2023课标版（文理）数学高考第一轮专题练习--第十章圆锥曲线与方程

1、2023课标版（文理）数学高考第一轮专题练习第十章圆锥曲线与方程第一讲椭圆 1.2022豫北名校联考已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A,上顶点为B,右焦点为F,且ABF是等腰三角形,则椭圆C的离心率为()A.5-12B.3-12C.3-1D.5-12.2022山东省部分重点中学综合考试已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,椭圆上的两点P,Q关于原点对称,若|PF|+|QF|=6,且椭圆C的离心率为13,则椭圆C的方程为()A.x29+y28=1B.x23+y22=1C.x26+y24=1D.x29+y23=13.2021

2、八省市新高考适应性考试椭圆x2m2+1+y2m2=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若F1AF2=3,则m=()A.1B.2C.3D.24.2021福建三明一中5月模拟以椭圆x24+y23=1内一点P(1,1)为中点的弦所在的直线方程是()A.4x+3y-7=0B.3x+4y-7=0C.3x+2y-(2+3)=0D.2x+3y-(2+3)=05.2021山西太原第五中学二模已知两定点F1(-1,0),F2(1,0)和一动点P,若|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹方程为()A.x216+y29=1B.x24+y23=1C.x216y29=1D.y24+

3、x23=16.2021河北张家口5月三模已知F是椭圆x2+y22=1的下焦点,过点F的直线l与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则AOB面积的取值范围是()A.(0,12 B.(12,22C.(0,22 D.22,17.2019全国卷理设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为. 8.2022广西模拟椭圆C:x218+y2b2=1(0<b<32)的上、下顶点分别为A,C,如图10-1-1,点B在椭圆上,平面四边形ABCD满足BAD=BCD=90°,且SABC=2SADC,则该椭圆的短轴

4、长为. 图10-1-19.2022南昌市模拟已知椭圆C:x24+y23=1,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,P为椭圆上任意一点.(1)若|PF1|-|PF2|=1,求PF1F2的面积;(2)斜率为1的直线与椭圆相交于A,B两点,OAOB,求直线AB的方程.10.2022南充市模拟椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=32,A,B分别为椭圆E的左、右顶点,P为椭圆E上任意一点,PAB面积的最大值为2.(1)求椭圆E的方程;(2)过点F(1,0)且斜率不为零的直线交椭圆E于M,N两点,过点M作直线x=4的垂线,垂足为H,证明:直线HN与x轴的

5、交点为定点.11.2022安徽名校联考已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).若椭圆C上存在一点P,使得 sinPF2F1sinPF1F2=ca,则椭圆C的离心率e的取值范围为()A.(0,22)B.(22,1)C.(2-1,1)D.(0,2-1)12.2021山西运城模拟情境创新根据规划,国家体育场(鸟巢)是2022年第13届冬季残疾人奥林匹克运动会比赛场馆之一.国家体育场的钢结构鸟瞰图如图10-1-2所示,内、外两圈钢骨架的俯视图可视作离心率相同的椭圆,若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC,B

6、D(如图10-1-3),且两切线斜率之积等于-916,则椭圆的离心率为()图10-1-2图10-1-3A.34 B.74 C.916 D.3213.多选题已知椭圆 C:x25+y2b2=1(0<b<5) 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在椭圆上,点 Q 是圆 x2+(y-4)2=1 关于直线 x-y=0 对称的曲线 E 上任意一点,若 |PQ|-|PF2| 的最小值为 5-25,则下列说法正确的是() A.椭圆 C 的焦距为2B.曲线 E 过点 F2 的切线斜率为±33C.若 A,B 为椭圆 C 上关于原点对称的异于顶点和点 P 的两点,则直线 PA 与 PB 斜

7、率之积为-15D.|PQ|+|PF2| 的最小值为214.2021全国卷甲理已知F1,F2为椭圆C:x216+y24=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为. 15.2022广西名校联考已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为第二象限内椭圆上的一点,连接PF2交y轴于点N,若PF1·PF2=0,|F1F2|=4|ON|,其中O为坐标原点,则椭圆的离心率为. 16.2022成都市模拟已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、

8、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上,|PF1|=2,F1PF2=3,且椭圆C的离心率为12.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l:y=kx+m(m0)与椭圆C相交于A,B两点,O为坐标原点,求OAB面积的最大值.17.2021广东佛山石门中学模拟与立体几何综合如图10-1-4,圆柱OO1的轴截面ABB1A1是正方形,D,E分别是AA1和BB1的中点,C是弧AB的中点,则经过C,D,E的平面与圆柱OO1侧面相交所得到的曲线的离心率是()A.1B.22C.2D.62图10-1-418.2021北京丰台区二模新定义题如图10-1-5,将半椭圆x2a2+y2b2=1(x0)与半椭圆y2b2+x2c

