2019届江西省赣州市高三年级调研数学(文)试题(解析版)

1、2019届江西省赣州市高三年级调研数学(文)试题一、单选题2 .1 .已知集合 A x|x(x1)0,B x|x3,则 3bA ()A. (1,3)B, 1,3C. (,3)d. 1,3 U 0【答案】A【解析】根据题意解不等式x2(x 1) 0 ,求得集合A的范围，再求eBA即可.【详解】QAx|x2(x 1) 0 = x|x 1 , B x|x 3 ,eBA x|1 x 3 .故选：A.【点睛】本题考查不等式的解法及补集的运算，难度容易.2.已知i为虚数单位，且复数z满足z(1 2i) |3 4i|,则复数z ()A. 1 2iB. 1 2iC. 2 iD. 2 i【答案】A【解析】由复数

2、的模的定义可知|3 4i |=5，根据复数的除法，求出复数z即可.【详解】一5Qz(1 2i) |3 4i | z(1 2i) 5,即 z-一二1-2i.1 2i故选：a .【点睛】本题考查复数模的定义及四则运算，要求掌握复数的除法运算，难度容易.1-3-3.已知sin ，则sin 2 221C.一2A 3B 3AB.【答案】C，再代入求值即可.【解析】利用诱导公式和二倍角公式先化简第5页共19页【详解】Q sin12'.3sin 一2cos21 2sin2c 1 ,1=2-1=故选：C.本题考查诱导公式和二倍角公式在求值中的应用，难度较易.uur4.在等腰三角形 ABC中，点D是底边

3、AB的中点，若 ABuuur(1,2), CD (2,t),则uuurCD ()A. V5B. 5C. 2a/5D. 20【解析】由等腰三角形的性质得出uuu uuurAB CD，即可解得所求由题意知uur uurAB CD 1 2 2t1,uur2|CD| .22 ( 1)25.故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积和向量的坐标运算，难度容易5 .某外卖企业抽取了阿朱、阿紫两位员工今年 3月某10天日派送外卖量的数据 （单位: 件），如茎叶图所示针对这 10天的数据，下面说法错误的是（阿朱阿紫836 99A.阿朱的日派送量的众数为76B.阿紫的日派送量的中位数为77C.阿朱的日派送量的中位数

4、为76.5D.阿紫的日派送外卖量更稳定【解析】由众数，中位数的概念计算可得出结论，由茎叶图直接可以观察出数据的稳定性 即可判断出结果.阿朱的日派送量的众数为76,中位数为76.5,阿紫的日派送量的中位数为77,故A, B,C正确，由茎叶图可知阿朱的日派送外卖量数据更集中，更稳定，所以D错误.故选：D .本题考查了茎叶图中众数，中位数，及数据的集中度问题,难度容易.2-1 ( a 0)的左、右焦点分别为9Fi、F2, 一条渐近线A . 2 或 14B, 2【答案】CC. 14D. 2 或 102 X6.已知双曲线C： 2 a与直线4x 3y 0垂直，点M在C上，且MF2 6,则MFi()【解析】

5、 求得双曲线的渐近线方程，由两直线垂直的条件为斜率之积为1,可得a 4,由双曲线的定义即可求出MF1的值.【详解】x2 y23双曲线C：1 a 0的渐近线为y -x,a2 9a一条渐近线与直线l: 4x 3y 0相互垂直，可得a 4,即a 4,由双曲线的定义可得 2aMF1 MF28,Q|MF2 6,|MF114.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的定义，标准方程和渐近线的综合运用，难度较易.2 一 一7.设等差数列an的刖n项和为Sn,若a2a7a8a13一，则tanS()21A. 1B.gUD.百【答案】D【解析】由等差性质可知a7 a8=a2 胡二a1 而，即可求得S14,进而求得tanS

6、14的解.【详解】2Q 等差数列an, a2a7a8a131-，则有a2a131.2121§4 =14 al a1414 a2 a13故选：D .【点睛】本题考查了等差数列的性质，等差数列的求和，三角函数求值，难度较易.8.已知函数f（x）满足f则曲线y f （x）在点（1, f （ 1）处的切线的斜率为（16D - 16通过换元法求出f （x）的解析式利用kf X即可解得y f (x)在点(1,f(1）处的切线的斜率为f -1 .2 x .,x，令 一 =t 厕 x=2t, 2以曲线y故选:B .8t34t2 即 f xf (X)在点(1,f(本题考查换元法求函数解析式8x3 4x

