五年高考三年联考数学分章练习：空间几何体的结构、三视图和直观

1、第八章 第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积第八章 立体几何第一节 空间几何体的结构、三视图和直观图、表面积和体积第一部分 五年高考荟萃2009年高考题一、选择题1. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( .A.2+B. 4+C. 2+D. 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为2,四棱锥的底面 边长为2,高为3,所以体积为2133= 所以该几何体的体积为23+ . 答案:C 【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积.2.一个棱锥的三视图如

2、图,则该棱锥的全面积(单位:c 2m 为 (A (B (C (D 3.正六棱锥P-ABCDEF 中,G 为PB 的中点,则三棱锥D-GAC 与三棱锥P-GAC 体积之比为 (A 1:1 (B 1:2 (C 2:1 (D 3:24.在区间-1,1上随机取一个数x ,cos2x 的值介于0到21之间的概率为( . 侧(左视图 正(主视图 俯视图A.31 B.2 C.21 D.32 【解析】:在区间-1,1上随机取一个数x,即1,1x -时,222x-, 0cos12x区间长度为1, 而cos2x 的值介于0到21之间的区间长度为21,所以概率为21.故选C 答案 C【命题立意】:本题考查了三角函数

3、的值域和几何概型问题,由自变量x 的取值范围,得到函数值cos2x的范围,再由长度型几何概型求得. 5. 如右图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且体积为12。则该集合体的俯视图可以是 答案: C6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体 的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“”的面的方位是 A. 南 B. 北 C. 西 D. 下 解:展、折问题。易判断选B7.如图,在半径为3的球面上有,A B C 三点,90,ABC BA BC =, 球心O 到平面ABC B C 、两点的球面距离是 A.3 B. C.43 D.2

4、答案 B8 C. D.23 答案 C9,如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长 为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是( 答案 B 二、填空题 10.图是一个几何体的三视图,若它的体积是a=_ 答案311.如图是一个几何体的三视图,若它的体积是a =_ 12.若某几何体的三视图(单位:cm 如图所示,则此几何体的体积是 3cm . 答案 18【解析】该几何体是由二个长方体组成,下面体积为1339=,上面的长方体体积为3319=,因此其几何体的体积为1813.设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m 。 则该几何体的体积为 3m答案 414. 直三棱柱11

5、1ABC A B C -的各顶点都在同一球面上,若12AB AC AA =,120BAC =,则此球的表面积等于 。解:在ABC 中2AB AC =,120BAC =,可得BC =由正弦定理,可得ABC 外接圆半径r=2,设此圆圆心为O ',球心为O ,在RT OBO '中,易得球半径R , 故此球的表面积为2420R =.15.正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球,若,A B 两点的球面距离为,则正三棱 柱的体积为 . 答案 816.体积为8的一个正方体,其全面积与球O 的表面积相等,则球O 的体积等于 .答案 17.如图球O 的半径为2,圆1O 是一小圆,

6、1 OO A 、B 是圆1O 上两点,若A ,B 两点间的球面距离为23,则1AO B = . 答案218.已知三个球的半径1R ,2R ,3R 满足32132R R R =+,则它们的表面积1S ,2S ,3S ,满足的等量关系是_.答案32132S S S =+19.若球O 1、O 2表示面积之比421=S S ,则它们的半径之比21R R=_. 答案 2 三、解答题20.(本小题满分13分某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥P EFGH -,下半部分是长方体ABCD EFGH -。图5、图6分别是该标识墩的正(主视图和俯视图。(1请画出该安全标识墩的侧(左

7、视图;(2求该安全标识墩的体积; (3证明:直线BD 平面PEG . 【解析】(1侧视图同正视图,如下图所示. (2该安全标识墩的体积为:P EFGH ABCD EFGH V V V -= 221406040203200032000640003=+=+= (2cm (3如图,连结EG,HF 及 BD ,EG 与HF 相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,PO 平面EFGH , P O H F 又EG HF HF 平面PEG又BD HF P BD 平面PEG ; 20052008年高考题一、选择题1.(2008广东将正三棱柱截去三个角(如图1所示A B C ,分别是GHI 三边的中点得到几

8、何体如图2,则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图为( 答案 A2.(2008海南、宁夏理 在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段,则a +b 的最大值为( A.B. C .4D .答案 C 【解析】结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图 设长方体的高宽高分别为,m n k ,由题意得=1n = a =b =,所以22(1(16a b -+-= 228a b +=,22222(282816a b a ab b ab a b +=+=+= 4a b +当且仅当2a b =时取等号。 3.(2008山东下图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何