9、2=1(x<0)组成的曲线称为“果圆”,其中a2=b2+c2,a>b>c>0.A1,A2和B1,B2分别是“果圆”与x轴和y轴的交点.给出下列三个结论:图10-1-52c<a<2b;若|A1A2|=|B1B2|,则abc=543;若“果圆”在y轴右侧部分上存在点P,使得A1PA2=90°,则12<ca<5-12.其中,正确结论的序号是()A.B.C.D.第二讲双曲线1.2020浙江高考已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=34x2图象上的点,则|OP|=()A.222B.410

10、5C.7D.102.2022贵州模拟设双曲线C:x24a2-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点,则双曲线C的离心率e的取值范围是()A.(2,+)B.(62,2)(2,+)C.(62,+)D.(62,2)3.2022海口市名校联考已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为103,双曲线上的点到焦点的最小距离为10-3,则双曲线上的点到点A(5,0)的最小距离为()A.1 B.2C.62 D.64.2021广州二模多选题过双曲线C:x24-y2=1的左焦点F作直线l交C于A,B两点,则下列说法正确的是()A.若|AB|=1,则直线l只有

11、1条B.若|AB|=2,则直线l有2条C.若|AB|=3,则直线l有3条D.若|AB|=4,则直线l有3条5.2021南京市三模开放题写出一个离心率为5,渐近线方程为y=±2x的双曲线方程: . 6.2022安徽名校联考已知双曲线 x225y25=1上一点P到其左焦点F的距离为8,则PF的中点M到坐标原点O的距离为. 7.2021浙江5月新高考模拟已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,虚轴的上端点为B,点P,Q为C上两点,点M(-2,1)为弦PQ的中点,且PQBF,记双曲线的离心率为e,则e2=. 8.如图10-2

12、-1,双曲线E:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过坐标原点的直线交E于P,Q两点,PF2F2Q,且SPF2Q=12a2,|F2Q|-|PF2|=4,则双曲线E的虚轴长为. 图10-2-19.2021陕西咸阳5月模拟已知双曲线C:y2a2x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,且经过A(0,2).(1)求双曲线C的方程.(2)若过点B(2,0)的直线交双曲线C于x轴下方不同的两点P,Q,设PQ中点为M,求三角形BOM(O为坐标原点)面积的取值范围.10.2022豫北名校联考双曲线C:x2a2y2b2=1(a>0,b&

13、gt;0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线C的右支在第一象限的交点为A,与y轴的交点为B,且B为AF1的中点,若ABF2的周长为6a,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=±3xB.y=±2xC.y=±32xD.y=±22x11.2022武汉市部分学校质检设双曲线E:x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,点M是双曲线E在第一象限内的一点,直线MF1交双曲线E的左支于点N,若NAMF2,则|MF2|=()A.74 B.52C.83 D.11412.2022西安复习检测已知双曲线x2a2y2b2=1(a>0,b>

14、;0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交双曲线于M,N两点(M在第一象限),若MF1F2的内切圆半径与NF1F2的内切圆半径之比为32,则直线MN的斜率为()A.6 B.26C.3 D.2313.2021太原5月三模已知点F是双曲线x24y25=1的左焦点,过原点的直线l与该双曲线的左、右两支分别相交于点A,B,则1|FA|9|FB|的取值范围是()A.-1,0)B.-45,0)C.-2,1)D.-1,+)14.2021湖南长郡中学二模设F1,F2是双曲线C:x24y28=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C的左支上,且OF1·OP|OP|+F1P·OP|OP|=

15、2 3,则PF1F2的面积为()A.2B.43C.8 D.8315.2022郑州一模双曲线C:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)与抛物线y2=8x有共同的焦点F2,双曲线左焦点为F1,点P是双曲线右支上一点,过F1向F1PF2的平分线作垂线,垂足为N,|ON|=1,则双曲线的离心率是. 16.2022重庆巴蜀中学开学考试已知双曲线C:x2a2y2b2=1(a>0,b>0),直线y=33(x+c)与双曲线C的两条渐近线分别交于A,B,若AOB是锐角三角形,O为坐标原点,则双曲线C的离心率e的取值范围是. 17.2021八省市新高考适应性考试双曲线C

