2023课标版（文理）数学高考第一轮专题练习--第三章导数及其应用

1、2023课标版（文理）数学高考第一轮专题练习第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算1.2022西安复习检测已知曲线y=ex-x+1在x=x0处的切线斜率大于1,则x0的取值范围是()A.(ln 2,+)B.(-,ln 2)C.(2,+)D.(-,2)2.2020全国卷理函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1)处的切线方程为()A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+13.易错题已知函数f(x)=f (1)x2+2x+2f(1),则f (2)的值为()A.-2B.0C.-4D.-64.2021南昌市三模将方程f(x)=f (x)的实数根称为函数f(x)的“新

2、驻点”.记函数f(x)=ex-x,g(x)=ln x,h(x)=sin x(x0,2)的“新驻点”分别为a,b,c,则()A.c<a<b B.c<b<aC.a<c<b D.a<b<c5.2021苏锡常镇四市联考多选题已知函数f(x)的定义域为R,且在R上可导,其导函数记为f(x).下列命题正确的有()A.若函数f(x)是奇函数,则f(x)是偶函数B.若函数f(x)是偶函数,则f(x)是奇函数C.若函数f(x)是周期函数,则f(x)也是周期函数D.若函数f(x)是周期函数,则f(x)也是周期函数6.2022甘肃九校联考若曲线y=x2+aln x在点

3、(1,1)处的切线与直线x-2y+2=0平行,则实数a的值为. 7.2021安徽名校联考已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是. 8.2021广州市第二次综合测试若直线y=-2x+23与曲线y=13x3-ax相切,则a=. 9.2021福建南平5月二模开放题请写出图象与曲线f(x)=x3+1在点(0,1)处具有相同切线的一个函数(非常数函数)的解析式:g(x)=. 10.2020北京高考已知函数f(x)=12-x2.()求曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程;()设曲线y

4、=f(x)在点(t,f(t)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t),求S(t)的最小值.11.2021新高考卷若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则()A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea12.2021重庆第三次联合诊断已知曲线C1:f(x)=ex+a和曲线C2:g(x)=ln(x+b)+a2(a,bR),若存在斜率为1的直线与C1,C2同时相切,则b的取值范围是 ()A.-94,+)B.0,+)C.(-,1D.(-,9413.数学探索已知函数f(x)=12ax2-ax+ln x的图象在点(x1,f(x1)处与点(x2,f

5、(x2)(x1x2)处的切线均平行于x轴,则x1+x2+x1x2+f(x1)+f(x2)的取值范围是()A.(-,-74-2ln 2)B.(-74-2ln 2,74-2ln 2)C.(74-2ln 2,+)D.(-74-2ln 2,+)14.2022长春市质量监测曲线y=x3-x2-x在点(2,2)处的切线与曲线的公共点个数为. 15.2021福州市5月质检开放题函数f(x)=(x2-10x+26)ex,若对任意x1,x2I,x1x2,都有f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2成立,则满足条件的一个区间I可以是(填写一个符合题意的区间即可). 16.2022安徽

6、名校联考已知函数f(x)=ln x+mx2-x的图象在点(1,f(1)处的切线为l.(1)当m=1时,求直线l的方程;(2)若曲线y=f(x)和直线l有且只有一个公共点,求实数m的最大值.17.条件创新已知曲线y=ln x在x=x0处的切线经过点(-1,0),则x0的大致范围是(参考数据:e2.718,e27.389)()A.(2,e)B.(e,3)C.(3,4)D.(4,5)18.条件创新若点P(1,a)不在f(x)=x3-ax的图象上,且过点P仅能作一条直线与f(x)的图象相切,则a的取值范围为. 第二讲导数的简单应用1.2022安徽名校联考已知f(x)是定义在R上的可导函数,f

7、(x)是f(x)的导函数,若f(x)+1+x(f(x)+1)=ex,则f(x)在(0,+)上()A.恒为正B.恒为负C.单调递增D.单调递减2.2021洛阳市第三次统考已知f(x)是函数f(x)的导函数,且对任意实数x都有f(x)-f(x)=ex(2x-1),f(0)=4,则不等式f(x)<10ex的解集为()A.(-2,3)B.(-3,2)C.(-,-3)(2,+)D.(-,-2)(3,+)3.2021四川广元三模已知定义在R上的偶函数f(x),其导函数为f (x),若xf (x)-2f(x)>0,f(-3)=1,则不等式f(x)x<19x的解集是()A.(-,-3)(0,