9、体的表面积是 A.9 B.10 C.11 D .12EF DIA HG BC EFDA BC侧视 图1 图2 BEA .BEB .BEC .B ED .答案 D【解析】考查三视图与几何体的表面积。从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面及为22411221312.S =+=3. (2007宁夏理8 已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm ,可得这个几何体的体积是( A.34000cm 3 B.38000cm 3C.32000cmD.34000cm 答案 B4. (2007陕西理6一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个

10、大圆上,则该正三棱锥的体积是( A .433 B .33 C . 43 D .123答案 B 5.(2006安徽表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为 A B .13 C .23 D 答案 A【解析】此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形,所以由8= 1a =A 。 6.(2006福建已知正方体外接球的体积是332,那么正方体的棱长等于( A.22 B.332 C.324 D.334 答案 D【解析】正方体外接球的体积是323,则外接球的半径R=2,正方体的对角线的长为4,2020正视图 20侧视图 1010 20俯视图棱长等于3 ,选D. 7.( 2006湖南卷过半

11、径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面,若OA 与该截面所成 的角是60°则该截面的面积是 ( A . B .2 C.3 D .32答案 A【解析】过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面,若OA 与该截面所成的角是60°,则截面圆的半径是21R =1,该截面的面积是,选A. 8.(2006山东卷正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( A . 13B . 13C . 133D . 19 答案 C【解析】设正方体的棱长为a ,则它的内切球的半径为12a ,它的外接球的半径为2 a , 故所求的比为133,选C .9.(2005全国卷一个与球心距离为1的平面截球所得

12、的圆面面积为,则球的表面积为 ( A.28B .8C .24D .4答案 B10.(2005全国卷如图,在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为1的正方形,且 BCF ADE 、均为正三角形,EF AB ,EF=2,则该多面体的体积为 ( A.32 B .33 C .34D .23 二、填空题11.(2008海南、宁夏理科一个六棱柱的底面是正六边 形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为98,底面周长为3,则这个球的体积为 . 答案34【解析】令球的半径为R ,六棱柱的底面边长为a ,高为h R =,且 21962863a V h h a = =1R

13、=3 4433V R =.12.(2008海南、宁夏文一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面。已知该六棱柱 的顶点都在同一个球面上, 底面周长为3,那么这个球的体积为_ 答案43 【解析】正六边形周长为3,得边长为12,故其主对角线为1,从而球的直径22R = 1R = 球的体积43V =. 13. (2007天津理12一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱 的长分别为1,2,3,则此球的表面积为 . 答案 1414.(2007全国理15一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm ,那么该棱柱的表面积为 cm 2. 答案 2

14、+ 15.(2006辽宁如图,半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -,则此正六棱锥的侧面积是_. 答案 【解析】显然正六棱锥P ABCDEF -的底面的外接圆是球的一个大圆,于是可求得底面边长为2,又正六棱锥P ABCDEF -的高依题意可得为2,依此可求得 第二部分 三年联考汇编2009年联考题一、选择题1.(2009枣庄市二模一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于( A .361a B .321aC .332aD .365a答案 D2.(2009天津重点学校二模 如图,直三棱柱的主视图面积为2a 2,则左视图的面积为( A .2a 2B .a 2C .23a D

15、.243a答案 C3. (2009青岛二模如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图, 则组成此几何体的长方体木块块数共有( A .3块B .4块C .5块D .6块 答案 B4. (2009台州二模 ,且一个内角为60 的菱形,俯视图为正方形,那么这个几何体的表面积为( A. B .C . 4D . 8答案 C 5. (2009宁德二模右图是一个多面体的三视图,则其全面积为( AB 6 C6 D4r 答案 C6. (2009天津河西区二模如图所示,一个空间几何体的正aaa正视图 侧视图 俯视图 视图和侧视图都是底为1,高为2的矩形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的表面 积为( A .Z 2B .

16、52 C .4 D .5答案 B7. (2009湛江一模用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如右图所示,则它的体积的最小值与最大值分别为( A .9与13B .7与10 C .10与16D .10与15 答案 C8. (2009厦门大同中学如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm, 则此几何体的表面积是( A. 2(20cm +B.21 cm C. 2(24cm +D. 24 cm 答案 A9.(抚州一中2009届高三第四次同步考试下图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 可得几何体的表面积是( 主视图 俯视图左视图A1C 1B1BC AD第(11题A.22B.12C.4+2

17、4D.4+32 答案 D 二、填空题10.(辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上,若过该球球心的一个截面如图,则图中 三角形(正四面体的截面的面积是 . 答案11.(2009南京一模如图,在正三棱柱111C B A ABC -中,D 为棱1AA 的中点,若截面D BC 1是面积为6的直角三角形,则此三棱柱的体积为 .答案 3812.(2009广州一模一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm 如图所示,则该几何体的侧面积为_cm 2.答案 8013.(2009珠海二模一个五面体的三视图如下,正视图与侧视图是等腰直角三角形,俯视图为直角梯形

