2013高三数学总复习 5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题练习 新人教B版

1、5-4向量的应用及向量与其他知识的综合问题基础巩固强化1.(文)如图，在ABC中，AB5，BC3，CA4，且O是ABC的外心，则·()A6B6 C8D8答案D解析AB2AC2BC2，ACB为直角，O为ABC外心，··()·|2·8.(理)在直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，B45°，AB2CD2，M为腰BC的中点，则·()A1 B2 C3 D4答案B解析由条件知AB2，CD1，BC，MBMC，·|·|·cos45°×2×1，·|·|

2、3;cos135°×1×，·()·()····212×12，故选B.2已知A、B、C是锐角ABC的三个内角，向量p(sinA,1)，q(1，cosB)，则p与q的夹角是()A锐角 B钝角 C直角 D不确定答案A解析解法1：p·qsinAcosB，若p与q夹角为直角，则p·q0，sinAcosB，A、B，AB，则C，与条件矛盾；若p与q夹角为钝角，则p·q<0，sinA<cosBsin，sinx在上为增函数，A<B，AB<，C>这与条件矛

3、盾，p与q的夹角为锐角解法2：由题意可知AB>A>BsinA>sin(B)cosBp·qsinAcosB>0，又显然p、q不同向，故p与q夹角为锐角3(2012·河北郑口中学模拟)已知P是ABC所在平面内一点，20，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆落在PBC内的概率是()A. B. C. D.答案C解析如图，2，20，0，P为AD的中点，所求概率为P.4(文)(2011·成都市玉林中学期末)已知向量(2,2)，(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则P点坐标为()A(3,0) B(3,0)C(2,0) D(4,0)答案B

4、解析设P(x,0)，则(x2，2)，(x4，1)，·(x2)(x4)(2)×(1)x26x10(x3)21，当x3时·有最小值，P(3,0)(理)(2011·河南质量调研)直线axbyc0与圆x2y29相交于两点M、N，若c2a2b2，则·(O为坐标原点)等于()A7 B14 C7 D14答案A解析记、的夹角为2.依题意得，圆心(0,0)到直线axbyc0的距离等于1，cos，cos22cos212×()21，·3×3cos27，选A.5(2012·吉林实验中学模拟)如图，正方形ABCD中，点E、F分别是

5、DC、BC的中点，那么()A. BC D.答案D解析()().6(2012·浙江宁波市期末)在ABC中，D为BC边中点，若A120°，·1，则|的最小值是()A. B. C. D.答案D解析A120°，·1，|·|·cos120°1，|·|2，|2|22|·|4，D为BC边的中点，()，|2(|2|22·)(|2|22)(42)，|.7.如图，半圆的直径AB6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()·的最小值为_答案解析设PCx，则0x3.

6、()·2·2x×(3x)2x26x2(x)2，所以()·的最小值为.8(2012·会昌月考)已知向量a与b的夹角为，且|a|1，|b|4，若(2ab)a，则实数_.答案1解析a，b，|a|1，|b|4，a·b|a|·|b|·cosa，b1×4×cos2，(2ab)a，a·(2ab)2|a|2a·b220，1.9.(2012·宁夏三市联考)在平行四边形ABCD中，已知AB2，AD1，BAD60°，E为CD的中点，则·_.答案解析·()&#

7、183;()|2|2·12×1×2·cos60°.10(文)(2012·豫南九校联考)已知向量(2cosx1，cos2xsinx1)，(cosx，1)，f(x)·.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x0，时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时的x值解析(1)(2cosx1，cos2xsinx1)，(cosx，1)，f(x)·(2cosx1)cosx(cos2xsinx1)2cos2xcosxcos2xsinx1cosxsinxsin(x)，函数f(x)最小正周期T2.(2)x0，x，当x，即x时，f(x)

8、sin(x)取到最大值.(理)(2012·龙岩月考、河北衡水中学调研)ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m(1,1)，n(cosBcosC，sinBsinC)，且mn.(1)求A的大小；(2)现在给出下列三个条件：a1；2c(1)b0；B45°，试从中选择两个条件以确定ABC，求出所确定的ABC的面积(注：只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分)解析(1)因为mn，所以cosBcosCsinBsinC0，即cosBcosCsinBsinC，所以cos(BC)，因为ABC，所以cos(BC)cosA，所以cosA，A30°

9、.(2)方案一：选择，可确定ABC，因为A30°，a1,2c(1)b0，由余弦定理得，12b2(b)22b·b·解得b，所以c，所以SABCbcsinA···，方案二：选择，可确定ABC，因为A30°，a1，B45°，C105°，又sin105°sin(45°60°)sin45°cos60°cos45°sin60°，由正弦定理c，所以SABCacsinB·1··.(注意：选择不能确定三角形)能力拓展提升11