8、3)B.(-3,3)C.(-3,0)(0,3)D.(-,-3)(3,+)4.2022蓉城名校联考已知b>a>1,logab-3logba=m(m为常数),bea的最大值为27e3,则m=.  5.2021南宁重点高中4月联考已知函数f(x)=2ln x+x2-5x在区间(k-12,k)上为单调函数,则实数k的取值范围是. 6.2021广东潮州4月模考改编已知函数y=f(x)的导函数y=f (x)的图象如图3-2-1所示,则下列结论正确的是.(填正确结论的序号) 图3-2-1 f(a)<f(b)<f(c); f(e)<f(d)<f

9、(c); x=c时, f(x)取得最大值; x=d时,f(x)取得最小值.7.2018江苏高考若函数f(x)=2x3-ax2+1(aR)在(0,+)内有且只有一个零点,则f(x)在-1,1上的最大值与最小值的和为. 8.2021全国卷甲设函数f(x)=a2x2+ax-3ln x+1,其中a>0.(1)讨论f(x)的单调性; (2)若y=f(x)的图象与x轴没有公共点,求a的取值范围.9.2022南昌市模拟已知函数f(x)=ln x-ax+1(aR).(1)若函数f(x)在定义域上单调递增,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)存在两个极值点x1,x2,求实数a的取值范围,并比

10、较f(x1)+f(x2)与x1+x2的大小.10.2022甘肃九校联考设a=2e,b=2ln2,c=e24-ln4,则()A.c<a<bB.b<c<aC.a<c<bD.c<b<a11.2022安徽省亳州市第一中学模拟已知奇函数y=f(x+1)-1的图象在R上是连续不断的,且当x>1时,f (x)x+1x-1-3,则不等式f(x)-1(x-3)>0的解集为()A.(-,1)(3,+)B.(-,1)C.(3,+)D.(1,3)12.2021全国卷乙理设a0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大值点,则()A.a<b

11、B.a>bC.ab<a2D.ab>a213.2021山东师大附中模拟拉格朗日中值定理可表述为:若函数f(x)在a,b上连续,且在(a,b)上可导,则必存在 (a,b),满足等式f ()(b-a)=f(b)-f(a).若f(x)=(x-1)ln(x-1)-12x2-x,a,be-1+1,e+1,t=f(b)-f(a)b-a,则实数t的最大值为()A.-2B.1 C.eD.ln 214.2021济南名校联考如图3-2-2,在P地正西方向8 km的A处和正东方向1 km的B处各有一条正北方向的公路 AC和BD,现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F,为缓解交通压力,决定修建

12、两条互相垂直的公路PE和PF,设EPA=(0<<2),为了节省建设成本,要使得 PE+PF的值最小,此时AE=()图3-2-2A.4 kmB.6 kmC.8 kmD.10 km15.2022湖南名校联考已知函数f(x)=xln x-ax2,aR.(1)若f(x)存在单调递增区间,求a的取值范围;(2)若x1,x2为f(x)的两个不同的极值点,证明:3ln x1+ln x2>-1.16.2022贵阳市模拟已知函数f(x)=(a+1)ln x+x-ax,aR.(1)讨论函数f(x)的单调区间并求其最值; (2)当a<0时,记f(x)的最小值为g(a),求证:存在a0<

13、0,使得g(a0)>2.17.数学探索设函数f(x)=(x-m)(x-n)2(mn),f (x)为f(x)的导函数.若f(x)的零点、极值点构成集合-2,0,1,则()A.f(x)在(-1,0)上单调递增B.f(x)在(0,1)上单调递增C.f(x)的极小值为0D.f(x)的极大值为418.2021贵阳市第二次适应性考试已知函数f(x)=xlnx,x>0,x+1,x0,若x1x2且f(x1)=f(x2),则|x1-x2|的最大值为()A.22B.2C.2D.119.条件创新已知x=-1是函数f(x)=5ax3-x2+bx 的一个极大值点,且极大值为3.(1)讨论函数f(x)的单调性

14、;(2)过直线x=3上一点P(m,n)仅能作一条直线与函数f(x)的图象相切,试求m+n的取值范围.第三讲导数的综合应用1.2022成都市模拟已知函数f(x)=ax+1,g(x)=ln x.若对任意x1,x2(0,2,且x1x2,都有g(x2x1)-f(x1)+f(x2)x2-x1>-1,则实数a的取值范围是()A.(-,274B.(-,2C.(-,272D.(-,82.2021合肥市三检已知函数f(x)=xlnax+aex,g(x)=-x2+x,当x(0,+)时,f(x)g(x)恒成立,则实数a的取值范围是()A.1e2,+)B.1e,+)C.1,+)D.e,+)3.2021陕西榆林四