18、,部分边长如图所示,则此五面体的体积为_.俯视图 答案 29月份更新一、选择题 1.(2009滨州一模设、是两个不同的平面,m l 、为两条不同的直线,命题p :若平面/,l ,m ,则m l /;命题q :/l ,l m ,m ,则,则下列命题为真命题的是 ( A .p 或q B .p 且q C .p 或q D .p 且q 答案C2.(2009聊城一模某个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ( A .32B .3C .433 D .233 答案B 3.(2009临沂一模一个几何体的三视图及长度数据如图, 则该几何体的表面积与体积分别为A、7 B、8 C、372+ D、382 + 答案

19、C4.(2009青岛一模如右图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形,则其体积是 AB.C .D. 83 答案C 5.(2009上海闸北区右图是一个几何体的三视图,根据图中数据, 可得该几何体的表面积是( A .10 B .11 C .12 D .13 答案C俯视图俯视图正(主视图 侧(左视图 6.(2009泰安一模一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于(A 4 (B 6(C 8 (D12答案A7.(2009枣庄一模一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为(A.3B.2C.316D.以上都不对答案C二、填空题1.(2

20、009上海八校联考已知一个球的球心O到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于此球半径的一半,若3AB BC CA=,则球的体积为_。答案3232.(2009上海青浦区如图,用一平面去截球所得截面的面积为2cm2,已知球心到该截面的距离为1 cm,则该球的体积是cm3.答案34三、解答题1.(2009上海普陀区已知复数1cosz x i=+,21sinz x i=+(i是虚数单位,且12z z-=.当实数(2,2x-时,试用列举法表示满足条件的x的取值集合P.解:如图,设BC中点为D,联结AD、OD.由题意,2OB OC=,60BOC=,所以OBC为等边三角形,故2BC=,且OD=又1332AB

21、CS BC AD AD=,所以AO.理第11题C第19题图而圆锥体的底面圆面积为24S OC =, 所以圆锥体体积13ABC V S AO = =. 2.(2009上海奉贤区模拟考在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB C=90°, A B=BC=1. (1求异面直线B 1C 1与AC 所成角的大小; (2若直线A 1C 与平面ABC 所成角为45°, 求三棱锥A 1-ABC 的体积.(1因为11BC B C ,所以BCA (或其补角即为异面直线11B C 与AC 所成角 -(3分AB C=90°, A B=BC=1,所以4BCA =, -(2分即异面直线1

22、1B C 与AC 所成角大小为4。 -(1分 (2直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,1A A ABC 平面,所以1ACA 即为直线A 1C 与平面ABC 所成角,所以14A CA =。 -(2分Rt ABC 中,AB=BC=1得到AC =,1Rt AAC 中,得到1AA AC = -(2分 所以1136ABC ABC S AA -= = 1A V -(2分 3.(2009冠龙高级中学3月月考在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中,(如图E 是棱11D C 的中点,F 是侧面D D AA 11的中心.(1 求三棱锥EF D A 11-的体积;求EF 与底面1111D C B

23、 A 所成的角的大小.(结果用反三角函数表示-F D A E EF D A V V . (2取11D A 的中点G ,所求的角的大小等于GEF 的大小,ABC DA 1B 1C 1FED 1 RtGEF 中 tan GEF = 2 2 ，所以 EF 与底面 A1 B1C1 D1 所成的角的大小是 arctan 2 2 4. (2009 闸北区 如图，在四棱锥 O ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， OA 底面ABCD ， OA = 2 ， M 为 OA 的中点 （）求四棱锥 O ABCD 的体积； （）求异面直线 OB 与 MD 所成角的大小 O

24、M A D C 解 ：（ ） 由 已 知 可 求 得 ， 正 方 形 ABCD 的 面 积 S = 4 ，2 分 所以，求棱锥 O ABCD 的体积 V = B 1 8 × 4 × 2 = 4 分 3 3 （）方法一（综合法） 方法一（综合法） 方法一 设线段 AC 的中点为 E ，连接 ME ， 则 EMD 为异面直线 OC 与 MD 所成的角（或其补角） .1 分 ） 由已知，可得 DE = 2 , EM = 3 , MD = 5 ， Q ( 2 2 + ( 3 2 = ( 5 2 DEM 为直角三角形 .2 分 tan EMD = DE = EM 2 3 ， .4 分 EMD = arctan 3 2 3 3 2 3 .1 分 所以，异面直线 OC 与 MD 所成角的大小 arctan 方法二(向量法 方法二 向量法 向量法 以 AB,AD,AO 所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系， 则 O (0,0,2, C ( 2,2,0, M (0,0,1, D (0,2,0 , 2 分 OC = (2,2,2 ， MD = (0,2,1 ， .2 分 设异面直线 OC 与 MD 所成角为 ， cos = | OC MD | | OC | |