16、:x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点为F,动点B在C上.当BFAF时,|AF|=|BF|.(1)求C的离心率;(2)若B在第一象限,证明:BFA=2BAF.18.2021合肥市三检情境创新如图10-2-2所示,上部分为一个油桃园.每年油桃成熟时,园主都要雇佣工人采摘,然后沿两条路径将采摘好的油桃迅速运送到水果集散地C处销售.路径1:先将油桃集中到A处,再沿公路AC运送;路径2:先将油桃集中到B处,再沿公路BC运送.已知|AC|=3 km,|BC|=4 km.为了减少运送时间,园主在油桃园中画定了一条界线,使得位于界线一侧的采摘工按路径1运送路程较近,另一侧的

17、采摘工按路径2运送路程较近.若这条界线是曲线E的一部分,则曲线E为()A.圆 B.椭圆C.双曲线D.抛物线图10-2-219.2022海南高三模拟已知数列an,bn中各项均为正数,且bn是公差为2的等差数列,若点Pn(an,bn)(nN*)均在双曲线C:x2-y24=1上,则an+1-an的取值范围是. 第三讲抛物线1.2021新高考卷若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为2,则p=() A.1 B.2C.22D.42.2022南昌市模拟设F为抛物线C:x2=16y的焦点,直线l:y=-1,点A为C上任意一点,过点A作APl于P,则|AP|-|AF|=()

18、A.3 B.4C.2 D.不能确定3.2022甘肃九校联考设O为坐标原点,A,B是抛物线C:x2=2py(p>0)与圆E:x2+(y-8)2=r2(r>0)关于y轴对称的两个交点,若|AB|=|OA|=r,则p=()A.4 B.2 C.43D.234.2022T8联考如图10-3-1,抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l与C相交于A,B两点,l与y轴相交于点E,已知|AF|=7,|BF|=3,记AEF的面积为S1,BEF的面积为S2,则()A.S1=2S2 B.2S1=3S2C.S1=3S2 D.3S1=4S2图10-3-15.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F

19、,倾斜角为45°的直线l过点F,若C上恰存在3个不同的点到l的距离为22,则C的准线方程为()A.x=-1B.x=-2C.x=-3D.x=-46.2022西安复习检测过点M(p,0)作倾斜角为150°的直线与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,若|AB|=210,则|AM|·|BM|的值为()A.4 B.42C.210D.457.2021沈阳市第三次质量监测一条倾斜角为60°的直线与抛物线y2=4x交于A,B两点,设弦AB的中点为C.过C作平行于x轴的直线交抛物线于点D,则以D为切点的抛物线的切线的斜率为()A.13 B.23C.3D.

20、338.2021洛阳市第三次统考设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(4,m)(m>0)是抛物线C上一点,且|PF|=5.(1)求抛物线C的方程.(2)若A,B为抛物线C上异于P的两点,且PAPB.记点A,B到直线y=-4的距离分别为a,b,求证:ab为定值.9.2022长春市质量监测已知M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,若xFM=60°,则|FM|等于() A.2 B.433 C.23 D.410.2022成都市模拟设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点A作l的垂线,垂足为B,设C(2p,0),AF与BC相交

21、于点D.若|CF|=|AF|,且ACD的面积为22,则点F到准线l的距离是()A.2B.3C.423D.43311.2022山东青岛模拟如图10-3-2,抛物线E:x2=4y与圆M:x2+(y-1)2=16交于A,B两点,点P为劣弧AB上不同于A,B的一个动点,平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N,则PMN的周长的取值范围是()A.(6,12)B.(8,10)C.(6,10)D.(8,12)图10-3-212.2021贵州贵阳一中5月模拟已知抛物线C:y=14x2,过抛物线焦点的直线交抛物线于A,B两点,若直线AO,BO(O为坐标原点)分别交直线y=x-2于E,F两点,则|EF|的最小值为()

22、A.253 B.823C.12825D.82513.多选题已知点M(2,-2)在抛物线x2=2py(p>0)的准线上,F是抛物线的焦点,过点M的两条直线分别与抛物线相切于点A,B,直线MF交直线AB于点E,则下列结论正确的是()A.抛物线的方程为x2=4yB.直线AB的方程为x-2y+4=0C.AM·BM=0D.|ME|2=|AE|·|BE|14.2021江苏盐城中学5月模拟已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为4,圆M:(x-2)2+y2=1,过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A,P,Q,B四点,则|AP|+4|BQ|的最小值为