15、模丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的数学家,他在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f (x),f (x)在(a,b)上的导函数为f (x),若在(a,b)上f (x)>0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凹函数”.已知f(x)=exx-t(ln x+x)在(0,2)上为“凹函数”,则实数t的取值范围是()A.(-,-1)B.(-,-e)C.(-e,+)D.(-1,+)4.2022广西名校联考已知函数f(x)=12ax2+(a+1)x+ln x(a0).(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)-

16、2-32a.5.2017全国卷理已知函数f(x)=x-1-aln x.(1)若f(x)0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+12)(1+122)(1+12n)<m,求m的最小值.6.2022惠州市一调设函数f(x)=ln x-ax(aR),g(x)=x·f(x).(1)若f(x)0恒成立,求a的取值范围;(2)若g(x)=e22有两个不等的实数根,求a的取值范围.7.2021太原市二模已知函数f(x)=a2x2+x-2ln a(a>1),g(x)=-ex-2ln x,若f(x)的图象与g(x)的图象在1,+)上恰有两对关于x轴对称的点,则实数a的取值范

17、围是()A.(e2,+)B.e,+)C.(e2,eD.(1,e2)8.2021太原市三模已知函数f(x)=x2-2mx+e2x-2mex+2m2,若存在实数x0,使得f(x0)12成立,则实数m=. 9.2022甘肃九校联考已知函数f(x)=x-aex,aR.(1)当a=1e时,证明:f(x)+ln x-x+10在(0,+)上恒成立;(2)讨论函数f(x)的零点个数.10.2022豫北名校联考已知函数f(x)=a(1-x)ex,其中aR且a0.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若a=1,F(x)=x2-13x3+f(x),x0是F(x)的极大值点,求证:F(x0)(23,2).11.

18、2022泉州市质量监测已知函数f(x)=lnx+1ax.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若(ex1)x2=(ex2)x1(e是自然对数的底数),且x1>0,x2>0,x1x2,证明:x12+x22>2.12.等价转化设函数f(x)=xsin x,x(0,g(x)=f(x)x2,h(x)=f(x)-2sin x,f(x)是f(x)的导函数.(1)讨论g(x)的单调性;(2)当0<a<1时,证明:h(ax)<axcos ax-asin x.13.数学探索已知函数f(x)=ax-ex+2,其中a0.(1)讨论f(x)的单调性.(2)是否存在aR,对任意x10,1

19、,总存在x20,1,使得f(x1)+f(x2)=4成立?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.第四讲定积分与微积分基本定理1.2021山西太原五中模拟下列表示曲线y=x2+2与直线y=x+2所围成的封闭图形的面积的式子中正确的是()A.S=01 (x2-x)dxB.S=01 (x-x2)dxC.S=01 (y2-y)dyD.S=01 (y-y)dy2.2021皖南八校联考定积分-22 (4-x2-sin x+x3)dx的值是()A.B.2C.2+2cos 2D.+2cos 23.2021安徽省六安中学模拟已知a=2-13,b=(2log23)-12,c=140 sin xdx,则实数a

20、,b,c的大小关系是()A.a>c>bB.b>a>cC.a>b>cD.c>b>a4.设f(x)=1-x2,x-1,1),x2-1,x1,2,则-12 f(x)dx的值为()A.2+43B.2+3C.4+43D.4+35.湖南高考理02 (x-1)dx=. 6.若-11 (ax2+bsin x)dx=1,则sin(a-6)=. 7.湖北高考理若函数f(x),g(x)满足-11f(x)·g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间-1,1上的一组正交函数.给出三组函数:f(x)=sin 12x,g(x)=cos 12x

21、;f(x)=x+1,g(x)=x-1;f(x)=x,g(x)=x2.其中为区间-1,1上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.38.如图3-4-1,阴影部分是由曲线y=2x2和x2+y2=3及x轴围成的封闭图形,则阴影部分的面积为. 图3-4-19.如图3-4-2,点A的坐标为(1,0),函数y=ax2的图象过点C(2,4),若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于. 图3-4-210.若f(x)+01 f(x)dx=x,则01 f(x)dx=.答 案第三章导数及其应用第一讲导数的概念及运算1.A因为y=ex-x+1,所以y=ex-1.由导数的几何意

22、义知,曲线y=ex-x+1在x=x0处的切线的斜率为ex0-1,所以ex0-1>1,解得x0>ln 2,即实数x0的取值范围是(ln 2,+),故选A.2.Bf(x)=x4-2x3,f (x)=4x3-6x2,f (1)=-2,又f(1)=1-2=-1,所求的切线方程为y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.故选B.3.D因为f (x)=2f (1)x+2,所以f (1)=2f (1)+2,解得f (1)=-2,所以f (x)=-4x+2,所以f (2)=-6,故选D.4.Af(x)=ex-1,若f(x)=f(x),则ex-x=ex-1,解得x=1,所以a=1;g(x)=1x(x

