高三数学立体几何综合训练（文）人教实验版（A）

1、高三数学立体几何综合训练（文）人教实验版（A）【本讲教育信息】一. 教学内容：立体几何综合训练二. 重点、难点：对比两种方法解决同一个立体几何问题【典型例题】例1 如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且DAB=60°的菱形，ACBD=O，A1C1B1D1=O1，E是O1A的中点。 （1）求二面角O1BCD的大小； （2）求点E到平面O1BC的距离。解法一：（1）过O作OFBC于F，连接O1F OO1面AC，BCO1F，O1FO是二面角O1BCD的平面角 OB=2，OBF=60°，OF=在RtO1OF在，tanO1FO= O1FO=60°

2、即二面角O1BCD为60°（2）在O1AC中，OE是O1AC的中位线，OEO1COEO1BC，BC面O1OF，面O1BC面O1OF，交线O1F.过O作OHO1F于H，则OH是点O到面O1BC的距离，OH=点E到面O1BC的距离等于解法二：（1）OO1平面AC，OO1OA，OO1OB，又OAOB，建立如图所示的空间直角坐标系（如图）底面ABCD是边长为4，DAB=60°的菱形，OA=2，OB=2，则A（2，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），O1（0，0，3）设平面O1BC的法向量为=（x，y，z），则，则z=2，则x=，y=3，=（，3，2），而平面AC的法向量=

3、（0，0，3）cos<，>=，设O1BCD的平面角为， cos=60°.故二面角O1BCD为60°（2）设点E到平面O1BC的距离为d，E是O1A的中点，=（，0，），则d=点E到面O1BC的距离等于。例2 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动。（1）证明：D1EA1D；（2）当E为AB的中点时，求点A到面ECD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为。（1）证明：连，在长方体ABCDA1B1C1D1中，为在平面的射影，而AD=AA1=1，则四边形是正方形，由三垂线定理得D1EA1D （2）解：

4、以点D为原点，DA为轴，DC为轴建立如图所示的直角坐标系。则、则，设平面的法向量为 ，记 点A到面ECD1的距离（3）解：设则，设平面的法向量为，记而平面ECD的法向量，则二面角D1ECD的平面角当AE=时，二面角D1ECD的大小为。例3 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是a的正方形，PA平面ABCD，且PA=2AB（1）求证：平面PAC平面PBD；（2）求二面角BPCD的余弦值。解：（1）证明：PA平面ABCD PABD ABCD为正方形 ACBD BD平面PAC又BD在平面BPD内， 平面PAC平面BPD （2）解法一：在平面BCP内作BNPC垂足为N，连DN， RtPBCRtPDC，由

5、BNPC得DNPC； BND为二面角BPCD的平面角，在BND中，BN=DN=，BD= cosBND =解法二：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系如图，在平面BCP内作BNPC垂足为N连DN， RtPBCRtPDC，由BNPC得DNPC； BND为二面角BPCD的平面角设解法三：以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间坐标系，作AMPB于M、ANPD于N，易证AM平面PBC，AN平面PDC，设二面角BPCD的平面角与MAN互补二面角BPCD的余弦值为 例4 已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA

6、=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点。（1）求证：AF平面PEC；（2）求PC与平面ABCD所成角的大小；（3）求二面角P一EC一D的大小解：（1）取PC的中点O，连结OF、 OE FODC，且FO=DCFOAE 又E是AB的中点，且AB=DC FO=AE四边形AEOF是平行四边形 AFOE又OE平面PEC，AF平面PECAF平面PEC（2）连结ACPA平面ABCD，PCA是直线PC与平面ABCD所成的角在RtPAC中，即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 （3）作AMCE，交CE的延长线于M连结PM，由三垂线定理得PMCEPMA是二面角PECD的平面角由AMECBE，可得，二

7、面角P一EC一D的大小为 解法二：以A为原点，如图建立直角坐标系则A（00，0），B（2，0，0），C（2，l，0）D（0，1，0），F（0，），E（1，0，0），P（0，0，1）（1）取PC的中点O，连结OE，则O（1，）又OE平面PEC，AF平面PEC，AF平面PEC （2）由题意可得，平面ABCD的法向量即直线PC与平面ABCD所成的角大小为 （3）设平面PEC的法向量为则，可得，令，则 由（2）可得平面ABCD的法向量是二面角P一EC一D的大小为 例5 在直三棱柱中，A1A=AB=3，AC=3，、Q分别为棱BB1、CC1上的点，且。（1）求平面APQ与面ABC所成的锐二面角的大小；（2