23、. 15.2022安徽名校联考已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线与抛物线C交于A,B两点,AOB(点O为坐标原点)的面积为2.(1)求抛物线C的方程;(2)若过点E(0,a)(a>0)的两直线l1,l2的倾斜角互补,直线l1与抛物线C交于M,N两点,直线l2与抛物线C交于P,Q两点,FMN与FPQ的面积相等,求实数a的取值范围.16.角度创新已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P满足OP=OF(O为坐标原点),若过点O作互相垂直的两弦OA,OB,则当弦AB恒过点P时,的所有可能取值的集合为()A.4B.3C.14,4,

24、3D.13,3,417.2021江西七校联考已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px上一点A到焦点F的距离为4,若点M为抛物线C准线上的动点,给出下列说法:当MAF为正三角形时,p的值为2;存在点M,使得MAMF=0;若MF=3FA,则p=3;若|OM|+|MA|的最小值为213,则p=4或12.其中正确的是()A.B.C. D.第四讲圆锥曲线的综合问题1.创新题在ABC中,B(-2,0),C(2,0),A(x,y),给出ABC满足的条件,就能得到动点A的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程:条件方程ABC周长为10C1:y2=25ABC面积为10C2:x2+y2=4(y0)ABC中,A=90&

25、#176;C3:x29+y25=1(y0)则满足条件,的轨迹方程依次为()A.C3,C1,C2B.C1,C2,C3C.C3,C2,C1D.C1,C3,C22.2021天津高考已知双曲线x2a2y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点重合,抛物线的准线交双曲线于A,B两点,交双曲线的渐近线于C,D两点,若|CD|=2|AB|,则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.33.2021沈阳市第三次质量监测已知圆锥曲线C:x2t+1+y2t=1(tR,t0,t-1)上满足|OM|=1(O为坐标原点)的点M共有4个,则此圆锥曲线C的离心率在下面的四个

26、选项中不可能取的值为()A.3B.2C.32D.224.2022甘肃九校联考已知中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为32的椭圆C过点(3,12).(1)求C的标准方程.(2)是否存在不过原点O的直线l:y=kx+m与C交于P,Q两点,使得直线OP,PQ,OQ的斜率成等比数列?若存在,求k的值及m的取值范围;若不存在,请说明理由.5.2022海口市名校联考已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且过点A(-2,0).(1)求C的方程;(2)点P,Q分别在C和直线x=4上,OQAP(O为坐标原点),M为AP的中点,求证:直线OM与直线QF的交点在某定

27、曲线上.6.2021重庆5月联合诊断已知圆E:(x+1)2+y2=16和点F(1,0),动圆M经过点F,且与圆E内切.(1)求动圆的圆心M的轨迹C的方程;(2)设点P(4,t)(t0)关于点F的对称点为P,直线PE与轨迹C交于A,B两点,若ABP的面积为352,求t的值.7. 2021浙江高考如图10-4-1,已知F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,M是抛物线的准线与x轴的交点,且|MF|=2.()求抛物线的方程;()设过点F的直线交抛物线于A,B两点,若斜率为2的直线l与直线MA, MB, AB, x轴依次交于点P,Q,R,N,且满足|RN|2=|PN|·|QN|,求直线

28、l在x轴上截距的取值范围.图10-4-18.2022山东省部分重点中学综合考试已知双曲线的方程为x2a2y2b2=1(a>0,b>0),F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,双曲线的离心率为2,点P为双曲线在第一象限上的一点,且满足PF1·PF2=0,|PF1|·|PF2|=6.(1)求双曲线的标准方程;(2)过点F2作直线l交双曲线于A,B两点,则在x轴上是否存在定点Q(m,0),使得QA·QB为定值?若存在,请求出m的值和该定值;若不存在,请说明理由.9.2021哈尔滨九中第五次模拟设F1,F2分别是椭圆x25+y24=1的左、右焦点. (1)若P是

29、该椭圆上的一个动点,求PF1·PF2的最大值与最小值;(2)是否存在过点A(5,0)的直线l与椭圆交于不同的两点C,D,使得|F2C|=|F2D|?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.10.2021沈阳市第三次质量监测已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点和上顶点分别为点F(c,0)(b>c>0)和点A,直线6x-5y-14=0交椭圆于B,C两点,且F恰好为ABC的重心.(1)求椭圆的离心率;(2)抛物线y2=2px的焦点是F,P为抛物线准线上任一点,过点P作抛物线的切线PD,PE,切点分别为D,E,直线x=0与直线PD,PE分别交于M

