2011新课标全国卷数学理科含答案

1、2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(新课标)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。复数一的共钝复数是二；1 -2i：(A) -3i(B) 3i(C) -i(/55t(2)下列函数中，既是偶函数哦、又在(0,)单调递增的函皿f(A) y=x2(B) y = x+1(C) y = x2 + 1(D) y=2(3)执行右面的程序框图，如果输入的 N是6,那么输出的(A) 120/ 、/ 出P(B) 720.1(赢(C) 1440(D) 5040(4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同

2、，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(A) 1(B) 1(C) 2(D)-3234(5)已知角日的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上,贝 U cos2 -=(B) -35(C) 354(A) -45(6)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示,则相应的侧视图可以为(A)(B)CO<D)(7)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A,B两点，AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(A)拒(B)百(C) 2(D) 3(8)/x+a'Lx-1'5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为 I x 人 x；

3、(A) -40(B) -20(C) 20(D) 40(9)由曲线y=4，直线y=x-2及y轴所围成的图形的面积为(A) 10(B) 4(C) 16(D) 633(10)已知a与b均为单位向量，其夹角为日，有下列四个命题P2: a +b a 1uP : a +b >1 u 0 0 J0,2 I13 )P3: a -b >1 u 日 win0IL 3P4: a -b >1 =日w也13，其中的真命题是(A) P,P4(B) P1,P3(C) P2,P3(D) P2,P4(11)设函数f(x) =sin(cox +中)+cos(®x +中)(® >0,(

4、<；)的最小正周期为冗，且(A) f(x)在0： |单调递减2(C) f(x)在，0:|单调递增2f(-x尸 f(x)则(B) f (x)在1 , |单调递减4 4(D) f(x)在"，史|单调递增4 4(12)函数y =- 的图像与函数y =2sin nx(-2 Mx =4)的图像所有焦点的横坐标之和 x -1等于(A) 2(B) 4(C) 6(D)8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。(13)若变量x,y满足约束条件户”'厂9,则z = x + 2y的最小值为。6 < x - y < 9,(14)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点Fi

5、,F2在 x轴上，离心率为正。过l的直线交于A,B两点，且AABF2的周长为16,那么C的方程 2为。(15)已知矩形ABCD的顶点都在半径为 4的球。的球面上，且AB=6,BC=2a/3, 则棱锥O-ABCD的体积为。(16)在 MBC 中，B=60,AC=5/3,贝U AB + 2BC 的最大值为 。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)等比数列 降的各项均为正数，且2a1+3a2 =1a2 =9a2a6.求数列电的通项公式.51 1设 bn =log 3 a1 +log3 a2 + +log 3 an,求数歹卜一 的前项和.(18)3小题满分12

6、分)如图，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为平行四边形，/ DAB=60 ,AB=2AD,PD，底面 ABCD.(I)证明:PAXBD;(H )若PD=AD ,求二面角A-PB-C的余弦值（19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A配方和B配方）做试验，各生产了 100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得 到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组90, 94)94, 98)98, 102)102, 106)106, 110频数82042228B配方的频数分布表

7、指标值分组90, 94)94, 98)98, 102)102, 106)106, 110频数412423210（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（II）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为-2,t :二 94y = 2,94 < t 二 102I4,t -102从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X （单位：元），求X的分布 列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指 标值落入相应组的概率）20) (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1), B点在直线丫 = -3上，M点

8、满足 MB/OA ， MA ?AB = MB ?BA， M 点的轨迹为曲线C。(I )求C的方程；(II) P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求。点到l距离的最小值。(21)(本小题满分12分)已知函数f(x)=an+B,曲线y = f (x)在点(1, f)处的切线方程为x+2y-3=0 x 1 x(I )求a、 b的值；(H)如果当x>0,且x#1时，f(x) >-ln+k ,求k的取值范围。x -1 x请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。(22)(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图，D, E分别为AAB

9、C的边AB , AC上的点，且不与AABC的顶点重合。已知AE 的长为n , AD, AB的长是关于x的方程x2-14x+mn = 0的两个根。(I )证明：C , B , D , E四点共圆；(H)若/A=90口，且m=4,n=6,求C , B, D, E所在圆的半径。(23)体:小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为!x = 2cos(支为参数)y = 2 2sin ;M是C1上的动点，P点满足OP = 2端,P点的轨迹为曲线C2(I )求C2的方程(n)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线日与C1的异于极 点的交点为A,与C2的

10、异于极点的交点为B,求|AB.(24)体:小题满分10分)选修4-5:不等式选讲设函数 f (x) = x -a +3x,其中 a >0。(I)当a=1时，求不等式”*)之3*+2的解集(H)若不等式f(x) W0的解集为x|xW-l ,求a的值2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷参考答案一、选择题(1)CB(3)B(7)B(8)D(9)C、填空题(13) -6(14)16 1(4) A B(6) D(10) A(11) A(12) D(15) 873(16) 2万三、解答题(17)解:(I )设数列an的公比为q,由右9a2a6得aa2所以q2 j有条件可知1a>0