8、）在线段A1B（不包括两端点）上是否存在一点M，使AM+MC1最小？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由。解：（1）建立如图所示空间直角坐标系AA（0，0，0），P（3，0，），Q（0，3，2）设平面APQ的一个法向量为令，则平面ABC的一个法向量平面APQ与面ABC所成的锐角大小为45°（2）沿A1B将面A1BC1与面A1BA展开，连结AC1与A1B交于点M，此时AM+MC1有最小值又C1A1面ABB1A1，C1A1A1BAA1C1中，AA1C1=135°AC1=存在点M，使AM+AC1取最小值为例6 如图，四棱锥PABCD中、底面ABCD是边长为2的正方形，PBBC，

9、PDCD，且PA=2，E为PD中点。（1）求证：PA平面ABCD；（2）求二面角EACD的大小；（3）在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由。（4）若F为线段BC的中点，求点D到平面PAF的距离。解法一：（1） 底面ABCD为正方形， BCAB，又BCPB BC平面PAB BCPA 同理CDPA PA平面ABCD（2）设M为AD中点，连结EM，又E为PD中点，可得EM/PA从而EM底面ABCD，过M作AC的垂线MN，垂足为N，连结EN由三垂线定理知ENAC， ENM为二面角EACD的平面角在中，可求得EM=1，MN= 二面角EACD

10、的大小为（3）由E为PD中点可知，要使得点E到平面PAF的距离为即要求点D到平面PAF的距离为过D作AF的垂线DG，垂足为G PA平面ABCD 平面PAF平面ABCD DG平面PAF即DG为点D到平面PAF的距离 DG= 设BF=，由ABF与DGA相似可得 ，即1 在线段BC上存在点F，且F为BC中点，使得点E到平面PAF的距离为（4）过D作AF的垂线DG，垂足为G PA平面ABCD 平面PAF平面ABCD DG平面PAF DG为点D到平面PAF的距离由F为BC中点，可得AF= 又 ABF与DGA相似可得， 即点D到平面PAF的距离为解法二：（1）同解法一（2）建立如图所示的空间直角坐标系A，

11、则A（0，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），设为平面AEC的一个法向量，则，又， 令，则，得又是平面ACD的一个法向量设二面角EACD的大小为，则 二面角EACD的大小为（3）设F（2，t，0）（），为平面PAF的一个法向量，则，又 令，则，得，又 点E到平面PAF的距离为 ，解得，即F（2，1，0） 在线段BC上存在点F，且F为BC中点，使得点E到平面PAF的距离为（4） F为BC中点 F（2，1，0）设为平面PAF的一个法向量，则又 令，则，得，又 点D到平面PAF的距离为例7 如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，SA=AB，点M是SD的中点，A

12、NSC，且交SC于点N。（1）求证：SB/平面ACM；（2）求二面角DACM的大小；（3）求证：平面SAC平面AMN。解法一：（1）连结BD交AC于E，连结ME ABCD是正方形， E是BD的中心 M是SD的中点 ME是DSB的中位线 ME/SB又 ME平面ACM，SB平面ACM SB/平面ACM（2）取AD中点F，则MF/SA，作FQAC于Q，连结MQ SA底面ABCD MF底面ABCD FQ为MQ在平面ABCD内的射影 FQAC MQAC FQM为二面角DACM的平面角设SA=AB=，在中， 二面角DACM的大小为（3）由条件得DCSA，DCDA DC平面SAD AMDC又 SA=AD，M

13、是SD的中点， AMSD AM平面SDC SCAM 由已知SCAN， SC平面AMN又SC平面SAC 平面SAC平面AMN解法二：（1）同解法一（2）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A，由于SA=AB，可设AB=AD=AS=1，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），S（0，0，1），M（） SA底面ABCD 是平面ABCD的一个法向量，=（0，0，1）设平面ACM的一个法向量为 ，则，即 令，则 二面角DACM的大小为（3） 又 且ANAM=A SC平面AMN，又SC平面SAC 平面SAC平面AMN例8 如图，直三棱柱A1B1C1ABC中，C1C=C

14、B=CA=2，ACCB。D、E分别为棱C1C、B1C1的中点。（1）求A1B与平面A1C1CA所成角的大小；（2）求二面角BA1DA的大小；（3）在线段AC上是否存在一点F，使得EF平面A1BD？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由解法一：（1） A1B1C1ABC为直三棱柱， CC1底面ABC， CC1BC ACCB， BC平面A1C1CA BA1C为A1B与平面A1C1CA所成角，BA1C= A1B与平面A1C1CA所成角为（2）分别延长AC，A1D交于G，过C作CMA1G于M，连结BM BC平面ACC1A， CM为BM在平面A1C1CA内的射影 BMA1G， CMB为二面角B

15、A1DA的平面角平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D为C1C的中点 CG=2，DC=1，在直角三角形CDG中，CM= ，即二面角BA1DA的大小为（3）在线段AC上存在一点F，使得EF平面A1BD，其位置为AC中点证明如下： A1B1C1ABC为直三棱柱， B1C1/BC 由（1）知BC平面A1C1CA B1C1平面A1C1CA EF在平面A1C1CA内的射影为C1F，F为AC中点 C1FA1D EFA1D同理可证EFBD， EF平面A1BD E为定点，平面A1BD为定平面，故点F惟一解法二（1）同解法一（2） A1B1C1ABC为直三棱柱，C1C=CB=CA=2，ACCBD、E分别为C1