30、,N两点,点M,N的纵坐标分别为m,n,求mn的值.11.与数列综合已知抛物线G:y2=2px(p>0),其焦点为F,过点F的直线l交抛物线G于A,B两点,交抛物线G的准线于点C.当点F恰好是线段AC的中点时,|BC|=83.(1)求抛物线G的方程;(2)点O是坐标原点,设直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,直线l的纵截距为1,此时数列an满足a1=1,k1+k2=-16an+1+(4an+2)2.设数列an1+an的前n项和为Sn,已知存在正整数m,使得m<S2 020<m+1,求m的值.答 案第十章圆锥曲线与方程第一讲椭圆 1.B由题意知|AB|>|BF|,|AF

31、|>|BF|,故|AB|=|AF|,即a2+b2=a+c,所以2a2-c2=a2+2ac+c2,即2c2+2ac-a2=0,即2e2+2e-1=0,解得e=3-12(负值舍去),故选B.2.A由椭圆的定义及椭圆的对称性可得|PF|+|QF|=2a=6,所以a=3.由椭圆C的离心率为13,得a2-b2a=13,所以b2=8,故椭圆C的方程为x29+y28=1,故选A.3.C如图D 10-1-1所示,由题意可得AF1F2为等边三角形,且|F1F2|=2m2+1m2=2,所以|AF1|=m2+1=2,解得m=3,故选C.图D 10-1-14.B设过点P(1,1)的直线交椭圆于A(x1,y1),

32、B(x2,y2)两点,则x124+y123=1,x224+y223=1,-,得(x1+x2)(x1-x2)4+(y1+y2)(y1-y2)3=0.(点差法)由题意得x1+x2=2,y1+y2=2,所以上式等价于x1-x22+2(y1-y2)3=0.又x1x2,等式两边同时除以2(x1-x2)得14+13×y1-y2x1-x2=0,所以弦所在直线的斜率k=y1-y2x1-x2=-34.所以所求直线方程为y-1=-34(x-1),即3x+4y-7=0.故选B.5.B由题意得|F1F2|=2,|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,即|PF1

33、|+|PF2|=4,且 PF1|+|PF2|>2,点P在以F1,F2为焦点的椭圆上.a=2,c=1,b2=3,椭圆的方程是x24+y23=1.故选B.6.C由椭圆的方程可得a2=2,b2=1.所以c2=a2-b2=1,所以椭圆的下焦点为F(0,-1).显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),由x2+y22=1,y=kx-1消去y得(2+k2)x2-2kx-1=0,由根与系数的关系得x1+x2=2k2+k2,x1x2=-12+k2,所以SAOB=12|OF|·|x1-x2|=12(x1+x2)2-4x1x2=124k2(2+k2)2

34、+42+k2=128(1+k2)(1+1+k2)2.设t=1+k2,则t1,(换元时,注意新元的范围)则SAOB=12·8t(1+t)2=128t+1t+2,因为y=t+1t在1,+)上单调递增,所以t+1t2,所以0<SAOB12×82+2=22,故选C.7.(3,15)不妨令F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,根据题意可知a=6,c=3620=4.由MF1F2为等腰三角形,易知|F1M|=|F1F2|=2c=8,(a-c<|MF2|<a,故|MF2|为MF1F2的底边)则|F2M|=2a-|F1M|=4.设M(x,y),则x236+y220=1,|F1

35、M|2=(x+4)2+y2=64,x>0,y>0,得x=3,y=15,所以M的坐标为(3,15).(也可利用椭圆焦半径公式求解)8.6连接BD,根据题意可得A(0,b),C(0,-b),点A,B,C,D在以BD为直径的圆上.(同一平面内,同斜边的直角三角形的顶点共圆)因为原点O为圆的弦AC的中点,所以圆心在AC的垂直平分线,即x轴上,设B(x1,y1),D(x2,y2),则y1+y2=0,由SABC=2SADC得x1=-2x2,故圆心坐标为(x14,0),半径r=12|BD|=1294x12+4y12,所以圆的方程为(x-x14)2+y2=916x12+y12,将A(0,b)代入圆

36、的方程,结合x1218+y12b2=1,解得b2=9,所以b=3,短轴长为6.9.(1)由|PF1|+|PF2|=4,|PF1|-|PF2|=1,解得|PF1|=52,|PF2|=32.又|F1F2|=2,所以|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,即PF2F1F2,所以SPF1F2=12|PF2|×|F1F2|=12×32×2=32.(2)直线AB的斜率为1,设直线AB的方程为y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x+m,x24+y23=1,消元得7x2+8mx+4m2-12=0,=336-48m2>0,则x1+x2=-8m7,x1&#

