO CO,BO DO,AC BD ； AB BC,CD DA其中，能判定它是正方形的题设条件是. （把你认为正确的序号都填在横线上）（浙江省中考试题）3如图，边长为1 的两个正方形互相重合

6、，按住一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转300，则这两个正方形重叠部分的面积是.ADEBC第 1 题图（青岛市中考试题）AADCDBPCBCP第 3 题图第 4 题图4.如图，P 是正方形ABCD 内一点，将ABP 绕点 B 顺时针方向旋转至能与CBP' 重合，若PB 3，则PP =5 .将 n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A1, A2,An 分别是正方形的中心，则n 个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（12A . 4cmn2B 4 cm)n1 2C. 4 cm1n 2D. ( ) cm46 . 如图，以Rt BCA的斜边 BC 为一边在BCA的同侧作正方形BCEF

7、 ，设正方形的中心为O ，连接 AO ，如果 AB 4, AO 6 2 ，则 AC 的长为 ()A . 12B 8C.4 3D. 8 27如图，正方形ABCDCE MN , MCE 350，那么ANM 是 (A . 450B550C. 650D. 7508如图，正方形ABCD积为200，则BE 的值是(A 15256，点)12F 在 AD 上，点E 在 AB 的延长线上，Rt CEF 的面9如图，在正方形C 11D 10B第 7题图第 8题图ABCD 中， E 是 AD 边的中点，BD 与 CE 交于AF BE F 点，求证：BC八年级数学培优竞赛专题10. 如图，在正方形ABCD 中， E

8、是 AB 边的中点，F 是 AD 上的一点，且AF1AD 4求证： CE 平分 BCF 11 . 如图，已知P是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PE DC ,PF BC, E, F 分别是垂足求证： AP EF （扬州市中考试题）C12 .（ 1） 如图 1， 已知正方形ABCD 和正方形CGEF （CG BC） ， B,C,G 在同一条直线上，M 为线段 AE 的中点探究：线段MD , MF 的关系2）如图2，若将正方形CGEF 绕点 C 顺时针旋转450 ，使得正方形CGEF 的对角线CE 在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上，M 为 AE 的中点试问：（ 1）中探究的结论是否成

9、立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由EE八年级数学培优竞赛专题B级1. 如图，在四边形ABCD 中， AD DC, ADC ABC 900， DE AB 于 E ，若四边形ABCD 的面积为8，则DE 的长为2.如图， M 是边长为1 的正方形2210ABCD 内一点， 若 MA2 MB 2, CMD 900， 则 MCD2第 1题图第 2题图第 3题图3 .如图，在Rt ABC 中， C 900 ,AC 3，以AB 为一边向三角形外作正方形ABEF ，正方形O ，且 OC 4 2 ，则 BC 的长为“希望杯”邀请赛试题)AQ 交 BD 于 M ， 过 M 作 MN AQ 交4 .如图：边

10、长一定的正方形ABCD ， Q 是 CD 上一动点，1BC于 N 点，作 NP BD 于点 P，连接 NQ ，下列结论：AM MN ； MP BD ；2AB BN BN DQ NQ ； AB BN 为定值，其中一定成立的是()BMA . B C. D. 5 .如图，ABCD 是正方形，BF / AC ， AEFC 是菱形，则ACF 与 F 度数的比值是()A . 3B 4C. 5D. 不是整数6 .一个周长为20 的正方形内接于一个周长为28 的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是()7B52C. 8D. 65E.5 3（美国高中考试题）第 4题图第 5题图第 6题图第

11、 7题图7.如图，正方形ABCD 中，AB 8 ， Q 是 CD 的中点，设DAQ ，在 CD 上取一点P ，使BAP 2 ，则 CP 的长度等于()D. 3A . 1B 2C. 3“希望杯”邀请赛试题）8 .已知正方形ABCD 中， M 是 AB 中点， E 是 AB 延长线上一点，MN DM 且交 CBE 平分线于 N （如图 1）（ 1）求证：MD MN ；（ 2）若将上述条件中的“M 是 AB 中点”改为“M 是 AB 上任意一点”其余条件不变（如图2） ，（ 1 ）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（ 3）如图2，点M 是 AB 的延长线上（除B 点外）的任意

12、一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；EA图19 .已知0 a 1,0 b 1,求证：a2 b2(1 a)2b2a2 (1 b)2(1 a)2 (1 b)2 2 210 .如果，点M , N 分别在正方形ABCD 的边 BC,CD 上，已知MCN 的周长等于正方形ABCD 周“祖冲之杯”邀请赛试题）长的一半，求MAN 的度数11 .如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形ABCDEFGH对角线 AE,CG 分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：AE CG ，且 AE CG 12 .如图，正方形MNBC 内有一点A

13、，以 AB, AC 为边向ABC 外作正方形ABRT 和正方形ACPQ ，连接 RM , BP 求证：BP / RM RTNMQ八年级数学培优竞赛专题里RtJMDn.稗 AM=,4H. /MAH=_ H D, /<ZAH=zA£Hi F ZBAJ/ /H4H+/HAD -1K）再让JAMV少HE '/A1AF-NHAF.即/ HAF=4 ZMAH=45例5 H）如图.延长口至点八，使 ：:丁 DP； BE,遮靖AE则&WE,匕口 _ 匹fvSq,从附./门4£1=/IME,.g AK,岁'/于是,/EAEi-90".yy I在GAEF

14、和。八旦产中.fEF-HE-EDF ER 蜩 A.AEFA.A£, F.故/EAF=/E .4F/ME "45如图,在八鼠上取-森M使蹲连结 MRMM 则八八的二&4DM，AAN'M八心4 .4!tZAliM=ZADM.V二；八口.科=90,从前.必 N-MJ + 由*：,MN JJ.W* 4 DjV.a c例而 RMTINMN成口 .如用a.把AND烧点1哝时计H«箕转"，猾到AWE, EtBtM 三点凳HZDAN建咏， ; AE 3N./K4M=£NW45 /LM - /W,得2MNM,，MEMY ；AfE= RE- BM=

15、 DY+ BM,B W C图bMIX, HW-M.V (2)D5 BM=MV.如热他对于图2，连日口交A.M 丁 E.交 I V于F,迷EN,FM,可进一步证明工 (DACMV的周长等于正方形边长的?许2EF R琦月£N,AAFM都为等直角二二角蜃j电斛g ' 2与级1. 75*2,3. ：4, 372 轧 C &B7. H & R9 .轼示:LABE二 >FX%Y;U，FWdeF,证明/ABE / 1BAT T 优10 .延长I西交D4延工线于G*冲叫F= ”.IL把心性PC照PC-=EF.12, 11 j碰氏DM交EF于V .由三4DM上.E7M.用

16、DM f MMF = V"nN,FD = FM故 MD_ MF.且 K> £TfF.i二隹员门V交E干W.通皑DF,FN, tfcid明加JM 匕1NW,再证明门EZiENFJl）中结设仍成前.1,242 工 小丁 利卓；脑 r-AK： = I-I ME，3. 5 4- 口 5. C 也 B 工 H(L他京/口优.*上截取M VW/QF1M0%由 DKMRnfH V.故 DM ,VLV.12；讦铁同上.笫诙仍成立.小“t A门近长染取一点卜"使QERM.可见叫二口E*匚 2MM，.故丸赞示：构造边代为I将正方形小皿丫). 为正方帝人弦方内点.过FftFH 十八日文.4门于F.交BC于”.作R” AD交AB干E,交d> F 5设AK=u. 则 BE=】一为