16、C、B1C1的中点，建立如图所示的坐标系得C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），C1（0，0，2），B1（2，0，2），A1（0，2，2），D（0，0，1），E（1，0，2） ，设平面A1BD的法向量为，即，得 平面ACC1A1的法向量，即二面角BA1DA的大小为（3）在线段AC上存在一点F，设F（0，0）使得EF平面A1BD欲使EF平面A1BD，由（2）知，当且仅当 ， 存在惟一一点F（0，1，0）满足条件，即点F为AC中点例9 如图：平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD为直角三角形，PAD=90°，且AD=2，又二面角PBCD的大小为45°，

17、E，F，G分别为PA，PD，CD的中点。（1）求证：PB/平面EFG；（2）求异面直线EG与BD所成的角；（3）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为0.8，若存在，求出CQ的值；若不存在，说明理由。建立如图空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）（1）设平面EFG的一个法向量，取则 PB平面EFG PB/平面EFG （2） ， 即EG与BD所成的角为（3）设存在Q点，并设Q（），平面EFQ的一个法向量为， 即Q（，2，0），且综上所述：线段CD上存在点Q，

18、使得点A到平面EFQ的距离为0.8且CQ=例10 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC=90°，AB=AC=，AA1=，D为BC的中点，E为CC1上的点，且CE=。（1）求证：BE平面ADB1；（2）求二面角BAB1D的大小（1）以A点为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴建立空间直角坐标系Axyz，可知A（0，0，0），B（，0，0），C（0，0），D（），B1（），E（）可得，于是得，可知BEAD，BEDB1，又ADDB1=D，故BE平面ADB1（2）由（1）知平面ADB1的法向量，面BAB1的法向量于是故二面角BAB1D的大小为【模拟试题】1. 如图，在矩形ABC

19、D中，AB=2BC=2，E为AB中点，将B点沿线段EC折起至点P，连结PA，PC，PD，取PD的中点F。（1）求证：AF/平面PEC；（2）若平面PEC平面AECD，求异面直线PE，CD所成的角；（3）在条件（2）下，求F点到平面PEC的距离。 2. 如图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=AC，D是PB上一点，且CD平面PAB。（1）求证：AB平面PCB；（2）求二面角CPAB的大小的余弦值。 3. 如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD底面ABCD，E为侧棱PD的中点。（1）试判断直线PB与平面EAC的关系（不必证明）；（2）求证：AE

20、平面PCD；（3）若AD=AB，试求二面角APCD的正切值；（4）当为何值时，PBAC。 4. 如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1中点。（1）求二面角A1BDM的大小；（2）求四面体A1BDM的体积。【试题答案】1.（1）证明：取PC的中点G，连结GE，GF，由条件知GF/CD，EA/CD，所以GF/EA 则四边形GEAF为平行四边形 FA/GE且GE平面PEC AF/平面PEC （2）平面PEC平面AECD，取CE的中点M PM平面AECD 在AEM中， PM=BM= PE=BE=EA= PA= EA/CD，PE，CD所成的角为PEA在AEP中，求得PEA=120

21、°，所以PE，CD所成的角为60°（3） AF/平面PEC 点F到平面PEC的距离等于点A到平面PEC的距离作AHCE交CE的延长线于H，平面PEC平面AECD AH平面PEC AH= 点F到平面PEC的距离即点A到平面PEC的距离为 2.（1）解： PC平面ABC，AB平面ABC PCAB CD平面PAB，AB平面PAB CDAB 又PCCD=C AB平面PCB（2）解法一：取AP的中点E，连结CE、DE PC=AC=2， CEPA，CE= CD平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DEPA CED为二面角CPAB的平面角由（1）AB平面PCB ABBC又 AB=BC，AC

22、=2，求得BC=在中，在中， 二面角CPAB大小为（2）解法二： ABBC，AB平面PBC，过点B作直线PA，则AB，BC，以BC、BA，所在直线为、轴建立空间直角坐标系（如图）设平面PAB的法向量为，A（0，0），P（，0，2），C（，0，0） ，则，即，解得，令得，设平面PAC的法向量为，则，即解得，令，得 二面角CPAB大小为（2）解法三： CD平面PAB， 是平面PAB的一个法向量取AC中点F， AB=BC=， BFAC又PC平面ABC，有平面PAC平面ABC BF平面PAC， 是平面PAC的一个法向量，设， 即，得由（1）知， ，而， ， ， 二面角CPAB大小为 3. 解法1：（1）PB/平面EAC（2）正三角形PAD中，E为PD的中点，所以，AEPD，又面PDC面PAD=PD所以，AE平面P