37、183;x2=4m2-127.由OAOB,得x1x2+y1y2=0,而y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=4m2-127+m(-8m7)+m2,所以4m2-127+4m2-127+m(-8m7)+m2=0,得m=±2427,满足>0,(注意验证判别式)所以直线AB的方程为7x-7y+242=0或7x-7y-242=0.10.(1)当点P为椭圆的上顶点或下顶点时,PAB的面积最大,(由于|AB|为定值,故当点P到AB的距离最大时,PAB的面积取得最大值)即12·2a·b=2,得ab=2.又e=ca=32,a2=b2+c2,故a

38、=2,b=1,所以椭圆E的方程为x24+y2=1.(2)设直线MN的方程为x=ty+1,(若在设直线方程时涉及斜率,要注意斜率不存在时的情况)M(x1,y1),N(x2,y2),则H(4,y1).由x=ty+1,x24+y2=1,消去x得(t2+4)y2+2ty-3=0,所以y1+y2=-2tt2+4,y1y2=-3t2+4.易知直线HN的方程为y-y1=y1-y24x2(x-4),令y=0,得x=4-4y1-y1x2y1-y2=4-4y1-y1(ty2+1)y1-y2=4-3y1-ty1y2y1-y2.又y1+y2=-2tt2+4,y1y2=-3t2+4,故ty1y2=32(y1+y2),所

39、以x=4-3y1-32(y1+y2)y1-y2=52,即直线HN与x轴的交点为定点,定点坐标为(52,0).11.C在PF1F2中,由正弦定理可得|PF2|sinPF1F2=|PF1|sinPF2F1,结合sinPF2F1sinPF1F2=ca,得a|PF1|=c|PF2|.解法一设|PF2|=x(a-c<x<a+c),则|PF1|=2a-x,所以a(2a-x)=cx,整理得x=2a2a+c,所以a-c<2a2a+c<a+c,即c2+2ac-a2>0,不等式两边同时除以a2得,e2+2e-1>0,e>2-1或e<-2-1.又因为e(0,1),所以

40、e(2-1,1).解法二设点P(x0,y0),可得|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,(椭圆的焦半径公式)则a(a+ex0)=c(a-ex0),解得x0=a(c-a)e(c+a)=a(e-1)e(e+1).由椭圆的几何性质可得a>x0>-a,即a>a(e-1)e(e+1)>-a,整理得e2+2e-1>0,解得e<-2-1或e>2-1,又e(0,1),所以椭圆的离心率的取值范围是(2-1,1).故选C.12.B设内层椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),因为内、外层椭圆离心率相同,所以外层椭圆方程可设成x2(ma)2+y

41、2(mb)2=1(m>1).解法一设切线AC的方程为y=k1(x+ma),与x2a2+y2b2=1联立得(b2+a2k12)x2+2ma3k12x+m2a4k12-a2b2=0,由=0,得k12=b2a2×1m2-1,同理得k22=b2a2×(m2-1)(其中k2为BD所在直线的斜率),所以k12k22=b4a4=(-916)2,因此e=74.故选B.解法二设点D(x1,y1)(y10),则内层椭圆在点D处的切线方程为x1xa2+y1yb2=1,则kBD=-b2a2·x1y1.将B(0,mb)代入可得y1=bm,则x1=-amm2-1.设点C(x2,y2)(

42、y20),同理可得x2=-am,y2=-bmm2-1.因为kBD·kAC=-916,所以b4a4·x1x2y1y2=-916,即b2a2=916,所以e=1b2a2=74.【方法技巧】点P(x0,y0)为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,则椭圆C在点P处的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.13.BC圆 x2+(y-4)2=1 关于直线 x-y=0 对称的曲线为以E(4,0)为圆心,1为半径的圆, 则曲线E的方程为 (x-4)2+y2=1.如图D 10-1-2,连接PF1,由椭圆定义得 |PF1|+|PF2|=2a=25,连接QF1,|PQ|

43、-|PF2|=|PQ|-(25-|PF1|)=|PQ|+|PF1|-25|QF1|-2 5|EF1|-1-25=3+|OF1|-25=5-25,所以|OF1|=2, b=1,椭圆C的方程为 x25+y2=1,故焦距 2|OF1|=4,A错误.|PQ|+|PF2|QF2|EF2|-1=1,D错误.曲线E的方程为 (x-4)2+y2=1,设曲线E过点F2的切线方程为y=k(x-2),即kx-2k-y=0,由圆心到切线的距离等于半径得|4k-2k-0|1+k2=1,所以k=±33 ,B正确.设 P(x0,y0), A(x1,y1),B(-x1,-y1),则 kPAkPB=y1-y0x1-x

