2023新教材数学高考第一轮专题练习--专题九双曲线及其性质专题检测题组

1、2023新高考数学第一轮专题练习9.3双曲线及其性质一、选择题1.(2020天津,7,5分)设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为()A.x24-y24=1B.x2-y24=1C.x24-y2=1D.x2-y2=1答案D由题意知双曲线的两条渐近线互相垂直,双曲线C为等轴双曲线,渐近线的斜率分别为1和-1,直线l与一条渐近线平行,抛物线y2=4x的焦点为(1,0),b-00-1=-1,即b=1.双曲线C的方程为x2-y2=1.故选D.2.(2022

2、届河南平顶山月考,11)已知F1、F2为双曲线x2-y23=1的左、右焦点,P为双曲线右支上异于顶点的任意一点,若A为PF1F2内切圆上一动点,当AF1的最大值为4时,PF1F2的内切圆半径为()A.34B.12C.78D.56答案C设PF1F2的内切圆分别与PF1,PF2切于N,B,与F1F2切于M,如图,则|PN|=|PB|,|F1N|=|F1M|,|F2B|=|F2M|,又点P在双曲线右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a,故|F1M|-|F2M|=2a,设M的坐标为(x,0),可得(x+c)-(c-x)=2a,解得x=a=1.设内切圆半径为r,则内切圆圆心为(1,r),则|AF1|的

3、最大值为|CF1|+r=4,即(1+2)2+(r-0)2=4-r,解得r=78.故选C.3.(2021南昌一模,11)许多建筑融入了数学元素,更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1是单叶双曲面(由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形)型建筑,图2是其中截面最细附近处的部分图象,上、下底面与地面平行.现测得下底直径AB=2010米,上底直径CD=202米,AB与CD间的距离为80米,与上、下底面等距离的G处的直径等于CD,则最细部分处的直径为()A.10米B.20米C.103米D.105米答案B取DC的中点E,以EG所在直线为y轴,EG的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系

4、,如图所示.因为点G处的直径等于CD,所以由双曲线的对称性可知,点O即双曲线的对称中心,设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由题意可知,C(102,20),B(1010,-60),代入双曲线的标准方程得200a2-400b2=1,1 000a2-3 600b2=1,解得a2=100,b2=400,所以最细部分处的直径为2a=20(米).4.(2022届甘肃嘉峪关第一中学开学考,3)如果双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为5+12,那么称该双曲线为黄金分割双曲线,简称为黄金双曲线.现有一黄金双曲线C:x25-1-y2b2=1(b>0),则该黄金双曲线

5、C的虚轴长为()A.2B.4C.2D.22答案D由题意可得c2a2=a2+b2a2=1+b25-1=5+122,解得b2=2,则b=2,故该黄金双曲线C的虚轴长为2b=22.5.(2022届陕西渭南月考,5)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点到它的一条渐近线的距离为4,且焦距为10,则C的离心率为()A.43B.85C.53D.54答案C焦距为2c=10,c=5,右焦点坐标为(5,0),a2+b2=25,由双曲线的对称性不妨令渐近线方程为bx-ay=0,右焦点到它的一条渐近线的距离为d=|5b|a2+b2=|5b|5=b,b=4,a=c2-b2=52-4

6、2=3,故离心率e=ca=53,故选C.6.(2022届广西玉林第十一中学月考,10)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1,F2,在双曲线上存在点P满足2|PF1+PF2|F1F2|,则此双曲线的离心率e的取值范围是()A.1<e2B.e2C.1<e2D.e2答案B由OP为F1PF2的中线,可得PF1+PF2=2PO.由2|PF1+PF2|F1F2|可得4|PO|F1F2|,由|PO|a,|F1F2|=2c,可得4a2c,可得e=ca2.故选B.7.(2022届江西景德镇模拟,9)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b&g