7、2f x224x 8x,贝 u1）处的切线的斜率为16.f -124-8=16.所，考查了导数几何意义的应用，难度较易.=7 a? ai|3 = 一 , tan §4 tan = ' 3.33f x23即 sin第7页共19页)9.某组合体的正视图和侧视用如图（1）所示，它的俯视图的直观图是图（2）中粗线D劭C B的中点，则图（2）所表示的平面图形， 其中四边形OABC为平行四边形, 中平行四边形O A B C的面积为（【答案】B【解析】由已知可得正视图，根据斜二测知识点可知图（2）中对应的边长，即可求出面积【详解】由正视图和侧视图可得俯视图如下:一一 3OA| 4, |OC

8、 | 2Q AOC 453.221 _S AO C-OAOCsin AOC2S/OA B C2SVAO C故选：B .【点睛】 本题考查三视图，及斜二测画法中的计算问题，难度一般.10 .将函数g（x） 2sin x 1的图象向左平移 一个单位，再将所得图象上所有点的横坐 3，一、，一，一 1标变为原来的一（纵坐标不变），得到函数f（x）的图象，若fX1fx23,且2X2 X1,则X1 2X2的值为（）A.B.C.D.2312【解析】求得f（X） 2sin 2x _1,由f X13f x23可解得：x k【详解】注k Z),由X2X1,可知X1, X2，即可求出所得由已知可得f (x) 2si

9、n 2x 1,因为f x1312x 3以 2x 2k -(k Z),所以 x k32(k12Z),由X2X1，得X21112一，则 X1 2x2 2121211231212故选：D .【点睛】本题考查三角函数的变换及三角函数的图象与性质，考查了运算求解能力，难度一般.第26页共19页11 .在ABC中，内角A, B , C的对边分别为b J3asinA bcos2A ,若点D与点B在AC的两侧，且A, B, C, D四点共圆,则四边形ABCD面积的最大值为()A. 3 3V3B. 373C. ：V3D. 2代【答案】C【解析】 由b J3asin A bcos2A,借助二倍角角公式化简为2b(

10、1 cos2A) -、3a sin A,利用正弦定理求得 B -，因为B D，求得D ,33四边形ABCD面积等于Svadc+Svabc ,借助余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式化 简即可求出最大值【详解】由 b .3asin A bcos2A,得 b(1 cos2A). 3a sin A,2bsin2 A 3asin A,由正弦定理得 2sinBsin2A,3sin2A(0, ) sin B旦又B为钝角，B22，又A,B,C,D四点共圆3D 一,在VACD中，由余弦定理得： 3AC2 AD2 DC2 2AD DC cosDAD2 DC2 AD DC2AD DC AD DCAD DC即AD

11、 DC AC2,当且仅当AD DC时，等号成立.12同理，在 ABC 中，AC2 3AB BC ,即 AB BC AC2, 31八17SVADC-AD DC sinD -AC2sin-.3,2232 . 2sin 3-11、SvabcAB BC sin B AC26四边形ABCD面积的最大值为33 故选：C .【点睛】 本题考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，在解三角形中的应用，难度较难.12.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f(x)、 f(x 1)的图象关于点(1,0)对称，且对于任意的实数x,均有f (x)上1成立，若f( 2) 2,则不等式ln 2f(x)2x1的解集为()A. (

12、 2, )B. (2,)C. (,2)D. (,2)【答案】D【解析】由f(x 1)的图象关于点(1,0)对称，可知f(x)为奇函数,f (x) Ux)f (x)-f (x)ln 2<0,构造新函数 g (x) fxx)，求导可知 g (x)在ln22x,、x1f (x)1八(,+ )上单调递减，f(x) 2 可转化为-2T7,即为g x g 2，利用已知可求出g 2进而可求f (x)2x 1的解集.【详解】Q f (x 1)的图象关于点(1,0)对称，f (x)为奇函数，则有 f (x) f-f (x)-f(x)ln 2<0，令 g(x)上烂,ln22_x x _f (x) 2