44、0·-y1-y0-x1-x0=y12-y02x12-x02,又P,A,B 都在椭圆C上,则x025+y02=x125+y12=1,所以y12-y02x12-x02=-15,C正确.故选BC.图D 10-1-214.8因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,所以四边形PF1QF2为矩形.解法一(利用平面几何性质)设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=8,m2+n2=|F1F2|2=48,所以(m+n)2=m2+2mn+n2=48+2mn=64,可得mn=8,(整体思想)即四边形PF1QF2的面积等于8.解法二(焦点三角形面积法)令F1PF2=,则PF1F

45、2的面积为b2tan2=4tan90°2=4,(椭圆焦点三角形面积公式的应用,注意与双曲线的区别)所以四边形PF1QF2的面积等于8.15.53因为PF1·PF2=0,所以F1PF2=90°,设PF2F1=,(0°,90°).因为|F1F2|=4|ON|,所以|OF2|=2|ON|,在RtNOF2中,tan =|ON|OF2|=12,在RtPF1F2中,tan =|PF1|PF2|=12,即|PF2|=2|PF1|,又|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=43a,|PF1|=2a3,又|PF1|2+|PF2|2=4c2,所以4a29+1

46、6a29=4c2,解得e=53.16.(1)P在椭圆C上,|PF1|=2,|PF2|=2a-|PF1|=2a-2.在PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|·cosF1PF2,即4c2=4+(2a-2)2-4(2a-2)cos3,化简,得c2=a2-3a+3.又椭圆C的离心率e=ca=12,a=2c.由,得c=1,a=2,b2=a2-c2=3,椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).由y=kx+m,x24+y23=1消去y,得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,由=48(4k2-m2+

47、3)>0,得4k2+3>m2.x1+x2=-8km4k2+3,x1x2=4m2-124k2+3.|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=412k2-3m2+94k2+3.SOAB=12|m|·|x1-x2|=12·|m|·412k2-3m2+94k2+3=23·|m|4k2+3m24k2+3=23·(4k2+3m2)·m24k2+323·(4k2+3m2)+m224k2+3=3,当且仅当4k2+3-m2=m2,即4k2+3=2m2时,等号成立,此时满足4k2+3>m2.OAB面积的最大值为3.17.B

48、不妨设轴截面ABB1A1的边长为2,设C1是弧B1A1的中点且C1与C不在平面ABB1A1同侧,连接CC1,易知C,D,E,C1四点共面,由题意可知截面曲线为椭圆,椭圆的短轴长为2,长轴长为CC1=2 2,所以椭圆的长半轴长a=2,短半轴长b=1,半焦距c=a2-b2=1,椭圆的离心率e=ca=22,故选B.18.D由题可知a2=b2+c2>2c2,故a>2c,又a2=b2+c2<2b2,故a<2b,所以2c<a<2b,正确.由|A1A2|=|B1B2|得a+c=2b,又a2=b2+c2,可得a=54b,c=34b,abc=543,正确.设P(x,y),由A

49、1PA2=90°可知点P在以A1A2为直径的圆E:(x+c)(x-a)+y2=0上,(由PA1·PA2=0可得)圆E与“果圆”在y轴右侧部分的异于A2的公共点即点P.由(x+c)(x-a)+y2=0,x2a2+y2b2=1(x0),得c2a2x2+(c-a)x+a2-ac-c2=0,显然该方程已有一根a,则ax=a2-ac-c2c2a2=a2(a2-ac-c2)c2,x=a(a2-ac-c2)c2,(根与系数的关系)由0<x<a,得0<a(a2-ac-c2)c2<a,结合a>c>0,得12<ca<5-12,故正确.故选D.第二

50、讲双曲线1.D由|PA|-|PB|=2<|AB|=4,知点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线的右支,可得点P的轨迹方程为x2-y23=1(x1),(不要遗漏x1这一限制条件)又y=34x2,所以x2=134,y2=274,所以|OP|=x2+y2=134+274=10,故选D.2.Bx24a2-y2=1,x+y=1(1-4a2)x2+8a2x-8a2=0.因为直线l与双曲线C交于不同的两点,所以14a20,=64a4+4×8a2(1-4a2)>0,所以a214,a2<12,a>0,所以e=1+14a2(62,2)(2,+).3.C由题意得,ca=103,双曲线上的