23、>0),若g(x)=g(x),则ln x=1x,在同一平面直角坐标系中作出函数y=ln x和y=1x(x>0)的图象,如图D 3-1-1所示,图D 3-1-1这两个函数图象交点的横坐标即方程ln x=1x的根,由图可知,方程ln x=1x的根大于1,所以b>1;h(x)=cos x(x0,2),若h(x)=h(x),则sin x=cos x,因为x0,2,所以x=4,所以c=4<1.综上,c<a<b,故选A.5.AC若f(x)是奇函数,则有f(-x)=-f(x)恒成立,两边同时求导,得f(-x)=-f(x),即-f(-x)=-f(x),即f(-x)=f(x)

24、恒成立,所以f(x)为偶函数,所以选项A正确;不妨取f(x)=x3+1,则f(x)是非奇非偶函数,但f(x)=3x2是偶函数,所以选项B错误;若函数f(x)是以T(T0)为周期的周期函数,则f(x+T)=f(x)恒成立,两边同时求导,得f(x+T)=f(x),即f(x+T)=f(x),所以函数f(x)也是以T(T0)为周期的周期函数,所以选项C正确;不妨取f(x)=2x,则f(x)不是周期函数,但f(x)=2是以任意一个非零实数为周期的周期函数,所以选项D错误.故选AC.6.-32由y=x2+aln x,得y=2x+ax,则曲线y=x2+aln x在点(1,1)处的切线的斜率k=yx=1=2+

25、a.因为曲线在点(1,1)处的切线与直线x-2y+2=0平行,所以12=2+a,所以a=-32.7.2x+y+1=0解法一因为函数f(x)是偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,所以当x>0时,-x<0,f(x)=f(-x)=ln x-3x,所以当x>0时,f (x)=1x-3,f (1)=1-3=-2,所以所求切线方程为y+3=-2(x-1),即2x+y+1=0.解法二点(1,-3)关于y轴的对称点为(-1,-3).x<0时,f (x)=1x+3,f (-1)=2,又函数f(x)是偶函数,所以f(x)的图象在点(1,-3)处的切线斜率为-2,所以所求

26、切线方程为y+3=-2(x-1),即2x+y+1=0.8.3令f(x)=13x3-ax,则f (x)=x2-a.设直线y=-2x+23与曲线y=13x3-ax相切时的切点是(x0,y0),则x02-a=-2,-2x0+23=13x03-ax0,解得x0=-1,a=3.9.x2+1(答案不唯一)因为f (x)=3x2,所以f (0)=0,曲线f(x)=x3+1在点(0,1)处的切线方程为y=1,所有图象在点(0,1)处的切线方程为y=1的函数都是正确答案.10.()函数f(x)=12-x2的定义域为R, f (x)=-2x,令f (x)=-2x=-2,得x=1,f (1)=-2,又f(1)=11

27、,曲线y=f(x)的斜率等于-2的切线方程为y-11=-2(x-1),即2x+y-13=0.()由()知f (x)=-2x,则f (t)=-2t,又f(t)=12-t2,所以曲线y=f(x)在点(t,f(t)处的切线方程为y-(12-t2)=-2t(x-t),即y=-2tx+t2+12.若t=0,则围不成三角形,故t0.令x=0,得y=t2+12,记A(0,t2+12),O为坐标原点,则|OA|=t2+12,令y=0,得x=t2+122t,记B(t2+122t,0),则|OB|=t2+122|t|,S(t)=12|OA|OB|=(t2+12)24|t|,S(t)为偶函数,仅考虑t>0即可

28、.当t>0时,S(t)=14(t3+24t+144t),则S(t)=14(3t2+24-144t2)=34t2(t2-4)(t2+12),令S(t)=0,得t=2,当t变化时,S(t)与S(t)的变化情况如表:t(0,2)2(2,+)S(t)-0+S(t)极小值S(t)min=S(2)=32.11.D解法一(数形结合法)设切点(x0,y0),y0>0,y=ex, 则切线方程为y-b=ex0(x-a),由y0-b=ex0(x0-a),y0=ex0得ex0(1-x0+a)=b,则由题意知关于x0的方程ex0(1-x0+a)=b有两个不同的解.设f(x)=ex(1-x+a),则f(x)=

29、ex(1-x+a)-ex=-ex(x-a),由f(x)=0得x=a,所以当x<a时,f (x)>0,f(x)单调递增,当x>a时,f (x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)max=f(a)=ea(1-a+a)=ea,当x<a时,a-x>0,所以f(x)>0,x-时,f(x)0.(用极限思想判断函数图象的趋势)当x=a2+2时,1-x+a=-a2+a-1=-(a-12)2-34<0,故f(a2+2)<0,则可得到函数f(x)=ex(1-x+a)的大致图象如图D 3-1-2所示,因为f(x)的图象与直线y=b有两个交点,所以0<b&l