13、-2 f(x)ln2 f (x)-f(x)ln2则g(x)272"0,则g(x)在(,+ )上单调递减，由f( 2) 2相f(2) -2,所以g(2)1 .42所以 f(x)2x1f(x1 g x g 2 ,所以 x 2.故选：D .【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及抽象不等式的解法，其中利用已知合理构造函数，正确利用函数单调性和导数的关系是解决本题的关键，难度较难.二、填空题13 .函数f(x) ax 2019 2020 (a 0且a 1)的图象过定点 A,则点A的坐标为【答案】2019,2021【解析】根据指数函数的性质，令哥指数为0,进行求解即可求出定点坐标【详解】由

14、 x 2019 0 得 x=2019，此时 f(2019) a0 2020=2021 ,即函数f x过定点A 2019,2021 ,故答案为：2019,2021 .【点睛】本题考查指数函数恒过定点问题，难度容易.y 214 .已知实数x, y满足约束条件 x y 1 ，则z 3x y的最小值为 y 2(x 2)【答案】-5【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到结论.【详解】y 2作出实数x, y满足约束条件x y 1对应的平面区域如图:y 2(x 2)设 z 3x y 得 y 3x z平移直线y 3x z,由图象可知当直线 y 3x z经过点A 1,2时，直线y 3x z的截

15、距最大，此时 z最小，即 zmin5.故答案为：-5.【点睛】本题考查简单线性规划问题中求目标函数最值，难度较易.15 .十五巧板、又称益智图，为清朝浙江省德清知县童叶庚在同治年间所发明，它能拼出草木、花果、鸟兽、鱼虫、文字等图案.十五巧板由十五块板组成一个大正方形（如图1）,其中标号为2, 3, 4, 5的小板均为等腰直角三角形，图2是用十五巧板拼出的2019年生肖猪的图案，则从生肖猪图案中任取一点，该点恰好取自阴影部分中的概率 为.图1图24【答案】49【解析】 设大正方形的边长为 6,则大正方形的面积为S=36，由图2可知，阴影部分中的图案是由图1中标号为4,5,15,3,13的小板组成

16、的，求出面积，利用几何概型的概率公式计算即可求得.【详解】设图1中大正方形的边长为 6,则大正方形的面积为 S=36，由图2可知，阴影部分中的图 案是由图1中标号为4,5,15,3,13的小板组成的，其中标号为4与5的图案组成一个边长为2的正方形，其面积为 4 ;标号为15的图案的面积可视为长为 4、宽为2的长方形面积的一半，即面积为 4;标号为3的三角形的面积为 -4 2=4,标号为13的图案的2面积可视为长为 4,宽为2的长方形面积的一半，即面积为4,所以阴影部分的面积为,一 16 44 4=16 .由几何概型的概率公式得所求概率P= = .36 9，一 4故答案为：4 .9【点睛】本题考

17、查了几何概型中的面积型 ，利用面积比得出概率，考查了数据处理的能力和应用意识，难度一般.16.已知在三棱锥 P ABC中，侧面PAC 底面ABC, AB BC, AB BC 2,AP PC 括,则三棱锥P ABC的外接球的表面积为.25【答案】25_3【解析】根据外接球的性质先找到球心位置，再利用球和圆的性质用勾股定理求出半径，即可求出外接球的表面积.【详解】如图，设三棱锥P ABC的外接球的球心为 O,半径为r , AC的中点为D ,由侧面PAC 底面ABC，得PD 底面ABC，又AB BC ,所以球心O在PD上,易求得PD V3,BD 72,由 OD2 DB2 OB2,得 r2= V3-r

18、 + &，解得 r 53，所6- 2 25以球O的表面积S 4 r2 .325故答案为：25.3【点睛】本题考查三棱锥的外接球表面积，利用外接球球心到三棱锥顶点的距离相等的性质找到 球心是解决本题的关键，难度较难.三、解答题17.已知数列凡；中，满足%= I , %+i二弱 7QEN + J.(1)证明：数列1为等比数列；(2)求数列的前项和斗.【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)直接利用等比数列的定义证明；(2)先求出m = /-1 ,再利用分组求和求数列七的前项和sn.【详解】(1) 1“卜：落：又因为+1=2,数列1% / IJ是以2为首项，2为公比的等比数列(2)由(1)