11、,故q 3由2al +3a2 =1得2a1十3a2q =1 ,所以a1=1。故数歹U an的通项式为斗二4 33n(H ) bn =log 1a1 +log1al+ log1al= -(12 . n)_ n(n 1) 2故1 =bn2n(n - 1)1n 11111、11、1一二一 2(1)().(b1b2bn223nn1) =2nn 1所以数列的前n项和为2nn 1(18懈:(I )因为，DAB =60： AB =2AD ,由余弦定理得 BD=V3AD从而 BD2+AD 2= AB2,故 BD_lAD又PD，底面ABCD,可得BDiPD所以BD_l平面PAD. 故PA_lBD(H)如图，以D

12、为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz,则a（i,0,o）,b（0,73,0）,c（-iJ3,0）,p（0,o,i）。AB =（-1, ./3,0）, PB =（0, <3, -1）,bC =10,0）设平面PAB的法向量为n= (x,y,z),则即-x-，3y=0I -3 y - z = 0因此可取n=(3,i3)设平面PBC的法向量为则可取 m= (0, -1, -V3)m P B0m B C02.78smm =27=1故二面角A-PB-C的余弦值为一当(19)解由实验结果知，fflAsmrew« 箫=0.3,所以用A配方生产的产品

13、的优质品率的估计值为03由实验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为321"=0.42,所以用 100B配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42(n )用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间190,94 , 94,102 ,102,110的频率分别为0.04, ,054,0.42因此P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42,即X的分布列为X 的数学期望值 EX=2 X 0.04+2X 0.54+4X 0.42=2.68 (20)解：(I)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1)W以 MA = (-x,-1-y) ,

14、 MB =(0,-3-y),T . 一一， T T、 T 一 一、. 一、 一AB =(x,-2).再由愿息得知(MA + MB ) ?AB=0,即(-x,-4-2y) ? (x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=lx2-2.4(H )设P(x0,y。)为曲线C:y=lx2-2上一点,因为y' = 3x,所以i的斜率为1x04221因此直线 l 的方程为 y-y0 =2%(x-%),即 x°x-2y+2y0 -x =0。2则O点到l的距离d =学二£ .又y° =1 x2 -2 ,所以.x2 4412.42 x01 六4d = : ( .% 4 )- 2

15、, ,Xo 4 2Xo 4当x2=0时取等号，所以。点到l距离的最小值为2.(21)解：zx 1：(ln x)(I) f,(x)二一x一(x 1)2x2f(1)=1, 由于直线x+2y-3=0的斜率为二，且过点(1,1),故1即2f'(1)=-,b = 1,a-b2_ 1 ,2"+L所以解得 a=1, b=1。x 1 x工，、/ ln x k、1f(x) -()2x -1 x 1 -x(2lnx + (k-1)(x2-1)ox2考虑函数 h(x) =2ln x + ( 一 )(x -1)(x >0),贝Uh'(x) = x(k -1)(x2 1) 2x(i)设

16、kwo,由 h'(x)=22k(x 1) -(x -1)知，当x#1时,h'(x) <0。而 h(1) = 0 ,故当x亡(0,1)时，h(x) >0 ,可得当 xw ( 1,1h(x)>0;1 -x(x) <0,可得1 -x2h (x) >0从而当x>0,且x声1时,f (x)-(-ln + k) >0,即 f (x) x -1x>小+Kx -1 x(ii)设0<k<1.由于当x三(1,11 -k)时，(k-1) (x2+1) +2x>0,故 h'(x) >0,而 h (1) =0,故当 xe (

17、1,)时，h (x) >0,可得h (x) <0,与题设矛1 -k1 - x盾。(iii)设 k至 1.此日t h(x) >0,而 h (1) =0,故当 x= (1, +°°)时，h (x) >0,可得当h (x) <0,与题设矛盾。BDAD XAB=mn=AE x AC,综合得，k的取值范围为(-8, 0(22)解：(I)连接DE,根据题意在 ADE和4即”=AE 又/DAE= /CAB,从而 ADEsACB AC AB因此ADE= / ACB所以C,B,D,E四点共圆。(C ) m=4, n=6 时，方程 x2-14x+mn=0 的两根为

18、 x1=2,x2=12.故 AD=2 , AB=12.取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作AC, AB的垂线，两垂线相交 于H点，连接DH.因为C, B, D, E四点共圆，所以C, B, D, E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.由于/ A=900,故 GH / AB, HF / AC. HF=AG=5 , DF= 1 (12-2)=5.故C,B,D,E四点所在圆的半径为5<2(23)解:(I)设P(x,y)则由条件知M(X,Y).由于M点在G上，所以一 =2cos。2=2 +2sin2 2x =4c o &y = 4 + 4s i n从而C2的参数方程为X=4COS"(口为参数)y = 4 4sin ;(H)曲线Ci的极坐标方程为P=4sin%曲线C2的极坐标方程为P=8sin日JTTC射线日=一与Ci的交点A的极径为Pi =4sin 33'