30、t;ea.故选D.图D 3-1-2解法二过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则点(a,b)在曲线y=ex的下方且在x轴的上方,得0<b<ea.故选D. 12.D因为f (x)=ex,g(x)=1x+b,设斜率为1的切线在C1,C2上的切点横坐标分别为x1,x2,由题知ex1=1x2+b=1,所以x1=0,x2=1-b,所以两切点坐标分别为(0,1+a),(1-b,a2),所以a2-(1+a)1-b-0=1,故b=2+a-a2=-(a-12)2+9494.故选D.13.A函数f(x)的定义域为(0,+),且f(x)=ax-a+1x=ax2-ax+1x,则根据导数的几何意义知x

31、1,x2是方程ax2-ax+1=0的两个不等正根,则=a2-4a>0,x1x2=1a>0,x1+x2=1,则a>4.令h(a)=x1+x2+x1x2+f(x1)+f(x2)=1+1a+ln x1+12ax12-ax1+ln x2+12ax22-ax2=1+1a+ln1a+12a(1-2a)-a=-12a-ln a+1a.易知函数h(a)=-12a-ln a+1a在(4,+)上单调递减,则h(a)<h(4)=-74-2ln 2,所以x1+x2+x1x2+f(x1)+f(x2)的取值范围是(-,-74-2ln 2),故选A. 14.2由题意可得,y=3x2-2x-1,则曲线

32、在点(2,2)处的切线的斜率k=yx=2=3×22-2×2-1=7,所以曲线在点(2,2)处的切线方程为y-2=7(x-2),即y=7x-12.切线与曲线的公共点个数即方程x3-x2-x=7x-12解的个数,整理得(x+3)(x-2)2=0,(因式分解)解得x=2或x=-3,所以切线与曲线有2个公共点.15.(2,3)(答案不唯一)因为对任意x1,x2I,x1x2,都有f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2成立,所以函数f(x)的图象在区间I内上凸,如图D 3-1-3所示,可以看出,f(x)图象的切线斜率在区间I上随x的增大而减小.由题意,得f (x)=(x2-

33、8x+16)ex,令g(x)=f (x),则g(x)=(x2-6x+8)ex=(x-2)(x-4)ex,当x(2,4)时g(x)<0,所以g(x),即f (x)在2,4上单调递减,所以满足条件的一个区间为2,4的任意一个非空子区间,可填(2,3).图D 3-1-316.(1)当m=1时,f(x)=ln x+x2-x,f(x)=1x+2x-1,f(1)=2,f(1)=0,直线l的方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0.(2)由f(x)=ln x+mx2-x,得f(x)=1x+2mx-1,f(1)=2m,又f(1)=m-1,直线l:y-m+1=2m(x-1),即y=2mx-m-1.令

34、g(x)=ln x+mx2-(2m+1)x+m+1,(把曲线与直线的交点个数问题转化为函数的零点个数问题)则g(x)=(2mx-1)(x-1)x,x(0,+),当m=12时,g(x)0,且只有当x=1时等号成立,g(x)在(0,+)上单调递增,又g(1)=0,g(x)只有一个零点,曲线y=f(x)和直线l有且只有一个公共点;(先讨论特殊情况,满足条件,根据问题是求m的最大值,故不需要讨论m<12)当m>12时,由g(x)>0得0<x<12m或x>1,由g(x)<0得12m<x<1,g(x)在(0,12m)上单调递增,在(12m,1)上单调递

35、减,在(1,+)上单调递增,又g(1)=0,g(12m)>0,又x0时,ln x-,则易知x0时g(x)-,g(x)在(0,12m)上有一个零点,g(x)有两个零点,曲线y=f(x)和直线l有两个公共点.综上,实数m的最大值为12.17.Cy=1x,曲线y=ln x在x=x0处的切线方程是y-ln x0=1x0·(x-x0),(切点处的导数值等于切线的斜率)由切线经过点(-1,0),得1x0-ln x0+1=0.令g(x)=1x-ln x+1,显然g(x)单调递减,g(3)=43-ln 3=lne4-ln273>ln72-ln273>0,g(4)=54-ln 4=l