7、t;0),直线l过双曲线的右焦点且斜率为ab,直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于M、N两点(M点在x轴的上方),且|OM|ON|=2,则双曲线C的离心率为()A.2B.233C.2D.3答案B如图所示,由题意可知,直线l与渐近线y=-bax垂直,则ONMN,又|OM|ON|=2,则OMN=30°,故MON=60°,则MOF=30°,则ba=tan 30°=33,所以e=ca=a2+b2a2=1+ba2=233.故选B.8.(2021河南、山西4月联考,10)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,

8、P为双曲线C上的一点,若线段PF1与y轴的交点M恰好是线段PF1的中点,MF1·MO=14b2,其中O为坐标原点,则双曲线的渐近线方程为()A.y=±12xB.y=±xC.y=±3xD.y=±2x答案B设双曲线C的半焦距为c,则点F1(-c,0),由题意知PF2x轴,所以点P的横坐标为c,由双曲线的对称性不妨设点P(c,y0)(y0>0),所以c2a2-y02b2=1,解得y0=b2a,所以点Pc,b2a,所以点M的坐标为0,b22a,所以MF1=-c,-b22a,MO=0,-b22a,故MF1·MO=-c,-b22a·

9、;0,-b22a=b44a2=14b2,所以a2=b2,所以a=b.所以双曲线C的渐近线方程为y=±x.故选B.9.(2022届广东省实验中学月考,3)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点,则k的取值范围是()A.-153,153B.0,153C.-153,0D.-153,-1答案D由y=kx+2,x2-y2=6消去y整理得(k2-1)x2+4kx+10=0,设该方程的两实根为x1,x2,由题意得x1+x2=-4kk2-1>0,x1x2=10k2-1>0,k2-10,=(4k)2-40(k2-1)>0,解得-153<k<-1.故选

10、D.10.(2022届河北大名一中月考,8)过点A(1,1)作直线l与双曲线x2-y22=1交于P,Q两点,使得A是PQ的中点,则直线l的方程为()A.2x-y-1=0B.2x+y-3=0C.x=1D.不存在答案D设点P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1x2),因为点A(1,1)是PQ的中点,所以x1+x2=2,y1+y2=2,由点P、Q在双曲线上得2x12-y12=2,2x22-y22=2,两式相减得2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0,即2(x1-x2)-(y1-y2)=0,故直线l的斜率为y1-y2x1-x2=2.则直线l的方程为y-1=2(x-1),即y

11、=2x-1.由y=2x-1,2x2-y2=2消去y并整理得2x2-4x+3=0,此时=(-4)2-4×2×3=-8<0,即方程组y=2x-1,2x2-y2=2无解,所以直线l不存在.故选D.11.(2021四川南充二模,10)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=233,右焦点为F,点A是双曲线C的一条渐近线上位于第一象限内的点,AOF=OAF,AOF的面积为33,则双曲线C的方程为()A.x236-y212=1B.x218-y26=1C.x29-y23=1D.x23-y2=1答案C因为AOF=OAF,所以OAF为等腰三角形,过F作

12、FBOA,则焦点到渐近线的距离为|BF|=b,则|OB|=c2-b2=a,即|OA|=2|OB|=2a,则OAF的面积为S=12×2a×b=ab=33,又知双曲线的离心率为233,所以e2=1+b2a2=43,即b2a2=13,解得a=3,b=3,所以双曲线C的方程为x29-y23=1,故选C.12. (2022届湘豫名校联盟11月联考,9)如图,已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过点F2作直线l交双曲线C的右支于A,B两点.若|AB|=|AF1|,且F1ABF2F1B,则双曲线C的离心率为()A.2B.15C.