10、.(文)(2012·浙江省样本学校测试)如图，ABC的外接圆的圆心为O，AB3，AC5，BC，则·等于()A8 B1 C1 D8答案D解析取BC的中点M，连接AM、OM，·()···()8，故选D.(理)(2011·福建理，8)已知O是坐标原点，点A(1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是()A1,0 B0,1C0,2 D1,2答案C解析·(1,1)·(x，y)yx，画出线性约束条件表示的平面区域如图所示可以看出当zyx过点A(1,1)时有最小值0，过点C(0,2)时

11、有最大值2，则·的取值范围是0,2，故选C.12设F1、F2为椭圆y21的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PF1QF2面积最大时，·的值等于()A0B2C4D2答案D解析由题意得c，又S四边形PF1QF22SPF1F22××F1F2·h(h为F1F2边上的高)，所以当hb1时，S四边形PF1QF2取最大值，此时F1PF2120°.所以·|·|·cos120°2×2×()2.13(2011·烟台质检)在平面直角坐标系xOy中，i、j分别是

12、与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，ij，2imj，则实数m_.答案0或2解析ABC为直角三角形，当A为直角时，·(ij)·(2imj)2m0m2；当B为直角时，··()(ij)·i(m1)j1m10m0；当C为直角时，··()(2imj)·i(m1)j2m2m0，此方程无解实数m0或m2.14(2012·苏北四市统考)已知ABO三顶点的坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，且满足·0，·0，则·的最小值为_答案3解析(x

13、1，y)，(1,0)，(x，y2)，(0,2)，·(x，y)·(1,2)x2y12×23，·的最小值为3.15(文)已知向量a，b(2，cos2x)，其中x.(1)试判断向量a与b能否平行，并说明理由？(2)求函数f(x)a·b的最小值解析(1)若ab，则有·cos2x·20.x，cos2x2，这与|cos2x|1矛盾，a与b不能平行(2)f(x)a·b2sinx，x，sinx(0,1，f(x)2sinx22.当2sinx，即sinx时取等号，故函数f(x)的最小值为2.(理)已知点P(0，3)，点A在x轴上，点Q

14、在y轴的正半轴上，点M满足·0，当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程解析设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b>0)，则(a,3)，(xa，y)，(x，by)，由·0，得a(xa)3y0.由得，(xa，y)(x，by)(x，(yb)，把a代入，得(x)3y0，整理得yx2(x0)16.如图，在等腰直角三角形ABC中，ACB90°，CACB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE2EB.求证：ADCE.证明·()·()|2···|2|cos90°|2cos45

15、6;|2cos45°|2|20，即ADCE.1已知|a|2|b|0，且关于x的函数f(x)x3|a|x2a·bx在R上有极值，则a与b的夹角范围为()A(0，) B(，C(， D(，答案C解析设a与b的夹角为，f(x)x3|a|x2a·bx在R上有极值，即f (x)x2|a|xa·b0有两个不同的实数解，故|a|24a·b>0cos<，又0，所以(，故选C.2设F为抛物线y22px(p>0)的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若0，|3，则该抛物线的方程是()Ay22x By24xCy26x Dy28x答案A解析F(，0)，设

16、A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由0得，(x1)(x2)(x3)0，x1x2x3p.又由抛物线定义知，|(x1)(x2)(x3)3p3，p1，因此，所求抛物线的方程为y22x，故选A.3不共线向量、，且2xy，若(R)，则点(x，y)的轨迹方程是()Axy20 B2xy10Cx2y20 D2xy20答案A解析由得，()，即(1).又2xy，消去得xy2，故选A.4已知O为原点，点A、B的坐标分别为A(a,0)、B(0，a)，其中常数a>0，点P在线段AB上，且有t(0t1)，则·的最大值为()Aa B2a C3a Da2答案D解析t，t()(1t)t(aa

17、t，at)，·a2(1t)，0t1，·a2.5已知M是ABC内的一点，且·2，BAC30°，若MBC、MCA和MAB的面积分别为、x、y，则的最小值是_答案18解析·2，bccosA2，BAC30°，bc4，SABC1，xy，()1018.等号成立时，x，y，在时，取得最小值18.6过双曲线1(a>0，b>0)的左焦点F(c,0)(c>0)，作圆x2y2的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若()，则双曲线的离心率为_答案解析PF与圆x2y2相切，OEPF，且OE，()，E为PF的中点，又O为FF2的中点，|PF2|2|OE|a，由双曲线定义知，|PF|PF2|2a3a，在RtPFF2中，|PF|2|PF2|2|FF2|