19、知- I =y，% =1)+ GL)十-1)=g + 2”+., + 2ft)-n2* (l-f) -n= 2ri + l-n-2.故ti-2.【点睛】本题主要考查等比数列性质的证明，考查等比数列求和和分组求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.如图，四边形 ABCD是等腰梯形，且 AB/CD , ABC 60 ,AD DC CB CF 1,四边形ACFE是矩形，CF AB ,点M为EF上的一动(1)求证：AM BC ;(2)分别记四棱锥 B AMFC与三棱锥M ADE的体积为V1, V2,当点M为EF的V1中点时，求U的值.V2【答案】(1)见解析；(2)6.【解析】

20、(1)通过三角形中的关系可证得BC AC,由四边形ACFE是矩形可证得CF 面ABCD则得CF BC ,进而彳导出BC，面ACFE ,即证得所求；(2)由已知易求得 EF J3,所以MF W3.由锥体的体积公式即可求得1 1一3 2(MF AC)CFBC .借助等体积转换即可求得V2 VM ADE VDAME1V1 c-AE ME ADsin30 .进而求得62V2(1)证明:在等腰梯形ABCD 中，Q AB/CD ,DAB ABC60 ,ADCDCB 120 .AD DC DACDCA30ACB 90 , CABBCACQ四边形ACFE是矩形CF AC,又 CF AB,ABACA CF 面A

21、BCDCF BCQ BC AC, ACCF C ,BC 面ACFE,Q AM面 ACFE, AM BC .(2)易求得EF AC J3,所以 MFME1 1 (MF AC)3 2CF1BC 一6、3V2 Vm ADE VD AME1-AE ME AD sin 302,31 一2324工6V2本题考查了利用线面垂直证得线线垂直，考查了求几何体的体积比，难度较易.19 .随着智能手机的普及，手机计步软件迅速流行开来，这类软件能自动记载每个人每日健步的步数，从而为科学健身提供一定的帮助.某市工会为了解该市市民每日健步走的情况，从本市市民中随机抽取了2000名市民（其中不超过 40岁的市民恰好有100

22、0名），利用手机计步软件统计了他们某天健步的步数，并将样本数据分为 3,5 , 5,7 ,7,9 , 9,11 , 11,13 , 13,15 , 15,17 , 17,19 , 19,21 九组（单位；千步）, 将抽取的不超过 40岁的市民的样本数据绘制成频率分布直方图如图，将40岁以上的市民的样本数据绘制成频数分布表如下，并利用该样本的频率分布估计总体的概率分布.频率05(),13 5 7 9 11 13 15 17 19 21步数（单位;分组（单位千步）3,55,77,99,1111,1313,1515,1717,1919,21频数1020203040020020010020（1）现规定

23、，日健步步数不低于13000步的为 健步达人”，填写下面列联表，并根据健步达人非健步达人总计40岁以上的市民不超过40岁的市民总计列联表判断能否有 99.9%的把握认为是否为健步达人”与年龄有关;(2)利用样本平均数和中位数估计该市不超过40岁的市民日健步步数(单位：千步)的平均数和中位数;(3)若日健步步数落在区间x 2s, x 2s内，则可认为该市民”运动适量”，其中I,s分别为样本平均数和样本标准差，计算可求得频率分布直方图中数据的标准差s约为3.64.若一市民某天的健步步数为2万步，试判断该市民这天是否运动适量”？参考公式:K2n(ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)

24、P K2k00.150.100.050.0250.0100.001k02.0722.7063.8415.0246.63510.828参考数据:【答案】(1)表格见解析，有99.9%的把握认为是否为健步达人”与年龄有关;(2)12.16, 37；(3)该市民这天运动不适量”.3【解析】(1)根据已知可完成表格，根据表格数据计算 K2即可;(2)通过频率分布直方图中数据根据定义计算可求出平均数和中位数；(3)由(X 2s,x 2s) (4.88,19.44)，可知2万步即20千步不在区间范围内，即可得出结论.【详解】健步达人非健步达人总计(1)列联表为40岁以上的市民5204801000不超过40

25、岁的市民4006001000总计92010802000K229 10.828.2000 (520 600 480 400)2920 1080 1000 1000""所以有99.9%的把握认为是否为健步达人”与年龄有关(2)样本平均数为X 4 0.04 6 0.06 8 0.10 10 0.10 12 0.3 14 0.2 16 0.1 18 0.08 20 0.02 12.16.由前四组的频率之和为 0.04 0.06 0.10 0.10 0.30,前五组的频率之和为0.30 0.30 0.60，知样本中位数落在第五组，设样本中位数为t,则37(t 11) 0.15 0.5