51、点到焦点的最小距离为c-a=10-3,由可得c=10,a=3,所以b2=c2-a2=1,所以双曲线C的方程为x29-y2=1.设P(x,y)(x-3或x3)是双曲线x29-y2=1上的任意一点,则|AP|=(x-5)2+y2=(x-5)2+x29-1=109(x-92)2+32,所以当x=92时,|AP|取得最小值,|AP|min=32=62,故选C.4.ABD易知F(-5,0).若直线l的斜率不存在,(直线的斜率不存在的情形容易遗漏,要先讨论)则l的方程为x=-5,代入x24-y2=1可得y=±12,此时|AB|=1.(此时弦AB为双曲线通径,是双曲线焦点弦中的最短弦)若直线l的斜

52、率存在,设l的方程为y=k(x+5),A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k(x+5),x24-y2=1消去y整理得(1-4k2)x2-85k2x-20k2-4=0,1-4k20且>0,则x1+x2=85k214k2,x1x2=20k2+414k2,所以|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=4+4k2|1-4k2|.对于A,4+4k2|1-4k2|=1无解,因此l只有1条,故A正确.对于B,由4+4k2|1-4k2|=2可得4+4k2=2-8k2(无解)或4+4k2=8k2-2(解得k=±62),因此l有2条,故B正确.对于C,由4+4k2|1-4k2|=3可得

53、4+4k2=3-12k2(无解)或4+4k2=12k2-3(解得k=±144),因此l有2条,故C错误.对于D,由4+4k2|1-4k2|=4可得4+4k2=4-16k2(解得k=0)或4+4k2=16k2-4(解得k=±63),因此l有3条,故D正确.故选ABD.【规律总结】若过双曲线焦点的直线l与双曲线交于A,B两点,则|AB|的值(范围)2b2a(2b2a,2a)2a(2a,+)直线l的条数12345.x2-y24=1(答案不唯一)设双曲线的方程为x2a2y2b2=1(a>0,b>0).双曲线的离心率e=ca=5,渐近线方程为y=±bax=

54、77;2x,所以b=2a,c=5a,令a=1,则b=2,c=5,此时双曲线方程为x2-y24=1.6.9由题意知,|PF|=8,设双曲线的右焦点为F2,由双曲线的定义,可得|PF2|-|PF|=10,又|PF2|>0,所以|PF2|=18,因为M是PF的中点,O是FF2的中点,所以由三角形中位线定理可知|MO|=182=9.7.2+12由题意知F(c,0),B(0,b),则kPQ=kBF=-bc.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,两式相减得y1-y2x1-x2=b2(x1+x2)a2(y1+y2).(点差法)因为PQ的中点为M

55、(-2,1),所以x1+x2=-4,y1+y2=2,又kPQ=y1-y2x1-x2=-bc,所以-bc=-4b22a2,整理得a2=2bc.因为a2+b2=c2,所以a4=4b2c2=4c2(c2-a2).因为e=ca,所以4e4-4e2-1=0,从而得e2=2+12.8.22如图D 10-2-1,连接PF1,QF1,由双曲线的对称性可知,|PF1|=|QF2|,且PF1F2与PQF2的面积相等,所以|F2Q|-|PF2|=|PF1|-|PF2|=2a=4,解得a=2.又PF2QF2,所以PF1PF2,即F1PF2=2,所以SPF2Q=SPF1F2=b2tanF1PF22=b2tan4=12a

56、2,(双曲线焦点三角形的面积公式)所以b=22a=2.故双曲线的虚轴长为2b=22.图D 10-2-19.(1)双曲线的离心率为2,即ca=2,易知点A(0,2)为双曲线y2a2x2b2=1的上顶点,故a=2,则c=22,又c2=a2+b2,所以b=2.所以双曲线C的方程为y2-x2=4.(2)易知直线PQ的斜率不为0,设直线PQ的方程为x-2=my,由x-2=my,y2-x2=4,得(1-m2)y2-4my-8=0,设P,Q两点的纵坐标分别为y1,y2,则1m20,=16m2+32(1m2)=16(2-m2)>0,y1+y2=4m1m2<0,y1y2=-81m2>0,解得1<m<2.设点M的纵坐标为y0,则y0=y1+y22=2m1m2,所以SOBM=12×|OB|×|y0|=12×2×|2m1m2|=2mm2-1=2m-1m,1<m<2.易知函数y=m-1m在(1,2)上单调递增,所以m-1m(0,22),所以三角形BOM面积的取值范围为(22,+).10.B由对称性可知|BF1|=|BF2|,则ABF2的周长为6a,即|AF1|+|AF2|=6a,又|AF1