林海燕,数学模型建构 “种群数量的变化”的教学设计

1、数学模型建构 “种群数量的变化”的教学设计林海燕（江苏省张家港市崇真中学215633）摘要：在“种群数量的变化”这节课，力图引导学生从具体的生物现象中建构抽象的数学模型，再用抽象的数学模型来解释具体的生物学现象，使得学生能够运用数学严密，简约的思维去考虑生物问题，从而培养学生透过现象理解本质的洞察能力。关键词：数学模型 种群数量的增长 J型曲线 S型曲线 教学设计1 教材分析及设计思路：“种群数量的变化”是人教版高中生物学教材稳态与环境第4章第2节的内容。课程标准中关于这节的内容标准为“尝试建立数学模型解释种群的数量变动”，显然，引导学生用数学方法解释生命现象，揭示生命活动规律是本节教学的着眼

2、点。数学模型的概念对于高中学生来说并不陌生，在学习孟德尔的遗传定律和种群基因频率变化等生物学内容时，学生已对运用数学解决生物中的问题有了一定的认识，本节课的教学意图就是在学生已有的认知基础上，引导学生自主建构揭示生物学规律的数学模型。按照学生的认知规律，可将本节内容分为两课时：第一课时教学重点为建构种群数量增长的数学模型；第二课时教学重点为探究活动：培养液中酵母菌种群数量的变化。第一课时的设计思路为：以“问题探讨”引入，学生参与相关的探究活动，在探究活动中学生尝试用数学模型来建构描述生物现象，然后逐步展开教学，结合“建构种群增长模型的方法”，展开学生活动，最终建立种群增长的两个典型模型：J 型

3、曲线和S 型曲线。第一课时的教学设计具体如下。2 教学目标2.1 知识目标：说明建构种群数量增长数学模型的方法；比较种群增长的“J ”型曲线和“S ”型曲线。2.2 能力目标：尝试建构种群数量增长的数学模型。2.3 情感态度与价值观目标：认同数学模型在科学研究中的应用；关注人类活动对种群数量变化的影响。3教学过程3.1 问题探讨，植入数学思维 课堂展示细菌分裂的视频，教师组织学习小组讨论素材1。素材1：营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20分钟通过分裂繁殖一代，若将一个细菌在这种条件下培养，思考：该细菌经过不同时间产生的后代数目（填写至表格）？如果用N 表示细菌数目，n 表示细菌繁殖的

4、代数，那么你能写出n 代后细菌种群数目表达式么？请根据表格中的数据，以时间为横轴，以细菌数目为纵轴， 三种数学语言建构种群的数量变化，在生物课堂伊始植入数学思维，为介绍环节二“说明建构数学模型的一般方法”作知识铺垫。教师在课堂中使学生显性意识到：在描述，解释和预测种群数量增长变化时，常常可以借助建立多种类型的数学模型，并使学生顿悟有了数学方法的介入，对生命现象进行量化，以数学数量关系描述一系列生命现象有直观精确等优点。3.2说明建构数学模型的一般方法 参考书本，学生能准确说明建构种群增长模型的方法。教师设计素材1穿插融汇于该环节中，丰富其内涵，设计问题：针对“细菌每20min 分裂一次”，“营

5、养和生存空间没有限制的情况下”这些事实你能提出什么问题？即模型准备；针对你提出的不同问题，你又能提出哪些假设？即模型假设；针对假设进行实验，并利用实验数据进行数学模型建构，即模型建立； 模型是否正确需要 1进一步实验和观察，并且加以校正，即模型校正。设计意图：通过素材1实例的穿插，加深了学生对建构数学模型方法的理解，学生领悟到所做的假设是对问题的一种或数种解释，基于其认识与经验的不同，会形成对问题不同的认识与猜想，最终建立的数学模型也有所不相同；在这个过程中学生同时还体会科学探究的一般过程：提出问题猜想与假设实验验证获得证据得出结论质疑和修正。3.3 活动1：运用数学模型建构种群数量增长J 型

6、曲线 素材1所得到的方程式曲线等是在实验室理想条件下得出的，在自然界中也有类似的情况的情况么？教师展示素材2：1859年，一位英国人来澳大利亚定居同时带来了24只野兔。一个世纪之后，这24只野兔的后代竟达到6亿只以上。教师启发：澳大利亚野兔的数量增长类似于素材1中细菌的增长变化，请依据该生物现象利用数学模型建构野兔种群数量增长变化。引导学生完成模型建构：模型准备：短短的一百年，24只野兔的后代为何竟达到6亿只以上？模型假设：食物和空间条件充裕，条件适宜，没有天敌等；种群的起始数量为24只，并且第二年的数量是第一年的倍。模型建立：一年后种群数量N 1=24×，两年后种群数量N 2=24