13、32D.4答案A设|AF2|=m,由题意可得|AF1|=2a+m,|AB|=|AF1|,则|BF2|=|AB|-|AF2|=2a,所以|BF1|=4a,因为F1ABF2F1B,所以|F2F1|=|BF1|,即2c=4a,故e=2.故选A.13.(2022届河南省实验中学11月月考,12)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P、Q,若点P是线段F1Q的中点,且QF1QF2,则此双曲线的离心率为()A.6B.5C.2D.3答案C如图所示,由题意得F1F2Q是直角三角形,易知F1O=OQ,所以F1OQ是等

14、腰三角形,因为P是线段F1Q的中点,所以F1OP=POQ.由双曲线渐近线的对称性可知,F1OP=F2OQ,所以F1OP=POQ=F2OQ=3.因为双曲线渐近线的方程为y=±bax,所以ba=tan3=3b23a2c2-a2=3a2c=2ae=2.故选C.二、填空题14.(2022届甘肃靖远开学考,15)已知双曲线C:x24-y2m=1(m>0)的渐近线方程为y=±2x,F1、F2分别是C的左、右焦点,P为C右支上一点.若|PF1|=m-1,则PF1F2的面积为. 答案226解析由题意得m4=2,m=8.|PF1|-|PF2|=2a=4,|PF1|=m-1=7

15、,|PF2|=3,又|F1F2|=43,由余弦定理的推论得cosF1PF2=521,sinF1PF2=42621,则PF1F2的面积S=12×3×7×sinF1PF2=212×42621=226.15.(2022届陕西洛南中学月考,16)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),过F1的直线l与圆C:x-12c2+y2=c24相切,与双曲线在第四象限交于一点M,且有MF2x轴,则直线l的斜率是,双曲线的渐近线方程为. 答案-24;y=±x解析如图所示,不妨设直线l

16、与圆C相切于点A,CAF1M,|CA|AF1|=|F2M|F1F2|.|CA|=c2,|CF1|=3c2,|AF1|=3c22-c22=2c.又|F1F2|=2c,|F2M|=2c2,Mc,-2c2,kl=-tanCF1A=-22c2c=-24.将Mc,-2c2代入x2a2-y2b2=1,可得c2a2-c22b2=1,a2+b2a2-a2+b22b2=1,a=b,渐近线方程为y=±bax=±x.16.(2021呼和浩特二模,15)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过点(3,10),其左焦点为F1,过F1的直线l与C的左支交于点P,Q,点M在y

17、轴上,且PM·QM=0,PQ=-4OM,O为坐标原点,则C的标准方程为. 答案x24-y28=1解析因为PQ=-4OM,所以|F1P|=2|OM|,直线l与x轴垂直,将x=-c代入x2a2-y2b2=1,得y2=b4a2,则|PF1|=b2a.设双曲线的右焦点为F2,因为O为F1F2的中点,直线l与x轴垂直,所以M是PF2的中点,又PM·QM=0,且|PF2|=|QF2|,所以PQF2为等边三角形,所以|PF2|=2|PF1|=2b2a,又|PF2|-|PF1|=2a,所以2b2a-b2a=2a,得b2=2a2,由(3,10)在双曲线x2a2-y22a2=1上,得

18、9a2-102a2=1,解得a2=4,所以b2=8,所以双曲线C的标准方程为x24-y28=1.17.(2022届安徽十校联盟开学考,16)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,以F1F2为直径的圆与C在第一象限内的交点为P,直线F1P与y轴的交点为Q,且点P关于直线QF2的对称点在x轴上,则C的离心率为. 答案3+1解析由题意可得F1PF2=2,又由对称性可知QF1F2=F1F2Q=PF2Q=6.故在RtPF1F2中,可得|PF2|=12|F1F2|=c,|PF1|=3c,因为|PF1|-|PF2|=3c-c=2a,所以e=

19、ca=23-1=3+1.18.(2022届江西景德镇一中月考,16)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,且以A为圆心,双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于B,C两点,若BAC2,23,则双曲线C的离心率的取值范围是. 答案2,2解析如图所示,过点A作ADBC于D,则ACD为直角三角形,所以|AD|=|AC|·cosDAC=b cosBAC2b2,2b2.不妨设一条渐近线方程为y=bax,则点A(a,0)到渐近线的距离为|AD|=aba2+b2=abcb2,2b2,即1e12,22,故e2,2.三、解答题19.(2022届河南省实验中学期中,20)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,双曲线的C的右顶点A在圆O:x2+y2=1上,且AF1·AF2=-1.(1)