36、ne5-ln2564<ln35-ln2564<0,x0的大致范围是(3,4).(零点存在定理)18.(-,0)(12,+) 点P(1,a)不在f(x)=x3-ax的图象上,则f(1)=1-aa,a12.设过点P(1,a)的直线与f(x)=x3-ax的图象切于点Q(t,t3-at),f (x)=3x2-a,则切线的斜率k=f(t)=t3-at-at-1,即3t2-a=t3-at-at-1,整理得2t3-3t2+2a=0,问题转化为g(t)=2t3-3t2+2a仅有1个零点.g(t)=6t2-6t,令g(t)=0,得t=0或t=1,所以g(0)·g(1)>0,(数形结合

37、可得)即2a(2a-1)>0,所以a>12或a<0.第二讲导数的简单应用1.A设g(x)=xf(x),x(0,+),则g(x)=f(x)+xf(x)=ex-x-1.设h(x)=ex-x-1,x(0,+),则h(x)=ex-1>0,所以h(x)在(0,+)上单调递增,即g(x)在(0,+)上单调递增,可得g(x)>e0-0-1=0在(0,+)上恒成立,所以g(x)在(0,+)上单调递增,则g(x)>0,即xf(x)>0,解得f(x)>0,即f(x)在(0,+)上恒为正,故选A.2.A由f(x)-f(x)=ex(2x-1),可得f(x)-f(x)ex

38、=2x-1,令G(x)=f(x)ex,则G(x)=f(x)-f(x)ex=2x-1,可设G(x)=x2-x+c(c为常数),由f(0)=4,可得G(0)=f(0)=c=4,所以G(x)=f(x)ex=x2-x+4,则由不等式f(x)<10ex,可得f(x)ex=x2-x+4<10,即x2-x-6<0,解得-2<x<3,所以不等式f(x)<10ex的解集为(-2,3),故选A.3.A构造函数g(x)=f(x)x2 ,则g(x)=x·xf(x)-2f(x)x4=xf(x)-2f(x)x3.当x>0时,xf (x)-2f(x)>0,故g(x)

39、>0,g(x)在(0,+)上单调递增,又f(x)为偶函数,y=1x2为偶函数,所以g(x)=f(x)x2为偶函数,g(x)在(-,0)上单调递减.由f(-3)=1,得f(3)=1,g(-3)=g(3)=f(3)32=19.对于不等式f(x)x<19x,当x>0时,有f(x)x2<19=g(3),所以x(0,3);当x<0时,有f(x)x2>19=g(-3),所以x(-,-3).综上所述,不等式f(x)x<19x的解集是(-,-3)(0,3).故选A.4.2设logab=t,则t>1,且t-3t=m,故t为定值,b=at,bea=atea.设f(a

40、)=ln atea=tln a-a,a>1,则f (a)=ta-1=t-aa,f(a)在(1,t)上单调递增,在(t,+)上单调递减,f(a)max=f(t)=tln t-t=ln 27e3,设g(x)=xln x-x,x>1,则g(x)=ln x>0,故g(x)在(1,+)上单调递增,ln 27e3=3ln 3-3=g(3)=g(t),t=3,则m=t-3t=2.5.121,252,+)f (x)=2x+2x-5=(2x-1)(x-2)x,x>0.当x(0,12)(2,+)时,f (x)>0,所以f(x)在区间(0,12),(2,+)上单调递增.当x(12,2)

41、时,f (x)<0,所以f(x)在区间(12,2)上单调递减.要使函数f(x)在(k-12,k)上单调,则(k-12,k)(0,12)或(k-12,k)(2,+)或(k-12,k)(12,2),所以当k-120,k12,即k=12时,f(x)在(k-12,k)上单调递增;当k-122,即k52时,f(x)在(k-12,k)上单调递增;当k-1212,k2,即1k2时,f(x)在(k-12,k)上单调递减.(不要忘记端点值)综上可知,实数k的取值范围是121,252,+).6.由f (x)的图象可知:当x(-,c)(e,+)时,f (x)>0;当x(c,e)时,f (x)<0.

42、所以f(x)在(-,c),(e,+)上单调递增,在(c,e)上单调递减.对于,因为a<b<c,所以f(a)<f(b)<f(c),正确;对于,因为c<d<e,所以f(e)<f(d)<f(c),正确;对于,由单调性知f(c)为极大值,当x>e时,可能存在f(x0)>f(c),错误;对于,由单调性知f(e)<f(d),错误.故填.7.-3f (x)=6x2-2ax=2x(3x-a)(aR),当a0时,f (x)>0在(0,+)上恒成立,则f(x)在(0,+)上单调递增.又f(0)=1,所以此时f(x)在(0,+)内无零点,不满足