7、×2，t 年后种群数量N t =24×t , 并以此为基础还可以建构曲线（图1）。教师总结：由于形似字母“J ”，命名为种群增长的J 型曲线。模型修正：自然界一些种群数量的增长呈现"J" 型曲线增长，如实验室条件下（素材1）和某种群刚迁入一适宜的环境（素材2），但自然界中有些种群的数量呈现先增长后趋于平衡，并非都是呈现"J" 型曲线增长。 图1 种群增长的J 型曲线设计意图：通过实战操作进行数学模型建构，学生在实战中分析问题，探究数学规律解决实际问题并建构相应数学模型，体验由具体到抽象的思维转化过程。此外学生依据引导，将建构的模型普遍

8、化：设置起初种群数量为N 0，最终得到方程式N t = N0t ，并通过建构的J 型曲线，直观的观察到种群数量连续增长的趋势，在这个过程中感受到了数学模型的严密和简约。3.4 活动2：运用数学模型建构种群增长的S 型曲线 自然界中某些种群数量增长最后是趋于稳定的，针对这个事实问题，大家能作出怎样的假设？学生作出假设：可能是因为自然界中存在着很多生存限制，当种群密度增大时，种内斗争加剧天敌等不适应其生存的因素增加，最终种群的出生率下降，死亡率升高，最终当出生率等于死亡率时，种群数量达到平衡。教师提醒：假设是否合乎事实需要实验来检验，生态学家高斯就用实验来验证了，展现素材3：高斯大草履虫实验以及大

9、草履虫种群的增长曲线。教师引导：“高斯依据实验数据建构的数学模型，因为形似字母S 我们称之为种群增长的S 型曲线（图2）”，“在S 型曲线中种群数量稳定的值为环境容纳量（又称K 值），其为环境条件不受到破坏，一定空间中所能维持的种群最大数量”。上述活动后，学生思考并作答:在S 型曲线中每一点的切线斜率代表的是其数量的增长速率；依据种群增长的S 型曲线，画出相应的增长速率的曲线（图3）；S 型曲线中当种群数量为K 值时，其增长速率为0；而当种群数量为K/2值时, 其增长速率为最大值；在对野生动植物资源的合理开发和利用方面，一般将种群的数量控制在K/2值，此时种群增长速度最快，能短时间内恢复，保持

10、可持续发展。 2图2：种群增长的S 型曲线 图3：种群增长S 型曲线的增长速率设置意图：“自然界中有些种群的数量呈现先增长后趋于平衡，并非都是呈现J 型曲线增长”（活动1），针对该现象，学生提出问题并作出假设，之后搜集高斯的实验数据（种群增长的S 型曲线）验证假设，在这个过程中学生再次体会到了科学研究的一般方法。假设过程中学生尝试用数学语言“出生率”“死亡率”等来解释生物现象；分析S 型曲线环节中，设计用数学语言“斜率”来类比增长速率，引导学生自主分析探究并画出增长速率的图像。整个过程中将生物现象与数学整合，再现了数学模型建构的过程，培养了学生透过现象解释本质的洞察力。3.5总结归纳，比较种群

11、增长的J 型曲线和S 型曲线 总结归纳，比较两曲线的模型图形成条件、有无K 值以及相应的增长速率并完成下表。教师显性强调：在自然界中，影响种群数量的因素是多方面的，所以种群数量变化除了增长类型外，大多数种群的数量总是在波动中，有的是不规则波动，有的是周期性波动，在不利条件下，有些种群数 另一方面丰富学生对种群数量变化的认识，使其明白种群数量变化除增类型还有稳定波动、下降等类型，使得知识结构科学化系统化。另外，教师点拨补充：J 型曲线增长速率(即斜率 持续增加，而S 型曲线增长速率先增大后小，因此S 型种群数量曲线的开始部分与J 型曲线并不重合。4 教学反思本课的重点是用数学方法解释生命现象，力求通过建立可以表述生命系统发展状况的数学系统，对生命现象进行量化，以数学关系描述生命现象。课堂上不仅要重视指导学生完成建立数