26、 0.3 t 一 .故可以估计，该市不超过40岁的市民日健步步数的337平均数为12.16和中位数373(X 2s, x 2s) (4.88,19.44)，而2万步恰好落在该区间右侧，所以可据此该市民 这天 运动不适量”.【点睛】本题考查利用数据求 K2,中位数和平均数，考查了借助相关知识处理实际问题的能力，难度一般.20 .已知斜率为1的直线交抛物线 C ： y2 2Px ( p 0)于A, B两点，且弦AB中 点的纵坐标为2.(1)求抛物线C的标准方程；(2)记点P(1,2),过点P作两条直线PM , PN分别交抛物线C于M , N (M ,N不同于点P)两点，且 MPN的平分线与y轴垂直

27、，求证：直线 MN的斜率为定 值.【答案】(1) y2=4x;(2)见解析.【解析】(1)涉及中点弦，用点差法处理即可求得P,进而求得抛物线方程；(2)由 MPN的平分线与y轴垂直，可知直线PM , PN的斜率存在，且斜率互为相反数：y1y2X X2且不等于零 股M。必，N X2,y2 ,直线PM:y k(x 1) 2,k 0,则直线PN:y k(x 1) 2,k 0分别和抛物线方程联立，解得x1，x?利用kMN结合直线方程，即可证得直线 MN的斜率为定值.22设 Axa)a ,B XB,yB，则 yA 2pxA,yB 2pxB,两式相减，得:2pVa Vb - 2p由弦AB中点的纵坐标为2,

28、得yA Vb 4,故p=2 .所以抛物线C kAB的标准方程y2=4x.(2)由 MPN的平分线与y轴垂直，可知直线PMPN的斜率存在，且斜率互为相反数，k(x 1) 2,k 0 由且不等于零，设M。必，N x2,y2直线PM :yy2 k(x 1) 2 得 k2x2y 4x2k24k 4 x(k22)0由点P(1,2)在抛物线C上,可知上述方程的一个根为1,xi2(k 2)2k22k2 4k 4 日.7.即 x1k22k2 4k 4 小田7，同理k2k2+4k 4x2k2x1x22k28,x1x28k8 kViy2k x1k x2x22k2k22ky1y2xx28工8 k1.直线MN的斜率为

29、定值1.本题考查应用点差法处理中点弦问题直线与抛物线中，斜率为定值问题，考查分析问题的能力，考查学生的计算能力，难度较难.21.已知函数f(x) ex(a e)x ax2(1)当a 0时，求函数f (x)的极值;(2)若函数f (x)在区间0,1内存在零点，求实数 a的取值范围.【答案】(1)极小值为。，无极大值；(2) - ,0 .【解析】a 0,可求f (x)=ex e,则f (1) 0,可判断x 1时，f(x)单调递减；x 1时，f(x)单调递增，即可求得f(x)在x=1处取得极小值，无极大值.(2)函数f(x)在区间(0,1)内存在零点等价于f(x)=0在(0,1)内有解，通过讨论a

30、0, a 0, a 0,三种情况下求f (x)的最值及单调情况即可.【详解】若a 0,则 f (x) ex ex, f (x)=ex e,则 f 0,当x 1时，f (x) 0, f (x)单调递减；当x 1时，f (x) 0, f (x)单调递增，所以f(x)在x=1处取得极小值，且极小值为f (1) 0,无极大值.xxx(2)由题意 f (x) e 2ax a e,设 g(x) e 2ax a e,则 g(x) e 2a.若a 0,则f(1) 0,故由(1)得f(x)在区间01内没有零点.若a 0 ,则g (x) ex 2a 0 ,故f (x)在区间01内单调递增.又g(0) 1 a e 0, g(1) a 0,所以存在 x° (0,1)，使 g(x0) 0,故当 x 0,沏时，f (x) 0, f(x)单调递减；当x%,1时，f (x) 0, f(x)单调递增.因为f(0) 1,f(1) 0,所以当a 0时，f(x)在区间01内存在零点.若a 0,由(1)得当x 01时，ex ex.则x222f (x) e (a e)x ax ex (a e)x ax a(x x ) 0此函数f (x)在区间01内没有零点.综上，实数a的取值范围-,0【点睛】本题考查了函数极值，考查了利用导数研究零点问题，涉及了构造函数求导，零点存在性 定理的应用，如何适当