43、题意.当a>0时,由f (x)>0得x>a3,由f (x)<0得0<x<a3,则f(x)在(0,a3)上单调递减,在(a3,+)上单调递增,又f(x)在(0,+)内有且只有一个零点,所以f(a3)=-a327+1=0,得a=3,所以f(x)=2x3-3x2+1,则f (x)=6x(x-1),当x(-1,0)时,f (x)>0,f(x)单调递增,当x(0,1)时,f (x)<0,f(x)单调递减,则f(x)在-1,1上的最大值为 f(0)=1.又f(-1)=-4,f(1)=0,则f(x)在-1,1上的最小值为-4,所以f(x)在-1,1上的最大值与

44、最小值的和为-3.8.(1)由题意,知f(x)的定义域为(0,+),f (x)=2a2x+a-3x=2a2x2+ax-3x=(ax-1)(2ax+3)x,因为a>0,x>0,所以2ax+3>3恒成立.当ax-1>0,即x>1a时,f (x)>0,f(x)单调递增;当ax-1<0,即0<x<1a时,f (x)<0,f(x)单调递减.故函数f(x)在(0,1a)上单调递减,在(1a,+)上单调递增.(2)由(1)知函数f(x)的最小值为f(1a),要使y=f(x)的图象与x轴没有公共点,只需f(x)的最小值恒大于0,即f(1a)>0

45、恒成立,故a2·(1a)2+a·1a-3ln1a+1>0,得a>1e,所以a的取值范围为(1e,+).9.(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=1x+a(x+1)2.由题意,得f(x)=1x+a(x+1)20在(0,+)上恒成立,即a-(x+1x+2)在(0,+)上恒成立,而当x>0时,-(x+1x+2)-4,当且仅当x=1时取等号,所以a-4,即实数a的取值范围是-4,+).(2)f(x)=1x+a(x+1)2=x2+(2+a)x+1x(x+1)2(x>0),由题意知,x1,x2是方程f(x)=0,即x2+(2+a)x+1=0在(0,+)内

46、的两个不同实数解.令g(x)=x2+(2+a)x+1(x>0),因为g(0)=1>0,且g(x)图象的对称轴为直线x=-1-a2,故-1-a2>0,(2+a)2-4>0,解得a<-4,即实数a的取值范围为(-,-4).由x1,x2是方程x2+(2+a)x+1=0的两个不同实数解,得x1+x2=-2-a,x1x2=1,因此f(x1)+f(x2)=(ln x1-ax1+1)+(ln x2-ax2+1)=ln(x1x2)-a·x1+x2+2x1x2+x1+x2+1=-a·-2-a+21-2-a+1=-a,又x1+x2=-2-a,所以f(x1)+f(x

47、2)-(x1+x2)=2>0,即f(x1)+f(x2)>x1+x2.10.D设f(x)=xlnx,则a=2e=e12=elne=f(e),b=f(2)=2ln2,c=e24-ln4=e222-ln42=e22lne2-ln2=e22lne22=f(e22).因为f(x)=lnx-1(lnx)2,所以当0<x<e时,f(x)<0;当x>e时,f(x)>0,所以f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+)上单调递增.因为f(2)=f(4),且1<e<2<e<e22<4,所以f(e)>f(2)=f(4)>f(e22)

48、,即a>b>c,故选D.11.A因为函数y=f(x+1)-1是定义在R上的奇函数,故 f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,且f(1)=1,当x>1,即x-1>0时,f (x)x+1x-1-3=x-1+1x-1-22(x-1)·1x-1-2=0,当且仅当x-1=1x-1,即x=2时取等号,即f(x)在(1,+)上单调递增,而f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,且f(x)的图象在R上是连续不断的,因此函数f(x)在R上单调递增,不等式f(x)-1(x-3)>0可化为f(x)-1<0,x-3<0或f(x)-1>0,x-3>0,由

49、f(x)-1<0,x-3<0得f(x)<f(1),x<3,即x<1,x<3,解得x<1;由f(x)-1>0,x-3>0得f(x)>f(1),x>3,即x>1,x>3,解得x>3.所以所求不等式的解集为(-,1)(3,+).故选A.12.D解法一因为函数f(x)=a(x-a)2·(x-b),所以f (x)=2a(x-a)(x-b)+a(x-a)2=a(x-a)·(3x-a-2b).令f (x)=0,结合a0可得x=a或x=a+2b3.(1)当a>0时,若a+2b3>a,即b>

50、a,此时易知函数f(x)在(-,a)上单调递增,在(a,a+2b3)上单调递减,所以x=a为函数f(x)的极大值点,满足题意;若a+2b3=a,即b=a,此时函数f(x)=a(x-a)3在R上单调递增,无极值点,不满足题意;若a+2b3<a,即b<a,此时易知函数f(x)在(a+2b3,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增,所以x=a为函数f(x)的极小值点,不满足题意.(2)当a<0时,若a+2b3>a,即b>a,此时易知函数f(x)在(-,a)上单调递减,在(a,a+2b3)上单调递增,所以x=a为函数f(x)的极小值点,不满足题意;若a+2b3=a,即b=

51、a,此时函数f(x)=a(x-a)3在R上单调递减,无极值点,不满足题意;若a+2b3<a,即b<a,此时易知函数f(x)在(a+2b3,a)上单调递增,在(a,+)上单调递减,所以x=a为函数f(x)的极大值点,满足题意.综上,a>0且b>a满足题意,a<0且b<a也满足题意.据此,可知必有ab>a2成立.故选D.解法二由题意易知ab,a与b为f(x)图象与x轴两个交点的横坐标.当a>0时,根据题意画出函数f(x)的大致图象,如图D 3-2-1所示,观察可知b>a.图D 3-2-1图D 3-2-2当a<0时,根据题意画出函数f(x)

52、的大致图象,如图D 3-2-2所示,观察可知a>b.综上,可知必有ab>a2成立.故选D.13.A由题意知,a,be-1+1,e+1,不妨设a<b,(a,b),使得t=f ()=f(b)-f(a)b-a.f(x)=(x-1)ln(x-1)-12x2-x,则f (x)=ln(x-1)-x,令h(x)=ln(x-1)-x,e-1+1xe+1,则h(x)=1x-1-1=2-xx-1,令h(x)=0,得x=2.当e-1+1<x<2时,h(x)>0,即h(x)在(e-1+1,2)上单调递增;当2<x<e+1时,h(x)<0,即h(x)在(2,e+1)

53、上单调递减,所以h(x)max=h(2)=-2,故实数t的最大值为-2.故选A.14.A因为PEPF,EPA=,所以PFB=,在RtPAE中,PE=APcos=8cos,在RtPBF中,PF=PBsin=1sin,则PE+PF=8cos+1sin .设f()=8cos+1sin,(0,2),则f ()=8sincos2cossin2=8sin3-cos3cos2sin2,令f ()=0,则tan =12,当0<tan <12时,f ()<0,当tan >12时,f ()>0,所以当tan =12时,f()取得最小值,此时AE=AP·tan =8×

54、;12=4(km),故选A.15.(1)函数f(x)=xln x-ax2,aR,f (x)=ln x+1-2ax,函数f(x)存在单调递增区间,f (x)=1+ln x-2ax>0有解,(若函数f(x)存在单调递增区间,则不等式f (x)>0有解)即1+lnxx>2a有解.(分离参数)令g(x)=1+lnxx,则g(x)=-lnxx2,当x(0,1)时,g(x)>0,g(x)单调递增;当x(1,+)时,g(x)<0,g(x)单调递减.当x=1时,g(x)取最大值,最大值为g(1)=1 .故2a<g(1)=1,解得a<12,故a的取值范围是(-,12).

55、(2)f (x)=ln x+1-2ax,x1,x2是方程ln x=2ax-1的两个不同的根,即ln x1=2ax1-1,ln x2=2ax2-1,要证3ln x1+ln x2>-1,即证2a(3x1+x2)>3.-,得2a=lnx1-lnx2x1-x2 ,即证lnx1-lnx2x1-x2(3x1+x2)>3,(消参)显然x1,x2>0,不妨设x1>x2>0,t=x1x2,则t>1,(换元时,注意新元范围)即证lntt-1(3t+1)>3,即证ln t-3(t-1)3t+1>0.设h(t)=ln t-3(t-1)3t+1,则h(t)=1t12

56、(3t+1)2=(3t-1)2t(3t+1)2,当t(1,+)时,h(t)>0,h(t)在(1,+)上单调递增,当t>1时,h(t)>h(1)=0,故3ln x1+ln x2>-1得证.16.(1)f(x)=(a+1)ln x+x-ax(x>0),f (x)=a+1x+1+ax2=x2+(a+1)x+ax2=(x+a)(x+1)x2.当a0时,f (x)>0,函数f(x)在(0,+)上单调递增,f(x)在定义域内无最值;当a<0时,令f (x)=0,可得x=-1(舍)或x=-a,令f (x)>0,可得x>-a,令f (x)<0,可得0<x<-a,f(x)在(0,-a)上单调递减,在(-a,+)上单调递增,f(x)min=f(-a)=(a+1)ln(-a)-a+1,f(x)无最大值.综合可知,当a0时,函数f(x)在(0,+)上单调递增,无最值;当a<0时,函数f(x)在(0,-a)上单调递减,在(-a,+)上单调递增,f(x)min=(a+1)ln(-a)-a+1,f(x)无最大值.(2)由(1)知,当a<